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全国高中数学联赛江苏赛区

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全国高中数学联赛江苏赛区

初赛分类

一：二项式，复数

9．(x3x2)3的展开式中，x5的系数为 27

1． 复数44(1i)(1i) ．

答案：－8

二：指数。对数

2. 函数3log3xy的图像大致是（A ）

(A ) (B )

(C ) (D)

8. 设()log()afxxb(0a且1)a的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点

(28)，，则ba等于4.

解：由题设知 log(2)1log(8)2aabb，， 化简得 2(2)(8).baba，

解之得 1131ab，；2224.ab，（舍去）.

故ab等于4.

4．已知＝，则实数x＝．

填1．

解：即＝32x－4×3x＋3＝03x＝1(舍去)，3x＝3x＝1．

1．方程9135xx的实数解为． o 1 1

x y

o 1 1

x y

o 1 1

x y

o 1 1

x y 提示与答案：x＜0无解; 当0x时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．

2. 设)(xfy为指数函数xay. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，41,21N四点中，函数

)(xfy与其反函数)(1xfy的图像的公共点只可能是点 答：[D]

A. P B. Q C. M D. N

解 取161a，把坐标代入检验，4116121，而2116141，∴公共点只可能是

点N.选D.

三：不等式。

10.已知

,则x2+y2的最大值是 9

12. 已知平面上两个点集 22{(,)||1|2(),,MxyxyxyxyR},

{(,)||||1|1,,NxyxayxyR}. 若 MN, 则 a 的取值范围是

.

12.[16,310]

由题意知M是以原点为焦点、直线 10xy 为准线的抛物线上及其凹口

内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．

考察 MN 时,a的取值范围:

令 1y, 代入方程

22|1|2()xyxy,

得 2420xx，解出得 26x． 所以，

当 26116a 时,

MN． …………③

令 2y，代入方程 22|1|2()xyxy, 得 2610xx. 解出得

310x．所以，

当 310a时, MN． …………④

因此, 综合 ③与 ④ 可知，当 16310a，即 [16,310]a时,

MN．故填 [16,310].

3.设 0ab, 那么 21()abab 的最小值是

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 -2-146-357-1yx123123O≥0

≥0

≥0 333yxyxy3,C 由 0ab, 可知22210()()424aababba

所以， 222144()aababa.故选 C．

2．关于x的不等式02022aaxx任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值

的和是（ C ）.

（A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 1

解：方程02022aaxx的两根是14xa，25xa，则由关于x的不等式

22200xaxa任意两个解的差不超过9，得9|9|||21axx，即

11a. 故选（C）．

7．集合A={x∣x=3n，n∈N，0

则集合AUB的所有元素之和为 225

6. 设集合222xxBxxxA和，其中符号x表示不大于x的最大整数，则

3,1BA.

解 ∵2x，x的值可取1,0,1,2.

当[x]=2，则02x无解；当[x]=1，则12x，∴x=1；

当[x]=0，则22x无解； 当[x]=1，则32x，∴3x.

所以31或x.

12. 设命题P:2aa，命题Q: 对任何xR，都有2410xax. 命题P与Q中有

且仅有一个成立，则实数a的取值范围是 021a 或 121a.

解：由aa2得10a．由0142axx对于任何xR成立，得

04162a，即2121a．因为命题P、Q有且仅有一个成立，故实数

a的取值范围是 021a 或 121a．

四．三角函数

1.函数 ()yfx 的图像按向量 (,2)4a 平移后, 得到的图像的解析式为

sin()24yx. 那么 ()yfx 的解析式为

A. sinyx B. cosyx C. sin2yx D. cos4yx

1,B sin[()]44yx, 即 cosyx.故选 B．

9.函数 xxxy(|2cos||cos|R) 的最小值是. 9,22

令

|cos|[0,1]tx，则

2|21|ytt．

当 212t 时， 2219212()48yttt，得 222y；

当 202t

时，2219212()48yttt，得

2928y

又

y 可取到 22, 故填

22．

8．设COS2θ=23，则COS4θ+sin4θ的值是1118

1．已知函数2sinyx，则（ B ）.

