(完整版)二次根式竞赛训练题(一)

二次根式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)4+15+4-15=．【答案】10【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答．【详解】∵4+15+4-152=4+152+24+15⋅4-15+4-152=4+15+216-15+4-15=8+2=10，又4+15>0，4-15>0∴4+15+4-15=10．故答案为：10．2(2024·全国·九年级竞赛)已知x为实数，则x-2+4-x的最大值为．【答案】2【分析】本题考查二次根式有意义的条件和配方法，掌握被开方数为非负数和配方法是解题关键．先确定x的取值范围，然后利用配方法分析其最值．【详解】解：由题意可得x-2≥04-x≥0，解得2≤x≤4，令y=x-2+4-x y≥0，则y2=x-2+4-x2=x-2+2x-24-x+4-x=2+2-x2+6x-8=2+2-x-32+1∵0≤-x-32+1≤1∴y2的最大值为4，∴y的最大值为2，即x-2+4-x的最大值为2．故答案为：2．3(2024·全国·八年级竞赛)定义一种新的运算“@”：x@y=ax+by，其中a、b为常数，且使得等式a-2-8-4a+a b=12恒成立，那么2@3=．【答案】1【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到a=2，再代入方程求出b的值，从而得到x@y=2x -y，依此即可求得答案．【详解】根据题意得a-2≥08-4a≥0 ，∴a≥2 a≤2 ，∴a=2，将a=2代入a-2-8-4a+a b=12得0-0+2b=12，解得b=-1，∴x@y=2x-y，∴2@3=2×2-3=1．故答案为：1．4(2024·全国·八年级竞赛)计算：2+520172-52017=．【答案】-1【分析】本题主要考查了分式混合运算，平方差公式和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据相关的运算法则进行计算即可．【详解】解：2+520172-52017=2+52-52017=4-52017=-12017=-1．故答案为：-1．5(2024·全国·八年级竞赛)若不等式x+4+x-1≥a-x-2-2对任意实数x都成立，则a的最大值为．【答案】8【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得x+4+x-2有最小值为6，又由x-1≥0得出当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，然后由不等式恒成立即可求解．【详解】解：x+4+x-1≥a-x-2-2，∴x+4+x-2+x-1≥a-2当-4≤x≤2时，x+4+x-2有最小值为6，∵x-1≥0，∴当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，∴6≥a-2，∴解得a≤8，∴a的最大值为8，故答案为：8．6(2024·全国·八年级竞赛)计算12×1327+75+313-48-24-3232=．【答案】12【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，解题的关键是掌握运算法则．【详解】解：原式=23×13×33+53+3×33-43-26-3×632=23×33-6=12．7(2024·全国·八年级竞赛)计算：2009×2010×2011×2012+1-2009=．【答案】2010【分析】本题考查整式的混合运算、二次根式的性质，设参数计算是解答的关键．设a=2009，利用整式的混合运算法则和二次根式的性质是解答的关键．【详解】解：记a=2009，则原式=a a+1+1-aa+3a+2=a a+3+1-aa+2a+1=a2+3a+1-aa2+3a+2=a2+3a2+2a2+3a+1-a=a2+3a+12-a=a2+3a+1-a=a+12=a+1=2010，故答案为：2010．8(2024·全国·八年级竞赛)化简：-(x+1)2=．【答案】0【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由被开方数为非负数得到-x+12≤0，可确2≥0，即x+1定x+12=0，进而求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，-(x+1)2≥0，∴x+12≤0∴(x+1)2=0，∴-x+12=0=0，故答案为：0．9(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x满足20122-4024x+x2+x-2013=x，则x-20122=．【答案】2013【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得x-2013=2012，然后两边平方即可求解．【详解】解：∵x-2013≥0，∴x≥2013，∴x>2012．∵20122-4024x+x2+x-2013=x，∴2012-x2+x-2013=x，∴2012-x+x-2013=x，∴x-2012+x-2013=x，∴x-2013=2012，即x-2013=20122，故x-20122=2013．故答案为：2013．10(2024·全国·八年级竞赛)计算：1+20092+2009220102-12010=．【答案】2009【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式化简，熟练巧用完全平方公式是解本题的关键；首先化简为完全平方公式形式，然后根据二次根式开方即可解答．【详解】解：1+20092+20092 20102-12010=1+2010-12+20092 20102-12010=1+20102-2×2010+1+2009220102-1 2010=20102-2×2010+2+200920102-12010=20102-2×2010-1+200920102-12010=20102-2×2009+200920102-12010=2010-200920102-12010=2010-20092010-1 2010=2009．故答案为：2009．11(2024·全国·八年级竞赛)5+26+5-26=．【答案】23【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为3+22+3-22，再利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：5+26+5-26=3+22+3-22=3+2+3-2=23，故答案为：23．12(2024·全国·八年级竞赛)计算：(π+999)0-12+-3+8+(-1)3+(2+1)23-22=．【答案】22-3+1【分析】本题主要考查了二次根式的运算，先将二次根式化简，再根据二次根式的运算法则计算即可．【详解】原式=1-23+3+22-1+(3+22)(3-22)=22-3+(9-8)=22-3+1.故答案为：22-3+1．13(2024·全国·九年级竞赛)已知正整数a、b满足等式a+b=369，则a-b=．【答案】123或-123【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先把369化成最简二次根式，再把满足正整数a、b的所有值列举出来代入计算即可．【详解】解：∵369=341，正整数a、b满足等式a+b=369，∴a=41，b=241，即a=41,b=164，或a=241，b=41，即a=164,b=41，∴a-b=41-164=-123或a-b=164-41=123，故答案为：123或-123．14(2024·全国·七年级竞赛)计算：1-2=．+2-3+⋅⋅⋅+2016-2017+3-4【答案】2017-1/-1+2017【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可．【详解】解：1-2+⋯+2016-2017+3-4+2-3=2-1+3-2+4-3+⋯+2017-2016=2017-1．故答案为：2017-1．15(2024·全国·九年级竞赛)计算：9+18-27=．【答案】3+32-33【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．直接根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：9+18-27=3+32-33故答案为：3+32-33．16(2024·全国·八年级竞赛)若实数a满足a-8+a-2015=a，则a=．【答案】2079【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是解答的关键．先求得a≥2015，则a-8=a-8，进而得到a-2015=8，然后求解即可．【详解】解：依题意得a-2015≥0，则a≥2015，∴a-8=a-8，∴原式化为a-8+a-2015=a，即a-2015=8，得a-2015=64，∴a=2079．故答案为：2079．17(2024·全国·八年级竞赛)已知-2<x<3，则x2-6x+9-x2+4x+4化简为．【答案】1-2x【分析】先判断出x-3<0,x+2>0，再根据二次根式的性质化简原式即可．此题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：∵-2<x<3，∴x-3<0,x+2>0，∴x2-6x+9-x2+4x+4=x-32-x+22=x-3-x+2=3-x-x-2=1-2x故答案为：1-2x二、单选题18(2021·全国·九年级竞赛)设n,k为正整数，A1=(n+3)(n-1)+4,A2=(n+5)A1+4,A3= (n+7)A2+4，A4=(n+9)A3+4,⋯,A k=(n+2k+1)A k-1+4,⋯，已知A100=2005，则n的值为( )．A.1806B.2005C.3612D.4100【答案】A【详解】A1=[(n+1)+2][(n+1)-2]+4=(n+1)2-22+4=(n+1)2=n+1，A2=[(n+3)+2][(n+3)-2]+4=(n+3)2-22+4=(n+3)2=n+3，A3=[(n+5)+2][(n+5)-2]+4=(n+5)2-22+4=(n+5)2=n+5，同理A4=n+7,A5=n+9,⋯,A100=n+2×100-1=n+199=2005⇒n=2005-199=1806．故选：A．19(2011·湖北黄冈·九年级竞赛)设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是4-23，则a2+b2 ab的值为()A.2B.0C.