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第5章 真空中的静电场§ 物质的电结构实验证明,自然界中存在两种电荷,分别称为正电荷和负电荷.它们之间存在相互作用力,同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引.物体所带电荷的多少称为电量,用q 或Q 表示,电量的单位取库仑（C ）.实验还表明,在自然界中,存在着最小的电荷基本单元e,任何带电体所带的电量只能是这个基本单元的整数倍,即),,( 21 n ne Q电荷的这一特性称为电荷的量子性.实验测得这基本单元的电量为).()(.C C e 19191060211049602177331 近似为由于e 的量值非常小,在宏观现象中不易观察到电荷的量子性,常将电量Q 看成是可以连续变化的物理量,它在带电体上的分布也看成是连续的.由物质的电结构可知,原子中一个电子带一个单位负电荷,一个质子带一个单位正电荷,其量值就是C e 19106021 .,原子失去电子带正电,原子得到电子带负电.随着人们对物质结构的认识,1964年盖尔曼（M ·Gell-Mann ）等人提出了夸克模型,认为夸克粒子是物质结构的基本单元,强子（质子、中子等）是由夸克组成的,而不同类型的夸克带有不同的电量,分别为e 31 或e 32 .截止1995年,核子的6个夸克已全部被实验发现,可靠的依据也证明了分数电荷的存在.但到目前为止还没有发现自由状态存在的夸克 .我们已经知道,在正常情况下物体不带电,呈电中性,即物体上正、负电荷的代数和为零.当物体呈带电状态时,是由于电子转移或电子重新分配的结果,在电子转移或重新分配的过程中,正、负电荷的代数和并不改变.大量实验表明,把参与相互作用的几个物体或粒子作为一个系统,若整个系统与外界没有电荷交换,则不管在系统中发生什么变化过程,整个系统电荷量的代数和将始终保持不变.这一结论称为电荷守恒定律,它是自然界中一条基本定律.实验还发现,一切宏观的、微观的,物理的、化学的、生物的等过程都遵守电荷守恒定律.§ 库仑定律实验表明,带电体之间的相互作用与带电体之间的距离和所带电量有关,也与带电体的大小、形状、电荷在带电体上的分布情形以及周围介质的性质有关.所以在通常情况下,两个带电体之间的相互作用表现出与多种因素有关的复杂情形.当带电体的线度与带电体之间的距离相比小得多时,带电体的大小、形状对所研究问题的影响可以忽略,这样的带电体称为点电荷.显然,点电荷的概念与质点、刚体等概念一样,是对实际情况的抽象,是一种理想化的物理模型.一个带电体能否看成点电荷,必须根据具体情况来决定.一般的带电体不能看成点电荷,但总可以把它看成是许多点电荷的集合体,从而能由点电荷所遵从的规律出发,得出我们所要寻找的结论.本节我们讨论真空中点电荷间的相互作用.两点电荷之间的相互作用是库仑—1806)通过扭称实验于1785年总结出来的,其内容为：真空中两静止点电荷之间的相互作用力的大小与它们所带电量的乘积成正比 ,与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着两电荷的连线,同号电荷相斥(为正),异号电荷相吸(为负),这一结论称为库仑定律.其数学表达式为 r r q q k F ˆ221( ) k 为比例系数,在SI 单位制中,实验测得其数值为2222C m N C m N 991091098755188.k为使由库仑定律导出的其它公式具有较简单的形式,通常将库仑定律中的比例系数写为41 k ( ) 其中ε0为真空的电容率(或真空中的介电常数),于是库仑定律又可写为r r q q F ˆ20214 图(a)表示两个同号电荷的作用力是排斥力；图(b)表示两个异号电荷的作用力是吸引力.值得指出的是,库仑定律只适用于描述两个相对于观察者为静止的点电荷之的相互作用,这种静止电荷的作用力称为静电力（或库仑力）.空气对电荷之间的作用影响较小,可看成是真空.例题 三个点电荷21q q 、和 Q 所处的位置如图 所示,它们所带的电量分别为C q q 6211002 . ，C Q 61004 ..