【核心考点突破】2023学年七年级数学上册精选专题培优讲与练(人教版)借助数轴将数与形结合-解析版

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题3.1从算式到方程【名师点睛】1.方程的定义方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．2.方程的解（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．（2）规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．3.一元一次方程的定义（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b 是常数，x的次数必须是1．4.一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．【典例剖析】【考点1】方程的定义【例1】（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①2x―1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2―5x―1，是方程的是（ ）A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤【答案】C【分析】根据方程的定义即可一一判定．【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，①2x ―1=5是方程；②4+8=12，不含有未知数，故不是方程；③5y +8不是等式，故不是方程；④2x +3y =0是方程；⑤2a +1=1是方程；⑥2x 2―5x ―1不是等式，故不是方程；故方程有：①④⑤，故选：C ．【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．【变式1】（2022·山西阳泉·七年级期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）A ．一个数的13是6B ．x 与1的差的14C ．甲数的2倍与乙数的13D ．a 与b 的和的60%【考点2】判定一元一次方程【例2】（2022·辽宁本溪·七年级期末）下列方程①x ―2=1x ；②3x =11；③x 2=5x ―1；④y 2―4y =3；⑤x =0；⑥x +2y =1，其中是一元一次方程的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】用一元一次方程的定义判定即可．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方【变式2】（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）下列等式是一元一次方程的是( )A．x2―4x=3B．xy―3=5C．x+2y=1D．3x―1=x2【考点3】根据一元一次方程的定义求字母的值【例3】（2022·河南许昌·七年级期末）已知(a―3)x|a―2|―5=8是关于x的一元一次方程，则a=（）A．3或1B．1C．3D．0【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义可得|a―2|=1且a―3≠0，解之即可得出．【详解】解：∵(a―3)x|a―2|―5=8是关于x的一元一次方程，∴|a―2|=1且a―3≠0，解得：a=1或3 ，且a≠3，∴a=1，故选：B．【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，一元一次方程是指只含有一个未知数，且未知数的次数为1这样的整式方程，熟练掌握定义是做题的关键．【变式3】（2021·贵州黔东南·七年级期末）若方程(m―3)x|m|―2=m―5是关于x的一元一次方程，则m的值为（）A．3B．-3C．±3D．±2【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义得出m-3≠0，|m|-2=1，求出m的值即可．【详解】解：∵方程(m―3)x|m|―2=m―5是关于x的一元一次方程∴|m|-2=1，且m-3≠0，解得m=―3．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1且未知数的系数不为0这个条件．【考点4】方程的解【例4】（2022·云南红河·七年级期末）下列方程中，解是x=4的是（）A．―x―4=0B．1(x+2)=x C．3x―8=4D．4x=12【变式4】（2022·河北沧州·七年级期末）若关于x的方程2x+k―4=0的解是x=―3，则k的值为( ) A．―10B．10C．―2D．2【答案】B【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．【详解】解：把x＝−3代入方程2x＋k−4＝0，得：−6＋k−4＝0解得：k＝10．故选：B．【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．【考点5】列一元一次方程【例5】（2020·全国·七年级课时练习）根据下列条件，设未知数并列出方程：（1）某数的3倍减去3，等于该数的1加5；3（2）某商店将进价为2500元的某品牌彩电按标价的8折销售，仍可获得220元的利润，那么该品牌彩电的标价为多少元？【变式5】（2020·湖南·桃江县第五中学七年级期中）按要求列方程（不需要求解）（1）一个方程的解为x=2，请写出一个符合条件的方程（2）根据“x的3倍与5的和比x的1少3”列出方程2【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•资阳期末）下列各式中：①2x﹣1＝5；②4+8＝12；③5y+8；④2x+3y＝0；⑤2a+1＝1；⑥2x2﹣5x﹣1．是方程的是（ ）A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤【分析】根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可．【解析】①2x﹣1＝5符合方程的定义，故本小题符合题意；②4+8＝12不含有未知数，不是方程，故本小题不合题意；③5y+8不是等式，故本小题不合题意；④2x+3y＝0符合方程的定义，故本小题符合题意；⑤2a+1＝1符合方程的定义，故本小题符合题意；⑥2x2﹣5x﹣1不是等式，故本小题不合题意．故选：C．2．（2022春•让胡路区校级期末）下列式子：①3x﹣4＝1；②2xy﹣1＝0；③2x＝1．其中一元一次方程的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此解答即可．【解析】①是一元一次方程；②有两个未知数，不是一元一次方程；③是一元一次方程；一元一次方程有①③，一元一次方程的个数是2．故选：C．3．（2022春•漳州期末）若关于x的方程2x m﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．【解析】根据题意得：m﹣1＝1，解得：m＝2．故选：D．4．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（ ）A．0B．7C．8D．10【分析】根据一元一次方程的定义得出7﹣a＝0且a≠0，再求出a即可．【解析】∵方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，∴7﹣a＝0且a≠0，解得：a＝7，故选：B．5．（2021秋•孟村县期末）如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（ ）A．﹣10B．10C．2D．﹣2【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．【解析】把x＝﹣3代入方程2x+k﹣4＝0，得：﹣6+k﹣4＝0解得：k＝10．故选：B．6．（2021秋•桓台县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可．【解析】把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故选：C．7．（2021秋•义乌市期末）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）A．2B．3C．7D．8【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把方程的解代入方程，可得答案．【解析】把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，得：5a﹣8＝20+a，解得：a＝7，故选：C．8．（2022春•上蔡县期末）小华想找一个解是2的方程，那么他会选择（ ）A．3x+6＝0B．23x＝2C．3（x﹣1）＝x+1D．5﹣3x＝1【分析】把x＝2分别代入各个选项的方程，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解．【解析】A．把x＝2代入方程，左边＝12≠右边，故本选项不合题意；B．把x＝2代入方程，左边=43≠右边，故本选项不合题意；C．把x＝2代入方程，左边＝3＝右边，故本选项符合题意；D．把x＝2代入方程，左边＝﹣1≠右边，故本选项不合题意．故选：C．9．（2022•政和县模拟）中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x，则下面符合题意的方程是（ ）A．9x+11＝6x﹣16B．9x+6x＝16+11C．9x+11＝6x+16D．9x﹣11＝6x+16【分析】设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，根据鸡的价格不变可得9x﹣11＝6x+16，此题得解．【解析】若设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，根据题意得：9x﹣11＝6x+16，故选：D．10．（2022•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）A．x27+x5=1B．x27+x5=1C．x7+x25=1D．x7+x25=1【分析】根据题意设甲乙经过x日相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的x7和x25，进而得出等式．【解析】设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为：x 7+x25=1．故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2019春•奉贤区期中）方程23xy+3＝0中，23xy的次数是　2　次．【分析】根据单项式的次数解答即可．【解析】方程23xy+3＝0中，23xy的次数是2次．故答案为：2．12．（2022春•让胡路区校级期末）若方程2x2m﹣1﹣1＝3是一元一次方程，那么3m﹣7＝　﹣4　．【分析】根据一元一次方程的定义可得2m﹣1＝1，据此可得m的值，再代入所求式子计算即可．【解析】∵方程2x2m﹣1﹣1＝3是一元一次方程，∴2m﹣1＝1，解得m＝1，∴3m﹣7＝3﹣7＝﹣4．故答案为：﹣4．13．（2022春•江源区期末）把x＝1代入方程x﹣2y＝4⋯①，那么方程①变成关于　y　的一元一次方程．【分析】根据一元一次方程的定义，判断即可．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．【解析】把x ＝1代入方程x ﹣2y ＝4⋯①，得1﹣2y ＝4，故方程①变成关于y 的一元一次方程．故答案为：y ．14．（2022春•金川区校级期末）关于x 的方程（2m ﹣6）x |m ﹣1|﹣2＝0是一元一次方程，则m ＝　2或0　．【分析】根据一元一次方程的定义可得|m ﹣1|＝1，且2m ﹣6≠0，再解即可．【解析】由题意得：|m ﹣1|＝1，且2m ﹣6≠0，解得m ＝2或0，故答案为：2或0．15．（2022春•长治期末）已知关于x 的方程2x +a ＝5的解是x ＝1，则a 的值是 3　．【分析】根据方程的解的意义，把x ＝1代入原方程得关于a 的方程，解方程即可．【解析】把x ＝1代入方程2x +a ＝5，得：2+a ＝5，解得：a ＝3．故答案为：3．16．（2022春•古县期末）已知关于x 的方程2x +a ＝5的解是x ＝1，则a 的值是 3　．【分析】把x ＝1代入方程计算即可求出a 的值．【解析】把x ＝1代入方程得：2+a ＝5，解得：a ＝3．故答案为：3．17．（2022春•临汾期末）已知关于x 的方程2x 13=x a 2―1的解x ＝﹣10，同a 的值为 2　．【分析】把x ＝﹣10代入方程即可得出a 的值．【解析】把x ＝﹣10代入关于x 的方程得：2x 13=x a 2―1，2013=10a 2―1，解得a ＝2．故答案为：2．18．（2022•青县一模）已知关于x 的方程2x 13=x a 2―1的解为x ＝﹣10，则a 的值为 2　；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的﹣1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为x ＝　﹣5　．【分析】把x ＝﹣10代入方程即可得出a 的值；根据题意结合解一元一次方程的步骤即可得出嘉琪解得方程的解．【解析】把x ＝﹣10代入关于x 的方程2x 13=x a 2―1，得：2013=10a 2―1，解得a ＝2；故原方程为2x 13=x 22―1，嘉琪的解题过程为：2（2x ﹣1）＝3（x ﹣2）﹣1，4x ﹣2＝3x ﹣6﹣1，4x ﹣3x ＝2﹣6﹣1，x ＝﹣5．故答案为：2；﹣5．三．解答题（共6小题）19．（2021秋•武昌区期末）若（a ﹣1）x |a |﹣3＝0是关于x 的一元一次方程，求﹣4a 2﹣2[a ﹣（2a 2﹣a +2）]的值．【分析】先化简代数式，再由（a ﹣1）x |a |﹣3＝0是关于x 的一元一次方程，所以a ﹣1≠0且|a |＝1，求得a 的值，代入所化简后的代数式即可求得．【解析】﹣4a 2﹣2[a ﹣（2a 2﹣a +2）]＝﹣4a 2﹣2[a ﹣2a 2+a ﹣2]＝﹣4a 2﹣2a +4a 2﹣2a +4＝4﹣4a ．根据题意得，a ﹣1≠0且|a |＝1，解得a ＝﹣1，把a ＝﹣1，代入化简后的代数式得，4﹣4a＝4﹣4×（﹣1）＝4+4＝8．20．（2021秋•邢台月考）已知（m+1）x|m|+2＝0是关于x的一元一次方程．（1）求m的值；（2）求该方程的解．【分析】（1）根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；（2）将（1）中的m值代入已知方程，然后解关于x的方程即可．【解析】（1）由题意知：m+1≠0，|m|＝1，则m≠﹣1，所以m＝1或m＝﹣1所以m＝1；（2）由（1）知，m＝1代入（m+1）x|m|+2＝0，得（1+1）x|1|+2＝0，即2x+2＝0．解得x＝﹣1．21．（2022春•原阳县月考）王老师在黑板上写了一个等式（m﹣3）x＝5（m﹣3），小明说x＝5；小刚说不一定，当x≠5时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确么？用等式的性质说明理由．【分析】根据等式的性质，即可解答．【解析】小明的说法错误，小刚的说法正确，理由如下：当m﹣3＝0时，x为任意数，当m﹣3≠0时，x＝5．22．（2021秋•莱阳市期末）在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）【分析】首先设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20﹣x）人，根据题意可得等量关系：原来拔草人数+支援拔草的人数＝2×（原来植树的人数+支援植树的人数）．【解析】设支援拔草的有x人，由题意得：31+x＝2[18+（20﹣x）]．23．（2021秋•沈北新区期末）“五一”期间，某电器城按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）【分析】设该电器的成本价为x元，根据成本价×（1+30%）×80%＝售价为2080元可列出方程．【解析】设该电器的成本价为x元，依题意有x（1+30%）×80%＝2080．24．（2019秋•保亭县期末）从甲地到乙地，某人骑自行车比乘公共汽车多用2.5h，已知骑自行车的平均速度为每小时15km，公共汽车的平均速度为每小时40km，求甲乙两地之间的路程（只列方程）．【分析】设甲乙两地之间的路程为x千米，根据某人骑自行车比乘公共汽车多用2.5h，列出方程即可．【解析】设甲乙两地之间的路程为x千米，由题意得x 40+2.5=x15．。

