2014-2015石景山区高三上期末考试理科数学试题

2014年石景山区高三统一测试数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =I ð（ ）．A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ）．A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =3．在251()x x-的展开式中，x 的系数为（ ）．A ．10B ．10-C ．20D ．20-4．已知Rt ABC △中，90,C ∠=o 5,AB =4BC =，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ）．5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ）． A ．2B ．8C ．3D ．46．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）．A ．4B ．95C ．125D ．165A ．612B ．33C ．64D ．36ACDB 1主视图左视图俯视图7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）．A ．2-B ．12C ．1-D ．28．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =uuu r 且0MP MF ⋅=uuu r uuu r ，则||PM uuu r的最小值为（ ）．A ．3B ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知命题p ：,e 0x x ∃∈<R ，则p ⌝是____________________．10．在等比数列}{n a 中，14=2,=16a a ，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．12．已知变量x y ，满足约束条件20,1,70,x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是_________．13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________．否开始1i i =+11A A=-2014i >是 输出A 结束02i A ==，三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a b c <<，32sin a b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，7b =，求c 边的长和ABC △的面积．16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．01235567889135567罗非鱼的汞含量（ppm）17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．A1A1B1CCDB18．（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴上的一个端点到F 的距离为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N ． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值．xOy P1l 2lMN20．（本小题满分13分）对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -()12,3,4,,i n =L 作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列1,2,3,4,5的一个生成数列是1,2,3,4,5--．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|,,2}2n nk x x k k *--=∈≤N ．2014年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBDDBCA二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为32sin a b A =，所以3sin 2sin sin A B A =，…………………………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠， 所以3sin 2B =， ………………………… 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =o ．…………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，7b =，所以由余弦定理得2221(7)2222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分11333=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．…………………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==， ∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591． …………………………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==，………………5分ξ可能取0，1，2，3． …………………………6分则3318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 题号 9 10 11 12 13 14 答案 e 0x x ∀∈≥R ， 2n ；(1)2n n + 22+=4x y ；52k =± [95，6] 180 22y x =-223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．……………………10分 其分布列如下：ξ 0 1 2 3P827 49 29127…………………………12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形， 所以M 为1A B 的中点． 因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形1AB C 的中位线，…………………2分 所以MD ∥1B C ．…………………………3分 因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， 所以1B C ∥平面1A BD ．…………………………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -． 因为2AB =，13AA =，D 是AC 的中点．所以(1,0,0)A ，(1,0,0)B -，(0,0,3)C ，1(1,3,0)A ，…………………………5分 所以13(,0,)22D ，33(,0,)22BD =uu u r ，1(2,3,0)BA =uuu r． 设(,,)n x y z =r是平面1A BD 的法向量， 所以10,0,n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r 即330,22230,x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令3x =-，则2y =，3z =，所以(3,2,3)n =-r是平面1A BD 的一个法向量．…………………………6分 由题意可知1(0,3,0)AA =uuu r是平面ABD 的一个法向量，…………………………7分 所以1231cos ,243n AA <>==r uuu r ．…………………………8分 所以二面角1A BD A --的大小为3π．…………………………9分 x yz OBDA1A1B 1CCMA1A1B1CBCD（Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(1,3,3)C E x =--uuu r ，11(1,0,3)C B =--uuu u r设平面11B C E 的法向量1111(,,)n x y z =u r，所以11110,0,n C E n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r r uuuu r 即11111(3)30,30,x x y z x z ⎧-+-+=⎪⎨--=⎪⎩ 令13z =-，则13x =，163y x=-，16(3,,3)3n x=--u r，…………………………12分又10n n ⋅=u r r ，即1233+3303x --=-，解得33x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且33AE =．…………………………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1a =时，2()ln (0)f x x ax x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-=，…………………………1分 11(0),()0,(,),()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，()f x 的减区间为1(0,)2，增区间1(,)2+∞．…………………………3分（Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x Q 在区间(01]，上是减函数，()0f x '∴≤对任意(0,1]x ∈恒成立，即120x a x+-≤对任意(0,1]x ∈恒成立，…………………………5分 12a x x ∴≤-对任意(0,1]x ∈恒成立， 令1()2g x x x =-，min ()a g x ∴≤，…………………………7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-． 1a ∴≤-．…………………………8分（Ⅲ）设切点为(,())M t f t ，1()2f x x a x'=+-，切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点()f t k t =，()12f t t a tt=+-，即：222ln 21,1ln 0t at t t at t t +-=+-∴-+=，存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根．