北京航空航天大学《概率论与数理统计》考试大纲

概率论与数理统计 B考试纲领第 2 章描绘统计学1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算；2.样本中位数、分位数；先对数据按从小到大排序。

假如np 不是整数，则第[np]+1 个数据是100p%分位数。

假如np 是一个整数，那么100p%分位数取第 [np] 和第 [np]+1 个值的均匀值。

特别地，中位数是50% 分位数。

3.样真有关系数。

，第 3 章概率论基础1.样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律；，2.概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；对于任何的互不订交事件序列，3.等可能概型的计算，摆列和组合；4.条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；，5.事件独立性及其概率的计算。

第 4 章随机量与数学希望1.随机量的散布函数及其性；2.失散型随机量的概率量函数及其性，有关概率的算；失散型随机量：取会合有限或许是一个数列x i, i=1,2, ⋯。

概率量函数：，3.型随机量的概率密度函数及其性，有关概率的算；型随机量：随机量的可能的取是一个区。

概率密度函数 f (x)：随意一个数集 B 有,,4二随机量的合散布函数、合量函数、合密度函数，有关概率的算；,,5. 随机量的独立性，有关概率的算；随机量X 与 Y 独立:; 散布函数失散型型6. 怎求型随机量函数的密度函数（先求散布函数，再求）；Y=g(X)7.数学希望（失散型，连续型），函数的数学希望（失散型，连续性）；失散型连续型8.数学希望的性质，当X 与 Y 独即刻， E[XY]= E[X] E[Y]9.方差和它的性质；；当 X 与 Y 独立，，10协方差、有关系数，有关性质；Corr( X,Y)=1 或-1，当且仅当 X 和 Y 线性有关，即 P(Y=a+bX )=1 (当 b> 0, 有关系数为 1; 当 b< 0, 有关系数为 -1)当 X 与 Y 独即刻， X 与 Y 不有关，即.11.切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频次意义。

《概率论与数理统计》（46学时）课程教学大纲一、课程的基本情况课程中文名称：概率论与数理统计课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics课程编码：0702003课程类别：学科基础课课程性质：必修总学时：46 讲课学时：46 实验学时：0学分：2.5授课对象：本科相关专业前导课程：《高等数学》《线性代数》二、教学目的概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，是理工科各专业的一门重要的学科基础课。

通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

同时，也为一些后续课程的学习提供必要的基础。

三、教学基本要求第一章概率论的基本概念1.1 随机试验1.2 样本空间、随机事件1.3 频率与概率1.4 等可能概型（古典概型）1.5 条件概率1.6 独立性基本要求：1. 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念并掌握事件的关系与运算2. 掌握概率的定义与基本性质3. 理解古典概型的概念，掌握古典概率的计算方法4. 理解条件概率的定义，熟练掌握乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式并会灵活应用5. 理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及有关概率的计算重点与难点：1. 重点：随机事件；概率的基本性质及其应用；乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性2. 难点：概率的公理化定义、条件概率概念的建立、全概率公式与贝叶斯公式的应用第二章随机变量及其分布2.1 随机变量2.2 离散型随机变量及其分布律2.3 随机变量的分布函数2.4 连续型随机变量及其概率密度2.5 随机变量的函数的分布 基本要求：1. 理解随机变量的概念；掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法2. 掌握分布律、分布函数、概率密度函数的概念及性质；掌握由概率分布计算相关事件的概率的方法3. 熟练掌握二项分布、泊松（Poisson ）分布、正态分布、指数分布和均匀分布，特别是正态分布的性质并能灵活运用；熟练掌握伯努利概型概率的计算方法4. 熟练掌握一些简单的随机变量函数的概率分布的求法 重点与难点：1. 重点：随机变量、分布律、密度函数和分布函数的概念；二项分布、均匀分布的概念和性质2. 难点：二项分布的推导及应用；随机变量函数的概率分布第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布3.4 相互独立的随机变量3.5 两个随机变量的函数的分布 基本要求：1. 正确理解二维随机变量的定义，掌握二维随机变量的联合分布律、联合分布函数、联合概率密度函数及条件分布的概念2. 熟练掌握由联合分布求事件的概率，求边缘分布及条件分布的基本方法3. 理解随机变量独立性的概念，掌握随机变量独立性的判别方法4. 了解求二维随机变量函数分布的基本思路，会求,max{,},min{,}X Y X Y X Y 的分布 重点与难点：1. 重点：由联合分布求概率，求边缘分布及条件分布的方法2. 难点：求离散型随机变量联合分布律的方法，条件密度的导出，随机变量函数的分布第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 基本要求：1. 掌握随机变量及随机变量函数的数学期望的计算公式，熟悉数学期望的性质并能灵活运用2. 掌握方差的概念和性质；熟悉二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布和均匀分布的数学期望和方差；了解切比雪夫（Chebyshev ）不等式3. 掌握协方差和相关系数的定义和性质，并会灵活应用4. 掌握矩、协方差矩阵的定义 重点与难点：1. 重点：数学期望、方差、相关系数与协方差的计算公式及性质2. 难点：随机变量函数的数学期望的计算，利用数学期望的性质计算数学期望，相关系数的含义第五章大数定律及中心极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理基本要求：1. 掌握依概率收敛的概念及贝努利大数定律和契比雪夫大数定律2. 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛－拉普拉斯(De Moivre-Laplace)极限定理3. 掌握应用中心极限定理计算有关事件的概率近似值的方法重点与难点：1. 重点：用中心极限定理计算概率的近似值的方法2. 难点：依概率收敛的概念第六章样本及抽样分布6.1 随机样本6.2 抽样分布基本要求：1. 理解总体、个体、样本容量、简单随机样本以及样本观察值的概念2. 理解统计量的概念；熟悉数理统计中最常用的统计量（如样本均值、样本方差）的计算方法及其分布χ-分布，t-分布，F-分布的定义并会查表计算3. 掌握24. 熟悉正态总体的某些常用统计量的分布并能运用这些统计量进行计算重点与难点：χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表；正态总体常用统计量的分布1. 重点：2χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表2. 难点：2第七章参数估计7.1 点估计7.3 估计量的评选标准7.4 区间估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计7.7 单侧置信区间基本要求：1. 理解参数的点估计(矩估计、最大似然估计)的计算方法2. 掌握参数点估计的评选标准：无偏性，有效性和相合性3. 理解参数的区间估计的概念，熟悉对单个正态总体和两个正态总体的均值与方差进行区间估计的方法及步骤重点与难点：1. 重点：点估计的矩法、最大似然估计法；正态总体参数的区间估计2. 难点：最大似然估计法，两个正态总体的参数的区间估计四、课程内容与学时分配五、教材参考书教材：盛骤谢式千潘承毅《概率论与数理统计》（第三版）高等教育出版社2001. 参考书：[1] 茆诗松《概率论与数理统计教程》（第一版）高教出版社2004.[2] 王展青李寿贵《概率论与数理统计》（第一版）科学出版社2000.六、教学方式和考核方式1.教学方式：以课堂讲授为主，辅以答疑、课后作业。