有理数混合运算的六种技巧（解析版）【专题精讲】有理数的混合运算是加、减、乘、除乘方的综合应用,学会运算法则是基础,运算的关键是运算的顺序,为了提高运算速度,要灵活运用运算律,还要能创造条件利用运算律,如拆数,移动小数点等,对于复杂的有理数运算,要善于观察、分析、类比与联想,从中发现可以简算的地方从而达到算得准、算得快的目的。

计算复杂算式,应遵循以下几个原则：(1)分段同时性原则:例如在计算一0.25²÷（-21）-（−1）2021+(-2)²×(-3)²的过程中,应在第一步中计算0.25² −（12）4 （−1）2021 （-2）²,（-3）²以达到高效的目的; (2)整体性原则:例如乘除混合运算统一化为乘法,统一进行约分;(3)简明性原则:计算步骤尽可能简明,能够一步计算出来的就同时算出来,不要拖沓;(4)心算原则:计算过程中,能用心算的都尽量运用心算,心算是提高运算速度的重要方法。

有理数计算常用的技巧与方法有①应用运算律;②裂项相消;③分解相约;④巧用公式;⑤利用倒数;⑥借用图形面积◎类型一：巧用凑整法计算解题方法：多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。

1．（2020·安徽·马鞍山市雨山实验学校七年级阶段练习）计算(1)()21112 2.75524⎛⎫----+-+ ⎪⎝⎭(2)5212018201740351632⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)()()36762464+-+-+(2)33243571375-++++(1)(9)(7)(6)(5)---+--+；(2)11213()() 2332---+-．4．（2022·全国·七年级专题练习）（- 48）-（- 512）+（- 44）-38◎类型二：运用拆项法计算解题方解答此类问题,先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起,利用交换律结合律得出答案。