-2D.-1【答案】C【分析】先化简4-23，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a 和b的值，再代入计算即可．【详解】解：4-23=32-23+1==3-12=3-1．∵方程x2+ax+b=0的一根是4-23，∴4-232+4-23a+b=0．∴3-12+3-1a+b=0．∴a-23+4-a+b=0．∵a、b是整数，∴a-2=0,4-a+b=0．解得a=2, b=-2．∴a2+b2ab =22+-222×-2=-2．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．20(2024·全国·八年级竞赛)若二次根式x-2在实数范围内没有意义，则x的取值范围是() A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥2【答案】A【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式没有意义的条件可得x-2<0，再解不等式即可，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.【详解】解：二次根式x -2在实数范围内没有意义，∴x -2<0，解得：x <2故选：AD ．21(2024·全国·八年级竞赛)已知13-7的整数部分是m ，小数部分是n ，则m m +7n +mn 的值为()A.10B.7C.6D.4【答案】A【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m ，n 的值，再代入进行求解即可．【详解】解：13-7=3+73+7 3-7=3+72，∵4<7<9，∴2<7<3，∴2.5<3+72<3，∴m =2，n =3+72-2，∴m m +7n +mn =22+7×3+72-2+2×3+72-2 =10，故选：A ．22(2024·全国·九年级竞赛)若1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，则ab的值为()A.18B.8C.2D.92【答案】B【分析】本题考查了根与系数的关系．先整理成一般式，利用根与系数的关系分另求得b 和a 的值，再代入求解即可．【详解】解：方程a (x -b )2=7整理得ax 2-2abx +ab 2-7=0，∵1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，∴1+72+1-72=1=--2ab a =2b ，∴b =12，1+72⋅1-72=-32=ab 2-7a ，∴-32=12 2-7a ，∴a =4，∴a b=412=8．故选：B ．23(2024·全国·八年级竞赛)已知75m 是整数，则满足条件的最小正整数m =( )．A.5B.0C.3D.75【答案】C【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解75m 什么情况下为正整数．【详解】解：∵75m =52×3m ，∴3m 是一个平方数，∴正整数m 最小是3，故选：C ．24(2021·全国·九年级竞赛)已知实数a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ,b +1 2=3-3b +1 ，则bb a+aa b的值为()A.23 B.-23C.-2D.-13【答案】B【分析】由题意可得a +1,b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，根据根与系数的关系可得a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理可得a +b =-5，ab =1，即得a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解.【详解】解：∵a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ，b +1 2=3-3b +1 ，∴a +1，b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，∴a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理，得a +b =-5，ab =1，∴a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，∴b b a +aa b =-b a ab -a b ab =-b a -a b =-a 2+b 2ab=-23；故选：B .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出a +b =-5，ab =1，是解题的关键．三、解答题25(2024·全国·八年级竞赛)若m 满足关系式2x +3y +4x +5y -m =x -2012+y +2012-x -y ，求m 的值．【答案】4024【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到x +y =2012是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得2x +3y +4x +5y -m =0，然后根据非负数的性质得到关于x 和y 的方程组，然后结合x +y =2012即可求得m 的值．【详解】解：由x -2012+y ≥02012-x -y ≥0 可得x +y =2012，∴x +y =20122x +3y =04x +5y -m =0∴m =4x +5y =2x +y +2x +3y =402426(2024·全国·八年级竞赛)设等腰三角形的腰为a ，底边为b ，底边上的高为h ．(1)如果a =6+3，b =6+43，求h ；(2)如果b =46+2，h =26-1，求a ．【答案】(1)32；(2)52．【分析】此题考查了等腰三角形的基本性质，学会在等腰三角形中构造直角三角形从而应用勾股定理来求解．(1)知道等腰三角形、底边利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解h 值；(2)知道等腰三角底边和高，同理在等腰三角形中构造直角三角形，利用勾股定理来求a 值．【详解】(1)解：在等腰△ABC 中，由勾股定理知，∵a 2=12b 2+h 2，∴6+3 2=146+43 2+h 2，∴36+123+3=1436+483+48 +h 2，∴39+123=9+123+12+h 2，∴h 2=18，∴h =18=32．(2)解：同理在等腰△ABC 中，由勾股定理知,∵a 2=12b 2+h 2，∴a 2=12×46+22+26-1 2∴a 2=26+1 2+26-1 2∴a 2=50，∴a =52．27(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：(2x -1)2-(3x +2)(3x -2)+(5x -4)(x +2)，其中x =2．【答案】2x -3,22-3【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式及多项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握并灵活运用它们是本题的关键．分别利用完全平方和、平方差公式、多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则计算即可．【详解】解：原式=4x 2-4x +1-9x 2+4+5x 2+6x -8，=2x -3当x =2时，原式=2x -3=22-3．28(2024·全国·八年级竞赛)已知：y =3x -15+15-3x +4，求2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y 的值．【答案】12【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x =5，进而得出y =4，再化简求值，代入即可得出答案．【详解】解：由3x -15≥0,15-3x ≥0，∴x =5，∴y =4，∴2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y =2x +y 2x +y -2x +y ÷2y -12y=2x+y-12y=2x+12y=12．29(2024·全国·八年级竞赛)已知a=4-15，求：(1)a-1a；(2)a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008．【答案】(1)-6(2)1【分析】本题考查完全平方公式，无理数的估算：(1)先根据完全平方公式变形得出a+1a =8，求出a-1a2=6，再估算出0<4-15<1，即0<a<1，最后求出答案即可；(2)将式子变形，再将a2-8a+1=0代入，进而可得出答案．【详解】(1)解：a=4-15，∴a-42=15，∴a2-8a+1=0．∴a+1a=8，∴a-1a2=a+1a-2=8-2=6，∵3<15<4，∴-4<-15<-3，∴0<4-15<1，即0<a<1，∴a-1a<0，∴a-1a=-6．(2)解：∵a5-6a4-16a3+7a2+23a-4=a3a2-8a+1+2a2a2-8a+1-a a2-8a+1 -3a2-8a+1-1=0+0-0-0-1=-1，∴a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008=-12008=1．30(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a-2+b2-10b+25=0．(1)求△ABC第三边c的取值范围；(2)求△ABC的周长l的取值范围；(3)若△ABC为等腰三角形，你能求出△ABC的周长吗？【答案】(1)3<c<7(2)10<l<14(3)12【分析】本题考查二次根式的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系：(1)先根据非负性得出∴a=2,b=5，再根据三角形第三边的取值范围即可得出答案；(2)根据周长三边之和，即可得出答案；(3)当c=2时，可知不能构成三角形，当c=5时，求出三边之和即可．【详解】(1)解：a-2+(b-5)2=0，∴a=2,b=5，∵b-a<c<a+b，∴3<c<7．(2)l=a+b+c=7+c，∴10<l<14．(3)c=2时，三边长(2,2,5)不能构成三角形，舍去．∴c=5，l=2+5+5=12．11。