《概率论与数理统计（II）》考试大纲
第1章统计量及其分布
考试要求：理解总体、样本、统计量、顺序统计量等概念，掌握样本均值、方差的定义及其性质，样本矩的定义
P25 #1，3，4，5；9,10
第2章统计量及其分布
掌握三大抽样分布及正态总体下几个重要的抽样分布定理。

P50 #1，3，4，9，10，13，14
第3章参数估计
考试要求：熟练掌握矩法估计和最大似然估计；掌握估计量好坏的评价标准：无偏性、有效性、相合性；掌握最小方差无偏估计的概念及其判定方法；会求几类重要总体分布中未知参数的区间估计。

P105 #1，3，5，8，10，14，17，，18，19，20，22，25，26，27，29，31，33
第4章假设检验
基本要求：理解掌握假设检验的基本思想与步骤、假设检验中的两类错误、势函数的定义及其应用、检验的p值等；掌握正态总体均值和方差的假设检验、指数分布参数的假设检验、大样本检验；会分布的拟合性检验、列联表的独立性检验。

P156 #1，2，3，4，5，8，11，12，13，14，15，16，，22，25，
第5章方差分析
基本要求：掌握因子、水平、因子平方和、误差平方和、方差分析表等概念。

掌握单因子方差分析方法。

P202 #2，3，4，5，6。

一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令)x x T -=，试证明T 服从t -分布t （2）二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。

三、（8分）设总体X 的密度函数为(1),01(;) 0 , x x p x ααα⎧+<<=⎨⎩其他其中1α>-，是位置参数。

x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。

四、（12分）设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩，其它，其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。

x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。

（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧； （2）σ∧是否为σ的有效估计？证明你的结论。

五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。

为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。

基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。

六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。

目录I 考查目标 (2)II 考试形式和试卷结构 (2)III 考查内容 (2)IV. 题型示例及参考答案 (4)全国硕士研究生入学统一考试概率论与数理统计基础考试大纲I 考查目标《概率论与数理统计基础》是为我校招收统计学硕士生而设置的具有选拔性质的考试科目。

其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读统计学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次专业人才。

考试要求是测试考生掌握理解概率论与数理统计的基本概念和基本理论，掌握概率论与数理统计的基本思想和方法，具有较强的逻辑推理能力和灵活的思维能力，具有较强的计算能力和综合运用所学知识分析并解决实际问题的能力。

II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间180分钟。

二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。

允许使用计算器（仅仅具备四则运算和开方运算功能的计算器），但不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。

三、试卷内容与题型结构概率论与数理统计，满分150分，有以下两种题型：选择题（45分）、综合题（105分）III 考查内容1．概率论的基本概念（1）熟练掌握随机试验、样本空间、随机事件的概念；（2）熟练掌握频率与概率、古典概型的概念；（3）熟练掌握条件概率与独立性的概念及应用。