2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.1正数和负数【名师点睛】1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．【典例剖析】【知识点1】正数和负数【例1】（2022·江西吉安·七年级期末）把下列各数分别填在相应的集合内：125，10，−213，0，3.1415，−5，0.6，−113，712．(1)正数集合：{ …}；(2)负数集合：{ …}；【答案】(1)125，10，3.1415，0.6，712(2)−213，−5，−113【解析】根据“正数是大于0的数，负数是小于0的数”进行解答即可.(1)12…故答案为：125，10，3.1415，0.6，712(2)负数集合：−213,−5,−113…故答案为：−213，−5，−113【变式1.1】（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室一模）有如下一些数：3，−3.14，0，+2.3，−2，其中负数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】【分析】根据负数的概念求解即可．【详解】解：负数有：−3.14，−2，∴共有2个负数，故选∶A．【点睛】此题考查了负数的概念，解题的关键是熟练掌握负数的概念．【变式1.2】（2022·广西·藤县教学研究室一模）在下列的数中，是负数的是（）A．1B．3C．-1D．0【答案】C【解析】【分析】根据负数的定义判断即可．【详解】根据负数的定义，可得-1是负数，故选：C．【点睛】本题考查了负数的定义，即任何正数前加上负号都等于负数，熟练掌握知识点是解题的关键．【知识点2】相反意义的量（2022·河北邯郸·三模）规定：（↑30）表示零上30°C，记作+30，（↓5）表示零下5°C，记作（）A．+5B．−5C．+15D．−15【答案】B 【解析】【分析】先明确“正”和“负”所表示的意义，然后根据题意作答即可．【详解】解：规定：（↑30）表示零上30摄氏度，记作+30；则（↓5）表示零下5摄氏度，记作﹣5．故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数表示相反意义，弄清题意、知道“正”和“负”所表示的意义是解答本题的关键．【变式2.1】（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进小麦6吨，记为+6吨，那么仓库运出小麦8吨应记为（）吨．A．+8B．-8C．±8D．-2【答案】B【解析】【分析】根据正负数的意义，直接写出答案即可．【详解】解：因为题目运进记为正，那么运出记为负，所以运出面粉8吨应记为-8吨，故B正确．故选：B．【变式2.2】（2022·山东淄博·二模）现实生活中经常用正数和负数来表示具有相反意义的量．如果收入50元记作+50元，那么支出20元应记作__________元．【答案】-20【解析】【分析】根据相反意义的量的定义求解即可．【详解】解：∵收入50元记作+50元，∴支出20元应记作-20元．故答案为：-20．【点睛】本题考查相反意义的量，熟练掌握该知识点是解题关键．【知识点3】0的认识【例3】（2021·四川绵阳·七年级阶段练习）下列语句中正确的是（ ）A．自然数是正数B．0是自然数C．带“﹣”号的数是负数D．一个数不是正数就是负数【答案】B【解析】【分析】由正数和负数的定义可依次判断．【详解】解：A．自然数是0和正整数，故A选项错误，不符合题意；B．0是自然数，选项正确，符合题意；C．带“−”号的数不一定是负数，比如−(−1)=1，故C选项错误，不符合题意；D．一个数不是正数，可能是0或负数，故D选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了对正数和负数的概念的理解，解题的关键是在分类中时刻注意“0”的存在是关键．【变式3.1】（2020·宁夏·银川市第三中学七年级阶段练习）下列说法中正确的是（）A．一个数不是正数就是负数B．不存在既不是正数，也不是负数的数C．0既不是正数，也不是负数D．不带“−”号的数都是正数【答案】C【解析】【分析】根据有理数的概念和分类分别判断即可．【详解】解：A、一个数不是正数就是负数，还可以是0，故错误；B、0既不是正数也不是负数，故错误；C、0既不是正数，也不是负数，故正确；D、0不含“-”号也不是正数，故错误；故选C．【变式3.2】（2020·浙江温州·七年级阶段练习）下列说法正确的有（ ）①不带负号的数都是正数；②带负号的数不一定是负数；③0℃表示没有温度；④0既不是正数，也不是负数．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】【分析】根据正数、负数的定义以及有理数的分类逐个选项分析即可完成.【详解】①0不带负号，但不是正数，故①错误；②﹣（﹣1），带负号，是正数1，故②正确；③0℃表示没有温度，③错误；④0既不是正数，也不是负数，④正确．正确的是：②④，共2个故选C【满分训练】一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（2022•舟山）若收入3元记为3+，则支出2元记为( )A．1B．1-C．2D．2-【分析】根据正负数的意义可得收入为正，支出为负解答即可．【解答】解：若收入3元记为3-，+，则支出2元记为2故选：D．2．（2022•云南）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10C°记作10C°+，则零下10C°可记作( )A ．10C °B ．0C °C ．10C °-D ．20C°-【分析】根据正数和负数可以用来表示具有相反意义的量解答即可．【解答】解：Q 零上10C °记作10C °+，\零下10C °记作：10C °-，故选：C ．3．（2022•碑林区校级模拟）如果零上8C °记做8C °+，那么零下7C °可记作( )A ．7C °-B ．7C °+C ．15C °+D ．15C°-【分析】根据实数中正、负数的意义可知，“正”和“负”相对，表示相反的意思．所以如果零上8C °记作8C °+，那么零下7C °就记作7C °-．【解答】解：“正”和“负”相对，\如果零上8C °记作8C °+，那么零下7C °应该记作7C °-．故答案为：A ．4．（2022•榆阳区二模）妈妈的微信账单明细中40+元表示收入40元，那么25-元表示( )A ．收入25元B ．支出25元C ．收入15元D ．支出15元【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量即可得出答案．【解答】解：40+Q 元表示收入40元，25\-元表示支出25元，故选：B ．5．（2022•丽江二模）2022年5月1日上午7时，丽江市主城区的气温为零上8C °，记作8C °+．此时玉龙雪山海拔最高点的气温为零下3C °，可记作( )A ．3C °+B ．5C °+C ．3C °-D ．5C°-【分析】利用正负数的含义，确定答案即可．【解答】解：Q 气温为零上8C °，记作8C °+，\气温为零下3C °，记作3C °-，故选：C ．6．（2022•官渡区二模）我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果零上5C °记作5C °+，那么零下10C °记作( )A ．10C °-B ．10C °+C ．5C °-D ．5C°+【分析】根据正数和负数是表示一对意义相反的量进行求解．【解答】解：Q 正数和负数是表示一对意义相反的量，\如果零上5C °记作5C °+，那么零下10C °记作10C °-．故选：A ．7．（2022•藤县一模）在下列的数中，是负数的是( )A ．1B ．3C ．1-D ．0【分析】根据负数的定义可以判断选项中哪些数是负数，从而可以解答本题．【解答】解：10>Q ，30>，10-<，00=，1\-是负数，故选：C ．8．（2021秋•凤凰县期末）如果收入100元记作100+元，那么20-元表示( )A ．支出20元B ．支出80元C ．收入20元D ．收入80元【分析】用正数和负数可以表示一对相反的量，如果收入记作正，则支出则记作负．【解答】解：若100+元表示收入100元，则20-元可表示为支出20元，故选：A ．9．（2021秋•沙坪坝区校级期中）哈根达斯“双球冰淇淋”标准净含量为1555g ±，下列“双球冰淇淋”合格的是( )A ．131gB ．142gC ．153gD ．164g【分析】根据标准净含量为1555g ±算出合格产品净含量范围，即可求得结果．【解答】解：Q 标准净含量为1505g ±，即净含量范围在145~155g g ，又Q 在这范围内的只有C 选项，故选：C ．10．（2020秋•大石桥市月考）下列说法正确的是( )A ．“向东10米”与“向西10米”不是相反意义的量B ．如果气球上升25米记作25+米，那么15-米的意义就是下降15-米C ．如果气温下降6C °，记为6C °-，那么8C °+的意义就是下降8C°D ．若将高1米设为标准0，高1.20米记作0.20+米，那么0.05-米所表示的高是0.95米【分析】根据正数与负数的意义逐项判定可求解．【解答】解：A．“向东10米”与“向西10米”是相反意义的量，故不符合题意；B．如果气球上升25米记作25-米的意义就是下降15米，故不符合题意；+米，那么15C．如果气温下降6C°，记为6C°+的意义就是上升8C°，故不符合题意；-，那么8C°D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作0.20+米，那么0.05-米所表示的高是0.95米，故符合题意．故选：D．二．填空题（共10小题，每小题5分，共50分）11．（2022春•杨浦区校级期中）如果把收入1200元记作1200-元表示　支出1000+元，那么1000元　．【分析】根据正数和负数的概念即可得出结论．【解答】解：Q收入1200元记作1200+元，\-元表示支出1000元，1000故答案为：支出1000元．12．如果30-米表示　向西15米　．+米表示向东30米，那么15【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东记为正，可得向西的表示方法．【解答】解如果30-米表示向西15米．+米表示向东30米，那么15故答案为：向西15米．13．（2021秋•同心县校级期末）如果水位升高5m记作5m+，那么水位下降6m记作　6-　m．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：如果水位升高5m记作5m-，+，那么水位下降6m记作6m故答案为：6-．14．（2021秋•许昌期末）如果向东走5m记为：5m+，那么向西走8m记为：　8-　m．【分析】根据正数和负数的意义解答．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对．【解答】解：如果向东走5m记为：5m-．+，那么向西走8m记为：8m故答案为：8m-．15．（2020秋•沂南县期中）若5+元表示收入5元，则支出3元记作　3-　元．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若5-元．+元表示收入5元，则支出3元记作3故答案为3-．16．下列数中，哪些是正数？哪些是负数？3+，2-，1+，0，6.9，8，34-．正数有：{　3+，1+，6.9，8　}¼；负数有：{ }¼．【分析】根据正数与负数的定义求解．【解答】解：正数有：3+，1+，6.9，8；负数有2-，34-．故答案为：3+，1+，6.9，8；2-，34-．17．（2021秋•德保县期中）下表是4个城市在同一时刻的时间，那么北京与多伦多的时差为 12　时．城市伦敦北京东京多伦多时间（时)08+9+4-【分析】根据题意列出算式，然后利用有理数的减法法则计算即可．【解答】解：北京比伦敦相差8h ，多伦多与伦敦相差-4h ，所以北京与多伦多相差12h ．故答案为：12．18．（2019秋•宁波期中）某种零件，标明要求是250.02(mm F ±F 表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件直径是25.1mm 该零件　不合格　（填“合格”或“不合格“)．【分析】根据零件的要求判断即可．【解答】解：Q 零件，标明要求是250.02mm F ±，即24.9825.02mm mm F ……，\直径是25.1mm 的零件不合格，故答案为：不合格19．（2020秋•顺义区期末）某粮店出售三种品牌的大米，袋上分别标有质量为(250.1)kg ±，(250.2)kg ±，(250.3)kg ±的字样，其中任意拿出两袋，它们最多相差　0.6　kg ．【分析】“+”表示在原来固定数上增加，“-”表示在原来固定数上减少．最多相差应该是原来固定数上增加最多的减去原来固定数上减少最多的．即为(250.3)(250.3)0.6kg +--=．【解答】解：这几种大米的质量标准都为25千克，误差的最值分别为：0.1±，0.2±，0.3±．根据题意其中任意拿出两袋，它们最多相差(250.3)(250.3)0.6kg +--=．20．（2020秋•丹徒区月考）巴黎与北京的时间差为7-时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），如果北京时间是7月2日14:00，那么巴黎时间是　7月2日7时　．【分析】“正”和“负”相对，正数表示同一时刻比北京时间早的时数，那么负数就是表示比北京时间晚的时数．【解答】解：比7月2日14:00晚七小时就是7月2日7时．故答案为：7月2日7时．。

（—|"最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.：{…2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.，经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克|])【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）&};?A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___}·【【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；—（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．《）"【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，，－，123,!%【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.。