二次根式计算专题训练一、解答题（共30 小题）1．计算：（1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+| ﹣2| ﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2．3．计算化简：（1）++ （2）2﹣6 +3．4．计算（1）+﹣（2）÷×．5．计算：（1）×+3×2（2）2﹣6+3．6．计算：（1）（）2﹣20+|﹣|（2）（﹣）×（3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）7．计算（1）?（a≥0）（2）÷（3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）8．计算：：（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷．9．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．10．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（ 2 +）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0．11．计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2．12．计算：①4+﹣+4；②（ 7+4 ）（ 7﹣ 4 ）﹣（ 3 ﹣1）2．13．计算题（1）××（2）﹣+2（3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．．已知：a=，b= ，求2+3ab+b2 的值．14 a15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a．17．计算：（1）9 +5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015．18．计算：．19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．21．已知 1＜ x＜5，化简：﹣| x﹣5|．22．观察下列等式：①= = ；②= = ；③= = ⋯⋯⋯回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++⋯+．23．观察下面的变形规律：= ，= ，= ，= ，⋯解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想= ；（2）计算：（+ +⋯+ ）×（）24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：= = ﹣1= =﹣；= =﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（2）计算（）（）= （n 为正整数）的结果；；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++⋯+）（）．25．计算：（1）6﹣2﹣3（2）4+﹣+4．26．计算（1）|﹣2|﹣+2（2）﹣×+．27．计算．28．计算（1）9 +7﹣5+2（2）（2﹣1）（2+1）﹣（ 1﹣2）2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3（2）﹣×．30．计算（1）9 +7﹣5+2（2）（﹣1）（+1）﹣（ 1﹣2）2《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析一．解答题（共 30 小题）1．计算：（ 1） += 2 +5=7；（2）（+）+（﹣=4+2+2﹣ =6+．2．计算：（ 1）（π﹣3.14） 0+|﹣2| ﹣+（ ）﹣2 ﹣ ﹣4 +9=1+2=12﹣5；（ 2）﹣4 ﹣（ ﹣ ）=2 ﹣4× ﹣ +2=+（ 3）（x ﹣3）（ 3﹣ x ）﹣（ x ﹣2）2 =﹣x 2+6x ﹣ 9﹣（ x 2﹣4x+4）=﹣2x 2+10x ﹣133．计算化简： （1）++ =2 +3 +2=5+2；（2）2﹣6 +3= 2×2 ﹣6× +3×4 = 144．计算（ 1） +﹣= 2 +4 ﹣2= 6 ﹣ 2．（2）÷×=2 ÷3 ×3= 2 ．5．计算：（ 1） × +3×2 = 7 +30= 37 （2）2﹣ 6+3= 4 ﹣2+12= 146．计算：（ 1）（）2﹣20+| ﹣ | = 3﹣1+ =（2）（﹣）× （ 3﹣）×= 24=（3）2﹣ 3+= 4﹣12 +5 ﹣+5= 8（4）（7+4 ）（2﹣ ）2+（2+）（2﹣ ）（2+ ） 2（2﹣ ）2+（2+）（2﹣ ） =1+1=2=7．计算（ 1） ? （a ≥0）== 6a（ 2） ÷==（3）+﹣ ﹣=2 +3 ﹣2 ﹣4=2 ﹣3 （4）（3+）（ ﹣ ）=3 ﹣3 +2 ﹣5 ﹣﹣= 28．计算：（ 1） +﹣= +3 ﹣2 =2 ；（2）3 +（﹣）+ ÷=+﹣2+ = ．9．计算：（1）﹣4+÷=3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）（1﹣）（1+ ）+（1+ ）2 =1﹣ 5+1+2 +5 =2+2 ．10．计算：（1）﹣4 + =3 ﹣ 2 + =2 ；（ 2）+2 ﹣（﹣）=2 +2 ﹣ 3 + =3 ﹣；（3）（2 + ）（2 ﹣）=12﹣6 =6；（ 4）+ ﹣（﹣1）0 = +1+3 ﹣1 =4 ．11．计算：（1）（3 + ﹣4 ）÷=4 +3 ﹣2x2×=（9 + ﹣ 2 ）÷ 4=8 ÷4=7 ﹣2=2；=5 ．（2）+9 ﹣ 2x2?12．计算：①4 + ﹣+4 =4 +3 ﹣2 +4 =7 +2 ；②（ 7+4 ）（7﹣4 ）﹣（ 3 ﹣1）2 ﹣﹣（﹣6 ）﹣45+6．=49 48 45+1 = 13．计算题（1）××= = =2×3×5 =30；（2）﹣+2 =×4 ﹣2 +2×=2 ﹣2 + = ；（3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）=﹣（ 1+ ）（1﹣） =﹣（ 1﹣5） =4；（4）÷（﹣）=2 ÷（﹣）=2 ÷=12；（5）÷﹣×+ =4 ÷﹣+2 =4+ ；（6）= = = ．．已知：a= ， b= ，求2+3ab+b2 的值．14 a解： a= =2+ ，b= 2﹣，则 a+b=4， ab=1，a2+3ab+b2=（ a+b）2 +ab=17．15．已知x， y 都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y 的值，因此，将已知等式变形：，x，y 都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y 都是有理数，∴ x2+2y﹣17 与 y+4 也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥ y，∴取 x=5，y=﹣ 4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．16．化简：﹣a．【分析】分别求出=﹣ a ，=﹣，代入合并即可．【解答】解：原式 =﹣ a+=（﹣ a+1）．【点评】本题考查了二次根式性质的应用当a≥0 时，=a，当a≤0 时，=﹣ a．17．计算：（1）9+5 ﹣ 3 = 9 +10 ﹣12 = 7 ；（2）2 = 2×2×2×= ；（3）（）2016（﹣）2015．=[ （+）（﹣）] 2015?（+）=（ 5﹣ 6）2015?（+）=﹣（+）=﹣﹣．18．计算：．解：原式 =+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2 +1﹣2+=4﹣．19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x 的值，进而可求出 y 的值，然后代入 x﹣y2求值即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=，把 x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当 x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．【解】解：∵ a、b、 c 是△ ABC的三边长，∴ a+b＞c， b+c＞a，b+a＞c，∴原式 =| a+b+c| ﹣ | b+c﹣a|+| c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（ b+c﹣a） +（ b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣ c．21．已知 1＜ x＜ 5，化简：﹣| x﹣5|．解：∵ 1＜ x＜ 5，∴原式 =| x﹣1| ﹣| x﹣ 5| =（ x﹣1）﹣（ 5﹣x）= 2x﹣6．22．观察下列等式：①==；②==；③==⋯回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++⋯+．【分析】（1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．【解答】解：（ 1）原式 = = ；）（2）原式 = + + +⋯+=（﹣1）．23 ．观察下面的变形规律：=，=，=，=，⋯解答下面的问题：（ 1）若 n 为正整数，请你猜想= ﹣；（ 2）计算：（+ +⋯+ ）×（）解：原式 =[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+⋯+（﹣）]（+1）=（﹣1）（+1）=（）2﹣12=﹣．2016 1 = 201524．阅读下面的材料，并解答后面的问题：= = ﹣ 1= = ﹣；= = ﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n 为正整数）的结果﹣；（2）计算（）（）= 1 ；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+ + +⋯+ ）（）．=（﹣ 1+ ﹣+⋯+ ﹣）（）=（﹣1）（+1）=2017﹣1=2016．25．计算：（1）6﹣2 ﹣3 = 6﹣5 = 6﹣；（2）4 +﹣+4 =4 +3 ﹣2 +4 =7+2．26．计算（ 1） | ﹣2| ﹣+2 = 2﹣﹣2+2 = ；（ 2）﹣×+= ﹣×5+ =﹣1+﹣．=27．计算．=（ 10 ﹣ 6 +4 ）÷=（ 10 ﹣6 +4 ）÷=（ 40 ﹣18 +8 ）÷=30÷=15．28．计算（ 1）9 +7﹣5+2= 9 +14﹣20+=；（2）（2 ﹣1）（2 +1）﹣（1﹣2 ）2 = 12﹣1﹣1+4 ﹣12 = 4 ﹣2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3 = ﹣+ =6﹣6 +=6﹣5 ；（ 2）﹣×= +1﹣= 2 +1﹣2 ．30．计算（1）9 +7﹣5+2 = 9 +14 ﹣20 + = ；（2）（﹣1）（ +1）﹣（ 1﹣2 ）2 =3﹣1﹣（ 1+12﹣ 4 ）=2﹣13+4=﹣11+4．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