2．随机变量及其分布（1）理解随机变量的概念；（2）深刻理解并掌握概率分布、分布函数及概率密度的定义及应用；（3）理解随机变量的函数的分布的定义及其性质。

3．多维随机变量及其分布（1）理解并掌握二维随机变量的定义；（2）理解边缘分布、条件分布的定义及其性质；（3）会求两个随机变量的函数的分布函数。

4．数字特征（1）理解并会求随机变量的期望及方差；（2）理解协方差及相关系数的定义及其性质；（3）会求矩、协方差矩阵。

5．大数定律及中心极限定理掌握大数定律及中心极限定理的具体条件及结论，并可以应用中心极限定理解决实际问题。

2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题（每题2分，共10分）1设事件A,B 互不相容，若P (A )=0.3,P (B )=0.7,则P (AB )为_________。

设事件A,B 相互独立，若P (A )=0.3,P (B )=0.7,则P (AB )为______.3.设母体X 服从正态分布N (μ,σ2)，X 1,X 2⋯,X n 为取自母体的子样，X̄为子样均值，则X ̄服从的分布为__________.4.设X 1,X 2⋯,X n 相互独立，且都服从正态分布N (0,1)，则∑X i 2n i=1服从的分布为_____________.5. 将一枚硬币重复掷N 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于__________.二、选择题（每小题2分共10分）1.设A,B 为互不相容事件，且P (A )>0,P (B )>0,则结论正确的有（ ）（A ）P (A |B )>0 （B ）P (A |B )>P(A) (C) P (A |B )=0 (D) P (A |B )=P (A )P (B ) 2、设随机变量ξ,η相互独立，且有Dξ=6,Dη=3.则D (2ξ+η)为（ ） （A ）9 （B ）15 （Ｃ）21 （Ｄ）27 3、设随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2)，则随着σ的增大，P (|X −μ|<σ)（ ）（A ）单调增大 （B ）单调减少 （C ）保持不变 （D ）增减不定4、任一连续型随机变量的概率密度函数ϕ(x )一定满足（ ）（A ）0≤ϕ(x )≤1；（B ）定义域内单调不减；（C ）∫ϕ(x )+∞−∞dx =1；（D ）lim x→+∞ϕ(x )=1。

5、设随机变量ξ,η满足条件D (ξ+η)=D (ξ−η)，则有（ ）事实上 （A ） Dη=0 （B ）ξ,η不相关 （C ）ξ,η相互独立 （D ）Dξ⋅Dη=0三、综合题（每小题5分共30分）1.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4名，二级射手8名，三级射手7名，四级射手1名，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2，求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