第一章 有理数知识归纳与题型突破（题型清单）知识点1．有理数的分类注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．按意义分：正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数01 思维导图02 知识速记（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例表示数的性质 0是自然数、是有理数表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数知识点2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．知识点3．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．知识点4．绝对值（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．知识点5.有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．00C π−−a【题型一 正负数的意义】例题：若零下2摄氏度记为2C −°，则零上2摄氏度记为（ ） A ．2C −° B ．0C °C ．2C +°D ．4C +°巩固训练1．在2−，0，0.5，3四个数中，是负数的是（ ） A ．2−B ．0C ．0.5D ．32．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作100+元，则55−元表示( ) A ．支出45元 B ．收入45元C ．支出55元D ．收入55元【题型二 相反意义的量】例题：某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作10+，那么出货5件应记作___________． 巩固训练1．若将“收入100元”记为“100+”元，则“支出400元”可记为“_______”元． 2．如果体重减少2千克记作“2−千克”，那么“增重2千克”表示___________千克【题型三 正负数的实际应用】例题：近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“9050+米”，那么海平面以下10907米记作“________米”． 巩固训练1．一袋食品的包装袋上标有300g 5g ±的字样，它的含义是______．2．某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，这袋大米最轻的重量是___________kg ．【题型四 有理数的概念】03 题型归纳【题型五0的意义】例题：下面关于0的说法，正确的是（）A．0既不是正数也不是负数B．0既不是整数也不是分数C．0不是有理数D．0的倒数是0巩固训练【题型六有理数的分类】【题型七带“非”字的有理数】巩固训练【题型八数轴的三要素及其画法】例题：以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．巩固训练．．．．．．．．【题型九用数轴上的点表示有理数】巩固训练【题型十利用数轴比较有理数的大小】例题：已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）巩固训练【题型十一数轴上两点之间的距离】−与3.5两点的距离是______．例题：数轴上表示有理数 4.5巩固训练−的两点间的距离是______，与5−相距9个单位的点是______．1．数轴上数5−和14BC=，则AC等于______．2．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为4−、1，若2【题型十二相反数的定义】【题型十三化简多重符号】−−的结果为（）1.化简()3A．3−B．0C．3D．4【题型十四判断是否互为相反数】【题型十五 相反数的应用】例题：已知23x +与5−互为相反数，则x 等于______． 巩固训练1.已知4a 与2互为相反数，那么=a ___________．2.若a 、b 互为相反数，则a +b +2的值为______．【题型十六 绝对值的意义】例题：如图，数轴上点,,,A B C D 分别对应实数a b c d ,,,，下列各式的值最小的是（ ）位置应该在（ ）A ．点A 与点B 之间 B ．点B 与点C 之间C ．点A 的左边D ．点C 的右边【题型十七 求一个数的绝对值】【题型十八 绝对值非负性的应用】例题：如果|2|||0a b −+=，那么a ，b 的值为（ ）A ．11a b ==，B ．13a b =-=，C ．20a b ==，D ．02a b ==，巩固训练A ．5−B ．3−C ．5D ．3【题型十九 利用绝对值比较负有理数的大小】例题：比较大小：4−_____1−（在横线上填“＜”、“＞”或“＝”）． 巩固训练第一章 有理数知识归纳与题型突破（题型清单）知识点1．有理数的分类注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．按意义分：正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数01 思维导图02 知识速记（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例表示数的性质 0是自然数、是有理数表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数知识点2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．知识点3．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．知识点4．绝对值（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．知识点5.有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．00C π−−a【题型一 正负数的意义】例题：若零下2摄氏度记为2C −°，则零上2摄氏度记为（ ） A ．2C −° B ．0C °C ．2C +°D ．4C +°【答案】C【分析】根据正负数的实际意义可进行求解． 【详解】解：由题意可知零上2摄氏度记为2C +°； 故选C ．【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 巩固训练1．在2−，0，0.5，3四个数中，是负数的是（ ） A ．2− B ．0C ．0.5D ．3【答案】A【分析】根据负数的定义即可求解．【详解】解：由题意得，在2−，0，0.5，3四个数中，是负数的是2−， 故选A ．【点睛】此题主要正负数的定义，解题的关键是熟知负数的定义．2．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作100+元，则55−元表示( ) A ．支出45元 B ．收入45元C ．支出55元D ．收入55元【答案】C【分析】根据具有相反意义的量分析即可求解．【详解】解：收入100元记作100+元，则55−元表示支出55元， 故选：C ．【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解负数表示相反意义的量是解题的关键．【题型二 相反意义的量】例题：某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作10+，那么出货5件应记作___________．03 题型归纳【答案】5−【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵“正”和“负”相对，∴进货10件记作10+，那么出货5件应记作5−． 故答案为：5−．【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键． 巩固训练1．若将“收入100元”记为“100+”元，则“支出400元”可记为“_______”元． 【答案】400−【分析】根据“正”和“负”是表示互为相反意义的量解答即可． 【详解】解：∵“收入100元”记为“100+”元， 则“支出400元”可记为“400−”元， 故答案为：400−．【点睛】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量． 2．如果体重减少2千克记作“2−千克”，那么“增重2千克”表示___________千克 【答案】2+【分析】根据正负数的意义进行解答即可．【详解】解：如果体重减少2千克记作“2−千克”，那么“增重2千克”表示2+千克． 故答案为：2+．【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解题意，掌握具有相反意义的量．【题型三 正负数的实际应用】例题：近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“9050+米”，那么海平面以下10907米记作“________米”． 【答案】10907−【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．【详解】解：把海平面以上9050米记作“9050+米”，则海平面以下10907米记作10907−米，故答案为：10907−．【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键． 巩固训练1．一袋食品的包装袋上标有300g 5g ±的字样，它的含义是______．【答案】这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g 【分析】利用生活中的数学知识，利用±表示比标准质量可能多也可能少解决本题即可． 【详解】解：5±表示比300g 超重不超过5g ，不足也不超过5g ．故答案为：这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g ．【点睛】本题考查了有理数中正负数的实际应用，把正数和负数与日常生活相联系是解答本题的关键． 2．某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，这袋大米最轻的重量是___________kg ． 【答案】9.9【分析】根据正负数的意义计算即可． 【详解】∵包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±， ∴这袋大米最轻的重量是10kg 0.1k ()()9.9g)g (k −=． 故答案为: 9.9．【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键．【题型四 有理数的概念】 例题：在 3.5−，227，0.3070809，0，π中，有理数有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数． 【详解】解：在 3.5−，227，0.3070809，0，π中，有理数有 3.5−，227，0.3070809，0，共4个 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键． 巩固训练1．在数π，0，17−，0.13，3.1415926，25中，有理数有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据有理数的概念进行解答． 【详解】解：π不是有理数； 0，25，是整数，属于有理数； 17−是分数，属于有理数； 0.13，3.1415926，是有限小数，属于有理数；故有理数有0，17−，0.13，3.1415926，25，共5个．故选：D ．【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数． 2．下列各数中，负有理数有（ ）个1−，2.5，43+，0，π−，120， 1.732−，27− A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：负有理数有1−、 1.732−、27−，共3个，故选C ．【题型五 0的意义】例题：下面关于0的说法，正确的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数 B ．0既不是整数也不是分数 C ．0不是有理数 D ．0的倒数是0【答案】A【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可． 【详解】A ．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意； B ．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意； C ．0是有理数，故此选项错误，不符合题意； D ．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．巩固训练1．下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．0是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数【答案】D【分析】根据0这个实数的相关知识，进行判断即可．【详解】解：0既不是正数，也不是负数；0是整数，也是有理数；0是最小的自然数；0还是正数和负数的分界线；故选：D．【点睛】本题考查了有理数0的相关知识，熟知：①既不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③是最小的自然数；④是正数和负数的分界；是解本题的关键．2．下列说法正确的是（）A．整数就是自然数B．0不是自然数C．正数和负数统称有理数D．0是整数而不是负数【答案】D【分析】根据有理数的分类即可作出判断．【详解】A、整数为正整数，0及负整数，自然数为正整数与0，说法错误，不符合题意，此选项错误；B、0是自然数，说法错误，不符合题意，此选项错误；C、正数，0和负数统称为有理数，说法错误，不符合题意，此选项错误；D、0是整数而不是负数，说法正确，符合题意，此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与自然数和整数的区别，以及0的意义是本题关键．【题型六有理数的分类】例题：请把下列各数填入相应的集合中：12，5.2，0，227，22−，2005，0.3030030003−…，53−．正数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}．【答案】12，5.2，227，2005；12，5.2，227，53−；0，22−，2005；12，5.2，0，227，22−，2005，53−．【分析】根据有理数的分类，可得答案．【详解】解：12，5.2，0，227，22−，2005，0.3030030003−…，53−． 正数集合：1{2，5.2，227，2005，}…；分数集合：1{2，5.2，227，53−，}…；整数集合：{0，22−，2005，}…；有理数集合：1{2，5.2，0，227，22−，2005，53−，}…．故答案为：12，5.2，227，2005；12，5.2，227，53−；0，22−，2005；12，5.2，0，227，22−，2005，53−． 巩固训练1．把下列将数填入相应的集合中：23−，0.5，23−，28，0，4，135， 5.2−．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 2．把下列各数分别填入相应的集合内：2， 3.14−，5−，3π，227，0.1212212221−…， (1)正数集合：{ …}； (2)负数集合：{ …}； (3)整数集合：{ …}； (4)分数集合：{ …}； 【答案】(1)2，3π，227(2) 3.14−，5−，0.1212212221−… (3)2，5− (4) 3.14−，227【分析】根据有理数的分类方法求解即可． 【详解】（1）解：正数有：2，3π，227， 故答案为：2，3π，227； （2）解：负数有： 3.14−，5−，0.1212212221−…； 故答案为： 3.14−，5−，0.1212212221−…； （3）解：整数有：2，5−； 故答案为：2，5−； （4）解：分数有： 3.14−，227； 故答案为： 3.14−，227． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．【题型七 带“非”字的有理数】例题：把下列各数 1.5−，12，0，0.101−，3，5−填在相应集合里． 非正数集合：{ }…； 分数集合：{ }…； 整数集合：{ }…．【答案】 1.5−，0，0.101−，5−； 1.5−，12，0.101−；0，3，5−． 【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解． 【详解】非正数集合：{1.5−，0，0.101−，5}−…； 分数集合：{1.5−，12，0.101}−…； 整数集合：{0，3，5}−…．故答案为： 1.5−，0，0.101−，5−； 1.5−，12，0.101−；0，3，5−． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 巩固训练1．把下列各数填入相应集合的括号内．6.5+，123−，0.5，0， 3.2−，13，9−，152，1−， 3.6−，3π(1)正分数集合：{____________…}； (2)整数集合：{____________…}； (3)非负数集合：{____________…）．【答案】(1) 6.5+，0.5，152；(2)0，13，9−，1−；(3) 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案；（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案； （3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有： 6.5+，0.5，152，故答案为： 6.5+，0.5，152；（2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，9−，1−，故答案为：0，13，9−，1−；（3）解：根据非负数的定义，非负数有： 6.5+，0.5，0，13，152，3π，故答案为： 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别． 2．请把下列各数填在相应的集合内：12，5−，0.34，122−，20，1−，0．正数集合{ ……}； 负整数集合{ ……}； 整数集合{ ……}； 分数集合{ ……}； 非正数集合{ ……}； 非负整数集合{ ……}．【答案】12，0.34，20；5−，1−；5−，0，20，1−；12，0.34，122−；5−，122−，0，1−；0，20．【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解． 【详解】正数集合12，0.34，20，}…；负整数集合{5−，1−，}…； 整数集合{5−，0，20，1−，}…分数集合12，0.34，122−，}…；非正数集合{5−，122−，0，1−，}…；非负整数集合{0，20，}…．故答案为：12，0.34，20；5−，1−；5−，0，20，1−；12，0.34，122−；5−，122−，0，1−；0，20．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【题型八 数轴的三要素及其画法】例题：以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可．【详解】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大，∴四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键．巩固训练1．在下列选项中数轴画法正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目．【详解】解：A.各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意；B.数轴为直线，可以无限延伸，故此选项错误，不符合题意；C.规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意；D.没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴是一条规定了正方向、原点、单位长度的直线是解题的关键．2．下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确．【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意．D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．【题型九 用数轴上的点表示有理数】例题：在数轴上表示数：2−， 1.5−，112，4，并按从小到大的顺序用“< ”连接起来．【答案】数轴表示见解析，12 1.5142−<−<<【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数把各数用小于号连接起来即可． 【详解】解：数轴表示如下所示：由数轴可得12 1.5142−<−<<．【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示出各数是解题的关键． 巩固训练1．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接． 3−，12，1−，0，2.5【答案】数轴见解析，1310 2.52−<−<<< 【分析】在数轴上表示出这些数，再根据数轴上左边的数总小于右边的数即可得出答案． 【详解】解：如图所示：由数轴可得：1310 2.52−<−<<<． 【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 2．先把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排列起来：3.5，1−，2，122−______<______<______<______.【答案】数轴见解析；122−；1−；2；3.5【分析】先把四个数表示在数轴上，然后根据数轴上点的特点，再比较大小即可．【详解】解：把3.5，1−，2，122−表示在数轴上，如图所示：按从小到大的顺序排列为：1212 3.52−<−<<．故答案为：122−；1−；2；3.5．【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，有理数大小比较，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上点的特点．【题型十利用数轴比较有理数的大小】例题：已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）【答案】<【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．【详解】解：m在n的左边，m n∴<，故答案为：<．【点睛】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．巩固训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____________b−．（填“>”“=”或“<”）【答案】>【分析】在数轴上找到表示b −的点，再利用数轴的性质比较大小即可． 【详解】如图所示，由数轴可知a b >−， 故答案为：>．【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，做题关键要掌握数轴上的点表示的数的特点． 2．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ______b ．（填“>”“=”或“<”）【答案】>【分析】根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，a b >， 故答案为：>．【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键．【题型十一 数轴上两点之间的距离】例题：数轴上表示有理数 4.5−与3.5______． 【答案】8【分析】根据数轴上两点距离公式进行求解即可．【详解】解：由题意得，数轴上表示有理数 4.5−与3.5两点的距离是()3.5 4.58−−=， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查了数轴上的两点距离公式，解题的关键在于熟知对于数轴上的两个数a 、b ，这两个数的距离为a b − ． 巩固训练1．数轴上数5−和14−的两点间的距离是______，与5−相距9个单位的点是______． 【答案】 9 4和14− 【分析】直接根据数轴作答即可．【详解】数轴上数5−和14−的两点间的距离是()5149−−−=，与5−相距9个单位的点是594−+=和5914−−=−，故答案为：9；4和14−．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左边的点表示的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值．2．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为4−、1，若2BC=，则AC等于______．【答案】3或7/7或3【分析】根据题意求出AB，分点C在点B的右侧和点C在点B的左侧两种情况计算．【详解】∵点A、B表示的数分别为4−、1，∴5AB=，第一种情况：点C在AB外，如图，527AC=+=；第二种情况：点C在AB内，如图，523AC=−=；故答案为：3或7．【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键．【题型十二相反数的定义】例题：实数2023的相反数是（）A．12023−B．12023C．2023−D．2023【答案】C【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数．【详解】实数2023的相反数是2023−．故选：C．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．巩固训练1.3−的相反数是（）A ．3B ．-3C ．13D ．13−【答案】A【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数进行作答即可. 【详解】解：3−的相反数是3； 故选：A .【点睛】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知相反数的概念是关键. 2.2023−的相反数是（ ） A ．2023 B ．12023−C ．12023D ．2023−【答案】A【分析】利用相反数的定义判断． 【详解】解：2023−的相反数是2023． 故选：A ．【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．【题型十三 化简多重符号】 例题：化简()20−−的结果是（ ） A ．120−B ．20C ．120D ．20−【答案】B【分析】()20−−表示20−的相反数，据此解答即可． 【详解】解：()2020−−=， 故选：B【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 巩固训练1.化简()3−−的结果为（ ） A ．3− B ．0C ．3D ．4【答案】C【分析】根据正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零即可解答。