竞赛训练题（一）二次根式1．31231131144++-++的值是（）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－22、已知82121=+-x x ，则xx 12+= 3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则（A ）a a +-11（B ）11+-a a （C ）21a -（D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为() （A ）1；（B ）-1；（C ）22001（D ）-22001 10．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。

11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（）（A ）有一组；（B ）有两组；（C ）多于二组；（D ）不存在12。

15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。

13．计算的值是( ).????(A )1 (B )5 (C )(D )5 14．a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a +999b +1001c 的值是（）（A ） 1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定1516.17182003++19220A 2122A 、23A2003B2004 C2005D200624．已知a b ==的值为（） （A ）3（B ）4（C ）5（D ）625．设a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，化简++的结果是.26方程组21133=-++y x26=+y x 的解是。

27．方程2x 2＋7x ＋21＝515722＋＋x x 的有所实根之和为 （ ） （A ）－11 （B ）－7 （C ）－211 （D ）－27 28．计算（13+）2005－2（13+）2004－2（13+）2003+2005=_________.29．函数的自变量x 的取值范围是_____。

初二数学专题练习《二次根式》一．选择题1．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x＜1 B．x≤1 C ．x＞ 1D． x≥ 12．若 1＜x＜2，则的值为（） A ．2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（） A ．=2B．=C．=x D．=x 4．实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B．2a ﹣b C ．﹣ b D．b5．化简+ ﹣的结果为（） A ． 0 B． 2 C ．﹣ 2 D． 26．已知 x＜1，则化简的结果是（） A ． x﹣ 1 B．x+1 C ．﹣ x﹣1D ． 1﹣ x7．下列式子运算正确的是（） A ．B． C ．D．8．若，则 x3﹣ 3x2+3x 的值等于（）A ．B． C ．D．二．填空题9．要使代数式有意义，则 x 的取值范围是．10．在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为．11．计算：=．12 ．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式：第 1 个等式： a 1==﹣1，第 2 个等式： a 2==﹣，第 3 个等式： a 3==2，第 4 个等式： a 4==2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n=；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n =．15．已知 a 、b 有理数，m 、n 分表示16．已知： a ＜0，化17．，的整数部分和小数部分，且 amn+bn 2=1 ， 2a+b=．=．，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．三．解答18．算或化：（3+）；19．算：（ 3）（3+）+（2）20．先化，再求：，其中x=3（π 3）0．21．算：（+ ）× ．22．算：×（） +| 2 |+ （）﹣3．23．算：（+1 ）（1）+ （）0．24．如，数 a 、b 在数上的位置，化：．25．材料，解答下列．例：当 a ＞0 ，如 a=6|a|=|6|=6，故此a的是它本身；当a=0 ， |a|=0 ，故此 a 的是零；当a ＜0 ，如 a= 6 |a|=|6|= （ 6），故此 a 的是它的相反数．∴ 合起来一个数的要分三种情况，即，种分析方法渗透了数学的分思想．：（ 1）仿照例中的分的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．26．已知： a=，b=．求代数式的．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．28．化求：，其中．.参考答案与解析一．选择题1．（ 2016? 贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ． x＜ 1B．x≤1 C ． x＞1D．x≥1【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得 x 的取值范围．【解答】解：依题意得： x﹣ 1＞ 0，解得 x＞1．故选： C ．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．.2．（ 2016? 呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（）A ． 2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2【分析】已知 1＜ x＜ 2，可判断 x﹣3＜0，x﹣ 1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜ x＜ 2，∴x﹣ 3＜ 0， x﹣ 1＞0，原式 =|x ﹣ 3|+=|x ﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x ﹣ 1=2．故选 D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当 a ＞ 0 时，表示a的算术平方根；当 a=0 时，=0 ；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=|a|．3．（ 2016? 南充）下列计算正确的是（）A ．=2B．= C ．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A 、=2，正确；B、=，故此选项错误；C 、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选： A ．.【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4．（ 2016? 潍坊）实数 a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B． 2a ﹣ b C ．﹣ bD ．b【分析】直接利用数轴上 a ，b 的位置，进而得出 a ＜0，a ﹣b ＜ 0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示： a ＜0，a ﹣b ＜0，则 |a|+=﹣a ﹣（ a ﹣b ）=﹣2a+b ．故选： A ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．5．（ 2016? 营口）化简+﹣的结果为（）A ． 0 B．2 C ．﹣ 2D． 2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，故选： D．【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．6．已知 x＜1，则化简的结果是（）A ． x﹣ 1B．x+1 C ．﹣ x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解， x2﹣2x+1= （x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．.【解答】解：==|x ﹣1|∵x＜ 1，∴原式 =﹣（ x﹣ 1） =1﹣ x，故选 D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．7．下列式子运算正确的是（）A ．B． C ．D．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式：=|a|；根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；二次根式的加减实质是合并同类二次根式．【解答】解： A 、和不是同类二次根式，不能计算，故 A 错误；B、=2，故B错误；C 、=，故C错误；D、=2 ﹣+2+ =4，故 D 正确．故选： D．【点评】此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A ．B． C ．D．.【分析】把 x 的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（x﹣1）2 =3，即 x2﹣ 2x﹣2=0，则 x3 ﹣3x2+3x=x （x2﹣ 2x﹣2）﹣（ x2﹣2x ﹣2）+3x ﹣ 2=3x﹣ 2，代值即可．【解答】解：∵ x3﹣3x2 +3x=x （ x2﹣3x+3 ），∴当时，原式 =（）[﹣3（）+3]=3+1 ．故选 C ．【点评】代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．二．填空题9．（ 2016? 贺州）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣ 1 且 x≠0．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于 0，列不等式组求解．【解答】解：根据题意，得，解得 x≥﹣ 1 且 x≠0．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．10．（ 2016? 乐山）在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为3．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a ﹣5＜0，a ﹣ 2＞ 0，则+|a ﹣ 2|=5﹣a+a ﹣2=3．.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．11．（ 2016? 聊城）计算：= 12 ．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12 ．故答案为： 12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（ 2016? 威海）化简：=．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式 =3﹣2=．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．13．（ 2016? 潍坊）计算：（+）=12．【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：原式 = ?（+3）=×4=12 ．.【点】本考了二次根式的算：先把各二次根式化最二次根式，再行二次根式的乘除运算，然后合并同二次根式．在二次根式的混合运算中，如能合目特点，灵活运用二次根式的性，恰当的解途径，往往能事半功倍．14．（ 2016? 黄石）察下列等式：第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2，第 4 个等式： a 4= = 2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n= = ；；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n = 1 ．【分析】（ 1）根据意可知，a 1= = 1，a 2 = = ，a 3= =2，a4==2，⋯由此得出第 n 个等式： a n = = ；（ 2）将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2 ，第 4 个等式： a 4= =2，∴第 n 个等式： a n= = ；（2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n=（1）+（）+（2）+（2） +⋯ +（）故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．15．已知 a 、b 为有理数， m 、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分 a ，其小数部分用﹣a表示．再分别代入 amn+bn 2=1 进行计算．【解答】解：因为 2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把 m=2 ，n=3 ﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（ 6a+16b ）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以 6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以 2a+b=3 ﹣0.5=2.5 ．故答案为： 2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．16．已知： a ＜0，化简=﹣2．【分析】根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵原式 =﹣=﹣又∵二次根式内的数为非负数∴a=0∴a=1 或 1∵a ＜0∴a= 1∴原式 =0 2= 2．【点】解决本的关是根据二次根式内的数非数得到 a 的．17．，，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．【分析】由 S n =1++===，求，得出一般律．【解答】解：∵ S n =1++===，∴==1+=1+，∴S=1+1+1++⋯ +1+=n+1==．故答案：．【点】本考了二次根式的化求．关是由S n形，得出一般律，找抵消律．三．解答（共11 小）18．（ 2016? 泰州）算或化：（ 3+）；【解答】解：（1）﹣（ 3 + ）=﹣（ + ）=﹣﹣=﹣；【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．19．（ 2016? 盐城）计算：（ 3﹣）（3+）+（2﹣）【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式 =9 ﹣7+2﹣ 2=2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（ 2016? 锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=× 4﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，=﹣1．把 x=﹣1代入得到：==．即=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．21．计算：（+）×．【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（【解答】解：（+）×= ×+×；然后根据二次根式的混+）×的值是多少即可．=×+×=1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+ （）﹣3．【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8 ，然后化简后合并即可．【解答】解：原式 =﹣+2 +8=﹣3 +2 +8=8﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运.算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、23．计算：（+1 ）（﹣1）+﹣（）0．【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣ 1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：原式 =3﹣ 1+2﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．24．如图，实数 a 、b 在数轴上的位置，化简：．【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．【解答】解：由数轴知， a ＜0，且 b ＞0，∴a ﹣b ＜0，∴，=|a| ﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，=（﹣ a ）﹣ b+a ﹣b ，=﹣2b ．【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定 a 、 b 及 a ﹣ b 的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．本题考查算术平方根的化简，应先确定 a 、b 及 a ﹣b 的符号，再分别化简，最后计算．25．阅读材料，解答下列问题．例：当 a ＞0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0 时， |a|=0 ，故此时 a 的绝对值是零；当a ＜0 时，如 a= ﹣ 6 则|a|=| ﹣ 6|= ﹣（﹣ 6），故此时 a 的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（ 1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．【解答】解：（1）由题意可得=；（ 2）由（ 1）可得：=|a|．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：①当 a ＞0 时，=a ；②当 a ＜ 0 时，= ﹣ a ；③当 a=0 时，=0．26．已知： a=，b=．求代数式的值．【分析】先求得 a+b=10 ，ab=1 ，再把求值的式子化为 a 与 b 的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：由已知，得 a+b=10 ，ab=1 ，∴===．【点】本关是先求出a+b 、ab 的，再将被开方数形，整体代．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．【分析】（1 ）中，通察，：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到分的目的；（ 2）中，注意找律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；.（2）原式 =+⋯+=++⋯+=．【点】学会分母有理化的两种方法．28．化求：，其中．【分析】由 a=2+，b=2，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方法得到原式 =+，分后得+，接着分母有理化和通分得到原式=，然后根据整体思想行算．【解答】解：∵ a=2+＞0，b=2＞0，∴a+b=4 ，ab=1 ，∴原式 =+=+=+=，当 a+b=4 ，ab=1 ，原式 =×=4．【点】本考了二次根式的化求：先把各二次根式化最二次根式，再合并同二次根式，然后把字母的代入（或整体代入）行算．。

