函数模型的应用实例

函数模型的应用实例习题（含答案）一、单选题1上是增函数，则a的取值范围是（）．A2．已知正方形的边长为4，动点从点开始沿折线向点运动，设点运动的路程为，的面积为，则函数的图像是（）A．B．C．D．3．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是( )A．B．.C．D．4．某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在3km 以内（含3km ）为8.00元；达到3km后，每增加1km 加收1.40元；达到8km 后，每增加1km 加收2.10元．增加不足1km 按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费，则此乘客乘该出租车行驶路程的km 数可以是（ ）．A ． 22B ． 24C ． 26D ． 285．已知奇函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，当0x >时，()ln(|1|1)f x x =-+，则函数()f x 的图象大致为（ ）6．甲用1000元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，甲获利10%，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，在上述股票交易中A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利1元C ．甲盈利9元D ．甲亏本1.1元7 ）8．已知函数22,0()2cos ,0x x f x x x ⎧->=⎨≤⎩，则下列结论正确的是( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为),2[+∞-9．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ． 15B ． 40C ． 25D ． 130二、填空题10．某出租车租赁公司收费标准如下：起价费10元（即里程不超过5公里，按10元收费），超过5公里，但不超过20公里的部分，每公里按1.5元收费，超过20公里的部分，每公里再加收0.3元．（1）请建立租赁纲总价y 关于行驶里程x 的函数关系式；（2）某人租车行驶了30公里，应付多少钱？（写出解答过程）11．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (升)与速度x (千米／每小时) ()50120x ≤≤的关系可近似表示为：0,50,80（Ⅰ）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？（Ⅱ）已知,A B 两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 12．某商品在近30天内每件的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系是30,015,60,1530,t t t N P t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩，该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40(030,)Q t t t N =-+<≤∈，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．13．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．14_____________函数。

（填“奇”、“偶”）15．若函数()y f x =的值域是 是 16．已知函数()f x 满足()()22f x f x +-=，当(]0,1x ∈时， ()2f x x = ，当(]1,0x ∈-时，若定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________．17．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数， *x N ∈）的关系为21825y x x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．18．近年来青海玉树多次发生地震，给当地居民带来了不少灾难，其中以2010年4月1号的7.1级地震和2016年10月17号的6.2级地震带来的灾难较大；早在20世纪30年代，美国加州理工学院的地震物理学家里克特就制定了我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg A A M -=(其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅），那么7.1级地震的最大振幅是6.2级地震的最大振幅的 倍.三、解答题19．日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O 为圆心，R （R 为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD 区域用于儿童乐园出租，弓形BCD 区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD 的面积S 弓=f （θ）；（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD 的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．20．某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完．据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，，产品A每件的销售利润为(单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）．（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？21．（2018天津一中高三上学期第二次月考）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0．3万元和0．2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟．（Ⅰ）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?22．常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为.⑴ 求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；⑵ 若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？23．某市公园内的人工湖上有一个以点为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径，在的另一侧建有控制台，和之间均有小径连接(小径均为直路)，且，喷泉中心点距离点60米，且连线恰与平行，在小径上有一拍照点，现测得米，米，且.(I)请计算小径的长度；(Ⅱ)现打算改建控制台的位置，其离喷泉尽可能近，在点、、的位置及大小均不变的前提下，请计算距离的最小值；(Ⅲ)一人从小径一端处向处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启分钟后的水幕是一个以为圆心，半径米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数的最小值. 24．某代卖店代售的某种快餐，深受广大消费者喜爱，该种快餐每份进价为8元，并以每份12元的价格销售．如果当天19:00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理，且全部售完．（1）若这个代卖店每天定制15份该种快餐，求该种类型快餐当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，）的函数解析式；（2）该代卖点记录了一个月30天的每天19:00之前的销售数量该种快餐日需求量，统计数据如下：以30天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，假设这个代卖店在这一个月内每天都定制15份该种快餐．（i）求该种快餐当天的利润不少于52元的概率．（ii）求这一个月该种快餐的日利润的平均数（精确到0.1）．25．已知函数2()2f x x ax b =-++且(2)3f =-．（1）若函数()f x 的图象关于直线1x =对称，求函数()f x 在区间[2,3]-上的值域；（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上递减，求实数b 的取值范围．26．选修4-4：坐标系与参数方程某县一中计划把一块边长为 米的等边 的边角地开辟为植物新品种实验基地，图4中 需要把基地分成面积相等的两部分， 在 上， 在 上.（1）设 ，使用 表示 的函数关系式；（2）如果 是灌溉输水管道的位置，为了节约， 的位置应该在哪里？求出最小值.27．某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下： 方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

