九年级数学圆的有关性质教案

九年级数学圆的有关性质教案

1、理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系以及其有关概念。2、掌握弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，会根据具体条件确定这四者之间的关系；3、探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。灵活运用圆周角

的知识进行有关的推理论证及计算。

4、熟练掌握垂径定理的应用领域及逆定理的应用领域，尤其就是可以嵌入与之有关的辅助线；5、可以用圆与三角形和圆内直奔四边形的科学知识，尤其就是有关外角的科学知识沟通交流图形间的关系。【科学知识网络】

1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆。2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆就是中心对称图形，对称中心为圆心。

3、垂径定理及其推论：

定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推断：（1）平分弦（不是直径）的直径旋转轴弦，并且平分弦所对的弧。（2）弦的横向垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、圆心角、弧、弦心距之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。5、有关圆周角的定理：

（1）一条弧所对的圆周角等同于它面元的圆心角的一半。（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角成正比。

（3）直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。6、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。【典型例题选讲】例1．（2021绵阳）如图，ab是的⊙o的直径，bc、cd、da是⊙o的弦，且bc=cd=da，则∠bcd=（）

a．100b.110c.120d.135析解：∵ab就是的⊙o的直径

∴acb度数是180

∵bc=cd=da =cd=da∴bc

(1800+600)=12002

例2．（2021贵港市）如图，在o中，弦ad平行于弦bc，若∠aoc=80，则∠dab=____度．

析解：∵∠b=

∠aoc，∠aoc=802

∴∠dab=∠b=40

例3：已知：ab和cd为⊙o的两条平行弦，⊙o的半径为5cm,ab=8cm,cd=6cm,求ab、cd间的距离是7㎝或1㎝。

析解:由于圆内的的两条弦均大于圆的直径,因此可以确认出来圆中的两条平行弦的边线关系存有两种:一就是坐落于圆心的同侧;二就是坐落于圆心的异侧,例如图:

过o作ef⊥ab，分别交ab、cd于e、f，则ae=4㎝，cf=3㎝，由勾股定理可求出oe=3㎝，of=4㎝。故当ab、cd在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝。(b)

基准4：用圆规、直尺作图，不文学创作法，但必须留存作图痕迹．b

．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

（1）恳请你移去这个输水管道的圆形横截面；

（2）若这个输水管道有水部分的水面宽ab＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

析解：这就是一道作图与答疑结合的中考题，着重于考查学生动手操作方式图形的能力和利用基本知识化解直观问题的能力。

解（1）正确作出图形，并做答．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3′（2）解：过o作oc⊥ab于d，交弧ab于c，

∵oc⊥ab，∴bd＝

ab＝×16＝8cm．22

由题意所述，cd＝4cm．„„„„„„„„„„„„4′

设半径为xcm，则od＝（x－4）cm．在rt△bod中，由勾股定理得：222222 od＋bd＝ob，∴(x－4)＋8＝x．„„„„„„„„„„„„5′∴x＝10．

即这个圆形截面的半径为10cm．„„„„„„„„„„„„„„„„6′

基准5（2021常州）（本小题满分6分后）

如图，有一木制圆形脸谱工艺品，h、t两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点d处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点d的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．

求解：画图恰当4分后

方法一：如图①，画th的垂线l交th于d，则点d就是th的中点。

依据就是垂径定理。5分后

方法二：如图②，分别过点t、h画hc⊥to，te⊥ho，hc与te相交于点f，过点o、f画直线l交ht于点d，则点d就是ht的中点。

由画图言，rt△hoc≌rt△toe，养胃hf=tf，又oh=ot

所以点o、f在ht的中垂线上，所以hd=td6分方法三：如图③，（原理同方法二）6分注：其它解法，按以上标准相应给分

基准6.(2021宜昌).例如图，ab就是⊙o的直径,bd就是⊙o的弦，缩短bd至点c,并使dc=bd,相连接ac交⊙o与点f.

（1）ab与ac的大小有什么关系?为什么?