…………………………11分 再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()120t t tϕ'=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()10ϕ=，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解．综上，切点的横坐标为1．…………………………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2,3,1c a b ==∴=Q ，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(0,2)P ，设过点(0,2)P 且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由222,1,3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分 所以12,l l 方程为2,2y x y x =+=-+．………………………………7分 121l l k k ⋅=-Q ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：3x =±，当1l ：3x =时，1l 与准圆交于点(3,1),(3,1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12,l l 垂直；同理可证当1l ：3x =-时，直线12,l l 垂直．………………………………10分②当12,l l 斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中2204x y +=． 设经过点00(,)P x y 与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(),1,3y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=．由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=． 设12,l l 的斜率分别为12,t t ，因为12,l l 与椭圆相切，所以12,t t 满足上述方程222000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12,l l 垂直．………………………………12分综合①②知：因为12,l l 经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点,M N ，且12,l l 垂直．所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN =，所以线段MN 的长为定值．………………………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ， ∴2311,48b b =±=±，由于1117111511131111,,,2488248824882488++=+-=-+=--=，∴3S 可能值为1357,,,8888．…………………………3分（Ⅱ）∵311(1)78n n S =-，当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=，当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=，3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ，…………………………5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列，∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n nb =±；∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中，当且仅当32313421,,()888n n n n n nb b b n *--==-=-∈N 时，才成立． ∴1,32,21,3 2.2nn nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N （）．…………………………8分（Ⅲ）2311112222n n S =±±±±L 共有12n -种情形． 23231111111122222222n n n S ----≤≤++++L L ，即12122n n n n S -≤≤， 又12322212n n n n nS ---±±±±=L ，分子必是奇数，满足条件121222n n n n x -≤≤的奇数x 共有12n -个．…………………………10分设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．由于1||||2k k ka b ==，不妨设0,0k k a b ><， 11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++L L12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++L 1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．……12分∴2311112222n n S =±±±±L 共有12n -种情形，其值各不相同． ∴n S 可能值必恰为13521,,,,2222n n n n n -L ，共12n -个．即n S 所有可能值集合为121{|,,2}2n nk x x k k *--=∈≤N ．…………………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】北京市石景山区高三统一测试 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】A【解析】解：有题可知{|02},{|1}A x x B x x =<<=≥，所以{|1}U B x x =<ð,故{|01}U A B x x =<<I ð． 故选A ．2．【答案】C【解析】解：因为2y x =在(0,)+∞上是单调递增，故A 错；因为1y x =+在(0,)+∞上单调递增且为非奇非偶函数，故B 错；同理D 错． 故选C ．3．【答案】B【解析】解：由二项式定理可知1C r n rrr nT ab -+=，所以()()521021551C C 1rrr r rr r r T xx x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 当1021r r --=时满足题意，即3r =，所以x 的系数为()335C 110-=-． 故选B ．4．【答案】D【解析】解：在Rt ABC △中，2229AC AB BC =-=，因为AC 为圆的 切线，由切割线定理可知29AC AD AB =⋅=，即95AD =， 所以916555BD AB AD =-=-=． 故选D ．5．【答案】D【解析】解：因为抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，有抛物线的定义可知 该点到抛物线2p y =-的距离为3，即132p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以4p =． 故选D ．6．【答案】B【解析】解：由三棱柱三视图可知直观图为：由左视图与俯视图可知1BD =，因为ABC ∆为等腰直角三角形，所以2AC =，PBC ∆为等边三角形，所以D 为AC 的中点，故3PD =．113=213=323P ABC V -⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭．故答案为B ．7．【答案】CDBACPxyAFMP【解析】解：列表i 0 1 2 3L2015 循环结束A2121- 2L x显然数据的周期为3，2015被3整除与2，所以2015与2对应的值一样，所以1x =-． 故答案选C ．8．【答案】A【解析】解：已知()3,0F ，因为1MF =uuu r ，所以M 点为 圆：F 上的动点；因为0MP MF ⋅=uuu r uuu r，所以MF MP ⊥，故直角FMP ∆中，2||=1PM PF -uuu r，当线段PF 取到最小值是满足题意；有椭圆的性质可知2||8PF ≤≤，即当点P 与点A 时，2||=13PM PF -=uuu r． 故答案选A ．二、 填空题9．【答案】,e 0x x ∃∈≥R【解析】解：由全称命题的否定为特称命题；所以p ⌝为,e 0x x ∃∈≥R ． 故答案为,e 0x x ∃∈≥R ．10．【答案】2n ；()12n n +【解析】解：由12a =，34116a a q ==，得38q =即2q =； 由等比数列的通项公式可得112n n n a a q -==，因为22log log 2n n n b a n ===；显然n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()12n n n S +=;故答案为2n ；()12n n +．11．【答案】22+=4x y ;52k =±【解析】解：因为2ρ=，所以24ρ=，即22+=4x y ； 因为直线与圆相切，所以点()0,0到直线的距离d r =，即2321d k ==+，解得52k =±．故答案为22+=4x y ;52k =±．12．【答案】9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：画出20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，表示的区域，如图所示：由00y k x -=-，得k 为(),x y 与()0,0两点所确定的直线的斜率，画出如图所示的图像，当过(1,6)时，k 取得最大值； 当过59(,)22时，k 取得最小值．即k 的取值范围为9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦．13．【答案】180【解析】解：方法一（分类）由题可知满足题意得有三类： 第一类：志愿不含甲、乙两专业有35A 60=；第二类：志愿含甲但不含乙有2353C A 60=； 第三类：志愿含乙但不含甲有2353C A 60=； 可知共有180种．方法二（补集思想）不限专业共有37A 210=，甲、乙同时兼报有1353C A =30，所以共有210-30=180种． 故答案为180．14．【答案】22y x =-【解析】解：有题可知函数()21f x x =-与函数()2ln g x x =有公共点(1,0)，由隔离直线的定义可知只有二者的公切线才能满足，2()2,g ()f x x x x''==，可知()()222k f g ''===，可知直线方程为22y x =-． 故答案为22y x =-．xy(52,92)(1,6)x-1=0x-y+2=0x+y-7=0。

