24.3 命题与证明(1)
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第 1 页 共 4 页 §24.3 命题与证明(1)
(一)
1.了解证明以及证明的必要性.
2.能将一些文字命题转化为数学问题，并进行证明.
3.掌握证明的步骤，证明过程中使用规范性语言.
4.能用举反例的方法证明或判断简单的假命题.
(二)
1.培养学生规范的数学解题能力.
2.培养学生分析问题、解决问题的能力.
(三)
培养学生具有敢于质疑的意识，同时又有尊重客观事实的科学态度，培养学生勇于探索，创新，解疑的科学精神.
将文字命题转化为数学问题，并进行证明；证明过程中规范性语言的使用.
将文字命题转化为数学问题，如何正确写出“已知”、“求证”.
四、教学方法
引导法，探究法.
多媒体.
(一)
一个同学在画图时发现，三角形的三条边上的高的交点在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形的三条边上的高的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗?
我们曾经计算过三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和，得到这样一个结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗?是否有一个多边形
第 2 页 共 4 页 的内角和不满足这个规律呢?
(二)
由上面的事例说明：通过特殊的事例或实践活动得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，这样的结论需要进一步的证实.那么，怎样来证实呢?那就是证明.
根据题设、定义、公理以及定理等、经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
下面，我们通过证明命题“两直线平行，同旁内角互补”来了解什么是证明.例1 证明：两直线平行，同旁内角互补.
分析：首先弄清命题的题设和结论，其次将命题的题设“两条平行直线被第三条直线所截”转化为数学的符号语言“已知：直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B”，再把结论“同旁内角互补”转化为数学的符号语言“求证：∠1+∠2=180°”，同时要画出图形.
图 1
已知：如图1，直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：因为 a∥b(已知)
所以 ∠1=∠3(两直线平行，同位角相等).
又因为 ∠3+∠2=180°(邻补角定义)
所以 ∠1+∠2=180°(等量代换).
由例1可知以下两点.
1.文字命题的证明要求：写出“已知”、“求证”、“证明”，并画出图形.
2.证明的一般过程：由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，最后推出结论(求证)的正确过程.
第 3 页 共 4 页 注意：证明过程的每一步推理都要有理有据，也就是根据定义、公理和定理. 例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等.
引导学生画出符合条件的图形，再试写出“已知”、“求证”，并进行证明.分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明
思路，最后写出证明的过程；由题意分析，可以先证明含中线的某两个三角形全等，再证得中线相等.
已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AC、AB的中点.
求证：BE=CF.
证明：因为点E、F分别是AC、AB的中点(已知)
AE=21AC，AF=21AB(中点定义).
因为 AB=AC(已知)
所以 AE=AF(等量代换).
在△ABE和△ACF
AB=AC(已知)
∠BAE=∠CAF(公共角)
AE=AF(已证)， 图2
所以 △ABE≌△ACF(S.A.S.).
因此 AE=AF(全等三角形的对应边相等).
例3 求证：有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等.
分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后写出证明的过程.
图 3
已知：如图3，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AC=
A′C′，CD⊥AB于D，C′D′⊥A′B′于D′，且CD=C′D′.
第 4 页 共 4 页 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
分析：(1)Rt△ABC与Rt△A′B′C′中已满足全等的什么条件?(AC=A′C′，∠ACB=∠A′C′B′=90°)
(2)还需补充什么条件两三角形全等?(BC=B′C′，或AB=A′B′，或∠B=∠B′，或∠A=∠A′)
(3)选择哪个条件?(∠A=∠A′)
(4)为什么?(已有条件AC=A′C′，CD=C′D′)
即先证明Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，再证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.小组同学共同完成证明过程.(略)
首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，写出结论(求证)的正确证明过程.
练习教材第96页练习第1题.
例4 试说明“两个锐角的和等于直角”是假命题.
分析：对假命题的证明，用举反例的方法证明.
举反例：就是要证明或判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子即可.
解 设两个锐角都为30°，则两个锐角的和为60°，不等于90°，所以这个命题是假命题.
练习教材第96页练习第2题.
(三)
1.
2.用举反例的方法证明或判断简单的假命题.
(四)
教材第97页习题24.3第3、5题.
