材料物理性能答案

材料物理性能答案

第⼀章：材料电学性能1.导电能⼒ 如何评价材料的导电能⼒？如何界定超导、导体、半导体和绝缘体材料？

⽤电阻率ρ或电阻率ζ评价材料的导电能⼒。按材料的电阻率，⼈们通常将材料划分为：

（1）绝缘体 ρ > 108 （Ω?m ）

（2）半导体 10-2 < ρ < 108 （Ω?m ）

（3）⾦属 10-8 < ρ < 10-2 （Ω?m ）

（4）超导体 ρ < 10-27 （Ω?m ）2.经典导电理论/欧姆定律 经典导电理论的主要容是什么？它如何解释欧姆定律？它有哪

些局限性？

⾦属导体中，其原⼦的所有价电⼦均脱离原⼦核的束缚成为⾃由电⼦，⽽原⼦核及层

束缚电⼦作为⼀个整体形成离⼦实。所有离⼦实的库仑场构成⼀个平均值的等势电场，⾃

由电⼦像理想⽓体⼀样在等势电场中运动。若没有外部电场或磁场的影响，⼀定温度下其

中的离⼦实只能在定域作热振动，形成格波，⾃由电⼦则可以在较⼤围作随机运动，并不

时与离⼦实发⽣碰撞或散射，此时定域的离⼦实不能定向运动，⽅向随机的⾃由电⼦也不

能形成电流。施加外电场后，⾃由电⼦的运动就会在随机热运动基础上叠加⼀个与电场反

⽅向的平均分量，形成定向漂移，形成电流。⾃由电⼦在定向漂移的过程中不断与离⼦实或其它缺陷碰撞或散射，从⽽产⽣电阻。 J E σ= 电导率2e m e ==σητηµ（其中2e m v E µτ==-，为电⼦的漂移迁移率，表⽰单位场强下电⼦的漂移速度），它将外加电场强度和导体的电流密度联系起来，表⽰了欧

姆定律的微观形式。

缺陷：该理论⾼估了⾃由电⼦对⾦属导电能⼒的贡献值，实际上并不是所有价电⼦都参与

了导电。（把适⽤于宏观物体的⽜顿定律应⽤到微观的电⼦运动中，并承认能量的连续性）3.⾃由电⼦近似 ⾃由电⼦近似下的量⼦导电理论如何看待⾃由电⼦的能量和运动⾏为？

能量：⾃由电⼦近似下，电⼦的本证波函数是⼀种等幅平⾯⾏波，即振幅保持为常数；

⾏为：电⼦本证能量E 随波⽮量的变化曲线是⼀条连续的抛物线。4.⾃由电⼦近似概念 根据⾃由电⼦近似下的量⼦导电理论解释：准连续能级、能级的简

并状态、简并度、能态密度、k 空间、等幅平⾯波和能级密度函数。

准连续能级：电⼦的本征能量是量⼦化的，其能量值由主量⼦数n 决定，并且其能量值也是不连续的，能级差与材料线度L 2成反⽐，材料的尺⼨越⼤，其能级差越⼩，作为宏观

尺度的材料，其能级差⼏乎趋于零，电⼦能量可以看成是准连续的。

能级简并状态：把同⼀能级下具有多种能态的现象称为能级的简并状态。

简并度：同⼀能级下的能态数⽬称为简并度。

能态密度：对某个电⼦体系，在k 空间单位体积能态的数量或倒易节点数称为波⽮能态密

度ρ。ρ=V/(2π) 3，含⾃旋的能态密度应为2ρK 空间：若使⽤波⽮量 k 的三个分量 k x , k y , k z 为单位⽮量构筑坐标系，则每个能态在该坐标中都是⼀个整数点, 对于准连续的能级，此坐标系中的每个整数点都代表⼀个能态。⼈们把此坐标系常数称为k 空间或状态空间。 等幅平⾯波：量⼦导电理论中，在⾃由电⼦近似下⽤于描述电⼦运动⾏为的本征波函数，其波幅保持为常数。 能级密度函数：电⼦的波失能态函数对其能量的分布函数，即在单位能量宽度上的能态分