（A） 有最小正周期为2（B） 有最小正周期为

（C） 有最小正周期为2 （D） 无最小正周期

解：)2cos1(21sin2xxy，则最小正周期T.

故选（B）．

1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝．

填0．

解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，

∴α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋πα＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z)．

∴cos(α＋β)＝0．

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，.10103cos,21tanBA若△ABC最长的边为1，则最短边的长为（ ）

A． 255B．355C． 455D． 55

6．解：由10103cosB知B为锐角.31tanB

故1tantan1tantan)tan()tan(tanBABABABAC

由（1）知135C，故c边最长，即c=1，又BAtantan，故b边最短

22sin,1010sinCB由正弦定理CcBbsinsin得

55sinsinCBcb 即最短边的长为55. 11．在ABC中，已知3tanB，322sinC，63AC，则ABC的面积为

8362ABCS．

解：在ABC中，由3tanB 得60B．由正弦定理得sin8sinACCABB．

因为60322arcsin，所以角C可取锐角或钝角，从而31cosC．

23sinsin()sincoscossin36ABCBCBC．故

sin83622ABCACABSA．

4. 如果111CBA的三个内角的余弦值分别是222CBA的三个内角的正弦值，那么

答：[B]

A. 111CBA与222CBA都是锐角三角形

B. 111CBA是锐角三角形，222CBA是钝角三角形

C. 111CBA是钝角三角形，222CBA是锐角三角形

D. 111CBA与222CBA都是钝角三角形

解 两个三角形的内角不能有直角；111CBA的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222CBA是锐角三角形，则不妨设

cos1A=sin2A=cos12A， cos1B=sin2B=cos22A，

cos1C=sin2C=cos12C.

则

212AA，212BB，212CC，

即)(23222111CBACBA，矛盾. 选B.

10. 在ABC中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则222cba= 3 .

解 切割化弦，已知等式即CBCBCACABABAcoscossinsincoscossinsincoscossinsin，

亦即CBACBAcos)sin(sinsinsin，即CCBA2sincossinsin=1，即1cos2cCab.

所以，122222ccba，故3222cba. 2．函数sincosyxx(xR)的单调减区间是.

提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同，[,],2422kkkZ．

4． 已知1cos45，则44sincos．

答案：45

五：向量

7.设向量

OA 绕点 O 逆时针旋转 2 得向量

OB, 且 2(7,9)OAOB, 则

向量 OB.

7,1123(,)55 设 (,)OAmn, 则 (,)OBnm, 所以

2(2,2)(7,9)OAOBmnnm即 27,29.mnmn 解得 23,511.5mn

因此，23111123(,),(,)5555OAOB.

3. 已知向量a、b，设ABa2b，5BCa6b，7CDa2b，则一定共线

的三点是（ A ）.

（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D

解：2BDBCCDa4b2AB，所以A、B、D三点共线. 故选（A）．

8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则→BC·→AO＝．

填－．

解：设|→AO|＝|→BO|＝|→OC|＝R．则

→BC·→AO＝(→BO＋→OC)·→AO＝→BO·→AO＋→OC·→AO＝R2cos(π－2C)＋R2cos2B

＝R2(2sin2C－2sin2B)＝(2RsinB)2－(2RsinC)2＝(122－132)＝－．

3．在△ABC中，已知4ABAC，12ABBC，则AB＝.

提示与答案：216ABACABBCAB，得4AB．

5． 已知向量a，b满足π2,,3abab，则以向量2ab与3ab表示的有向线段

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全国高中数学联赛江苏赛区初赛辅导资料(下)

全国高中数学联赛江苏赛区初赛辅导资料(下)

1 第七章 不等式

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）ab0, cd0acbd;

（2）nnab0, nNab; （3）ab0, nNnnab;

（4）a0, xaaxa, xaxa或xa;

（5）a, b∈R，则ababa|b|;

（6）a, b∈R，则222ab0ab2ab;

（7）x, y, z∈R+，则xy2xy, 3xyz3.xyz

二、方法与例题

1．不等式证明的基本方法。

（1）比较法，在证明A>B或A0）与1比较大小，最后得出结论。

例2 若a

例3 已知a, b, c∈R+，求证：a+b+c-33abc≥a+b.2ab

例4 已知实数a, b, c满足0

（3）数学归纳法。

例5 对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n.