求21q q 和对Q 的作用力.解：本问题一般是先利用库仑定律求出21q q 、分别对 Q 的作用力 F 和F ',然后求出它们的合力.由本问题的对称性可知 F 和 F '的 y 分量大小相等,方向相反,因而互相抵消.Q 所受21q q 、之合力方向沿 x轴正向.由库仑定律得1q 对Q 的作用力大小为N 290403010041002109984226692101...... r Q q F N 2305040290....cos F F x 所以Q 所受21q q 、之合力大小为N 46023022..cos ' F F F F f x x x作业(P120)：§ 电场和电场强度一、静电场关于电荷之间如何进行相互作用,历史上曾经有过两种不同的观点.一种观点认为这种相互作用不需要媒质,也不需要时间,而是直接从一个带电体作用到另一个带电体上的.即电荷之间的的相互作用是一种“超距作用”.这种作用方式可表示为电荷电荷另一种观点认为,任一电荷都在自己的周围空间产生电场,并通过电场对其它电荷施加作用力,这种作用方式可表示为电荷电场电荷大量事实证明,电场的观点是正确的.电场是一种客观存在的特殊物质,与由分子、原子组成的物质一样,它也具有能量、质量和动量.二、电场强度不同的带电体系具有不同的电场,同一电荷体系的电场在空间具有一定的分布.为了定量的描述电场中各点电场的性质,引入一新的物理量——电场强度. 电场的一个重要性质,就是对置于其中的电荷施加作用力.为此,在电场中引入电量为0q 的试探电荷来研究电场的性质.所谓试探电荷是这样一种电荷,首先它所带的电量要非常小,一致由于它的引入使原电场发生的改变可以忽略；其次它的几何尺寸亦必须非常小,一致可以看作点电荷.实验证明,在给定的场点处,试探电荷0q 所受的电场力F 与0q 之比为一常矢量,与0q 的大小无关；不同的场点,比值不同.可见比值F/0q 揭示了电场的性质,所以我们可将这一比值定义为电场强度,简称电场,用E 表示,即q F E 上式说明,静电场中任意一点的电场强度其大小等于单位试探电荷在该点所受到的电场力,其方向与正电荷在该点的受力方向相同.通常E 是空间坐标的函数.若E 的大小和方向均与空间坐标无关,这种电场称为匀强电场.在SI 单位制中.电场强度的单位为牛顿/库仑（N ·C -1）,或伏特/米（V ·m -1）三、叠加原理和电场强度的计算1. 单个点电荷产生的电场考虑真空中的静电场是由电量为 q 的点电荷产生的,试探电荷0q 在其中的P 点所受的电场力可由库仑定律式（）得r rq q F ˆ2004 式中r 是点P 相对于点电荷的位置矢量,r 是这位置矢量的大小,由电场强度的定义式（）则得P 点处的电场强度为r rq r r q q F E 3020044 ˆ 上式表示,点电荷在空间任一点P 所产生的电场强度E 的大小,决定于这个点电荷的电量和点P 到该点电荷的距离.电场强度E 的方向与这个点电荷的符号有关,q 为正,电场强度E 的方向与位置矢量r 的方向相同；q 为负,电场强度E 的方向与位置矢量r 的方向相反.电场强度在空间呈球对称分布.2. 场强的叠加原理 多个点电荷的电场强度考虑空间存在n 个点电荷.实验证明,在它们的电场中任一点P 处,试探电荷0q 所受的电场力F 等于各点电荷分别单独存在时0q 所受电场力的矢量和,并利用电场强度的定义得：i q F E i E E F F 0/定义上式表明,在点电荷系的电场中,任意一点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和,这一结论称为场强的叠加原理.i i ii r r q E 3041进一步可表示为 3. 任意带电体产生的电场任意带电体的电荷可以看成是很多极小的电荷元dq 的集合,每一个电荷元dq 在空间任意一点P 所产生的电场强度,与点电荷在同一点产生的电场强度相同.整个带电体在P 点产生的电场强度就等于带电体上所有电荷元在P 点场强的矢量和.