布。表达式为()312222()(4)2V N E dZ dE V m E π==

5.等能⾯ ⾃由电⼦近似下的等能⾯为什么是球⾯？倒易空间的倒易节点数与不含⾃旋的

能态数是何关系？为什么⾃由电⼦的波⽮量是⼀个倒易⽮量？

①因为在k 空间，能量的⼤⼩仅与波⽮k 的长度有关，⽽与波⽮的⽅向⽆关，所以所有等

长的波⽮均代表⼀个相同的能级，因此代表同⼀能级的所有状态点在k 空间中应分布在以

坐标原点为中⼼、以k 为半径的球⾯（等能⾯）上。

②倒易空间的倒易节点数=不含⾃旋的能态数 ③在波⽮的计算中利⽤周期性边界条件、欧拉公式以及倒易⽮量关系式得到如下关系式1112223330k N a k N a k N a ++= 如果令i 为任意整数，令2i i b a π=，则波⽮量可写成123112233222l l l k N a N a N a πππ=++123123123l l l b b b N N N =++，证明了电⼦波的波⽮量 k 就是倒易⽮量。

6.费⽶概念 ⾃由电⼦在允许能级的分布遵循何种分布规律？何为费⽶⾯和费⽶能级？何

为有效电⼦？价电⼦与有效电⼦有何关系？如何根据价电⼦浓度确定原⼦的费⽶半径？

①允许能级中的电⼦在各能态的分布遵循费⽶--狄拉克统计分布规律。其分布函数为：

[]1()exp ()1F B f E E E k T =-+，其中E 为电⼦的能量，E F 为费⽶能量或化学势，k B 为玻尔

兹曼常数，T 为绝对温度。

分布函数的物理意义表⽰：T 温度下，能量为E 的能态被电⼦占据的概率为f （E ），如图：

绝对零度时（基态），Ef(E)=1；E

（E ）发⽣陡直的变化。T 温度下（T>0的激发态），分布函数在费⽶能量附近的

陡直程度下降了，分布对应的能量围约为E F 附近±区间。

可见温度越⾼，分布变化所对应的能量围越宽。但E=EF 时，f(E)恒等于1/2.这种变

化的物理本质为：原来处于费⽶⾯以下临近费⽶能级的⼀部分电⼦。由于受到k B T 能量的

热激发⽽可以跃迁到费⽶⾯以上能区。

②费⽶⾯和费⽶能：按⾃由电⼦近似，电⼦的等能⾯k 空间是关于原点对称的球⾯。特别

有意义的是E=EF 的等能⾯，它被称为费⽶⾯，相应的能量成为费⽶能。

③有效电⼦：能量位于费⽶⾯附近的部分价电⼦，当它们受到某种能量的激发⽽跃迁到允

许电⼦存在的不满态能区时，才能成为真正意义上的⾃由电⼦，这些⾃由电⼦为有效电⼦。 ④价电⼦：有可能越过费⽶⾯⽽参与导电的所有电⼦的集合，属于原⼦中⽐较活跃的电⼦，有效电⼦属于价电⼦，只是它越过了费⽶⾯⽽进⼊了未满能带⽽能够参与导电。

⑤费⽶半径和价电⼦浓度N 的关系：费⽶半径：费⽶球⾯的球半径，即k 空间

k F =πN （⼀维空间） k F =（2πN ）1/2（⼆维空间） k F =（3π2N ）1/3（三维空间）

7.温度影响 ⾃由电⼦的平均能量与温度有何种关系？温度如何影响费⽶能级？根据⾃由

电⼦近似下的量⼦导电理论，试分析温度如何影响材料的导电性。

①温度升⾼，⾃由电⼦的平均能量升⾼。

②温度升⾼时，因为部分电⼦被激发，费⽶半径减⼩，材料原⼦的费⽶⾯略微下降，但在很⼤的温度围，可近似认为不受温度影响。

③对于⾃由电⼦，温度上升使其能量提⾼，运动速度加快，但均匀的温度场只能使其作⽅

向随机的热运动，只有不均匀的温度场才能使其产⽣定向漂移；对于费⽶⾯以下靠近费⽶

⾯的价电⼦，温度场能促进其激发，能增加材料的有效电⼦数量；对于离⼦，增加温度则

显著提⾼其热振动的振幅和频率，即增加声⼦的数量，其效果是极增加了离⼦实对电⼦的

散射⼏率；另外还可能改变晶格周期场和电⼦的有效质量。总体上材料的电阻率随温度增

加⽽增加，但材料不同，温度围不同，⼆者的相关规律不同。8.⾃由电⼦&经典/欧姆定律⾃由电⼦近似下的量⼦导电理论与经典导电理论在欧姆定律的微观解释⽅⾯有何异同点？

相同：都以⾃由电⼦作为电能传输的载流⼦。

不同：经典导电理论认为原⼦核外的所有价电⼦都参与了导电，⽽量⼦导电理论则是通过费⽶能级和费⽶⾯这⼀概念将价电⼦划分为两种状态，并且认为只有越过费⽶⾯之上的价电⼦（有效电⼦）才能够参与导电。9.能带理论何为能带理论？与近⾃由电⼦近似和紧束缚近似下的量⼦导电理论有何关系？

