第二课时 分数指数幂、无理数指数幂

第二课时分数指数幂、无理数指数幂课标要求素养要求通过对有理数指数幂a mn(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂a x(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.通过对有理数指数幂a mn、实数指数幂a x含义的认识，提升数学抽象素养，通过指数幂运算性质的应用，提升数学运算素养.新知探究牛顿(Newton 1643～1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…所以可将a，a2，a3，…写成a12，a22，a32，…，将1a，1aa，1aaa，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习.牛顿问题 1.amn、a－mn(a>0)写成根式会是怎样的形式？2.amn、a－mn的根式形式中a≤0又如何？提示 1.a mn＝n a m，a－mn＝1amn＝1na m(其中a>0，m，n∈N*，且n>1).2.若a≤0，a mn、a－mn不一定有意义，例如(－4)12、(－4)－12无意义，故规定a>0.1.分数指数幂根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q).(2)拓展：a ra s＝ar－s(a>0，r，s∈Q).3.无理数指数幂实数指数幂是一个确定的实数一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.拓展深化[微判断]1.(－2)64＝(－2)32.(×)提示(－2)64>0，而(－2)32无意义，故错误.2.[(－2)×(－3)]12＝(－2)12(－3)12.(×)提示左侧＝6，右侧无意义.3.当a>0时，(a r)s＝(a s)r.(√)4.22∈R.(√)[微训练]1.a－35(a>0)化为根式的形式为________.解析a－35＝1a35＝15a3.答案1 5a32.3（m－n）2(m>n)表示为分数指数幂的形式为________.解析3（m－n）2＝(m－n)23.答案(m－n)2 33.化简2723＝________.答案9[微思考]1.分数指数幂与根式有什么关系？提示(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化.(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a mn可能会有意义.当a mn有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.2.分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘吗？提示不可以.分数指数幂a mn不可以理解为mn个a相乘.事实上，它是根式的一种新写法.题型一根式与指数幂的互化角度1分数指数幂化根式【例1－1】用根式的形式表示下列各式(x>0).(1)x 25；(2)x－53.解(1)x 25＝5x2；(2)x－53＝13x5.角度2根式化分数指数幂【例1－2】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.(1)5a6；(2)13a2；(3)4b3a2；(4)（－a）6.解(1)5a6＝a65.(2)13a2＝1a23＝a－23.(3)4b3a2＝⎝⎛⎭⎪⎫b3a214＝b34a－24＝a－12b34.(4)（－a）6＝a6＝a 62＝a3.规律方法根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.【训练1】用分数指数幂表示下列各式：(1)b 3a ·a 2b 6(a >0，b >0)； (2)a －4b23ab 2(a >0，b >0).解 (1)b 3a ·a 2b 6＝b 3a ·a b 3＝1. (2)a－4b23ab 2＝a－4b 2·（ab 2）13＝a －4b 2a 13b 23＝a－113b 83＝a －116b 43.题型二 利用分数指数幂的运算性质化简求值【例2】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278.答案 278(2)计算下列各式(式中字母均为正数)：①⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －23y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16； ②(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[]（－2）3－43＋16－0.75.解 ①原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －23＋(－1)＋13·y 12＋12－16＝2524x －43y 56. ②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716. 规律方法 1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.2.根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. 3.对于化简结果的要求对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.【训练2】 计算下列各式： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748； (3)614－3338＋40.062 5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫0.06413－2.525－π0. 解 (1)原式＝1＋14·23－110＝1615.(2)原式＝53＋100＋916－3＋3748＝100＋14448－3＝100.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25412－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00013×（－2.5）×25－1＝52－32＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1－1＝3.题型三 整体代换法求分数指数幂【例3】 (1)若x 23＝2，则(x ＋3)12＝________. (2)(多空题)若x 12－x －12＝1，则x ＋x －1＝________；x 2＋x －2＝________.解析 (1)因为x 23＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 233＝23＝8，得x 2＝23，解得x ＝±22，所以(x ＋3)12＝(3±22)12＝[(2±1)2]12＝2±1.(2)将x 12－x －12＝1，两边平方得x ＋x －1－2＝1，则x ＋x －1＝3.x ＋x －1＝3两边平方得x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7. 答案 (1)2±1 (2)3 7规律方法 利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. x2＋x －2＝(x ±x －1)2∓2，x ＋x －1＝(x 12±x －12)2∓2，x 12＋x －12＝(x 14±x －14)2∓2.【训练3】 (1)已知x 12＋x －12＝5，则x 2＋x －2＝________.(2)(多空题)已知x ＋x －1＝7，则x 12＋x －12＝________；x 2－x －2________.解析 (1)将x 12＋x －12＝5，两边平方得x ＋x －1＋2＝5，则x ＋x －1＝3，两边再平方得x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7.(2)①设m ＝x 12＋x －12，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2＝7＋2＝9，因为m >0，所以m＝3，即x 12＋x －12＝3.②设n ＝x 12－x －12，两边平方得n 2＝x ＋x －1－2＝7－2＝5，因为n ∈R ，所以n ＝±5，即x 12－x －12＝±5.所以x －x －1＝(x 12＋x －12)(x 12－x －12)＝±35，x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x－1)＝±21 5.答案 (1)7 (2)3 ±215一、素养落地1.通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养，通过进行根式与分数指数幂的互化及运用指数幂的运算性质培养数学运算素养.2.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解. 二、素养训练1.下列运算结果中，正确的是( ) A.a 2·a 3＝a 5 B.