如果点P 相对于电荷元dq 的位置矢量为r ,则电荷元dq 在P 点产生的电场强度,进而整个带电体在P 点产生的电场强度为：r r dq E r r dq E d 30304141求积分 ).().().(135411254111541303030线分布面分布体分布r rdl r r dS r r dV E 应该注意,式— 都为矢量式.实际应用中多用标量式(投影式) ,如E 沿X 轴的投影式为cos 204r dq dE E x x 式中 表示r 与X 轴的夹角.例题 如图所示,有两个电量相等而符号相反的点电荷 + q 和 - q,相距l . 求在两点电荷的中垂面上任一点P 的电场强度.解：以l 的中点为原点建立坐标系,如图设点P 到点O 的距离为r .电荷 + q 和- q在点P 产生的电场强度分别用 E E 和表示 ,它们的大小相等为441220/l r q E E它们的方向如图所示.点P 的电场强度E 为 E E 和的矢量和,即 E E E E 的x 分量为23220x x x x 441cos cos /)/(l r ql E E E E EE 的y 分量为0sin sin y y y E E E E E所以,点P 的电场强度大小为负方向方向沿X l r ql E E x 23220441/)/(当l r 时,这样一对电量相等、符号相反的点电荷所组成的系统,称为电偶极子.从负电荷到正电荷所引的有向线段 l 称为电偶极子的轴 .电量q 与电偶极子的轴 l 的乘积,定义为电偶极子的电矩,用表示,即l q p由于l r ,故有323224r l r /)/(,所以在电偶极子轴的中垂面上任意一点的电场强度可表示为304rp E 电偶极子是一个很重要的物理模型,在研究电介质极化,电磁波的发射和吸收等问题中都要用到该模型.例题 有一均匀带电细直棒,长为L,所带总电量为q .直棒外一点P 到直棒的距离为a ,求点P 的电场强度.解：如图所示,设直棒两端至点P 的连线与x 轴正向间的夹角分别为21 和,考虑棒上x 处的元段dx ,其带电量dx Lq dx dq ,它在P 点产生的电场强度大小为204d ldx E 其中 l 是微元dx 到P 点的距离, d E 的方向如图所示.计算其沿x 轴和y 轴的分量分别积分得：cos 204l dx dE E x x )sin (sin 1204 aLq2104d a cos )cos (cos sin 21004421 aLq d a E y 讨论 1) 对于半无限长均匀带电细棒（ 2121220,//,或）则有a E x 04 ；aE y 04 2) 对于无限长均匀带电细棒（ 210,）则有aE E y x 020 , 作业(P120)：，§ 高斯定理一、电力线（电场线）为了对电场有一个比较直观的了解,可用图示的方法形象地描绘电场中的电场强度分布状况.为此在电场中作一系列有向曲线,使曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致,这些有向曲线称为电力线（又称电场线）,简称E 线. 为了使电力线不仅能表示出电场中各点场强的方向,而且还能表示出场强的大小,我们规定：电场中任一点场强的大小等于在该点附近垂直通过单位面积的电力线数,即)(电场线密度EdS dN 按此规定,电场强度的大小E 就等于电力线密度,电力线的疏密描述了电场强度的大小分布,电力线稠密处电场强,电力线稀疏处电场弱.匀强电场的电力线是一些方向一致,距离相等的平行线.静电场的电力线具有以下特点：（1）电力线起自正电荷（或来自无穷远）,终止负电荷（或伸向无穷远）,但不会在无电荷的地方中断,也不会形成闭合线.（2）因为静电场中的任一点,只有一个确定的场强方向,所以任何两条电力线都不可能相交.二、电通量通过电场中某一个曲面的电力线数称为通过该曲面的电通量。
第五章 真空中的静电场第一节 电荷、库仑定律一、电荷电子具有电荷191.6021910e C -=-⨯(库仑)，质子具有电荷191.6021910p C e -=⨯，中子不带电。
