空间向量的基本概念与性质

中小学1对1课外辅导专家

龙文教育扬州训导部 1 龙文教育学科教学案

教师: 赵仁廷学生:董笑阳日期:2012-10-14 星期:日时段: 10 : 00-12 :00

课 题 平面向量的基本概念和线性运算

学习目标与

考点分析 理解向量的概念,了解向量的几何表示，了解共线向量的概念。

理解平面向量的加减的意义，联系物理意义会用三角形法则和平行四边形法则解决向量的和问题。

联系物理意义，同样用三角形法则和平行四边形法则去理解向量的差问题

学情分析

学习重难点 教学重难点：理解向量的概念；理解并学会运用三角形法则和平行四边形法则去求向量的和差。

教学方法 授课，典型题讲解，强化练习

教学提纲与过程

第一部分:教学提纲

（一）授课 （45分钟—55分钟）

（二）典型题讲解 （45分钟—55分钟）

（三）课堂练习 （30分钟—35分钟）

第二部分:教学过程

题设1：加速度，位移，力，电流，电阻，电压，压强，时间，密度，体积，质量，高度，面积，速度，速率，温度。。。

请问以上是标量的有哪些，是矢量的有哪些？

标量可以比大小，矢量能够比较大小吗？

题设2：

小刚向婆婆家跑，100米到了

小明也向她婆婆家跑，110米到了

他们跑的方向一致吗？

一．向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量

结论一：向量可以平移

有向线段的概念：起点，大小，方向。

判断：

（1）有向线段是向量

（2）向量就是有向线段

（3）有向线段的大小可以是无穷大，也可以是确定数值。

[

平面向量

§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、

了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.

2、 既有大小又有方向的量叫做向量.

§2.1.2、向量的几何表示

1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

]

3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.

§2.1.3、相等向量与共线向量

1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§2.2.1、向量加法运算及其几何意义

1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

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2、ba≤ba.

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.

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2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

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§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、 规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度

和方向规定如下：

⑴aa,

⑵当0时, a的方向与a的方向相同；当0时, a的方向与a的方向相反.

2、 平面向量共线定理：向量0aa与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使ab.

§2.3.1、平面向量基本定理

1、 平面向量基本定理：如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数21,，使2211eea.

'

§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示

1、 yxjyixa,.

§2.3.3、平面向量的坐标运算

1、 设2211,,,yxbyxa，则：

⑴2121,yyxxba，

⑵2121,yyxxba，

⑶11,yxa，

空间向量相关知识点总结

一、空间向量的定义和基本概念

1. 空间向量的定义

空间向量是指在三维空间中的一种特殊的向量，它可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。空间向量具有大小和方向，是空间中的一个几何概念。

2. 空间向量的基本概念

（1）长度：空间向量的长度也称为模，它表示向量的大小，一般用|AB|表示，其中A和B分别表示向量的起点和终点。

（2）方向：空间向量的方向是指向量的指向，可以用一组坐标表示，也可以用夹角表示。

（3）共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。

（4）共面：如果三个向量在同一个平面内，则它们是共面的。

二、空间向量的运算

1. 空间向量的加减法

（1）几何法：向量的加法就是将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相连，新的向量就是两个向量的和向量；向量的减法就是将减数的起点和被减数的终点相接，然后将减数的终点和被减数的起点相连，新的向量就是两个向量的差向量。

（2）坐标法：向量的加减法也可以用坐标表示，对应坐标相加或者相减即可。

2. 数乘

向量的数乘即将向量与一个常数相乘，结果是一个新的向量，其大小是原向量的模与常数的乘积，方向与原向量的方向一致（如果是负数，则方向相反）。

3. 空间向量的数量积和向量积

（1）数量积：也称为点积或内积，即将两个向量的对应坐标相乘再相加，结果是一个标量。

（2）向量积：也称为叉积或外积，即将两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其大小是原向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所构成的平面。

三、空间向量的几何应用

1. 向量的方向余弦 （1）定义：设向量a=(x, y, z)，则a的方向余弦分别为l=x/|a|，m=y/|a|，n=z/|a|，它们互为方向余弦。

（2）性质：方向余弦l、m、n满足l²+m²+n²=1。

（3）应用：方向余弦可用于求向量的夹角、判断向量的共线性等。

2. 向量的投影

（1）定义：设向量a和b不共线，a在b上的投影为向量a在b方向上的分量，记为prj_b a。

平面向量的实际背景及基本概念

1. 向量的概念：我们把既有 大小又有方向的量叫向量。

2. 数量的概念：只有大小

没有方向的量叫做数量。 数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小

3•有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。

4•有向线段的三要素： 起点，大小，方向

5•有向线段与向量的区别；

（1 ）相同点：都有大小和方向

（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段

比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。

② 向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。

③ 向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成

6. 向量的表示方法：

① 用有向线段表示；

② 用字母a、b （黑体，印刷用）等表示；

③ 用有向线段的起点与终点字母： AB；

7. 向量的模：向量AB的大小（长度）称为向量的 模，记作| AB |.

8. 零向量、单位向量概念：

长度为零的向量称为 零向量，记为：0。长度为1的向量称为 单位向量。

9. 平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定 0与任一向量平行.即：0 // a

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量a、b、c平行，记作a / b / c .

10. 相等向量

说明： （1）向量a 与 b相等，记作a = b； （2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有

向线段的起点无关. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

11.共线向量与平行向量关系:

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）

说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的

（2）共线向量是可以相互平行的。