（4）反证法。

例6 设实数01na, a,,a满足0naa0，且

012123n2n1na2aa0, a2aa0,, a2aa0，求证

ka0(k1, 2,, n1).

2

（5）分类讨论法。

例7 已知x, y, zR，求证：.0222222yxxzxzzyzyyx

（6）放缩法，即要证AB，可证112n1nnAC, CC,,CC, CB(nN).

例8 求证：).2(12131211nnn

例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：.mccmbbmaa

（7）引入参变量法。

例10 已知x, yR, l, a, b为待定正数，求3322fx, yabxy的最小值。

例11 设12342341xxxx2, xxxx，求证：

212341234xxxx4xxxx.

江苏赛区高中数学联赛一试(上)

江苏赛区高中数学联赛一试(上)

1 高中数学竞赛大纲

全国高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试

全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：

1.平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数

周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*

3. 初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

2

第一章 集合

一、基础知识

定义1 差集，},{\BxAxxBA且。

定义2 集合},,{baRxbxax记作开区间),(ba，集合

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题word版

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题word版

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

（4月20日8:00至10:00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）

1．若2x，则函数1()1fxxx的最小值是 ．

2．已知函数()exfx．若()2fab，则(3)(3)fafb的值是 ．

3．已知数列na是各项均不为0的等差数列，公差为d，nS为前n项和，且满足221nnaS，*nN，则数列na的通项na ．

4．若函数2223, 0,()2,0xxxfxxaxx≥是奇函数，则实数a的值是 ．

5．已知函数10()lg||3fxx．若关于x的方程2()5()60fxfx的实根之和为m，则()fm的值是 ．

6．设、都是锐角，且5cos5，3sin()5，则cos等于 ．

7．四面体ABCD中，3AB，5CD，异面直线AB和CD之间的距离为4，夹角为o60，则四面体ABCD的体积为 ．

8．若满足3ABC，3AC，BCm的ABC△恰有一解，则实数m的取值范围是 ．

9．设集合1,2,,8S，A，B是S的两个非空子集，且A中的最大数小于B中的最小数，则这样的集合对(,)AB的个数是 ．

10．如果正整数m可以表示为224xy (x，yZ)，那么称m为“好数”．问1，2，3，„，2014中“好数”的个数为 ．

二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．已知a，b，c为正实数，xyzabc，1110xyz，求abc的值．

12．已知1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点，点B的坐标为(0,)b，直线1FB与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若21212MFFF，求双曲线C的离心率．

2020年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

2020年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

2020年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

一、填空题（每小题7分，共70分））

1.关于x的不等式bax的解集为42xx，则ab的值是 -3。

2.从1, 2, 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率。4/9

3.已知xf是周期为4的奇函数且当2,0x时60162xxxf,则102f的值是。-36

4.己知直线l是函数2ln2xxxf图象的切线，当的斜率最小时l的方程是。034yx

5.在平面直角坐标系XOY中，如果直线l将圆04222yxyx平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取位范围是。2,0

6.己知等边△ABC的边长为2,若BCAPAQACABAP21,31,则△APQ面积是。33

7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在棱BC上，点Q为棱CC1的中点.若过点A,P.Q的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP的取值范围为。1,21

8.己知数列na的奇数项依次构成公差为1d的等差数列，偶数项依次构成公差为2d的等差数列.且对任意,Nn都有.1nnaa 若,2,121aa且数列na的前10项和,7510S则8a11

9.己知正实数yx,满足162222xyyx则yx。4

10.设M表示满足下列条件的正整数n的和:n整除22016，且2020整除2n.那么M的所有不同正因子几的个数为。360

二、解答题（每小题20分，共80分））

11.已知,2,0,1235cos1sin1求tan。3/4或4/3

12.如图，点P在△ABC的边AB上且 AB=4AP，过点P的直线MN与△ABC外接圆交于点M, N，且点A是弧M N的中点.求证：

(1)△ABN△ANP。