物理学对电荷的认识可概括为：(1) 电荷和质量一样，是基本粒子的固有属性； (2) 电荷有两种：正电荷和负电荷，一切基本粒子只可能具有电子或质子所具有电荷的整数倍；(3) 电荷具有守恒性；(4) 电荷之间的相互作用，是通过电场作媒质传递的。
不同质料物体相摩擦后，每个物体有若干电子脱离原子束缚，进入到对方物体中去，双方失去电子数目不一样，一个净获得电子，一个净失去电子，这就是摩擦起电。
核反应中，电荷也是守恒的，例如用α粒子42He 去轰击氮核147N ，结果生成178O 和质子11H1441717281N +He O H →+反应前后，电荷总数皆为9e 。
根据(2)，电荷电场电荷，质量引力场质量。
在电解液中，自由电荷是酸碱盐溶质分子离解成的正、负离子；在电离的气体中，自由电荷也是正、负离子，不过负离子往往就是电子；在超导中，传导电流的粒子是电子对(库珀对)，还可能是极化子、双极化子、孤子等。
从微观上去看，电荷是分立的，宏观上来看，其最小变化量与宏观粒子系统的总电荷量比较完全可被当作无穷小处理。
所以宏观小微观大的带电体，电荷的连续性与分立性得到了统一。
二、库仑定律123014q q F r r πε=或122014r q q F e r πε= 0ε为真空电容率(vacuum permittivity)，其数值为()()1222122208.85418781810/8.8510/C N m C N m ε--=⨯⋅≈⨯⋅介质中的库仑力12314q q F r rπε=0r εεε=是电介质的介电常数，r ε是相对介电常数。
电介质中作用力比真空中小，是因为介质极化后，在点电荷周围出现了束缚电荷。
它削弱了原点电荷之间的作用。
三、叠加原理实验表明，如果同时存在多个点电荷相互作用，则任意两个点电荷之间的相互作用，并不因为第三个电荷的存在而改变，即作用在一个电荷上的力，等于其他每一个电荷单独对该点电荷的库仑作用力的矢量之和，这个规律称为叠加原理。
§5.5 静电场的功 电势一、静电场力的功 静电场的环路定理将试探电荷0q 引入点电荷q 的电场中,现在来考察如图5.10所示, 把0q 由a 点沿任意路径 L 移至b 点,电场力所做的功.路径上任一点c 到q 的距离为r ,此处的电场强度为r r q E 304 如果将试探电荷0q 在点c 附近沿L 移动了位移元dl ,那么电场力所做的元功为cos Edl q l d E q dA 00dr rq q Edr q 20004 式中θ是电场强度E 与位移元dl 间的夹角,dr 是位移元dl 沿电场强度E 方向的分量.试探电荷由a 点沿L 移到b 点电场力所做的功为)(ba r r r r q q dr r q q dA Ab a 114400200 (5.22) 其中b a r r 和分别表示电荷q 到点a 和点b 的距离.上式表明在点电荷的电场中,移动试探电荷时,电场力所做的功除与试探电荷成正比外,还与试探电荷的始、末位置有关,而与路径无关.利用场的叠加原理可得在点电荷系的电场中,试探电荷0q 从点a 沿L 移到点b 电场力所做的总功为ii A A上式中的的每一项都表示试探电荷0q 在各个点电荷单独产生的电场中从点a 沿L 移到点b 电场力所做的功.由此可见点电荷系的电场力对试探电荷所做的功也只与试探电荷的电量以及它的始末位置有关,而与移动的路径无关.任何一个带电体都可以看成由许多很小的电荷元组成的集合体,每一个电荷元都可以认为是点电荷.整个带电体在空间产生的电场强度E 等于各个电荷元产生的电场强度的矢量和.于是我们得到这样的结论：在任何静电场中,电荷运动时电场力所做的功只与始末位置有关,而与电荷运动的路径无关.即静电场是保守力场.若使试探电荷在静电场中沿任一闭合回路L 绕行一周,则静电场力所做的功为零,电场强度的环量为零，即 00000Lq L l d E l d E q (5.23) 静电场的这一特性称为静电场的环路定理,它连同高斯定理是描述静电场的两个基本定理.二、电势能和电势1 电势能在力学中已经知道,对于保守力场,总可以引入一个与位置有关的势能函数,当物体从一个位置移到另一个位置时,保守力所做的功等于这个势能函数增量的负值.