B 0 2A考点一：正负数的运用例1、某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃,则该药品在（ ）范围内保存才合适． A ．18℃～20℃ B ．20℃～22℃ C ．18℃～21℃ D ．18℃～22℃例2、潜水艇在水下30米处记作—30米，如果上浮5米，这时他的位置可记作（ ）米。

1、小虎家上半年的用水情况如下：一月份15吨；二月份20吨；三月份18吨；四月份14吨；五月份16吨；六月份19吨。

①算出他们家上半年的平均用水吨数。

②如果把每月平均用水的吨数作为标准，超过平均用水的吨数用正数表示，不足平均用水的吨数用负数表示，请把表格填写完整。

一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水考点二：数轴例3、如图所示，A ，B 两点在数轴上，点A 对应的数为2．若线段AB 的长为3，则点B 对应的数为（ ）（思考：如果没有图，结果又会怎样？） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 例4、若数轴上表示2的点为M ，那么在数轴上与点M 相距4个单位的点所对应的数是 。

例5、b a 、两数在数轴上位置如图3所示，将b a b a --、、、用“＜”连接，其中正确的是（ ） A ．a ＜a -＜b ＜b - B ．b -＜a ＜a -＜bC ．a -＜b ＜b -＜aD ．b -＜a ＜b ＜a -1、A 、B 两点在数轴上，点A 对应的数为2．若线段AB 的长为3，则点B 对应的数为（ ）A ．－4B ．－2C ．－3D ．－1或53、如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A 点，则A 点表示的数是 ．4、已知数轴上有A 和B 两点，它们之间的距离为1，点A 和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B 对应的数有 。

认识有理数专题一第一讲 DI YI JIANG典例全析随堂演练典例全析随堂演练-1 0 1图38-4GF E D C BA 5、如图所示，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A 表示－4，点G 表示8。