2014年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B = ð（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =3．在251()x x-的展开式中，x 的系数为（ ）A ．10B ．10-C ．20D ．20-4．已知Rt △ABC 中，o 9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于D则BD 的长为（ ）5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．8CD ．46．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ A ．2- B ．12C ．1-D ．2A ．4B ．95C ．125D ．165A ．12B ．3CD ACB 主视图左视图8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF = 且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）AB ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知命题p ：0x x e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________．13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．01235567889135567罗非鱼的汞含量（ppm）17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．A1A1B1CCDB18．（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，C 的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值．20．（本小题满分13分）对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n = ，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值； （Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．2014年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：2sin b A =，2sin sin A B A =， …………………………2分因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =， ………………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B = ． …………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b=所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3． …………………………10分11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591． …………………………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， ………………5分 ξ可能取0，1，2，3． …………………………6分则30318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭， 223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．……………………10分分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形， 所以M 为1A B 的中点．因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形1AB C 的中位线，…………………………2分所以MD ∥1B C ． …………………………3分 因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ． …………………………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，1AA =D 是AC 的中点．所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C ，，1(1A 所以1(02D ，，，3(022BD = ，，， 1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量，所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，即30220x z x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，， 令x =2y =，3z =， 所以(23)n =，是平面1A BD 的一个法向量． …………………………6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量， …………………………7分所以11cos 2n AA <>== ，． …………………………8分所以二面角1A BD A --的大小为π． …………………………9分 （Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(1C E x =- ，11(10C B，，=-- 设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=， 所以111100n C E n C B，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111)00x x y x ，，⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令1z =13x =，1y =，MA1A 1B1CBCD1(3n =-， …………………………12分又10n n ⋅=，即0--=，解得x =所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且AE = …………………………14分 18．（本小题满分13分）解： （Ⅰ）1a =时， 2()ln (0)f x x ax xx =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-＝， …………………………1分 11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，，增区间1()2+∞，． …………………………3分（Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x +-≤对任意(01]x ∈，恒成立， …………………………5分 12a x x ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立， 令1()2g x x x=-，min ()a g x ∴≤， …………………………7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-． 1a ∴≤-． …………………………8分（Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x'=+-， 切线的斜率12k t a t=+-，又切线过原点()f t k t=，()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t=+-+-=+-∴-+=，即：， 存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根． …………………………11分再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t tϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解．综上，切点的横坐标为1． …………………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1c a b ==∴= ，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………………………2分准圆方程为224x y +=． ………………………………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，． ………………………………7分 121l l k k ⋅=- ，12l l ∴⊥． ………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-，此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直． ………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=．由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直． ………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直． 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值． ………………………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ， ∴231148b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，，∴3S 可能值为13578888，，，． …………………………3分（Ⅱ）∵311(1)78n n S =-， 当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=， 当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=，3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， …………………………5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列，∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n n b =±；∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立． ∴132213 2.2nn nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），． …………………………8分（Ⅲ）2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形．23231111111122222222n n n S ----≤≤++++ ，即12122n n n n S -≤≤， 又12322212n n n n nS ---±±±±= ，分子必是奇数， 满足条件121222n n n nx -≤≤的奇数x 共有12n -个． …………………………10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．由于1||||2k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++ 1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．……12分∴2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形，其值各不相同．∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n - ，，，，，共12n -个．即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． …………………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