静电场是保守力场,所以在静电场中也可以引入势能的概念,称为电势能 .设b a W W 、分别表示试探电荷0q 在起点a 、终点b 的电势能,当0q 由a 点移至b 点时,据功能原理便可得电场力所做的功为)(a b b aab W W l d E q A 0 (5.25) 当电场力做正功时,电荷与静电场间的电势能减小；做负功时,电势能增加.可见,电场力的功是电势能改变的量度.电势能与其它势能一样,是空间坐标的函数,其量值具有相对性,但电荷在静电场中两点的电势能差却有确定的值.为确定电荷在静电场中某点的电势能,应事先选择某一点作为电势能的零点.电势能的零点选择是任意的,一般以方便合理为前提.若选c 点为电势能零点,即0 c W ,则场中任一点a 的电势能为c aa l d E q W 0 (5.26) 2 电势与电势差电势能（差）是电荷与电场间的相互作用能,是电荷与电场所组成的系统共有的,与试探电荷的电量有关.因此,电势能（差）不能用来描述电场的性质.但比值0q W a /却与0q 无关,仅由电场的性质及a 点的位置来确定,为此我们定义此比值为电场中a 点的电势,用a V 表示,即c a a a ld E q W V 0(5.27) 这表明,电场中任一点a 的电势 ,在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能；或等于单位正电荷从该点沿任意路径移至电势能零点处的过程中,电场力所做的功.式(5.27)就是电势的定义式,它是电势与电场强度的积分关系式.静电场中任意两点a 、b 的电势之差,称为这两点间的电势差,也称为电压,用V 或U 表示,则有b ac b c a b a ld E l d E l d E V V U (5.28) 该式反映了电势差与场强的关系.它表明,静电场中任意两点的电势差,其数值等于将单位正电荷由一点移到另一点的过程中,静电场力所做的功.若将电量为0q 的试探电荷由a 点移至b 点,静电场力做的功用电势差可表示为)(b a b a ab V V q W W A 0 (5.29)由于电势能是相对的,电势也是相对的,其值与电势的零点选择有关,定义式(5.27)中是选c 点为电势零点的.但静电场中任意两点的电势差与电势的零点选择无关.在国际单位制中,电势和电势差的单位都是伏特（V ）.等势面 在电场中电势相等的点所构成的面称为等势面.不同电场的等势面的形状不同.电场的强弱也可以通过等势面的疏密来形象的描述,等势面密集处的场强数值大,等势面稀疏处场强数值小.电力线与等势面处处正交并指向电势降低的方向.电荷沿着等势面运动,电场力不做功.等势面概念的用处在于实际遇到的很多问题中等势面的分布容易通过实验条件描绘出来,并由此可以分析电场的分布.三、电势的计算1 点电荷的电势在点电荷q 的电场中,若选无限远处为电势零点,由电势的定义式（5.27）可得在与点电荷q 相距为 r 的任一场点P 上的电势为rq l d E V r P 04 (5.30) 上式是点电荷电势的计算公式,它表示,在点电荷的电场中任意一点的电势,与点电荷的电量q 成正比,与该点到点电荷的距离成反比.2 多个点电荷的电势在真空中有N 个点电荷,由场强叠加原理及电势的定义式得场中任一点P 的电势为ii i r i r i i r P V l d E l d E l d E V (5.31) 上式表示,在多个点电荷产生的电场中,任意一点的电势等于各个点电荷在该点产生的电势的代数和.电势的这一性质,称为电势的叠加原理.设第i 个点电荷到点P 的距离为i r ,P 点的电势可表示为N i i i i i P r q V V 1041 (5.32) 3 任意带电体的电势对电荷连续分布的带电体,可看成为由许多电荷元组成,而每一个电荷元都可按点电荷对待.所以,整个带电体在空间某点产生的电势,等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和.