阿氏圆知识点总结

阿氏圆类题目专项训练

1.在正方形ABCD中，G为正方形内一点，AD＝4,P为BC中点，且BG=BP,则DG+

21

GC的

最小值是_____.

简析：取BP中点M，则ΔBMG∽ΔBGC，∴GM=(1/2)GC，∴DG+

21

GC=DG+GM≥DM=5

2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2,以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上

任一动点，则PA+

22

PC的最小值是.

简析：如图取BM=1,则，△BMP∽△BPC，∴PM=

22

PC，∴PA+

22

PC=PA+PM≥AM=5

3.如图，已知P是边长为6的正方形ABCD内部的一个动点，PA＝3，求PC+

21

PD的最小

值.

简析：如图，取AM＝1.5，则△AMP∽△APD，∴PM=

21

PD，∴PC+

21

PD=PC+PM≥CM=7.54.如图，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25,点M是矩形内部一个动点，MA=15,当MC+

53

MD

的值最小时，画出点M的位置，并求出MC+

53

MD的最小值.

简析：如图以点A为圆心、AM为半径画弧取AN=9,则M点在所画弧与CN连线交点处时MC+

53

MD的值最小，如图所示。∵△ANM∽△AMD，∴MN=

53

MD

∴MC+

53

MD=MC+MN≥CN=1452

5.如图，在平面直角坐标系xoy中，A(-2,0),B(0,1),C(0,3),以O为圆心，OC为半径画圆，P为

圆O上一动点，则

23

PA+PB的最小值为___.

简析：在x轴的负半轴上取一点E，使得OE=4.5，△OAP∼△OPE，PE=

23

PA，

23

PA+PB=PE+PB

≥EB=

285

6.如图，在△ABC中，BC=4,AB=2AC,则△ABC的面积的最大值为____.简析：∵AC:AB=1:2，延长BC到O，连接OA，设CO为x,OA为2x，4+x=2×2x，x=

34

，OA=

38

S

△ABC=

21

BC·AH≤

21

BC·AO=

21

×4×

38=

316。

7.如图，△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,圆C的半径为4，点D是圆上一动点，连接AD,BD,则AD+

谌老师辅导资料

阿氏圆最值问题

阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PAkPB（0k且k不

等于1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏

圆 例1、问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P

为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋12BP的最小值．

尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上

取点D，使CD＝1，则有CDCP＝CPCB＝12，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，

∴PDBP＝12，∴PD＝12BP，∴AP＋12BP＝AP＋PD．

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋12BP的最小值为 ．

自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 13AP＋BP的最小值为 ．

拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是 ⌒CD上一点，求2PA＋PB的最小值．

谌老师辅导资料

例2、问题背景 如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC

问题初探 请写出任意一对满足条件的AB和AC的值：AB＝__________，AC＝___________．

问题再探 如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．

问题解决 求△ABC面积的最大值．

向内构造类型 1、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，C的半径为4，

点D是

C上的动点，连接AD，

BD，则12ADBD的最小值为_________

DCBA

CBA

图2图1

B

D

CA谌老师辅导资料

2、如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，B的半径为2，P是B上一动点，则12PDPC的最小值为_________；2+4PDPC的最小值为_________．

3、如图，已知菱形ABCD的边长为4，=60B，B的半径为2，P为B上一动点，则1+2PDPC的最小值为________

1 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．

如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．

以下给出两种证明

法一：构造角分线

先复习两个定理

（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC．

证明：利用等积法

， 即AB:AC=DB:DC

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB:AC=DB:DC．

证 明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD△△AED（SAS），CD=ED且AD平分△BDE，则DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC．

接下来开始证明：如图，PA：PB=k，作△APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k， 2 故M点为定点，即△APB的角平分线交AB于定点；

作△APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k，故N点为定点，即△APB外角平分线交直线AB于定点；

又△MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．

中考专题训练 阿氏圆模型

阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：

已知平面上两定点A、B，则所有满足

）（1kkPBPA的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆. 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似（也叫“母子型相似”）＋两点间线段最短，解决带系数两线段之和．．．．．．．．的最值问题.

观察下面的图形，当P 在⊙O上运动时，用PA、PB 的长在不断的发生变化，但PBPA的比值却始终保持不变.

关于阿氏圆解决最值问题的一些认识

B A P 一．对阿氏圆这个知识的认识：

已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA ： PB= k (K ≠1)的点P

的轨迹是一个以定比m ：n 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，又称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆（k=m ：n ）

1. 两定点已知，动点P 所在的圆是所探求的结论，未知，可以画出来。

2. 要画出这个圆，须在AB 上找到一点M ，使得AM ：BM=k,

在AB 的延长线上找一点N ，使得AN:MN=K, 以MN 为直径画出动点P 所在的圆，圆心O ，两定点A,B 共线，圆心O 在两定点右侧。

3. 连接PO ，则?PBO 相似于?PAO,从而发现了斜A 型相似的基本图形。观察它的构成，为后面问题的解答做好铺垫。

二．对利用阿氏圆知识解决的最值问题的认识：

例：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C

的半径为2，P 为圆上一动

点，连接AP ，BP ，求AP ＋12

BP 的最小值．

1.在求解的问题中，动点所在的阿氏圆已知，阿氏圆中的k 值已知（即所求问题中的非1系数），阿氏圆中的两定点知其一，系数非1的乘积中，动线段的定端点就是该定点，我们需要找到另一个定点。

2.要找到另一个定点，就必须构造斜A 相似图形，观察一的内容，明确做法：连接PC(C 为圆心），作∠CPD=∠CBP 交BC 于点D ，点D 即为阿氏圆中的另一个定点。根据相似，可得出12BP=PD ，所以AP+12

BP=AP+PD,当A,P,D 三点共线时，取得最小值。