①在电⼦能量分布状态中，如果考虑晶格周期势场对其的作⽤，那么电⼦的本证波函数就会变成⼀种由晶格周期势场调制的调幅平⾯波，并且在⼀定特定的能量位置上发⽣了断裂，即在k 轴上出现了不允许电⼦存在的间断点，材料中这些不允许电⼦存在的能隙就是所谓的禁带，⽽允许电⼦存在的能区被称为允带，相应的理论也被称为能带理论。

②能带理论与近⾃由电⼦近似和紧束缚近似下量⼦导电理论的差别仅在于晶格周期势函数采⽤不同近似，使晶格周期势场的起伏程度不同。晶格周期势场⽆起伏时称为⾃由电⼦近似，晶格周期势场起伏不⼤称为近⾃由电⼦近似，晶格周期势场起伏很⼤称为紧束缚近似。10.能级密度/能带/禁带孤⽴原⼦相互靠近时，为什么会发⽣能级分裂和形成能带？禁带的形成规律是什么？何为材料的能带结构？

①能级分裂：将N 个原⼦逐渐靠近，原⼦之间的相互作⽤逐渐增强，各原⼦上的电⼦受其它原⼦（核）的影响；最外层电⼦的波函数将会发⽣重叠，简并会解除，原孤⽴原⼦能级分裂为N 个靠得很近的能级；原⼦靠得越近，波函数交叠越⼤，分裂越显著。

②能带形成：当两个原⼦靠近时，核外电⼦的交互作⽤逐渐增强，最外⾯的价电⼦最先产⽣交互作⽤，电⼦的能级发⽣交叠。因为越是处于外层的电⼦，其能量越⾼，能级量⼦数越⼤，所以这种能级交叠⾸先发⽣在价电⼦层，由于受到泡利不相容原理的限制，能级虽然发⽣交叠，但其中能态不能重叠，并且原⼦数量越多，这种交叠区的能级密度（单位能量间隔的能级数⽬）就越⾼，这种交叠结果使许多能级聚集到⼀起形成了能带。

③本征能量的函数间断点出现在布⾥渊区的界⾯处，能级间断⼀定是在这些位置，但这些位置并不⼀定出现禁带，能隙的宽度等于晶格周期势函数的傅⽴叶展开式中相应项的系数的⼆倍，当能级的间断宽度达到⼀定程度使得⼤多数电⼦不能够跨越时，便形成了禁带。

④能带结构：指能带的具体构成形式，包括构成、排列⽅式、能级差和费⽶能级在其中位置等。

11.费⽶/能级密度/禁带在布⾥渊区的界⾯附近，费⽶⾯和能级密度函数有何变化规律？哪些条件下会发⽣禁带重叠或禁带消失现象？试分析禁带的产⽣原因。

①费⽶⾯变化规律：考虑到晶格周期势场影响时，费⽶⾯在与布⾥渊区界⾯的交界处不连续，费⽶⾯有可能穿越布⾥渊区，受布⾥渊区的界⾯的影响，费⽶⾯的形状会发⽣畸变，这种影响和畸变程度随两个⾯间距的减⼩⽽加剧。

②能级密度函数变化规律：若取等厚度球壳为k 空间的微元体积，在布⾥渊区之，随球半径的增加球壳体积增加，即单位能量容纳的能态数增加，N（E）达到最⼤值，等能⾯半径继续增加，其外表⾯就逐渐接触第⼀布⾥渊区的界⾯，球壳外表⾯会破裂，进⽽也会使整个球壳变得⽀离破碎，k空间等厚度球壳微元体的体积会逐步减⼩，该阶段N（E）曲线会显著下降。当部分球壳穿越第⼀布⾥渊区进⼊第⼆布⾥渊区后，N（E）曲线会重新上升。

③禁带不出现或禁带重叠：

（Ⅰ）受晶体结构因素影响，能带的重叠可以使禁带消失。

（Ⅱ）晶格周期势场傅⽴叶展开级数的系数为零，禁带消失。

（Ⅲ）多原⼦原胞（复式格⼦）晶体，因基元散射时的结构消光⽽使禁带消失。