所以将式（5.32）中的求和用积分代替就得到带电体产生的电势,即线分布面分布体分布L S V P rdl rdS r dV r dq V 00004444 （5.33） 讨论：1）在上述所给的电势表式中，都选无限远作为电势参考零点；2）在计算电势时,如果已知电荷的分布而尚不知电场强度的分布时,总可以利用（5.33）直接计算电势.对于电荷分布具有一定对称性的问题,往往先利用高斯定理求出电场的分布,然后通过式（5.27）来计算电势.例题5.6 求电偶极子电场中的电势分布,已知电偶极子的电偶极矩P = q l ． 解：如图5.11所示,P 点的电势为电偶极子正负电荷分别在该点产生电势的叠加（求代数和）,即r q r q V P 004141 因而有因此由于,cos ,, l r r r r r l r 230204141r r p r ql V P cos由此可见,在轴线上的电势为2041r p V P ；在中垂面上一点的电势为0 P V 。
例题 5.7 电量为 q 的电荷任意的分布在半径R 的圆环上,求圆环轴线上任一点P 的电势.解：取坐标轴如图5.12 所示,X 轴沿着圆环的轴线,原点o 位于环中心处.设P 点距环心的距离为x ,它到环上任一点的距离为r ；在环上任取一电荷元dq ,它在P 点的电势rdq dV 04 于是整个带电圆环在P 点的电势220044xR q r dq V 在x =0处,即圆环中心处的电势Rq V 04 例题5.8半径为R 的球面均匀带电,所带总电量为q .求电势在空间的分布. 解：先由高斯定理求得电场强度在空间的分布 )()(R r R r r r q E 0430 方向沿球的径向向外.对于球外任一点,若距球心为r (r>R ),则电势为rq dr r q l d E V r r 020244对于球内的任一点,若距球心为r (r<R ),则电势为R q dr r q l d E V Rr 020144结果表明,在球面外部的电势,如同把电荷集中在球心的点电荷的电势,在球内部,电势为一恒量.电势随离开球心的距离 r 的变化情形如图5.13所示.作业(P121)：5.15、5.16*§5.6 电场强度与电势的微分关系电场强度和电势都是描述电场的物理量,即它们是同一事物的两个不同的侧面,它们之间存在着一定的关系.上节中的式（5.27）就是电势与电场强度的积分关系式.本节说明电场强度与电势的微分关系.将试探电荷0q 在静电场中移动元位移d l ,因静电场力是保守力,它对0q 所做的元功等于电势能的减小量,即dV q l d E q 00 ,于是得到电势V 与电场强度E的一个重要关系dl E Edl l d E dV l cos (5.34)即方向的方向导数沿l dldV E l , (5.35) 上式表明,电场中某点的电场强度在任一方向上的投影等于电势沿该方向的方向导数的负值.据此,在直角坐标系中E 的三个分量应为zV E y V E x V E z y x ,, (5.36) 电场强度矢量可表示为gradV V zV k y V j x V i E )( (5.37) grad V 称为电势V 的梯度,它在直角坐标系即为zV k y V j x V i gradV 而zk y j x i 代表一种运算,称为微分算符,它具有矢量微分双重性.式（5.37）表明,电场中某点的电场强度等于该点电势梯度的负值.进一步可以说明,电势梯度的大小等于电势沿等势面法线方向的方向导数,其方向是沿着等势面的法线并使电势增大的方向.式(5.35)、(5.36)、(5.37)是电场强度与电势的微分关系的等价形式 ,它们在实际中有着重要的应用.这是因为求电势是标量运算 ,当电荷分布给定时,便可通过上述关系求出电场强度,这一方法比直接利用矢量运算求电场强度要简便得多. 例题5.9求均匀带电圆环轴线上的场强分布.解：由题5.7已得均匀带电圆环轴线上的电势分布为2204xR qV利用电场强度与电势的微分关系便得轴线上的场强分布为232202322024//)()(R x Rx R x qxx VE x由对称性知00 z y E E ,即轴线上任一点的场强为x E E ,方向沿着轴线. 作业(P121)：20。