《概率论与数理统计（A ）》期末复习资料一、选择题：1.设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B2.设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则( ).(A)A 和B 两事件互不相容(互斥)； (B)AB 是不可能事件； (C)AB 未必是不可能事件； (D)0)(=A P 或0)(=B P . 3.如果0)(=AB P ，则( ).(A))()(A P B A P =-； (B)A 与B 不相容； (C)A 与B 不相容； (D))()()(B P A P B A P -=-. 4.如果1)()(=+B P A P ，则( ).(A)1)(=⋃B A P ； (B)0)(=⋂B A P ； (C))()(B A P B A P ⋂=⋂； (D))()(B A P B A P ⋃=⋂. 5.设A 和B 相互独立，则下列结论错误的是( ).(A)B ,A 独立； (B)B ,A 独立； (C))()()(B P A P B A P =； (D)φ=AB .6.设B A ⊂且相互独立，则( ).(A)0)(=A P ； (B)1)(0)(==B P A P 或； (C)1)(=A P ； (D)上述都不对. 7.设随机变量~(2,)X B p ，若()159X P ≥=，则p =( ). (A)32； (B)21； (C)31； (D)2719.8.设随机变量X 概率分布为,,2,1)1()( =+==k k k ak X P ，则a 为( ).(A)0； (B)1； (C)2； (D)3.9.设随机变量X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则λ=( ). (A)2； (B)1； (C)4； (D)0.5.10.若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=b ax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()11.设随机变量),(~2σμN X ，且022=++X x x 无实根的概率为0.5，=μ( ). (A)-1； (B)0； (C)1； (D)2.12.随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,0,20,20,),(y x cx y x f ，则c 为( ).(A)0.25； (B)1； (C)2； (D)4.13.设随机变量Y X ,相互独立，它们的密度函数分别为⎩⎨⎧≤>=-000x ,;x ,e )x (f x X ，⎩⎨⎧≤>=-00022y ,;y ,e )y (f y Y ，则=>)Y X (P ( ).(A)31； (B)21； (C)32； (D)43.14.设X ～)4,2(N 且b aX +～)1,0(N ，则( ). (A)22-==b a ，； (B)12-=-=b a ，； (C)121==b a ，； (D)121-==b a ，.15.设)1(~P X ,)2(~P Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (1,2)b (B) (3)P (C) (1.5)P(D) (2,1)b16.设随机变量)6.0,20(~b X ,)6.0,10(~b Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (10,0.6)b (B) (20,0.6)b (C) b(30,0.6) (D) (18)P17.设),(~p n b X 且6 3.6EX DX ==，,则有()(A) 100.6n p ==， (B) 200.3n p ==，(C) 150.4n p ==， (D) 120.5n p ==， 18.设12,,n X X X 是取自正态总体X ～)1,0(N 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)X ～)1,0(N ； (B)X n ～)1,0(N ； (C)S X /～)1(-n t ； (D)∑=ni i X 12～)(2n χ.19.设n X X X 21,是取自正态总体X ～),(2σμN 的样本（2>n ）, 2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)1--n SX μ～)1(-n t ； (B)22)(S X n μ-～)1,1(-n F ； (C)22σS ～)1(2-n χ； (D)122X X -～),(2σμN .20.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211(())1ni i S X X n ==--∑ X 分别为样本方差和样本均值，则下面结论中不正确的是( ). (A)2~(,)X N n σμ ；(B)22()E S σ=； (C)22()1nE S n σ=-； (D)222(1)/~(1)n S n σχ--. 21.已知随机变量X 与Y 相互独立,且2~(40)X χ,2~(80)Y χ,则~/2Y X ().(A)2(40)χ (B) (20,40)F (C) (40,80)F (D) 2(80)χ22.设n X X X ,,,21 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．(A) 321X X X ++ (B) 321525252X X X ++ (C) 321515151X X X ++ (D) 321535151X X X ++23.对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中,Z 检验解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值(C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差24.对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,,则下列各式中（ ）不是统计量．(A)1X (B) μ+X(C)221σX (D)1X μ25.设n X X X ,,,21 是正态总体),(~2σμN X （2σ已知）的一个样本,按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时,判断是否接受0H 与（ ）有关.(A) 样本值,显著水平α (B) 样本值,样本容量(C) 样本容量n ,显著水平α (D) 样本值,样本容量n ,显著水平α 26.在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差 27.假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大,一个减小二、填空题：1.设B A ,是两个事件，且=)(B A P 1，则=-)(A B P .2.设()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()AB P = ，()B A P = .3.设事件B A ,和B A ⋃的概率分别为0.2，0.3和0.4，则=)(A B P _______.4.设B A ,是两个随机事件，()0.4()0.3P A P B ==，，若B A ,相互独立，则()P A B ⋃= ，则()P B A = .5.三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为 .6.设甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投篮3次，则有人投中的概率为 .7.从0,1,2,,9这10个数字中任意选出3个不同的数字，则3个数字中不含0或5的概率为 .8.某工厂一个班组共有男工9人，女工5人，现在要选出3个代表，则选的3 个代表中至少有1个女工的概率为 .9.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()2D X =，则(1)p X ==________. 10.设随机变量),(N ~X 42，则~X Y 22-=. 11.设随机变量Y 在]5,0[上服从均匀分布，则关于x 的一元二次方程02442=+++Y xY x 有实根的概率为 .12.设)(1x F 与)(2x F 分别是任意两个随机变量分布函数，令=)(x F)()(21x bF x aF +，则下列各组数中使)(x F 为某随机变量的分布函数的有 =a ， =b .13.