线段和角的计算（原卷版）◎类型一 线段的和与差1．（2020·山东淄博·期中）如图所示 点C 在线段AB 的延长线上 且2BC AB = D 是AC 的中点．若2cm AB = 则BD 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm2．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB =10cm 线段AC =16cm 且AB 、AC 在同一条直线上 点B 在A 、C 之间 此时AB 、AC 的中点M 、N 之间的距离为（ ）A ．13cmB ．6cmC ．3cmD ．1.5cm3．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图 已知线段AB ＝4 cm 延长AB 至点C 使AC ＝11 cm ．点D 是AB 的中点 点E 是AC 的中点 则DE 的长为（ ）A ．3 cmB ．3.5 cmC ．4 cmD ．4.5 cm4．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）已知线段AB ＝6cm 在直线AB 上画线段BC 使BC ＝2cm 则线段AC 的长为（ ）A ．4cmB ．8cmC ．6cmD ．8cm 或4cm◎类型二 线段中点的有关计算5．（2022·全国·七年级专题练习）如图 D 为BC 的中点 则下列结论不正确的是( )A ．AC ＝AB ＋2BDB ．AD ＝AB ＋CDC ．BC ＝AB ＋BD D ．BD ＝AC －AD6．（2022·山东淄博·期末）在直线l 上顺次取A B C 三点 使得4cm AB = 3cm BC =．如果点O 是线段AC 的中点 那么线段OB 的长度是（ ）A ．0.5cmB ．1cmC ．2.5cmD ．3.5cm7．（2021·山西临汾·七年级阶段练习）已知线段6cm AB = 延长线段AB 至点C 使得12BC AB =．若D 是AC 的中点 则线段AD 的长为（ ） A ．13cm 2 B ．11cm 2 C ．9cm 2 D ．7cm 28．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）如图 已知B 是线段AC 上一点 M 是线段AB 的中点 N 是线段AC 的中点 P 为AN 的中点 Q 为AM 的中点 则BC ：PQ 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5◎类型三 线段n 等分点的有关计算9．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级阶段练习）如图 将数轴上6-与6两点间的线段六等分 这五个等分点所对应数依次为1a 2a 3a 4a 5a 则下列结论不正确的是（ ）A ．40a >B ．134a a a +=C ．12450a a a a +++=D ．140a a +< 10．（2022·河北唐山·七年级期末）如图所示 长为12cm 的线段AB 的中点为M C 将线段MB 分为MC 和CB 且:1:3MC MB = 则线段AC 的长为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．711．（2022·河南信阳·七年级期末）若线段AB ＝12cm 点C 是线段AB 的中点 点D 是线段AC 的三等分点 则线段BD 的长为（ ）A ．2cm 或4cmB ．8cmC ．10cmD ．8cm 或10cm 12．（2022·全国·七年级课时练习）把根绳子对折成一条线段AB 在线段AB 取一点P 使13AP PB = 从P 处把绳子剪断 若剪断后的三段绳子中最长的一段为24cm 则绳子的原长为（ ）A ．32cmB ．64cmC ．32cm 或64cmD ．64cm 或128cm◎类型四与线段有关的动点问题13．（2021·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）如图数轴上的点O和点A分别表示0和10 点P是线段OA上一动点.点P沿O A O→→以每秒2个单位的速度往返运动1次B 是线段OA的中点设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）.若点P在运动过程中当2PB=时则运动时间t的值为（）A．32秒或72秒B．32秒或72秒或132或172秒C．3秒或7秒D．3秒或132或7秒或172秒14．（2020·河北·平山县外国语中学七年级期末）如图C为射线AB上一点AB＝30 AC比BC的14多5 P Q两点分别从A B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动运动时间为t秒M为BP的中点N为QM的中点以下结论：①BC＝2AC；①AB＝4NQ；①当PB＝12BQ时t＝12 其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3 15．（2020·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级期末）如图已知线段AB=8 点C是线段AB是一动点点D是线段AC的中点点E是线段BD的中点在点C从点A向点B运动的过程中当点C刚好为线段DE的中点时线段AC的长为（）A．3.2B．4C．4.2D．16 716．（2016·江苏扬州·九年级阶段练习）电子跳蚤游戏盘是如图所示的①ABC AB＝6 AC ＝7 BC＝8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处BP0＝2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处且BP3＝BP2；……；跳蚤按上述规则一直跳下去第n次落点为P n（n为正整数）则点P2013与P2016之间的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．4◎类型五 与方向角有关的计算题17．（2022·福建泉州·七年级期末）如图 OA 是表示北偏东x ︒的一条射线 OB 是表示北偏西()90y -︒的一条射线 若AOC AOB ∠=∠ 则OC 表示的方向是（ ）A ．北偏东()903x -︒B ．北偏东()90x y +-︒C ．北偏东()902x y +-︒D ．北偏东()90x y --︒18．（2022·山东东营·期末）如图 海上有两艘军舰A 和B 由A 测得B 的方向是（ ）A ．北偏西30B ．北偏西60︒C ．南偏东30D ．南偏东60︒19．（2022·上海理工大学附属初级中学期末）如图 点B 在点A 的（ ）方向．A ．北偏东35°B ．北偏东55°C ．北偏西35°D ．北偏西55°20．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图 OB 是北偏西50°方向的一条射线 若①AOB =90° 则射线OA 的方向是（ ）A ．西偏北50°B ．东偏北40°C ．北偏东40°D ．北偏西40°◎类型六 三角板中角度的有关计算问题21．（2022·山东济南·七年级期末）如图 将一副三角尺的两个直角项点O 按如图方式叠放在一起 若①AOC ＝130° 则①BOD ＝（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°22．（2022·山东烟台·期中）如图 将一副三角板AOB 与COD 的直角顶点O 重合在一起 若4AOD BOC ∠=∠ OE 为BOC ∠的平分线 则DOE ∠的度数为（ ）A ．72°B ．73°C ．75°D ．76°23．（2022·山东青岛·期中）如图 将两个三角尺的直角AOB ∠与COD ∠顶点O 重合在一起 若4AOD BOC ∠=∠ OE 为BOC ∠的平分线 则DOE ∠的度数为（ ）A ．36︒B ．45︒C ．60︒D ．72︒24．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图 将一副三角板叠在一起 使它们的直角顶点重合于O 点 已知①AOB =160° 则①COD 的度数为( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°◎类型七 几何图形中的有关角度的计算问题25．（2022·广东·丰顺县东海中学八年级开学考试）已知4AOB BOC ∠=∠ 若20BOC ∠=︒ 则AOC ∠=（ ）A ．60︒B ．80︒或60︒C ．80︒D ．100︒或60︒26．（2021·山东省商河实验中学七年级阶段练习）平面内 有两个角①AOB =50° ①AOC =20° OA 为两角的公共边 则①BOC 为（ ）A ．30°B ．70°C ．30°或70°D ．70°或 40°27．（2022·全国·七年级专题练习）如图 将一副三角板叠在一起 使它们的直角顶点重合于O 点 下列说法错误的是( )A ．①AOD =①BOCB ．①AOD >①BODC ．①AOC =①BOD D ．①AOC >①COD 28．（2022·河南郑州·七年级期末）如图 若90AOB COD EOF ∠=∠=∠=° 且4530DOF AOE ∠=︒∠=︒， 求BOC ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30◎类型八 实际问题中的角度计算29．（2022·陕西咸阳·七年级期末）钟面上3点20分时 时针与分针的夹角度数是（ ） A ．20︒ B ．25︒ C ．30 D ．35︒30．（2022·湖南娄底·九年级期中）入射光线和平面镜的夹角为40° 转动平面镜 使入射角减小20° 反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）A ．减小40°B ．增大40°C ．减小20°D ．不变31．（2022·四川绵阳·七年级期末）钟表在8：30时 时针与分针的夹角度数是（ ）A ．45B ．30C ．60D ．7532．（2021·重庆酉阳·七年级期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图 图中的12条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置 根据图中时针和分针（长针）位置 该时钟显示时间是（ ）A ．1011点B ．78点C ．56点D ．23~点◎类型九 角度的四则运算33．（2022·河北·石家庄市栾城区教育局教研室七年级期末）下面等式成立的是（ ） A ．83.58350'︒=︒B ．905723'27''3237'33''︒-︒=︒C ．1548'36''3727'59''5216'35''︒+︒=︒D ．41.254115'︒=︒34．（2022·河北邯郸·七年级期末）下列运算正确的是（ ）A ．3112'36''31.21︒=︒B ．885723'27''3037'33''︒-︒=︒C ．1548'36''3727'59''5216'35''︒+︒=︒D ．63.56350'︒=︒35．（2022·山东菏泽·七年级期末）下列度、分、秒运算中 正确的是（ ）A ．4839673111510'''︒+︒=︒B ．9070392021''︒-︒=︒C ．14586'︒=.D ．180005''=︒.36．（2021·河北邢台·七年级期中）计算：72°22′＋50°40′30″的结果是（ ）A ．122°62′30″B ．123°2′30″C ．122°2′30″D ．123°12′30″◎类型十 角n 分线的有关计算37．（2014·河南·中考真题）如图 直线AB CD 相交于点O 射线OM 平分①AOC ON ①OM若①AOM =35° 则①CON 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°38．（2021·云南·文山市薄竹镇乐诗冲中心学校七年级期末）已知①AOB =70° ①BOC =30° OM 平分①AOB ON 平分①BOC 则①MON =（ ）A ．50°B ．20°C ．20°或50°D ．不能确定 39．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图 若①AOB =x ° OC 是①AOB 的平分线 1OC 是①AOC 的平分线 2OC 是1AOC ∠的平分线 n OC 是1n AOC -∠的平分线 则20212021AOC ∠与20222022AOC ∠大小关系是（ ）A ．=B ．＜C ．＞D ．无法确定 40．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）如图 AOC BOD ∠=∠ 30BOC ∠=︒12DOE AOD ∠=∠ 则AOE ∠=（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.3数轴【名师点睛】（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．