2015年石景山区高三统一测试数 学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A ．}2,1{B ．}1|{≤x xC ．}1,0,1{-D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（ ）AB ．2 C． D ．33．执行如右图的程序框图，若输出的48S =， 则输入k 的值可以为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 6．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）② ③ ④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线； ③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ⋅+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ， 若P A ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=xy．13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的 课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是 ．a b c三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f Ca =1c =，求b .16．（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表： 下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI 数值的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．CD EF如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； (Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>离心率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别 与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足：①11a =；②所有项*N a n ∈；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．2015年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2yy πααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1,f α∈. ………7分 （Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即212b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部………………4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为EDBD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60或120 所以1cos ,24AP n AP n AP n⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =-………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，(0,33P 或(0,33P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b = (1)分由c e a ===224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y-=-，∴2200220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == ……………………4分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b……………………7分 ∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b ……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=- ∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈ 当*21()m t t N =-∈时： 221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+ ……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

北京市石景山区高三数学上学期期末考试试题理0203033数 学（理）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|01}B x x =≤≤,那么A B 等于（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1] 2．若34iz i+=，则||z =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =D ．1y x=5．由直线10x y -+=，50x y +-=和1x =所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ）A ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩B ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩C ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩D ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h =（A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)y x =-图象上的点2(,(3))P t t -向左平移m (m >0)个单位长度得到 点Q ．若Q 位于函数2y x =的图象上，则以下说法正确的是（ ） A ．当2t =时，m 的最小值为3 B ．当3t =时，m 一定为3 C ．当4t =时，m 的最大值为3D ．t ∀∈R ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是 （结果用数值表示）． 10．已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =±，则双曲线的焦点坐标是 ．12．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．13．有以下4个条件：①a b =；②||||a b =；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其中a //b 的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）．侧正俯14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，①方程()f x x =-有________个根；②若方程()f x ax =恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 22f x x x x =-⋅+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126-上的最大值． 16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率； （Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大学生．．．中随机抽取3人，记X 表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X 的分布列和数学期望EX ．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==． 沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '； （Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）已知函数2()11xf x x =++，2()(0)a x g x x e a =<． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．BCAP DB A CP′ABCD20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D 满足如下条件：若,A D B A ∈⊆，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的． （Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AA D∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对A D ∀∈,记max k A =，()max (1)AA Df k ∈=-∑（其中max 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区2016—2017学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 2f x x x x =⋅+ ……1分sin 22x x = ……2分π2sin(2)3x =+， ……4分因此)(x f 的最小正周期为π． …………6分 （Ⅱ）当ππ[,]126x ∈-时，ππ2π2633x ≤+≤， ………8分 当ππ232x +=，πsin(2)3x +有最大值1． ………10分即π12x =时，()f x 的最大值为2． ……………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a ++++=解得35a =，5110020b ==，35710020c ==．…………………3分 （Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． ……………7分 （Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =． X 的所有可能取值0，1，2，3． ……………8分则()033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=， ()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．