已知连续随机变量X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x λ--≥=<⎧⎨⎩，0λ>，则其密度函数为 ，(2)P x ≤= ；已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 , 010,2)(x x x f 则:)5.15.0(<<X p = .14.设随机变量X 分布律为令,12+=X Y 则随机变量X 分布律为 ;=)(Y E _________.15.若二维随机变量(,)X Y 具有分布律：则(21)P Y X ===________. 16.设随机变量X 分布列如下表则E (X )=________，D (X )=________.17.两独立随机变量X Y 和都服从正态分布，且()()~3,4~2,9X N Y N ，，则()D X Y +=________;又两个相互独立的随机变量~(3),V ~P(2)U E ,则(22)D U V ++=________.18.设X 服从[-1，2]上的均匀分布，令⎩⎨⎧<-≥=,01,01X X Y ，，则=)(Y E ，=)(Y D .19.设相互独立的随机变量X ,Y 均服从参数为5的指数分布，则当0,0x y >>时，(,)X Y 的概率密度(,)f x y =________.20.设总体)1,0(~N X ,1210,,,X X X 是来自总体X 的样本，则~X .21.设总体2~(0,)X N σ，921,X X X 为总体的一个样本，则)(9196521X X X X X X ++++++= 分布为 .22.设),(21n X X X 是取自参数为λ泊松分布的样本，则统计量i ni X Y ∑==1服从分布.23.设12n X X X ,,,为来自总体X 的样本，且~(0,1)X N ，则统计量21~nii X=∑ .24.设12,,,n X X X 是来自总体)1,0(~N X 的简单随机样本，则21()ni i X X =-∑服从的分布为 .25.设n X X X 21,是来自正态总体X ～N (μ，2σ)的样本，即它们是独立同分布，则~X ，~)1(22σS n - .26.在单边假设检验中,原假设为0H ：μ≤0μ,则其备择假设为1H ：_______________.27.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,其中2σ未知,12,,n X X X 为其样本.若假设检验问题为0010:,:,H H μμμμ=≠则采用的检验统计量表达式应为_______________.三、计算题1.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.2.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： (1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.3.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： (1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.4.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.5.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.6.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？8.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： (1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.9.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率；(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率； (3)F (x ).10.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.11.由某机器生产的螺栓长度（cm ）~(10.05,0.062)X N ,规定长度在10.050.12±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率..12.设一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布),160(2δN ,若要求{}8.0200120≥≤<X P ,允许δ最大不超过多少？13.设X ~N （3，22），(1)求P {2<X ≤5}，P {4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; (2)确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }.14.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.（2）求（X ，Y ）的边缘分布律； （3）求W =X +Y 的分布律.16.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(,其他y x y x k y x f (1)确定常数k ；(2)求P {X ＜1，Y ＜3}； (3)求P {X <1.5}； (4)求P {X +Y ≤4}.17.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为()⎩⎨⎧>>--=--.,0,0,0),e 1)(e 1(,24其他y x y x F y x求(X ，Y )的联合分布密度.18.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=.,0,10 ,1,01 ,1其他x x x x x f求)()(X D X E ，.19.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,其他x x x x x f求)()(X D X E ，.20.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,,其他x y x k y x f 试确定常数k ，并求)(XY E .21.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为()⎩⎨⎧≤≤=;,0,10,2其他x x x f X ()(5)e ,5,0,.y Y y f y --⎧>=⎨⎩其他 求E (XY ).22.设总体X 服从二项分布b (n ，p )，n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩估计.23.设总体X 的密度函数()2(x )2,,f x e x R μμ--=∈X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数μ的矩估计. 24.设12,,,n x x x 为来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本的X1，X2， (X)观测值，试求总体未知参数2,μδ的极大似然估计.25.设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-.,0,10,),(1其他x x x f θθθn X X X 21,为其样本，求θ 的极大似然估计.26.某车间生产的螺钉，其直径2~N(,)X μδ，由过去的经验知道2δ=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 求μ的置信概率为0.95的置信区间.27.来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本为X 1，X 2，…，X n ，并且2μδ未知，已知，求μ的置信概率为1α-的置信区间.28.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差2s =0.1(2g ).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.。