【典例剖析】【知识点1】数轴的认识【例1】如图，表示的数轴正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据数轴的定义判断即可；【详解】根据数轴三要素为原点、正方向、单位长度可得正确；故选C．【点睛】本题主要考查了数轴的判断，准确分析判断是解题的关键．【知识点2】利用数轴表示数【例2】如图，在已知的数轴上，表示 1.75的点可能是____．【答案】B【解析】【分析】根据点在数轴上的位置判断即可．【详解】解：设点A、B、C、D表示的数分别为a，b，c，d，∵-2<-1.75<-1.5，∴在已知的数轴上，-3<c-2.5<a<-2<b<-1.5<d<-1，∴表示-1.75的点可能是：B，故答案为：B．【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握根据点在数轴上的位置判断数的大小是解题的关键．【知识点3】数轴与点的运动【例3】（2022·江苏常州·一模）在数轴上，点A表示－2，若从点A出发，沿数轴的正方向移动5个单位长度到达点B，则点B表示的数是______．【答案】3【解析】【分析】根据向右加的运算法则，计算-2+5的结果就是点B表示的数．【详解】根据题意，得点B表示的数是-2+5=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握新数的表示方法是解题的关键．【知识点4】利用数轴求两点间的距离【例4】已知：数轴上的点A、B分别表示﹣1和3.5．(1)在数轴上画出A、B两点；(2)若点C与点A距离4个单位长度，则点C表示的数是___．(3)若折叠纸面，使数轴上﹣1表示的点与3表示的点重合，则10表示的点与数___表示的点重合．【答案】(1)见解析(2)3或﹣5(3)-8【解析】【分析】（1）根据有理数与数轴的关系可求．（2）利用数轴上两点之间的距离可求点C．分点A左边4个单位和右边4个单位两种情况；（3）根据-1与3表示的点重合，可得这两点的中点表示的数为1，继而可得10表示的点关于1表示的点对称的点；(1)解：如图：(2)解：点C在点A右侧时，点C表示的数为：﹣1+4＝3，当点C在点A左侧时，点C所表示的数为：﹣1﹣4＝﹣5．故答案为：3或-5．(3)=1，故纸面是沿着数字1进行折叠的，即-1和3的中点表示的数为1，解：132∴10x＝1，解得x＝﹣8．2∴10表示的点与数﹣8表示的点重合．故答案为：-8．【点睛】此题考查了数轴上的点表示有理数，有理数运算．数轴上两点间的距离和一元一次方程，解题的关键是利用数轴数形结合列式计算，注意不要漏解．根据题意列出方程，注意分类讨论．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•碑林区校级模拟）在数轴上，下列四个数中离原点最近的数是（ ）A．﹣0.4B．1.3C．﹣2D．0.6【分析】离原点最近，即求这四个数对应的实数绝对值的最小值即可．【解析】∵|﹣0.4|＝0.4，|1.3|＝1.3，|﹣2|＝2，|0.6|＝0.6，又∵2＞1.3＞0.6＞0.4，∴离原点最近的是﹣0.4，故选：A．2．（2022•五华区三模）一个物体从起始位置向西移动了5米后，又向东移动了7米，则这个物体最终位置在起始位置的（ ）A．西边12米B．西边2米C．东边2米D．东边12米【分析】利用相反意义的量，规定一个量为负数，则另一个量为正数即可．【解析】一个物体从起始位置向西移动了5米后，记作﹣5米，又向东移动了7米，则﹣5+7＝2（米），所以这个物体最终位置在起始位置的东边2米处．故选：C．3．（2022•绿园区模拟）下列各数在数轴上与﹣1最近的为（ ）A．﹣5B．6C．3D．﹣4【分析】从小到大排列出四个数为﹣5＜﹣4＜3＜6，而﹣1在﹣4和3之间，分别计算﹣4、3与1的距离即可．【解析】∵﹣5＜﹣4＜3＜6，∴﹣4＜﹣1＜3，∵|﹣1﹣（﹣4）|＝3，|3﹣（﹣1）|＝4，∴离﹣1最近的数是﹣4，故选：D．4．（2022•市北区二模）如图，在数轴上若两个不同的点A和B到原点的距离相等，则点B 所表示的数是（ ）A．3B．±3C．﹣3D．【分析】到原点距离相等的点，要么互为相反数，要么是同一个数，但已知条件说是两个不同的点，所以，B与A互为相反数，即B只能是3．【解析】设点B表示的数为x，∵点A与点B到原点的距离相等，∴|﹣3|＝|x|，∴x＝±3，∵点A与点B是不同的点，∴x＝3，故选：A．5．（2022•灞桥区校级模拟）如图，数轴上相邻两个刻度之间为1个单位长度，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】利用两点间的距离公式计算即可．【解析】设点B表示的数是x，∵AB＝4，∴x﹣（﹣1）＝4，∴x＝3，故选：D．6．（2022•乐陵市模拟）在数轴上表示﹣2022的点与表示1的点的距离是（ ）A．2022B．2023C．﹣2023D．2021【分析】根据数轴上两点间的距离公式计算即可．【解析】1﹣（﹣2022）＝1+2022＝2023．故选：B．7．（2021秋•连州市期末）一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向东走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市．小明家距小彬家（ ）km．A．4.5B．6.5C．8D．13.5【分析】根据题意画出示意图，根据位置关系计算即可．【解析】由题意画图如下：∴小明家距小彬家9.5﹣1.5＝8（km），故选：C．8．（2021秋•公安县期末）在数轴上，一个点从﹣4开始向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位长度后表示的数是（ ）A．﹣7B．3C．﹣1D．﹣11【分析】数轴上向左移动减，向右移动加，列算式求值即可．【解析】﹣4﹣2+5＝﹣1．故选：C．9．（2021•南海区一模）数轴上表示﹣6和4的点分别是A和B，则线段AB的长度是（ ）A．﹣2B．2C．﹣10D．10【分析】计算数轴上两点间距离．【解析】AB＝4﹣（﹣6）＝10．故选：D．10．（2021•西昌市模拟）下列图形表示数轴正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据数轴三要素原点、单位长度，正方向，进行判定，即可得出答案．【解析】A，从左向右点所表示的数依次增大，故A错误；B，符合数轴的三要素原点、单位长度，正方向，故B正确；C，单位长度不一致，故C错误；D，画成射线了，故D错误．故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2022•溧阳市模拟）点A、点B在数轴上表示的数分别是﹣3，2022，则线段AB的长为　2025　．【分析】利用两点间的距离公式计算即可．【解析】AB＝2022﹣（﹣3）＝2025，故答案为：2025．12．（2022春•嘉定区校级期中）数轴上的A点与表示﹣2的点距离3个单位长度，则A点表示的数为　﹣5或1　．【分析】利用两点间的距离公式计算即可．【解析】设A点表示的数为x，则|x﹣（﹣2）|＝3，∴x+2＝±3，∴x＝﹣5或x＝1．故答案为：﹣5或1．13．（2022春•普陀区校级期中）在数轴上到原点距离等于2.4的点表示的数是　﹣2.4或2.4　．【分析】此题注意考虑两种情况：该点在原点的左侧，该点在原点的右侧．【解析】根据数轴的意义可知，在数轴上与原点的距离等于2.4个单位长度的点所表示的数是﹣2.4或2.4．故答案为：﹣2.4或2.4．14．（2021秋•天津期末）在数轴上，A，B两点之间的距离是5，若点A表示的数是2，则点B表示的数是　﹣3或7　．【分析】根据B在A的左边及右边分别计算即可．【解析】若点B在点A的左边，则点B表示的数是2﹣5＝﹣3；若点B在点A的右边，则点B表示的数是2+5＝7；故答案为﹣3或7．15．（2020秋•肃州区期末）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的1个单位长度为2cm），若刻度尺上1cm和3cm分别对应数轴上的1和0，则刻度尺上4.2cm对应数轴上的数为　﹣0.6　．【分析】根据数轴上点的表示方法，直接判断即可．【解析】刻度尺上1cm和3cm分别对应数轴上的1和0，（3﹣1）÷（1﹣0）＝2，则刻度尺上4.2cm对应数轴上的数为0﹣（4.2﹣3）÷2＝﹣0.6．故答案为：﹣0.6．16．（2020秋•海州区校级期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上﹣1表示的点与7表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为1016（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是　﹣505　．【分析】根据数轴上两点间的距离为这两个数差的绝对值，若﹣1表示的点与7表示的点重合，则折痕经过3；若数轴上A、B两点之间的距离为1016（A在B的左侧），则A、B 两个点分别距离中点3都是508个单位长度，进一步得到A点表示的数．【解析】依题意得：两数是关于﹣1和7的中点对称，即关于（﹣1+7）÷2＝3对称，∵A、B两点之间的距离为1016（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A、B关于3对称，1016÷2＝508．∴点A在表示3的点的左边508的单位长度，∴点A表示的数为：3﹣508＝﹣505．故答案为：﹣505．三．解析题（共6小题）17．（2019秋•海淀区校级期中）画出数轴并表示下列有理数2，﹣，0，﹣3，【分析】画出数轴，在轴上标出各数即可．【解析】如图所示：分别以点A，B，C，D，E表示有理数2，﹣，0，﹣3，18．画一条数轴，并画出表示下列各数的点：0，﹣1，﹣2.1，+0.25，1．【分析】根据数轴上的点表示有理数的方法，画数轴标出各有理数对应的位置即可．【解析】19．已知数轴上的点A表示+3，数轴上的点B表示﹣3，求A，B两点之间的距离．【分析】根据数轴上两点间的距离等于两点所表示两数差的绝对值即可求得．【解析】|+3﹣（﹣3）|＝6，∴A，B两点之间的距离是6．20．（2019秋•建邺区期中）已知数轴上的点A、B、C、D分别表示﹣3、﹣1.5、0、4．（1）请在数轴上标出A、B、C、D四个点；（2）B、C两点之间的距离是　1.5　；（3）如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A、C、D分别表示的数是　﹣1.5，1.5，5.5　．【分析】（1）在数轴上描出四个点的位置即可；（2）根据两点之间的距离公式可求B、C两点的距离；（3）原点取在B处，相当于将原数加上1.5，从而计算即可．【解析】（1）如图所示：（2）B、C两点的距离＝0﹣（﹣1.5）＝1.5；（3）点A表示的数为：﹣3+1.5＝﹣1.5，点B表示的数为0，点C表示的数为0+1.5＝1.5，点D表示的数为4+1.5＝5.5．故答案为：1.5；﹣1.5，1.5，5.5．21．（2019秋•江阴市期中）已知在纸面上画有一根数轴，现折叠纸面．（1）若﹣1表示的点与1表示的点重合，则3表示的点与数　﹣3　表示的点重合；（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①6表示的点与数　﹣4　表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为d（点A在点B的左侧，d＞0），且A、B两点经折叠后重合，则用含d的代数式表示点B在数轴上表示的数是　d+1　．【分析】（1）若﹣1表示的点与1表示的点重合，则对称中心是原点，据此找到3的对称点即可．（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，据此找到6的对称点即可，也可以表示出点B．【解析】（1）∵，∴0×2﹣3＝﹣3，故答案为：﹣3；（2）①∵，∴1×2﹣6＝﹣4，故答案为：﹣4；②∵，A、B两点之间的距离为d（点A在点B的左侧，d＞0），且A、B两点经折叠后重合，∴表示点B在数轴上表示的数是：，故答案为：．22．（2019秋•宽城区期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与　3　表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数　﹣3　表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少．【分析】（1）1与﹣1重合，可以发现1与﹣1互为相反数，因此﹣3表示的点与3表示的点重合；（2）①﹣1表示的点与3表示的点重合，则折痕点为1，因此5表示的点与数﹣3表示的点重合；②由①知折痕点为1，且A、B两点之间距离为11，则A表示1﹣5.5＝﹣4.5，B点表示1+5.5＝6.5．【解析】（1）∵1与﹣1重合，∴折痕点为原点，∴﹣3表示的点与3表示的点重合．故答案为：3．（2）①∵由表示﹣1的点与表示3的点重合，∴可确定折痕点是表示1的点，∴5表示的点与数﹣3表示的点重合．故答案为：﹣3．②由题意可得，A、B两点距离折痕点的距离为11÷2＝5.5，∵折痕点是表示1的点，∴A、B两点表示的数分别是﹣4.5，6.5．。