其分布列如下：所以，01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90P AD '∠=︒，所以P A '⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP '． 又AD AB A ⋂=，所以P A '⊥面ABCD ． 因为CD ⊂面ABCD ，所以P A '⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==．所以AC=CD2AD=．所以222AC CD AD+=．所以AC⊥CD．因为P A'⋂AC=A, 所以CD⊥平面P AC'．……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P A'⊥面ABCD，AB⊥如图，建立空间直角坐标系，A()0,0,0，B()1,0,0，C()1,1,0D()0,2,0，P'()0,0,1． (5)所以(1,0,0)AB=，(1,1,1)P C'=-由（Ⅰ）知，平面P AD'的法向量为(1,0,0)AB=，设(,,)n x y z=为平面P CD'的一个法向量，则n CDn P C⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即x yx y z-+=⎧⎨+-=⎩，再令1y=，得(1,1,2)n=．cos,AB n=AB nAB n⋅⋅=所以二面角A P D C'--…………9分（Ⅲ）若线段P A'上存在点M，使得BM∥平面P CD'．依题意可设AM APλ'=,其中01λ≤≤．所以(0,0,)Mλ，(1,0,)BMλ=-．由（Ⅱ）知，平面P CD'的一个法向量(1,1,2)n=．因为BM∥平面P CD'，所以BM n⊥，所以120BM nλ⋅=-+=，解得12λ=．所以，线段P A'上存在点M，使得BM∥平面P CD'…………………14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C上，所以2a=．又因为cea==，所以c=1b==．所以椭圆C的标准方程为：2214xy+=．……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1． …………5分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =． 所以应满足max ()1g x ≤．………………………………………………7分 因为2()e axg x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．………8分 因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a=-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时， 在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e ag x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分 （ⅱ）当202a <-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224()()eg x g a a =-=．由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-． ……………13分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-． ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D φ= ……2分 此时0112(1)(1)(1)(1)(1)0AA D∈-=-+-+-+-=∑ …………4分（Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为k D（ⅰ）易知当2D D =时，(1)AA D∈-∑达到最大值，所以201122(1)32(2)(1)(1)(1)122nnn n n n f C C n --+=-+-+-=-+=…6分（ⅱ）设D 是使得max k A =的任一个“向下封闭”的子集族，记'''D D D =，其中'D 为不超过2k -元的子集族，''D 为1k -元或k 元的子集则(1)AA D ∈-∑= '''''(1)(1)(2)(1)AAAA DA D A Df k ∈∈∈-+-≤-+-∑∑∑ ………8 分现设''D 有l （kn l C ≤）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k -元子集至多出现在1n k -+个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k k C -个1k -元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC n k --+个不同的1k -元子集．''11(1)(1)(1)111k Ak k k k nn n A DlC k k l l C C C n k n k n k --∈-≤-=-≤-=--+-+-+∑ 1(1)(2)()Ak kn n A Df k C C f k -∈-≤--+=∑由（ⅰ）得011221()(1)(1)(1)(1)(1)kkki innnn i f k C C C C ==-+-+-++-=-∑…13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共 6 页，150 分．考试时长 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试 结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则M N = （ ）． A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D {1,2}2．若变量,x y 满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）．A ． 0B ．2C ．3D ．4 3．右面的程序框图表示算法的运行结果是（ ）．A ．-2B ．2C ．-1D ．14．已知数列{}n a 是等差数列，348,4a a ==，则前n 项和n S 中最大的是（ ）． A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ． 6S5．“ 4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若曲线22(0)y px p =>上只有一个点到其焦点的距离为1，则p 的值为（）．A ． 4B ． 3C ． 2D ．17．如图，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影不可能．．．是（ ）． A． B ．C ．D ．EF OD'B'C'A'DC BA8．如图，在等腰梯形ABCD 中，12A B C D =，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起，使得面BEFC 面ADFE ，若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面A D F E 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）．若12θθ=，则动点P的轨迹为（ ）． A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为________． 10．51x ⎫⎪⎭的二项展开式中x 项的系数为_________．（用数字作答）11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．15,10,60a b A ===︒，则cos B =________． 12．在极坐标系中，设曲线2ρ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则||AB =________．13．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________种．（用数字作答）14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注： 当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为_______元，能够成交的股数为________．FD三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共 13 分）已知函数2()cos 2sin ,f x x x x x =-∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．16．（本小题共 13 分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：成绩88776680625267895根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良． （Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形， //AB CD ，90ADC ∠=︒，1AB AD PD ===，2CD =． （Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45︒？若存在，求PQPC的值；若不存在，请述明理由． 18．（本小题共13分） 已知函数()1e xaf x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值． 19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点,P Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）C给定一个数列{}n a ，在这个数列里，任取(3,)m m m *≥∈N 项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次 序，得到的数列称为数列{}n a 的一个m 阶子数列． 已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a=+（,n a *∈N 为常数），等差数列236,,a a a 是数列{}n a 的一个3阶子数列． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）等差数列12,,,m b b b ⋅⋅⋅是{}n a 的一个(3,)m m m *≥∈N 阶子数列，且11b k=（k 为常数，,2k k *∈≥N ） ，求证：1m k ≤+；（Ⅲ）等比数列12,,,m c c c ⋅⋅⋅是{}n a 的一个(3,)m m m *≥∈N 阶子数列，求证：121122m m c c c -++⋅⋅⋅+≤-．石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．三、解答题共 6 小题，共 80 分． 15．（本小题共 13 分）解：()cos21f x x x =+-122cos 212x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭π2sin 216x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 令πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ， 解得ππππ36k x k -+≤≤+所以函数()f x 的单调区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （Ⅱ）因为π04x ≤≤，所以ππ2π2663x ≤+≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭. 于是π12sin(2)26x ≤+≤，所以0()1f x ≤≤. 当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==. 当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值max π()()16f x f ==.16．（本小题共 13 分） 解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86；（Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良” 的频率为34， 故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为34，设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A ，则3033163()1C 1146464P A ⎛⎫=-⨯-=-= ⎪⎝⎭;（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为 0 ，1， 2 ， 3 ．33312C 1(0)C 220P ξ===,1293312C C 27(1)C 220P ξ===, 2193312C C 27(2)C 55P ξ===,39312C 21(3)C 55P ξ===,所以ξ的分布列为所以12727219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.17．（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =， 所以//EF AB ,EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形， 所以//BE AF ， 因为BE ⊄PAD ，AF ⊂平面PAD ， BE ∥平面PAD ．（Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD AD ⊥．如图，D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -． 则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C P(1,1,0)DB = ,(1,1,0)BC =-所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥，所以BC ⊥平面PBD .（Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =- ，(0,2,1)PC =-设,(0,1)PQ PC λλ=∈所以(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的法向量为(,,)a b c =n ，(1,1,0)DB = ，(0,2,1)DQ λλ=-由0,0DB DQ ⋅=⋅=n n ，得 02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩， 令1b =所以21,1,1λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭n ， 所以cos45BCBC⋅︒=⋅ nn ==注意到(0,1)λ∈，得1λ=.所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45°，此时1PQPC=. 18．（本小题共 13 分） 解：（Ⅰ）由()1e x a f x x =-+，得()1e xaf x '=-.又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，得(1)0f '=，即10e a-=，解得e a = （Ⅱ）()1ex af x '=-①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(,)-∞+∞上的增函数， 所以函数()f x 无极值.②当0a >时， ()0f x '=，得e xa =，ln x a =.(,ln )x a ∈-∞,()0f x '<；(ln ,)x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增,所以()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为(ln )ln f a a =，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值.(Ⅲ)当1a =时，1()1ex f x x =-+， 令1()()(1)(1)ex g x f x kx k x =--=-+则直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时(0)10g =>，1111()101e k g k -=-+<-， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解， 与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤. 又1k =时，1()0e xg x =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1. 解法二： （Ⅰ）（Ⅱ）和上一解法一致 (Ⅲ)当1a =时，1()1ex f x x =-+. 直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于关于x 的方程111ex kx x -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： 1(1)ex k x -=（※） 在R 上没有实数解.①当1k =时，方程（※）可化为10e x =，在R 上没有实数解. ②当1k ≠时，方程（※）化为1e 1x x k =-. 令()e xg x x =，则有()(1)e xg x x '=+. 令()0g x '=，得1x =-，当1x =-时，min 1()eg x =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞， ()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.所以当11,1e k ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程（※）无实数解，解得k 的取值范围是(1e,1)-. 综上，得k 的最大值为1.19．（本小题共 14 分）（Ⅰ）解：由已知可得224b c ===⎪⎩，解得226,2a b ==所以椭圆C 的标准方程是22162x y +=. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，F 的坐标是(2,0)-，设M 点的坐标为(3,)m -，则直线MF 的斜率03(2)MF m k m -==----.当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=.直线PQ 的方程是2x my =-. 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x ， 得22(3)420m y my +--=，所以12243m y y m +=+，12223y y m -=+， 1212212()43x x m y y m -+=+-=+. 设N 为PQ 的中点，则N 点的坐标为2262(,)33m m m -++. 所以直线ON 的斜率3ON m k =-，又直线OM 的斜率3OM m k =-， 所以点N 在直线OM 上，即OM 经过线段PQ 的中点N .20．（本小题共 13 分）解：（1）因为236,,a a a 成等差数列，所以2336a a a a -=-. 又因为212a a =+，313a a =+，616a a=+， 代入得11112336a a a a -=-++++，解得0a =. （2）设等差数列12,,,m a a a ⋅⋅⋅的公差为d . 因为11b k=，所以211b k ≤+， 从而211111(1)d b b k k k k =-≤-=-++. 所以111+(1)(1)m m b b m d k k k -=-≤-+. 又因为0m b >，所以110(1)m k k k -->+. 即11m k -<+，所以2m k <+.又因为,m k *∈N ，所以1m k ≤+.(3)设11()c t t *=∈N ，等比数列123,,,,m c c c c ⋅⋅⋅的公比为q . 因为211c t ≤+，所以211c t q c t =≤+. 从而1111(1,)1n n n t c c q n m n t t --*⎛⎫=≤≤≤∈ ⎪+⎝⎭N .所以123m c c c c +++⋅⋅⋅+1211111+++1+1+1m t t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111m t t t t ⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111m t t t t -+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 设函数11()m f x x x -=-，(3,)m m *≥∈N .当(0,)x ∈+∞时，函数11()m f x x x -=-为单调递增函数. 因为当t *∈N ，所以112t t +<≤.所以111()22m t f t -+≤-. 即1231122m m c c c c -+++⋅⋅⋅+≤-.【注：若有其它解法，请酌情给分】。