(－a 2)3＝(－a 3)2 C.(a －1)0＝1 D.(－a 2)3＝a 6答案 A 2.a 3a ·5a 4(a >0)的值为________.解析原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710. 答案 a 17103.计算：0.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4－4÷20－⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝________.解析 原式＝14×16－4÷1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4－4－4＝－4.答案 －44.已知a 12－a －12＝5，则a 12＋a －12＝________.解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＝a ＋a －1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12－a －122＋4＝5＋4＝9，又因为a 12＋a －12>0，所以a 12＋a －12＝3.答案 35.化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3a a 6b 6；(2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23(结果化为分数指数幂形式). 解 (1)b 3a a 6b 6＝b 32×a －12×a 64×b －64＝a .(2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23＝2x 14＋14＋12·y －13＋23＝2xy 13.基础达标一、选择题1.若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( ) A.R B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x >0，解得x <12. 答案 D2.化简[3（－5）2]34的结果为( ) A.5 B. 5 C.－ 5D.－5解析 [3（－5）2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5.答案 B3.⎝ ⎛⎭⎪⎫51160.5＋(－1)－1÷0.75－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23＝( )A.94B.49C.－94D.－49解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫811612－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23＝94－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫276423＝94－916＋916＝94. 答案 A4.化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫3a 964·⎝⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝⎛⎭⎪⎫a 32×134·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3×164＝a 2·a 2＝a 4. 答案 C5.设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a ＝( )A.m 2－2B.2－m 2C.m 2＋2D.m 2解析 将a 12－a －12＝m 平方得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12－a －122＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2. 答案 C 二、填空题6.已知3a ＝2，3b ＝5，则32a －b ＝________. 解析 32a －b ＝（3a ）23b ＝45. 答案 457.设α，β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＋β＝________.解析 由根与系数的关系得α＋β＝－32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－32＝(2－2)－32＝23＝8.答案 88.已知a >0，化简⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13＋a －132－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13－a －132＝________.解析 因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13＋a －132－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13－a －132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＋2＋a －23－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23－2＋a －23＝4.答案 4 三、解答题9.将下列根式化为分数指数幂的形式：(1)3a a (a >0)；(2)13x （5x 2）2；(3)(4b －23)－23(b >0).解 (1)原式＝3a ·a 12＝3a 32＝3a 34＝a 14. (2)原式＝13x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 252＝13x ·x 45＝13x 95＝1（x 95）13＝1x 35＝x －35.(3)原式＝[(b －23)14]－23＝b －23×14×(－23)＝b 19.10.已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2. 解 (1)因为a 12＋a －12＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＝a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.(2)因为a ＋a －1＝7，所以(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47.能力提升11.设a ＝424，b ＝312，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c解析ab＝424312＝（23×3）14（22×3）13＝234×314223×313＝234－23313－14＝21123112＝⎝⎛⎭⎪⎫23112<1，又a>0，b>0，∴a<b，b c ＝3126＝（22×3）13（2×3）12＝223×313212×312＝223－12312－13＝216316＝⎝⎛⎭⎪⎫2316<1，又b>0，c>0，∴b<c，综上有a<b<c，故选D.答案 D12.(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求16x＋16－x的值；(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求x12－y12x12＋y12的值.解(1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，∴(4x＋4－x)2＝16x＋16－x＋2＝(a2－2)2＝a4－4a2＋4，∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2.(2)x12－y12x12＋y12＝（x12－y12）2（x12＋y12）（x12－y12）＝（x ＋y ）－2（xy ）12x －y .①∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108. 又∵x <y ，∴x －y ＝－6 3.③ 将②③代入①，得x 12－y 12x 12＋y 12＝12－2×912－63＝－33.创新猜想13.(多选题)下列各式中一定成立的有( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12（－3）4＝33C.4x 3＋y 4＝(x ＋y )34D.39＝33解析 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；12（－3）4＝1234＝33，B 正确；C 中当x ＝y ＝1时，等式不成立；D 正确.故选BD. 答案 BD14.(多空题)设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.答案 14 215。