初中数学竞赛二次根式竞赛训练题二次根式竞赛训练题一、填空题：1、化简：$\frac{6-2}{6-3-2+1}$= $\frac{4}{2}$= 2.2、已知$\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+a$=$ 5-\frac{1}{a}$，则a= 2.3、若$x^3+8x^2=-x^2+x+8$，则x的取值范围是 $x \in \{-4,-2,1\}$。

4、$3633\times 3635\times 3639\times 3641+36-3636\times 3638$= $133\times 10^8$。

5、设$m,x,y$均为正整数，且$m-28=\frac{22}{x-y}$，则$x+y+m=50$。

6、设关于x的方程$4x-4(a+2)x+a+11=0$的两根为$x_1,x_2$，若$x_1-x_2=3$，则$a$的值为 $a=-\frac{7}{2}$。

7、若$u,v$满足$v=\frac{2u-v}{3v+4u^2}$，那么$u^2-uv+v^2= \frac{5}{9}$。

8、若$x,y,a$都是实数且$x=1-a$，$y=(1-a)(a-1-a^2)$，则$x+y+a=1$。

二、选择题：9、若实数$a,b,c$满足$a+a^2=b+b^2=c-c^2$，那么代数式$b^2-a+b-c^2-2bc+b^2$化简后结果等于（B）$2c-2a$。

10、下列各数中，最小的正数是（A）$10^{-3}-11$。

11、把$(a-1)^{-\frac{1}{2}}$的根号外面的因式移到根号内,则原式等于（C）$-a^{-\frac{1}{2}}$。

12、设$x=2+2^2+2^3+\cdots$，$y=2^2+2^4+2^6+\cdots$，则（D）不能确定。

13、已知$(x+5)^2+(x-4)^2=9$，则$x$的取值范围是(。

二次根式竞赛习题1．31231131144++-++的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2 2、已知82121=+-xx，则xx 12+=3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ． 5．若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7.6．若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.7．13333)919294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )（A ）a a +-11 （B ）11+-a a （C ）21a - （D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-2200110．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。

11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ） （A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在 12。