北京航空航天大学2021 学年概率论与数理统计第一学期期末一、单项选择题〔18分〕1.一种零件的加工由两道相互独立的工序组成，第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ,则该零件加工的成品率为〔 〕．(A ) 1p q --； (B ) 1pq -； (C ) 1p q pq --+； (D ) (1)(1)p q -+-. 2.设三个寿命分别为,,X Y Z 的元件并联成一个系统，则事件“系统的寿命超过T 〞可表示为〔 〕．(A ) X Y Z T ++>； (B ) XYZ T >； (C ) min{,,}X Y Z T >； (D ) max{,,}X Y Z T >.3.设1()F x 与2()F x 分别为两个随机变量的分布函数，令12()()()F x aF x bF x =+，则以下各组数中能使()F x 为某随机变量的分布函数的有〔 〕．(A )22,33a b ==； (B )32,55a b ==；(C )31,22a b ==； (D )32,45a b ==.4.设随机变量X 的分布律为 {}/15,1,2,3,4,5P X k k k ===。

则{0.5 2.5}P X <<的值是〔 〕． (A ) 6.0 ； (B )4.0； (C )2.0； (D ) 8.0 . 5. 设随机变量X 的分布律为：则(23)D X -+=〔 〕．(A ) 0.21 ； (B ) 3.21 ； (C )0.84 ； (D )3.36. 6. 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，则2)(σ=X D 的无偏估计为〔 〕．(A )∑=--n i i X X n 12)(11； (B )∑-=--112)(11n i i X X n ；(C )∑=-n i i X X n 12)(1； (D )∑-=-112)(1n i i X X n ．二、填空题〔18分〕1. (),(),()P A p P B q P A B p q ==+=+，则()P A B += 。

中国民航⼤学《概率论与数理统计》期末复习题及解答中国民航⼤学《概率论与数理统计》期末复习题⼀、填空题1．设A 与B 是相互独⽴的随机事件，满⾜P(A)=0.3, P(B A )=0.7 ,则P(B)= .2. 随机变量X )4,1(~N ,随机变量Y 服从参数2=θ的指数分布, 其概率密度为≤>=-0 , 00, 21)(21y y e y f yY⽽且X 与Y 的相关系数为21=XY ρ, 则),cov(Y X = .3．设离散型随机变量X 的分布函数为 ≤<≤--<=xx x F 3 , 13x 2 , 522, 0)(则随机变量X 的分布律为。