石景山区2012—2013第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1 B ． {}4,32，C ． {}4,3D ．{}4,3,2,1 2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ5．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．38 B ．4C ．2D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ， 即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”． 其中，正确结论的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题 共110分）正（主）视图 侧（左）视图俯视图22 3231二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 10．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，则圆O 的半径等于 ． 11．在等比数列{}n a 中，141=,=42a a ，则公比=q ；123++++=n a a a a ．12． 在ABC ∆中，若2,60,7a B b =∠=︒=BC 边上的高等于 ．13．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ．14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1；④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． PA BCO•D则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．ACDE图1 图2A 1B CDE17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1123p 、、，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数．19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈． （Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区—第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C CABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２ 2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为-2+1. ………13分16．（本小题共14分）题号 9 101112 13 14 答案2；6611222n； 3329①③（Ⅰ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分（Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量， 因为(0,3,0),CB =1(2,0,4)CA = 所以3024y x z =⎧⎨+=⎩，令2x =，得=0,=1y z -. 所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分 设BE 与平面1A BC 所成角为θ． 则4sin =cos 555BE θ<⋅>==⋅n ． 所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45． …………………9分 （Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，2221(-0)(0-3)(6--0)A B x x =++22-1245x x =+…………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是33即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为33 …………………14分 17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有A 1BCDExzy12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=. …………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分 所以1134p -=，14p =. ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯=. ……………………11分 X X 0 1 2 3 P14 1124 14 124……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分 2．（本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x a x'- …………………1分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………3分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得x )1 , 0( 1) , 1(∞+ ()F x ' +-)(x F↗最大值↘…………………6分(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………8分 （Ⅲ）令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1=x a x. 令ln +1()=x g x x，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．………………10分若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x . 若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a ，由函数的单调性得知()f x 在1=x a处取最大值，11()=ln >0f a a，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0a f e e -，所以()f x 在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.综上所述，当>1a 时，()f x 无零点；当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点；当0<<1a 时，()f x 有两个零点. …………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b+=，因为32e =，所以224a b =， 又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==， 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分 （Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列。