15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。

二次根式混合运算21、4、（1一血）2+4,1、•五-可2、龙XTJ53、〔迈我.刁）（.2-2.3）5、.2『5[6（伤+需）-（伍弋+7^）7、〔迈十.了一1）（.2-，空+1）-8、〔2,忑-，可）三&9、10、+（丙+④_彳（.;2-尬;「、（莎甘）十所12、昉+.折_g ；「3、伍_V^i ；、'V125'14、（7+7）2-（7-⑦215、器打4i x 匸鬲一31000；16、丨.了-刃-|1-迈丨-丨迈十飞-5|.17、.爲•左-.莎+,-|-18、（3厅一卫）（Is+2弓）20、可■（一而）三E ；苗-诉）x（価+術）辽丐-3迈）2⑸；訥帯2亠迟1 3莎-9g+3•壬i 乔（3,gx 卫）血让电+（虽一1）HI（33_一2b ）（且+b ）・（V3-2-（应-岛）（五+屈C-gVzS X V14律礙唸）¥（3^2-1）（L+3伍）-（3近-1）2;22、 23、 24、 25、 26、27、2&29、 30、31、32、33、34、35、 36、 37、 38、 39、 40、 41、 2；12+3-..;_45；Ve 葩圧+1）殛-血壬骨Cflx 而CV3-V2）(_■.帀)2-(-T )V27+2VsV2+1（血+V5）2-（血+価）（伍■近）:;（°飞一4g+g.§）十殳E(V5"V3+V2)(V5+V3~V2)（-2）=屆-4运（4-亦）-片-(2-2)2*顶-2巫+(-号-1)243、 44、45、46、47、 4&49、50、 51、 52、53、 54、55、 56、57、58、 59、 60、61、62、63、3.莎-一虧-g+Cs-2)Cs+2)10VE X 弋_V16X V18-9.45■=■3.15x_|「眉_2〔眈（V3+V2+V5）（V3~V2~V5）V1S+2^32CV2_2^3）（V2+2V3）V18-（V12+2V2）73（V27+SV3）_3±_X_JLV3~V2V&（屈+顶）-（V&V125）（V5+V6）（V5~V6）（二+1）2_2..玩（.1+1）（1_2）_C2_1）2+C2+1）2_\5+Q2005_^2004）65、66、67、68、 69、 70、 71、 72、 73、 74、 75、 76、 77、 7& 79、 80、 81、82、 83、 84、85、86、87、Ex 适+左+亏_89、血~^2怖-屈90、•可-汙1皿91、.五X（帀+垃1_药）.92、空193、93工一F十2&崇38K；94、（升43（「_引2+（2+弓（2-引；95、-几$+3弓〔3-衣弓）一!^冷；97、2a[98、丨.亏一角丨+.可一.伍；101、（刁+.可2008（一了-迈）2009. 102、3亍一218+5馬；103、-跖弓4-|「J；104、容105、（3•.左+書）1亏106、（巧-1）（，孕1）-（，住-24）三飞107、；108、—宀（〒-可（3+可；109、一晋+一五7_.弓？1_1 Vs （.电-一〒）（一E+一〒）+2 〔茁可0+1_3|_2_1⑷（飞_2「可）x .亏_6.1■1（2.卫帀）;CV5+V2）（亦_（73~V2）2 〔血一1）2+^-Q2010+2010）° VoTsWii~（書_雇） ■-y^2712■^/48） +6o ； 3 M 4Vs110、111、114、 115、 116、117、118、119、120、121、122、 123、124、125、 Word ⑵（7+4了）（7_4七） +（2+二） 飞3V 2参考合案1、原式=2二-3予-亏；2、原式=.^jx£j=丽=30;3、原式=2-12=-10.4、原式=1-2迈+2+2迈4〔迈-1)-迈=2.5、原式=2,5才(u+2,5“5n)=2,5勺-6u-2,5a=-6a.7、原式=（二）2-（.亏-1）2=2-（3-231）=2亏-28、原式U严W飞二_*二二一乎9、.原式=（布—2肩+"）x疼（羽+3^）x逅=1+^[^3310、原式=—+』2P44丁‘彳乙11、原式=（12、原式=2j+33-=；13、原式==-2;33祈514、原式=（7+〒+「了）（7+〒-升了）=14x2斤=23.了15、原式=号心冷X12-10=3+6-10=-1;16、原式=2-計1一戈+2+3一5=-2.17、原式=_恳•.花-2.書+=3書—2爲+.=55518、原式=（3.^-2亏）（3.亍2二）=18-12=6;19、原式=長（2迈-迈+二！）=亏（「◎+£）=E+1__3320、原式=-3g・52宁.&=-15一6宁一&=-15;21、原式=3.予；-2〔+T尾22、原式=3a+-2b23、原式=3-2运+1-（2-3）=5-2二.24、原式专律14一為屈X14=7厂”乙原式=（2号+号）X 1 V -2=3-2=1 原式=,+予X 63ir -m .3ir=2m 3ir +3m .3ir -m .3ir=°；原式=咼犬壬F¥+1Y -1+¥+1『原式=12•方-〉弓+6•込=（12-3-+6）.手15.亏;X2迁）=6.㊁+6=迈+3-2孑3很+3-2孑3+_2-原式=.6X.&+&x_&X 1=6+1+6=7+&•原式普X3工+6X !