4. 设随机变量X )1,0(~N , 随机变量Y )(~2n χ, 且X 与Y 是相互独⽴,令nY X T =，则~2T 分布.5.设总体X 服从参数为λ的泊松分布, 0>λ为未知参数。

),,,(21n X X X 是总体X 中抽取的⼀个样本，则参数λ的矩估计量λ?= . ⼆、选择题1．在某⼤学任意选出⼀名学⽣。

令：A={选出的学⽣是男⽣}，B={选出的学⽣是三年级学⽣}，C={选出的学⽣是数学系的学⽣}，则当时，ABC=C 成⽴。

（A ）数学系的学⽣都是三年级的男⽣（B ）三年级的学⽣都是数学系的男⽣（C ）该学校的男⽣都是数学系三年级的学⽣（D ）三年级的男⽣都是数学系的学⽣ 2．设袋中有a 只⿊球，b 只⽩球，每次从中取出⼀球，取后不放回，从中取两次，则第⼆次取出⽩球的概率为（）（A ）22+（B ）)1)(()1(-++-b a b a b b （C ）11-+-b a b （D ）b a b+3．设离散型随机变量X 的分布律为),2,1(!}{ ===k k ck X P kλ其中0>λ为常数，则c=（）（A ）λe - （B ）λe （C ） 11--λe（D ）11-λe4．设随机变量921,,,X X X 相互独⽴的且同分布，⽽且), 9,2,1(1,1 ===i DX EX i i 令∑==91i iX X ，则对任意给定的0>ε，由切⽐雪夫不等式直接可得（）（A ）211}1{εε-≥<-X P （B ）211}9{εε-≥<-X P（C ）91}9{εε-≥<-X P （D ）211}191{εε-≥<-X P5．设总体X ),0(~2σN ,),,,(21n X X X 是从中抽取的⼀个简单随机样本，则2σ的⽆偏估计量为（）（A ）∑=-=ni iXn 12211σ（B ）∑==ni iX n1221σ∑=+=ni iXn 12211σ（D ）∑=+=ni iX n n 1222)1(?σ三、设有两箱同种类零件,第⼀箱装有50件,其中10件为⼀等品;第⼆箱装有30件,其中18件为⼀等品,今从两箱中随意取出⼀箱,然从该箱取零件2次,每次任取⼀只,作不放回抽样.求:(1)第⼀次取出的零件为⼀等品的概率;(2)在第⼀次取出的零件为⼀等品的条件下,第⼆次取出的也是⼀等品的概率.四、甲，⼄两⼈进⾏⽐赛,规定若某⼈先赢得4局⽐赛的胜利得整场⽐赛的胜利. 设在每局⽐赛中,甲，⼄两⼈获胜的概率都是21,令X 表⽰所需⽐赛的局数,求: (1)X 的可能取值; （2）X 的分布律; （3）E(X).五、向平⾯区域}0,40:),{(2≥-≤≤=x x y y x D 内随机地投掷⼀点,即⼆维随机变量(X,Y)服从平⾯区域D 上的均匀分布. (1)试求⼆维随机变量(X,Y)的联合密度函数; (2)点(X,Y)到y 轴距离的概率密度函数;(3)设(X,Y)∈D,过点(X,Y)作y 轴的平⾏线,设S 为此平⾏线与x 轴、y 轴以及曲线24xX 0 1 Y 0 1 p 1-1p 1p p 1-2p 2p 其中,101<七、假设⼀条⾃动⽣产线⽣产的产品的合格率为0.8,试⽤中⼼极限定理计算,要使⼀批产品的合格率在76%与84%之间的概率不⼩于90%,问这批产品⾄少要⽣产多少件? (已知,9015.0)29.1(=Φ,95.0)65.1(Φ=其中)(x Φ是正态分布)1,0(N 的分布函数)⼋、设总体X 服从区间),0(θ上的均匀分布,其中0>θ为未知参数. ),,,(21n X X X 是从该总体中抽取的⼀个样本. (1)求未知参数θ的极⼤似然估计θ? (2)求θ?的概率密度函数;(3)判断θ?是否为未知参数θ的⽆偏估计.九、某⼚在所⽣产的汽车蓄电池的说明书上写明：使⽤寿命的标准差不超过0.9年,现随机地抽取了10只蓄电池, 测得样本的标准差为 1.2年,假定使⽤寿命服从正态分布),(2σµN ,取显著性⽔平05.0=α,试检验81.0::81.0:2120<≥σσH H概率论与数理统计期末复习题三(答案)⼀、填空题1) 74),1(n F5) X =λ?⼆、选择题1) A 2) D 3) D 4) C 5) B三、解 : (1)设 21}{，，次取到⼀等品第==i i A i{}2,1==i i B i ，箱被挑出的是第由全概率公式 )|()()|()()(2121111B A P B P B A P B P A P += 52301821501021=(2) 由条件概率定义及全概率公式得)()|()()|()()()()|(12212121112112A P B A A P B P B A A P B P A P A A P A A P += =48557.0522930171821495091021≈+=四、解 : (1) 由题意知,X 的可能取值为 4,5,6,7 (2) 分布律为即(3) ()169316571656415814=+?+?+?=X E五、解 : (1) 平⾯区域D 的⾯积为402316xdy dx A所以(X ,Y )的概率密度为∈=Dy x D y x y x f ),(,0),(,163),((2) 点()Y X ,到y 轴的距离的概率密度函数，即是分量X 的边缘密度函数，当20≤≤x 时())4(163163),(2402∞+∞---===xX x dy dy y x f x f所以，分量X 的边缘密度函数为??≤≤-=其它,020,)4(16x x x f X(3) 曲边梯形的⾯积为--==XxXX dy dx S 04032314⽽()?∞+∞--=-=dxx f x x X X E S E X )()3 14(31433()dxx x x ?-?-=2234163)338=六、证明 : 令}1{==X A }1{==Y B 则}0{==X A }0{==Y B 由于X 与Y 是不相关的，所以()()()0=-Y E X E XY E 由题知 ()()1}1{p X PA P X E ==== ()()2}1{p Y PB P Y E ====所以 ()21p p XY E = ⽽XY 的取值只有0和1当1=XY 时 ())(}1,1{}1{AB P Y X P XY P XY E ======)()(21B P A P p p ==所以A 与B 是相互独⽴的.由此可知A 与B ,A 与B ,A 与B 也是相互独⽴的.综上可知,X 与Y 是相互独⽴的.七、解 : 设这批产品⾄少要⽣产n 件令∑==ni iX X 1且 n X X X ,,,21 独⽴同服从)8.0,1(b .所求为9.0}84.076.0{≥<X P所以}84.076.0{}84.076.0{n X n P nX P <<=<<})8.01(8.08.084.0)8.01(8.08.0)8.01(8.08.076.0{-??-<-??-<-??-=n n n n n X n n n P 9.01)1.0(2)1.0()1.0(≥-Φ=-Φ-Φ=n n n所以 273m in =n则这批产品⾄少要⽣产273件.⼋解 : (1) 记()),,,min(211n x x x x =，),,,max(21)(n n x x x x =由题意知,总体X 的概率函数为≤≤=其它,00,1)(θθx x f由于θ≤≤n x x x ,,,021 ,等价于 )1(0x ≤ ,θ≤)(n x . 则似然函数为()()θθθθ≤≤===∏∏==n nni ni i x x x f L ,0,11)()(111于是对于满⾜条件θ≤)(n x 的任意θ有n=θθ即)(θL 在)(n x =θ时取到最⼤值nn x )(1,故θ的最⼤似然估计值为())(max ?1i ni n x x ≤≤==θθ最⼤似然估计量为)(max ?1)(i ni n X X ≤≤==θ(2) X 的密度函数为??≤≤=其它,00,1)(θθx x f则分布函数为≥<<≤=θθθx x xx x F ,10,0,0)(因此)(max ?1)(i ni n X X ≤≤==θ的概率密度函数为<<==--其它,00,)()()(11θθθx nx x f x F n x f n n (3) 由于θθθθθθ≠+===∞+∞-1)()?(0n n dx nxdx x xf E n故θ?不是θ的⽆偏估计.九、解 : 检验假设81.0:81.0:2120<≥σσH H则有题意知拒绝域为())1(12-≤-=-n S n αχσχ这⾥: 05.0=α 10=n 查表得 325.3)9(295.0=χ且 222.1=s81.020=σ则 ()()325.31681.02.1110122022>=?-=-=σχs n所以2χ不在拒绝域内，故接受0H注：若本题⽬中没有给出检验假设，通常我们给的假设是：.81.0:;81.0:2120>≤σσH H 然后再进⾏检验.。

