二次函数应用题分类与解析

二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成a 4b ac 4)a 2b x (a y 22-++=的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？析解：（1）若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出2（70-x ）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。

根据题意得6500x 260x 2500)]x 70(260)[30x (y 2-+-=--+-=（30≤x ≤70）。

（2）1950)65x (26500)x 130x (2y 22+--=---=。

顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。

故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。

三、建模型即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。

这类问题建模要求高，有一定难度。

例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm ，抛物线顶点处到边MN 的距离是4dm ，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm ？析解：由“抛物线”联想到二次函数。

如图4，以MN所在的直线为x 轴，点M 为原点建立直角坐标系。

设抛物线的顶点为P ，则M （0，0），N （4，0），P （2，4）。

用待定系数法求得抛物线的解析式为x 4x y 2+-=。

设A 点坐标为（x ，y ），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y 。

于是2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 2AB 2l 2++-=-+=+=8x 12x 2)4x 2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 222-+-=-++-=-+=+。

且x 的取值范围是0<x<4（x ≠2）。

若l=8，则88x 12x 22=-+-，即08x 6x 2=+-。

解得4x 2x 21==，。

而0<x<4（x ≠2）。

故l 的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm 。

注：本题还可在其它位置建立直角坐标系。

例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y (万件)与销售单价x (元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z (万元)(不含进价)与年销量y (万件)存在函数关系z =10y +42.5. (1)求y 关于x 的函数关系式;(2)度写出该公司销售该种产品年获利w (万元)关于销售单价x (元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x 为何值时,年获利最大?最大值是多少?(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元? .解:(1)由题意,设y =kx +b ,图象过点(70,5),(90,3), ∴570,390.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1,1012.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴y =110-x +12.…………………………………………3分 (2)由题意,得w =y (x -40)-z =y (x -40)-(10y +42.5)=(110-x +12)(x -10)-10(110-x +12)-42.5=-0.1x 2+17x -642.5=110-(x -85)2+80.当85元时,年获利的最大值为80万元. ……………………………………………………6分 (3)令w =57.5,得-0.1x 2+17x -642.5=57.2. 整理,得x 2-170x +7000=0. 解得x 1=70,x 2=100.由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.………………………………10分四：利润最大(小)值问题 知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a bx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当abx 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222．[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？实际问题与二次函数习题精选及解析填空题：1．当炮弹从炮口以30º角射出后，飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间的函数关系式是h=12v 0t −5t 2，其中v 0是炮弹发射的初速度，当v 0=300米/秒时，炮弹飞行的最大高度是________。

答案：1125米。

说明：把v 0=300代入h=12v 0t −5t 2得h=150t −5t 2，由公式244ac b a 得h 最大=1125米。

2．王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其他用途，其图形和数据如图所示，请你计算王师傅所取得最大矩形料的面积________，这时CE=________，CF=________。

答案：34m 2，32m ，12m 。

说明：设CF=x ，则BF=1−x ，BD=2(1−x)，∴3(1−x)，∴S 矩形FCED 3(1−x)•x=−323−3−12)2+34。

∴S 矩形FCED 最大为34m 2，这时CF=12m ，CE=32m 。

解答题：1．某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金。

经市场调查，如果1间客房的日租金每提高5元，则客房每天出租数会减少6间。

不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？分析：这是函数知识在日常生活中的实际应用题，本题中各量之间的等量关系为：每天客房日租金的总收入=每间客房的日租金×客房每天出租的间数。

解：设每间客房的日租金提高x 个5元(即5x 元)，则每天客房出租数会减少6x 间，根据题意可得y=(50+5x)(120−6x)，即y=−30(x −5)2+6750。

∴当x=5时，y 最大=6750。

这时每间客房日租金为50+5×5=75(元)，客房日租金的总收入最高，为6750元。

装修前的日租金120×50=6000(元)，6750−120×50=750(元)。

故将每间客房的日租金提到75元时总收入最高，比装修前的日租金总收入增加750元。

2．某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为多少？(2)设月销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式。