_^-2x ・J=2Q+3.Q -24; 原式=2飞- 言夂弓+3-2=2-&-23+1 =（63-+E-2可+2長-3=3-3+辽--3=-2+二- 3323323原式=,©+（迈+刀（迈-1）+1-迈=3+殳-迈-2+1-公4 原式=2.号+3飞-7号=-2疋；原式=2」牛21xg=Z 討沪14-原式=10-7+=3+!;22 原式=1X （22-刁+仝）=山咒2+lx =£+1;_33 原式=.1-1；__原式=2+3+2，.'3X2-（2-3）=5+2&+1=6+2&原式=2+1-（•厉-込）=3-1=2^ 原式=17-（19-）=-2+£迈; 原式=2.兰-3兰-2迁-3_K - 原式=4.3+12込=1@帀； 原式=¥+2..〒-10‘万=—罟〒； 原式=4:-+迄卫 244'三 原式=6-5=1; 原式=12+18-12乞=賀-1殳飞;25、26、27、2&29、30、31、 32、33、34、35、36、37、 38、 39、 40、41、42、43、44、45、 46、47、 4& 49、 50、原式=-4=（6—3—丄）疋+1=+1 55原式=［.*-（.亏-一劝］［上+（二-二）】=5—（.£-一可2=5-（5-2电）=2g. 原式=4x2§-16,+12-16-8了=-4-16兀;原式=2-（4-42+2）=2p-6+42=6至-6.V 23 原式=2x2号—2x3号+5—2号+1=上—6号—2号+6=6—7g. ■ila原式=0+2^-3=^-. 原式=一技斤; 原式=-+6=-■&+"6=0- V 57 *X 打和.疋一卫-互x 卫=2-了+方-2去左 （18-莎三2p=g 亟W-号莎巨=壬_斗1原式=9.乜-14.矛4了=-了；原式=:曲*-4只3.去.㊁-12二=-11_瓦原式=2.3x =12.6；原式=X3gx.=-些；V57V105原式=12乜-2亍6了=16‘方;原式=（4乞-2左+6•迈）x.=2亍2241原式=27*+（3x 亏X¥）x.—&迈=3亏x.-&W=-8㊁;93原式=Cl ）2-（'E+；E ）2=3-（2+2[75+5）=-4-2I 'T5 原式=3立+8立=11迈； 原式=2-12=-10； 原式=^23^23-61石=0； 51、52、 53、54、55、56、57、58、 59、 60、 61、62、63、64、65、66、 67、 68、 69、 70、 71、 72、 73、74、75、76、 原式=（4飞-2.空+6込）+2迁=2.审2原式=6.号-3飞-£<+577、原式=十=一=1.4从22278、原式之页":环-爭而£-寺戶+匸送戶+乎79、原式=3飞-锂了+2至）=3迈-殳，了-殳迈=迈-殳，了；80、原式=,3（3,3+2,3）=9+6=1581、原式=（一了+込）2-^=3+2+2乞-乙=5+E82、原式=4；5+315—2,2+4'.■2=F.「5+Z/2；83、原式=北电+孔迈-10.15；84、原式=5-6=-1;85、原式=4+2二_呂飞=4_&飞86、（1+_劝（1-3-（.㊁-1）2+（迈+1）2=1-C2）2-（2-2_卫+1）+2+2空+1=1-2—2+2•.龙-1+2+2・「戈+1=4・「2-1.87、原式=亏+4x.—亏+1=亏+门-，亏+1=1+2488、原式=（40了-诣了+8^）十飞=30上十主=15卫；89、原式=2迈-迈+2=2+p.90、原式=3飞-锂+.引+1=3弓+1=2了-1;91、原式=2弓况（5弓+3-4弓）=2.茅X2.亏=12.92、原式=2+2•迈+4+2：=姑93、原式=9I'3X-14:+24l3H=；94、原式=（7+4二）（7-4手）+4-3=49-48+1=2；95、原式=-4x殳匕+9.空-12-O-D=-8七+9匕-12-㊁+1=-11;96、原式=.-：+'•=2x工-工+=空j X可*4zz97、原式=2a（b爲-2x3b一:爲+）=2ob書-+ab£=512222v0398、原式=电—+3-5戈=2二-4上；99、原式=12-4二+1=13-4手；100、原式=22+—护2SS101、原式=（）=迓一乜102、原式=3x2迈-2x3-「^5x4力=6迈-6「020迈=20•力；103、原式=7-..&-3'：Q|+2=6|；e原式¥・（-舟）乂=-暑扣=春％忑原式=3飞+.电+右上=3込+孑普-亏； 原式=3-1-=2-3+ 原式仝2+1—；x2亏=2+1-2=1; V55_ 原式=3-2二+1-1=3-2j 原式=+4•二-3工=丄 22 五二亏—空二飞_1^3-1=0；V3V3V3' （.号一刁（■角+万）+2=（可'-行）2+2=5-7+2=0;（飞_2.可）x .亏-6g=玉-4玉-号三=-9.◎-号亍-普原式=4-5=-1; 原式Px 巴=1;ba原式=5-2-5+2乞=2飞一戈； 原式=- 原式=2,了（5〒+了-4引=2jj-2.1=12；原式=49-48+2+，「&=3+&.原式==弓一方-殳了+3卫=-飞 •L105、106、107、108、109、110、111、 112、 113、 114、115、116、117、118、119、120、 121、 122、 123、 124、125、-3|-2-1=1+3-2=32; 22 原式=4-2了+一了-1=3-込原式==3-2=1. V5 原式=_2.&+1+6J 3=4飞+1。