1北京航空航天大学数学与系统科学学院-数学（一）近3年分数线及招生人数变动情况专业类别 时间 总分划线 专业划线 复试总分招生人数 录取比例 数学 2011年 300 80 300 66 1:1 2012年 310 85310 66 1:1 2013年 30080300571:1（二）专业考试科目及参考书目专业类别及方向 考试科目 参考书目招生情况数学 方向：01 代数学及其应用 02 复分析及其应用 03 泛函分析及其应用 04 偏微分方程及其应用 05 微分方程与动力系统 06 信息数学与科学计算 07 概率与数理统计 08 系统与控制初试科目： 政治 英语数学专业基础课 数学专业综合课 复试科目： 英语口语基础理论及其应用提问初试参考书：1、《高等代数》第三版高等教育出版社北京大学数学系编2、《数学分析》(上册、下册) 高等教育出版社陈纪修等3、数学专业综合课试题含常微分方程、近世代数、概率论与数理统计、系统控制四门课程的内容，考生可任选其中二门课程的试题解答，多选无效。

（见最后一页考试大纲）常微分方程参考书：《常微分方程》东北师范大学数学教研室编（第三版） 高等教育出版社。

《常微分方程》王高雄、周之铭等（第三版） 高等教育出版社。

近代代数参考书：《近世代数引论（第3版）》，冯克勤，李尚志，章璞著，中国科学技术大学出版社，2009年版。

招生人数共60人左右（每年都会有一些变化，实际招生人数比网站公布多几人）2《近世代数》，韩世安、林磊编著， 科学出版社，2004年版。

《近世代数基础》，张禾瑞著， 高等教育出版社，1978年版。

概率论与数理统计参考书：《概率论及数理统计》（上、下册）， 邓集贤等 高等教育出版社 2009。

《概率论与数理统计》 严士健等 高等教育出版社 1997系统控制参考书：《线性系统理论》，程兆林, 马树萍，科学出版社，2007。

《线性系统理论》，郑大钟，清华大学出版社，2002。

《概率论与数理统计》课程考试大纲一、考核内容与考核要求第1章随机事件与概率【考核的知识点和要求】考核知识点１．随机事件及其运算2．概率的定义及其确定方法3．概率的性质4．条件概率5．独立性考核要求1. 随机事件及其运算（1）简单应用：随机事件的运算。

2．概率的定义及其确定方法（1）简单应用：概率的定义。

（2）综合应用：确定概率的古典方法。

3．概率的性质（1）简单应用：概率的性质。

4．条件概率（1）简单应用：条件概率。

5．独立性（1）分析：独立性。

第2章随机变量及其分布【考核的知识点和要求】考核知识点1．随机变量及其分布2．随机变量的数学期望3．随机变量的方差与标准差4．常用离散分布5．常用连续分布6．随机变量函数分布考核要求1. 随机变量及其分布（1）简单应用：随机变量的分布。

2. 随机变量的数学期望（1）简单应用：随机变量的数学期望。

3. 随机变量的方差与标准差（1）简单应用：随机变量的方差与标准差。

4. 常用离散分布（1）简单应用：泊松分布。

（2）综合应用：二项分布。

5．常用连续分布（1）简单应用：指数分布。

（2）综合应用：正态分布。

6．随机变量函数分布（2）综合应用：随机变量函数分布。

第3章多维随机变量及其分布【考核的知识点和要求】考核知识点1．多维随机变量及其联合分布2．边际分布与随机变量的独立性3．多维随机变量函数的分布4．多维随机变量的特征数考核要求1. 多维随机变量及其联合分布（1）简单应用：多维随机变量的联合分布。

2．边际分布与随机变量的独立性（1）综合应用：边际分布与随机变量的独立性。

3．多维随机变量函数的分布（1）综合应用：多维随机变量函数的分布。

4．多维随机变量的特征数（1）识记：多维随机变量函数的数学期望、协方差和相关系数。

（2）简单应用：数学期望与方差的运算性质。

第4章大数定律与中心极限定理【考核的知识点和要求】考核知识点1．大数定律2．中心极限定理考核要求1. 大数定律（1）简单应用：大数定律。

2024考研概率论大纲以下是2024考研概率论大纲：一、考试说明1. 考试性质《概率论》是统计学本科专业的基础课，它以不确定性现象为主要研究对象，是统计学专业后继学习的基础。

该考试科目主要考察考生是否掌握《概率论》基本理论与基本知识，注重考查考生应用《概率论》基本原理与基本方法解决实际问题的能力。

2. 考试形式与试卷结构（1）答卷方式：闭卷，笔试（2）考试时间：180分钟（3）试卷满分：150分（4）试题题型：选择题、填空题、解答题等3. 考查内容（1）确定事件间的关系，进行事件的运算（2）利用事件的关系进行概率计算（3）利用概率的性质证明概率等式或计算概率（4）有关古典概型、几何概型的概率计算（5）利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率（6）有关事件独立性的证明和计算概率（7）有关独重复试验及伯努利概率型的计算（8）利用随机变量函数的概率分布计算概率（9）利用随机变量的数字特征计算概率（10）有关大数定律和中心极限定理的应用（11）利用样本数据的统计量进行参数估计和假设检验4. 考查要求考生应掌握《概率论》的基本概念、基本理论和基本方法，能够运用所学知识分析解决实际问题。

具体来说，考生应：（1）理解事件的概念，掌握事件间的关系及运算；（2）了解概率、条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式；（3）理解随机变量的概念，掌握随机变量的分布函数及其数字特征；（4）理解大数定律和中心极限定理的意义，并能运用所学知识解决一些实际问题；（5）掌握参数估计和假设检验的基本方法。

二、考试内容1. 事件及其运算（1）事件的概念及表示方法；（2）事件间的关系及运算。

2. 概率的定义与性质（1）概率的公理化定义；（2）概率的性质。

3. 古典概型与几何概型（1）古典概型的概念及概率计算；（2）几何概型的概念及概率计算。

4. 条件概率与独立性（1）条件概率的概念及计算；（2）事件的独立性及概率计算。