（2）按角的大小分类,恳请你推论△abc属哪一类三角形，o

并说明理由。解：（1）（方法1）连接do.„„„1分∵od是△abc的中位线，∴do∥ca.∵∠odb＝∠c，∴od＝bo„„2分

∴∠obd＝∠odb，

∴∠obd＝∠acb，„3分∴ab＝ac„4分

（方法2）相连接ad，„1分后∵ab就是⊙o的直径，∴ao⊥bc，„3分后∵bd＝cd，∴ab＝ac.„„„4分后

（方法3）连接do.„„„1分∵od是△abc的中位线，∴od=ob=od=

（2）相连接ad，∵ab就是⊙o的直径，∴∠adb＝90°

∴∠b＜∠acb＝90°.∠c＜∠acb＝90°.∴∠b、∠c为锐角..„6分∵ac和⊙o交于点f，连接bf， ∴∠a＜∠bfc＝90°.∴△abc为锐角三角形„7分例7．（2021湖北恩施）在深入探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考量了一种特定情况（圆心在圆周角的一边上）例如图(1)右图：∵∠aoc就是⊿abo的外角∴∠aoc=∠abo+∠bao

又∵oa=ob∴∠oab=∠oba∴∠aoc=2∠abo即∠abc=

ab3分后∴ab=ac4分后2

ac2分2

如果∠abc的两边都不经过圆心，

如图(2)、（3）,那么结论会怎样?

求解：如果∠abc的两边都不经过圆心,

结论∠abc=

∠aoc仍然设立(2分后)2

(1)对图2的情况

相连接bo并缩短交圆o于点d(3分后)由图1言:∠abd=

∠aod21

∠cbd=∠cod(5分后)

∴∠abd+∠cbd=∠aod+∠cod

即为∠abc=∠aoc(8分后)

(2)对图3的情况仿图2的情况可证(10分)

基准8.（2021资阳）例如图6，未知ab为⊙o的直径，弦cd⊥ab，像距为h.

(1)求证：ah.ab=ac；

(2)若过a的直线与弦cd(不不含端点)平行于点e，与⊙o平行于点f，澄清：ae.af=ac；

(3)若过a的直线与直线cd相交于点p，与⊙o相交于点q，判断ap.aq=ac是否成立(不必证明).

求解．(1)联结cb，∵ab就是⊙o的直径，∴∠acb=90°.·········1分后

而∠cah=∠bac，∴△cah∽△bac.···············2分∴ ，即ah.ab=ac.················3分后

(2)连结fb，易证△ahe∽△afb，···············4分∴ae.af=ah.ab，·······················5分∴ae.af=ac.························6分(也可连结cf，证△aec∽△acf)

(3)结论ap.aq=ac设立.···················7分后

【历届试题精选】一、选择题

1.（2021安徽）例如图,⊙o的半径oa=6,以a为圆心,oa为半径的弧交⊙o于b、c点,则bc=()

a.63b.62c.33d.3

2．（2021佛山）例如图，ab就是⊙o的直径，c就是⊙o上一点，若ac︰bc＝4︰3，ab＝10cm，od⊥bc于点d，则bd的短为().

3、（2021河南）用一把带有刻度的直尺，①可以画出两条平行的直线a与b

，例如图⑪；②可以图画出来∠aob的平分线op，例如图⑫右图；③可以检验工件的凹面与否为半圆，例如图⑬右图；④可以量出来一个圆的半径，例如图⑭右图。这四种观点恰当的就是()

b.3cmc.5cmd.6cm

a、1个b、2个c、3个d、4个4．（2021泰安）以下轴对称图形中，对称轴最少的就是（）ａ．ｂ．ｃ．

5、（2021福州）如图，ab为⊙o的直径，点c在⊙o上，∠b＝50°，则∠a等于（）a、80°b、60°c、50°d、40°

6．（2021泉州）例如图，△abc内韦索⊙o，∠a=40°，则∠obc的度数为（）

a．20°；b．40°；c．50°；d．70°.

7.（2021资阳）若⊙o所在平面内一点p至⊙o上的点的最小距离为a，最轻距离为

b(a>b)，则此圆的半径为

d.a+b或a-b

8、（2021茂名）如图，梯形abcd内接于◎○，ab//cd，ab为直径，do平分∠adc，则 ∠dao的度数就是

a、90，b、80，c、70，d、60；

9、（2021湛江）以下三个命题：

①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等；其中是真命题的是

a、①②，b、②③，c、①③，d、①②③；10．（2021陕西）例如图，⊙o就是△abc的外接圆，ad就是⊙o的直径，相连接cd，若⊙o的半径

，ac=2，则cosb的值是【】2

3255b．c．d．2332

11．如图，△abc内接于⊙o，∠c=45º,ab=4，则⊙o的半径为a.2b.4c.2d.5

12．（2021云南）未知：例如图，ab就是⊙o的弦，⊙o的半径为5，oc⊥ab于点d,缴⊙o于点c，且cd=2，那么ab的短为（）a.4b.6c.8d.10

13．（2021武汉）如图，a，b，c是⊙o上的三点，∠aoc=100°，则∠abc的度数为（）.(a)30°(b)45°(c)50°(d)60°

14．（2021四川泸州）例如图3，c就是⊙o上一点，若圆周角∠acb=40°，则圆心角∠aob的度数就是（）