第一讲 二次根式及化简一、典例解析例1（1）下列二次根式a 45、30、213、240b 、54、中最简二次根式是 。

（2）已知y=42-x +24x -,+3，则x y = .(3)(华师一中招生）把（a-b)a b -1根号外的因式移到根号内结果为（ ）A .b a -B .a b -C . －a b - D. －b a -变式训练：1.（2010广东湛江）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A .21B .4C .12+a D. －y x 22.（2010.湖北荆门）计算1-x +x -1= 。

3.代数式a a 1-化简为（ ）A .a -B . －a -C .a D. －a例2.若x ＋y ＋z ＋3＝2﹙x ＋1+y ＋1-z ﹚,求﹙x ＋y ＋z ﹚y-x 的值。

变式训练：4.（2010.荆门）若a,b 为实数，且满足︳a －2︳＋2b -=0,则b －a 的值为（ ）A .2B . 0C .－2 D. 以上都不对5.已知△ABC 的三边a,b,c 满足a 2＋b ＋︳1-c －2︳＝10a ＋24-b －22,则△ABC 为（）A .等腰三角形B . 等边三角形C .直角三角形 D. .等腰直角三角形例3.已知n -17是整数，求自然数n 的值。

变式训练:6.(2010.湖北孝感）使n 12是整数的最小整数n= 。

7.（2010.自贡）已知n 是一个正整数，n 135是 整数，则n 的最小值是（ ）A . 3B . 5C . 15 D. 25例4.（2010.全国初中数学联赛）若实数a,b,c 满足2a ＋3︳b ︳=6，4a －9︳b ︳=6c, C 可能取的最大值为﹙ ﹚A . 0B . 1C . 2 D. 3变式训练:8.（武汉竞赛）已知实数a 满足|2006-a|＋2007-a =a,那么a －20062的值是（ ）A . 2005B . 2006C .2007 D. 20089.((华师一中招生）已知实数满足c b a ++＋)6)(2008(2-+b a +|10-2b ＝2|，则代数式 ab ＋bc 的值为 。

二次根式试题及答案在初中数学学习中，二次根式是一个重要的知识点。

为了帮助大家更好地理解和掌握二次根式的相关知识，本文将提供一些二次根式的试题及其答案。

通过这些例子，希望能够帮助读者更好地掌握二次根式的概念、性质和运算方法。

1. 简化下列二次根式：(1) $\sqrt{16}$(2) $\sqrt{25}$(3) $\sqrt{36}$(4) $\sqrt{49}$(5) $\sqrt{64}$答案：(1) $\sqrt{16} = 4$(2) $\sqrt{25} = 5$(3) $\sqrt{36} = 6$(4) $\sqrt{49} = 7$(5) $\sqrt{64} = 8$解析：二次根式的意思是求一个数的平方根。

对于完全平方数来说，其二次根式是整数。

因此，在上述题目中，我们可以得到相应的答案。

2. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{18}$(2) $\sqrt{32}$(3) $\sqrt{75}$(4) $\sqrt{98}$(5) $\sqrt{128}$答案：(1) $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$(2) $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4 \sqrt{2}$(3) $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5 \sqrt{3}$(4) $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7 \sqrt{2}$(5) $\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8 \sqrt{2}$解析：对于非完全平方数，我们要将其分解成一个完全平方数和一个非完全平方数的乘积，然后再进行化简。

3. 求下列二次根式的值：(1) $\sqrt[3]{8}$(2) $\sqrt[3]{27}$(3) $\sqrt[4]{16}$(4) $\sqrt[4]{81}$答案：(1) $\sqrt[3]{8} = 2$(2) $\sqrt[3]{27} = 3$(3) $\sqrt[4]{16} = 2$(4) $\sqrt[4]{81} = 3$解析：求一个数的三次根式，就是要找到一个数，使得这个数的三次方等于给定的数。

二次根式练习题及答案二次根式练题及答案（一）一、选择题（每小题2分，共24分）1.若在实数范围内有意义，则 $\sqrt{x-3}$ 的取值范围是（）A。

$x\geq 3$ B。

$x>3$ C。

$x\leq 3$ D。

$x<3$2.在下列二次根式中。

$\sqrt{x-2}$ 的取值范围是 $x\geq2$ 的是（） A。

$\sqrt{x-2}$ B。

$\sqrt{2-x}$ C。

$\sqrt{2+x}$ D。

$\sqrt{4-x^2}$3.如果 $x\geq 1$，那么 $\sqrt{x^2-2x+1}$ 的值是（）A。

$1$ D。

无法确定4.下列二次根式，不能与$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 合并的是（）A。

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ B。

$\sqrt{2}-\sqrt{3}$ C。

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ D。

$\sqrt{3}+\sqrt{2}$5.如果最简二次根式 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 与 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 能够合并，那么 $a$ 的值为（）A。

2 B。

3 C。

4 D。

56.已知 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，则 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 的值为（）A。

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ B。

$\sqrt{2}-\sqrt{3}$ C。

$\sqrt{3}+\sqrt{2}$ D。

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$7.下列各式计算正确的是（）A。

$\sqrt{8}+\sqrt{12}=4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ B。

$\sqrt{5}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}$ C。

$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$ D。

$\sqrt{6}+\sqrt{3}=\sqrt{18}$8.等式 $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=2$ 成立的条件是（）A。