最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。

角中的动态问题（解析版）类型一：运动的三角尺问题1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】如图1 一套三角板如图拼在一起我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中如图2 形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC当其中一个角的度数是另一个角的两倍时则称射线OC是∠AOB的“优线”．∠第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？∠在整个旋转过程中若旋转时间记为t秒当射线OC是“优线”时请直接写出所有满足条件的t值．【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有理由见解析；（3）∠是理由见解析；∠t=2 3 4 9 12【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；（2）分别计算出角的度数可得结论；（3）∠根据“优线”的定义可判断；∠根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．【详解】（1）如图当OC在∠AOB内部时∠AOC+∠BOC=∠AOB当OC在∠AOB外部时∠AOC-∠BOC=∠AOB∠∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB（2）有理由如下：有可能以分类讨论是解题的关键．2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在∠15° ∠25° ∠35° ∠45° ∠65°中 乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号）(2)在探究过程中 爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1 她先用三角板画出了直线EF 然后将一副三角板拼接在一起 其中45°角（∠AOB ）的顶点 与60°角（∠COD ）的顶点互相重合 且边OA OC 都在直线EF 上．固定三角板COD 不动 将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向每秒旋转5°（如图2） 当边OB 第一次落在射线OF 上时停止 是否存在一个时间t （秒）使∠BOC ＝3∠AOD ？若存在 请求出所有符合题意的t 的值；若不存在 请说明理由．【答案】(1)∠∠(2)存在当22.5t =或24.75t =时 =3BOC AOD ∠∠ 理由见解析【分析】（1）根据三角板的特点求解即可；（2）分两种情况当OA 在∠DOE 内时 当OA 在∠DOE 外部时 利用角之间的关系求解即可．（1）解：∠一副三角板有的度数为30° 45° 60° 90°∠用一副三角板可以画出的角的度数为15° 30° 45° 75° 90° 105° 135°等等 不能画出25° 35° 65°故答案为：∠∠；（2）解：存在当22.5t =或24.75t =时 =3BOC AOD ∠∠ 理由如下：由题意得：=5AOE t ︒∠ =45AOB ∠︒ 60COD ∠=︒∠=180=1355BOC AOE AOB t ︒--︒-︒∠∠∠ =180=120DOE COD ︒-︒∠∠分两种情况：当OA 在∠DOE 内时 如图2-1所示∠1205AOD DOE AOE t ∠=∠-∠=︒-︒∠=3BOC AOD ∠∠∠()135531205t t ︒-︒=︒-︒解得22.5t =∠22.55120⨯︒<︒∠22.5t =符合题意；当OA 在∠DOE 外部时 如图2-2所示∠5120AOD DOE AOE t ∠=∠-∠=︒-︒∠=3BOC AOD ∠∠∠()135535120t t ︒-︒=︒-︒解得24.75t =∠24.755120⨯︒>︒∠24.75t =符合题意；∠当22.5t =或24.75t =时 =3BOC AOD ∠∠．【点睛】本题主要考查了三角板和几何中角度的计算 利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B ＝∠AOB ＝45° ∠A ＝90°和∠D ＝30° ∠COD ＝60° ∠C ＝90°）按如图所示摆放使得B 、O 、D 三点共线．将三角尺ABO 绕点O 以每秒4°的速度顺时针旋转 当边AO 与OD 重合时停止运动 设三角尺ABO 的运动时间为t 秒．(1)当t ＝10时 ∠AOD ＝ °．(2)求出当t 为何值时 边AO 平分∠COD ．(3)若在三角尺ABO开始旋转的同时三角尺OCD也绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转当三角尺ABO停止旋转时三角尺OCD也停止旋转．在旋转过程中是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC若存在请直接写出t的值；若不存在请说明理由．(3)当OB 在OC 右侧时综上：t 的值为21秒或27秒．器0刻度线重合 边AP 与量角器180︒刻度线重合 将三角尺ABP 绕量角器中心点P 以每秒4︒的速度顺时针旋转 当边PB 与0︒刻度线重合时停止运动.设三角尺ABP 的运动时间为t （秒）（1）当5t =秒时 边PB 经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;（2）t = 秒时 边PB 平分CPD ∠;（3）若在三角尺ABP 开始旋转的同时 三角尺PCD 也绕点P 以每秒1的速度逆时针旋转 当三角尺ABP 停止旋转时 三角尺PCD 也停止旋转∠当t 为何值时 边PB 平分CPD ∠;∠在旋转过程中 是否存在某一时刻 使得:3:2BPD APC ∠∠=.若存在 请求出t 的值;若不存在 请说明理由.【答案】（1）115°；（2）26.25；（3）∠21秒 ∠18t =秒或25.2秒【分析】（1）0=t 秒时 边PB 经过量角器刻度对应的度数是135︒ 由由旋转知 4520︒⨯= 进而即可得到答案；（2）由旋转知 旋转角为4t 度 根据题意 列出关于t 的方程 即可求解；20ABP 是等腰直角三角形45APB ∴∠=即：0=t 秒时 边经过量角器刻度对应的度数是135∴旋转5秒时 边20115=故答案为：115︒；()2由旋转知边60解得：t =2BPD ∠1355t ∴-当边PA 在边由旋转知BPD t ∠=2BPD ∠5135t ∴-解得：t =综上所述：【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差倍分关系的综合一次方程类型二：角的动线问题5．（2020·河南平顶山·七年级期末）如图∠ 直线PQ 上依次有A 、O 、B 三点 若射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2︒的速度旋转 同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4︒的速度旋转 如图∠ 设旋转时间为t 秒（045≤≤t ）．（1）POA ∠=__________度 QOB ∠=__________度．（用含t 的代数式表示）（2）在运动过程中 当AOB ∠等于60︒时 求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t 使得射线OB 平分AOQ ∠或AOP ∠ (AOQ ∠ AOP ∠均为小于180︒的角)？如果存在 直接写出t 的值；如果不存在 请说明理由．【答案】（1）2POA t ∠=度 4QOB t ∠=度；（2）当AOB ∠等于60︒时 t=20或40；（3）射线OB 平分AOQ ∠或AOP ∠时 t=18或36. 【分析】（1）∠POA 的度数等于OA 旋转速度乘以旋转时间 ∠QOB 的度数等于OB 旋转速度乘以旋转时间；（2）分OA 与OB 相遇前 ∠AOB=60° 和OA 与OB 相遇后 ∠AOB=60° 两种情况 列出关于t 的等式 解出即可；（3）分OB 平分∠AOQ 和OB 平分∠AOP 两种情况 列出关于t 的等式 解出即可.【详解】（1）22POA t t ∠=⨯=度44QOB t t ∠=⨯=度；（2）∠OA 与OB 相遇前 ∠AOB=60°2604180t t ++=6120t =20t =；∠OA 与OB 相遇后 ∠AOB=60°2460180t t +-=6240t =40t =综上 当AOB ∠等于60︒时 t=20或40；（3）∠OB 平分∠AOQ 时∠AOQ=2∠BOQ180224t t -=⨯10180t -=-18t =；∠OB 平分∠AOP 时∠AOP=2∠BOP()221804t t =⨯-23608t t =-10360t =36t =综上 射线OB 平分AOQ ∠或AOP ∠时 t=18或36.【点睛】本题是对角度动态问题的考查 熟练掌握角的计算和角平分线性质的运用 准确根据题意列出方程是解决本题的关键 难度相对较大.6．（2017·福建泉州·七年级阶段练习）如图 点A B 在以点O 为圆心的圆上 且∠AOB =30° 如果甲机器人从点A 出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶；乙机器人同时从点B 出发沿着圆周按逆时针方向行驶 速度是甲机器人的两倍 经过一段时间后 甲、乙分别运动到点C D 当以机器人到达点B 时 甲乙同时停止运动 设运动时间为t(1)当t =2秒时 则∠COD 的度数是________；并请你直接写出用含t 的代数式表示∠BOC 则∠BOC =________(2)探究：当时间为多少秒时 点C 与点D 相遇？(3)在机器人运动的整个过程中 若∠COD 是∠AOB 的3倍 求甲运动的时间． 【答案】(1)60° ；30+5t(2)22秒(3)4秒 16秒 28秒【分析】（1）根据角的和差定义计算即可；（2）根据∠AOC +∠BOD +∠AOB =360° 构建方程即可解决问题；（3）分三种情形讨论 分别构建方程即可解决问题；（1）当t =2秒时 ∠AOC =20° ∠BOD =10°∠∠COD =∠AOC +∠AOB +∠BOD =60° ∠BOC =（30+5t ）°故答案为60° （30+5t ）°；（2）甲机器人的运动速度每秒为5° 乙机器人的运动速度为每秒10°∠∠AOC =5t 则∠BOD =10t∠∠AOC +∠BOD +∠AOB =360°∠5t +10t +30=360解得：t=22．所以当时间为22秒时点C与点D相遇．（3）分三种情况讨论：∠当OC OD运动到如图1所示的位置时设甲的运动时间为t秒则∠AOC=5t° ∠BOD=10t° ∠∠COD=90° ∠AOB=30°∠5t+30+10t=90解得：t=4；∠当OC OD运动到如图2所示的位置时设甲的运动时间为t秒则∠AOC=5t° ∠BOD=10t° ∠∠COD=90° ∠AOB=30°∠5t+30+10t+90=360解得：t=16；∠当OC OD运动到如图3所示的位置时设甲的运动时间为t秒则∠AOC=5t° ∠BOD=10t°∠∠COD=90° ∠AOB=30°∠5t+30+10t﹣90=360 解得：t=28；综上甲运动的时间分别为4秒16秒28秒符合题意．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、角的和差定义等知识解题的关键是理解题意学会正确寻找等量关系构建方程解决问题学会用分类讨论的思想思考问题．7．（2022·湖北武汉·七年级期末）【阅读理解】∠BOC则我们称射线OC是射线OA的伴射线OC是∠AOB内部的一条射线若∠COA＝12∠BOC随线．例如如图1 ∠AOB＝60° ∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20° 则∠AOC＝12∠AOD称射线OD是射线OB的伴称射线OC是射线OA的伴随线；同时由于∠BOD＝12随线．【知识运用】（1）如图2 ∠AOB＝120° 射线OM是射线OA的伴随线则∠AOM＝° 若∠AOB 的度数是α射线ON是射线OB的伴随线射线OC是∠AOB的平分线则∠NOC的度数是．（用含α的代数式表示）（2）如图3 如∠AOB＝180° 射线OC与射线OA重合并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转射线OD与射线OB重合并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转当射线OD与射线OA重合时运动停止．∠是否存在某个时刻t（秒）使得∠COD的度数是20° 若存在求出t的值若不存在请说明理由．∠当t为多少秒时射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．同理若∠AOB的度数是α射线ON是射线OB的伴随线α1OC 是OD 的伴随线时OD 是OC 的伴随线时1的上方．MON 为直角三角板 O 为直角顶点 30M ∠=︒ ON 在射线OC 上．将三角板MON绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转 与此同时 射线OC 绕点O 以每秒11°的速度沿逆时针方向旋转 当射线OC 与射线OA 重合时 所有运动都停止．设运动的时间为t 秒（1）旋转开始前 ∠MOC ＝ ° ∠BOM ＝ °；（2）运动t 秒时 OM 转动了 ° t 为 秒时 OC 与OM 重合；（3）t 为何值时 ∠MOC =35°？请说明理由．【答案】（1）90︒ 60︒；（2）108︒ 18；（3）11秒或25秒.【分析】（1）根据30AOC ∠=︒ MON 为直角三角板 ON 在射线OC 上 即可得出答案； （2）根据MON 为直角三角板 得90MON ∠=︒ 构建方程求出t 即可解决问题；（3）分两种情况分别构建方程解决问题即可.【详解】（1）旋转前 MON 为直角三角板 ON 在射线OC 上∴90MOC MON ∠=∠=︒30AOC ∠=︒∴30AON ∠=︒∴18060BOM MON AON ∠=︒-∠-∠=︒；故答案为：90︒；60︒.（2）90MON ∠=︒由题意得：90611t t ︒+=18t =故OM 转动：186108⨯︒=︒；故答案为：108︒；18.（3）35MOC ∠=︒由题意：()1206301135t t ︒+-︒+=︒或()3011120635t t ︒+-︒+=︒解得：11t =或25∴11t s =或25s 时 35MOC ∠=︒.【点睛】本题考查旋转变换 角的和差定义 一元一次方程等知识 解题的关键是理解题意 学会利用参数构建方程解决问题 属于中考常考题型.。