(1)若商场的奖品总价值不超过1200元，要使每种领奖方式都能单独有效进行，则促销奖的领奖活动最长设置为几天；(2)在(1)的条件下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多．（参考数据：210=1024）参考答案1．B 【解析】设122,x x >>-则12()()f x f x >，而12()()f x f x -，则210a ->； 为增，则120a -<． 2．D【解析】当P 在C 点的位置时，面积为8，故排除A 选项.当P 在BC 上运动时，面积为1422x x ⋅=，轨迹为直线，故选D 选项.3．C【解析】由题,该容器为漏斗形几何体,所以水面高度随时间的变化为先慢后快,再快最后慢的情况变化，如选项C 的情况。

故选C 。

4．A【解析】根据题意可得， ()8 1.45 2.1844.4k +⨯+⨯-=， 解得22k =． 故选A ．5．B【解析】 试题分析：由已知可得()()⎩⎨⎧<<-≥=10,2ln 1,ln x x x x x f ,因为1≥x 时,()x x f ln =为上凸函数,本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

所以排除C,D 选项,又10<<x 时,()()x x f -=2ln 可由()x y -=ln 向右平移两个单位得到,而()x y -=ln 与x y ln =关于y 轴对称,所以也为上凸函数,故选B.考点：对数函数的图象.6．B【解析】试题分析：依题意，甲的成本为1000元．第一次交易，甲收入：（1+10%）×1000=1100元；第二次交易，甲收入：-（1-10%）×1000=-990元；第三次交易，甲收入：990×0.9=891元．甲的实际收入为：-1000+1100-990+891=1元考点：有理数指数幂的化简求值7．A8．D【解析】作出函数22,0()2cos ,0x x f x x x ⎧->=⎨≤⎩的图象如图，由图知知：A 、B 、C 均不对，只有D正确；故选D ．【命题意图】本题考查分段函数、函数的性质、值域，意在考查数形结合思想，推理能力．9．C【解析】由题意，当 时， ；当 时， ， ；当 时， ， ；故选C点睛：注意分类讨论思想在解决本题中的应用.10．(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+≤=20,5.38.1205,5.15.25,10x x x x x y ；(2)5.50元.【解析】试题分析：(1)不超过5公里的,按10元收费,即50≤<x 时,10=y ，不超过20公里的部分,按每公里5.1元收费,即205≤<x 时,()5.25.15.1510+=⨯-+=x x y ，超过20公里的部分,按每公里加收3.0元,即20>x 时,()5.38.18.120205.15.2-=⨯-+⨯+=x x y ；(2)把30=x 代入求值即可.试题解析：解：（1）10,52.5 1.5,5201.8 3.5,20x y x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩；（2）50.5y =考点：分段函数的实际应用.11．(Ⅰ) 65x =时每小时耗油量最低；（Ⅱ）当速度为120时，总耗油量最少. 【解析】试题分析：(Ⅰ)分析分段函数在区间上的单调性，两个区间上的较小值即为最小值；（Ⅱ）设总耗油量为l ，由题意可知，①当[)50,80x ∈时，9003016=；②当[]80,120x ∈时，当120x =，l 取得最小值10,取小即可.试题解析：(Ⅰ) 当[)50,80x ∈时，当[]80,120x ∈，函数单调递减，故当120x =时，y 有最小值10 因910<，故65x =时每小时耗油量最低.（Ⅱ）设总耗油量为l 由题意可知 ①当[)50,80x ∈时，，即70x =时，l 取得最小值16 ②当[]80,120x ∈时， 当120x =，l 取得最小值10∵1016<，所以当速度为120时，总耗油量最少. 考点：分段函数.12．第5天销售额最大,最大值是1225元. 【解析】试题分析：日销售金额等于日销售量乘以每件的销售价格,可得分段函数()()⎩⎨⎧∈≤≤--∈<<+--=Nt t t Nt t t y ,3015,10050,150,1225522,在()15,0和[]30,15两个区间上分别求函数的最大值,再从大中取大,为函数的最大值.试题解析：解：设日销售金额为y 元，则y P Q =∙，所以22101200,015,1002400,1530,t t t t Ny t t t t N ⎧-++<<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩22(5)1225,015,(50)100,1530,t t t N t t t N⎧--+<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩ 当015,t t N <<∈，5t =时，max 1225y =元； 当1530t ≤≤，t N ∈，15t =时，max 1125y =元．由12251125>，知第5天日销售额最大，最大值为1225元． 考点：分段函数的最值.【方法点晴】本题考查学生的是分段函数求最大值,与实际应用问题相结合,属于中档题目.题中给出的商品在近30天内每件的销售价格与时间的函数关系为分段函数,因此日销售金额等于日销售量乘以每件的销售价格也为分段函数,在()15,0和[]30,15两个区间上分别求函数的最大值,比较两个最大值,其中比较大的为函数的最大值,注意本题为实际应用,自变量t 为自然数. 13．7【解析】由题意知第一年的产量为;以后各年产量分别为,令 ，解得 ，故这条生产线拟定最长的生产期限是7年。