函数与导数二轮复习建议
金陵中学 朱骏
函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用．
下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2019年~2019年四年江苏高考
基本题型一：函数性质的研究 例1（2019年江西理改）若f (x )＝
1log(2x ＋1)
，则f (x )的定义域为____________．
【解析】由⎩⎨⎧2x ＋1＞0log(2x ＋1)＞0
，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12x ＜0
，故－12＜x ＜0，答案为（－1
2，0）．
说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质．
例2（2019年江苏）设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x
)（x ∈R ）是偶函数，则实数a ＝_______． 【解析】 由g (x )＝e x
＋a e －x
为奇函数，得g (0)＝0，解得a =－1；也可以由奇函数的定义解得．
说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f (0)＝0是定义域包含0的函数f (x )是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法．
变式：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2
x （k 为常数）在定义域上为奇函数，则k 的值是_______．
答案：±1．
例3 设a (0＜a ＜1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f (1
2
)＝0，f (log a t )＞0，则t 的取值范围是________．
【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图．
由图得－12＜log a t ＜0或log a t ＞12，解得t (0，a ) ∪(1，a
a
)．
说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体
性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查．
2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现．
例4（2019年江苏卷）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2
＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2
)＞f (2x )
的x 的范围是 ．
【解析】画出函数f (x )的图象，根据单调性，得⎩⎨⎧1－x 2
＞2x ，
1－x 2
＞0．
，解得 x ∈(－1，2－1)．
说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f (1－x 2
)＞f (2x )具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用．
变式：设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________________________．
答案：f (a ＋1)＞f (b ＋2)．
例5（2019年江苏）设a 为实数，函数f (x )＝2x 2
＋(x －a )|x －a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a , +∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以，－a ＞0，即a ＜0．由a 2
≥1，得a ≤－1． （2）记f (x )的最小值为g (a )，
f (x )＝2x 2
＋(x －a )|x －a |＝⎩
⎪⎨⎪⎧3(x － a 3)2＋2a 2
3，x ＞a ， ①(x ＋a )2－2a 2
， x ≤a ， ② （ⅰ）当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2
，由①②知f (x )≥－2a 2
，此时，g (a )＝－2a 2
．
（ⅱ）当a ＜0时，f (a 3)＝23a 2．若x ＞a ，则由①知f (x )≥23
a 2
；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a
＜0，由②知f (x )≥2a 2
＞23a 2．此时，g (a )＝23
a 2．
所以，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2
，a ≥0，
23
a 2， a <0．
（3）（ⅰ）当a ∈(－∞，－
62]∪[2
2
，＋∞)时，解集为(a , ＋∞)； （ⅱ）当a ∈[－22, 22)时，解集为[a ＋3－2a
2
3
，＋∞)；
（ⅲ）当a ∈(－62，－22)时，解集是(a , a －3－2a 2
3]∪[a ＋3－2a
2
3，＋∞)．
说明：1．江苏高考中经常考查含有绝对值的函数问题，解决绝对值问题的基本方法是去绝对值，按零点分类去绝对值、平方去绝对值是两种常用方法．
2．二次函数在区间上最值的讨论是对二次函数考查的一个热点问题，应熟练解决．将二次函数与分段函数结合起来，要求较高．（2）中之所以用0来区分，是因为①式中应比较
a
3
与a 的大小，②式中要比较－a 与a 的大小．
基本策略：
1．基本初等函数及其组合是函数性质考查的重要载体，因此应该对一些基本初等函数
（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数、耐克函数等）的图象与性质非常熟悉．掌握一些最基本的复合函数理论及图象变换的相关知识，能将比较复杂的函数化归为一些基本初等函数进行性质的研究．
2．应熟练掌握函数常见性质的判别和证明的基本方法和步骤．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点，函数单调性的判别常使用图象和导数，证明的常用方法是定义法和导数法；奇偶性的判别应注意两个必要条件的应用（例2），证明函数具有奇偶性，必需严格按照定义进行，说明函数不具有奇偶性，仅举出一个反例即可．要了解函数的奇偶性与单调性的联系．
3．对函数性质的考查，主要有两类问题，一类是判断函数是否具有某种性质，一类是根据函数具有的性质解决一些问题，如求值、判断零点的个数、解不等式等．
对于第二类问题，函数性质常常有两种呈现方式：（1）直接呈现；（2）隐含在具体函数之中（如例4）．有些时候，直接呈现函数性质时，可能有不同的表述形式．下面两个问题中两种不同的表述都是在呈现单调性．
题1 定义在R 上函数f (x )，对定义域内任意的x 都有f'(x )＜0成立，则f (－1)与f (－1)的大小关系是___________________．
题2 已知f (x )＝ax ＋b ，对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)均满足
f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
＜0，则实
数a 的取值范围为___________________．
有时还可能用类似于“f (x )＋x f'(x )＜0”的条件，给出了函数y ＝x f (x )的单调性．
4．研究函数性质时，必需学会从“数”和“形”两个角度加以考虑，特别是“形”，掌握函数图象是学好函数性质的关键．