石景山区2014—2015学年第一学期期末考试参考答案高三语文2015.01一、本大题共6小题，共15分。

1．C（2分）2．C（3分）3．A（3分）4．D（2分）5．B（2分）6．B（3分）二、本大题共5小题，共24分。

7．D （3分）8．B （3分）9．C（3分）10．A（3分）11．（12分）【评分要点】能说明士大夫没有羞耻心和国耻的关系，6分；能恰当举例阐发自己的感悟，6分。

字数不足200字，每少20字扣1分。

三、本大题共3小题，共24分。

12.（5分）【参考答案】上曰/ 将军怯邪/ 盎曰/ 臣闻千金之子坐不垂堂/ 百金之子不骑衡/ 圣主不乘危而侥幸/ 今陛下骋六騑// 驰下峻山/ 如有马惊车败/陛下纵自轻/ 奈高庙//太后何/ 上乃止【评分要点】单斜线10处为必断处，双斜线2处为可断可不断处。

必断处每答对2处得1分，全答对得5分。

在可断可不断处断句，不得分。

每答错2处减1分，减完5分为止。

13.（8分）【参考答案】①潦水尽而寒潭清，烟光凝而暮山紫②野芳发而幽香，佳木秀而繁阴③曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛④斜阳草树，寻常巷陌⑤其出人也远矣，犹且从师而问焉⑥楼船夜雪瓜洲渡，铁马秋风大散关【评分要点】每句1分，句中有错则该句不得分。

14．（11分）① B （3分）② B D （每填对一处得2分，共4分）③（4分）【参考答案】《秋日赴阙题潼关驿楼》的尾联表现了诗人出仕为官和归隐山林的矛盾心理，表达了对隐居生活的留恋。

《行次潼关逢魏扶东归》的尾联表现了诗人与故友于他乡相遇，又不得不各自奔波，依依惜别的深情。

【评分要点】诗句解说各1分，点明情感各1分，意思对即可。

四、本大题共3小题，共12分。

15．B（3分）16．C（3分）17．（6分）【答案要点】①谜语题材丰富。

如几则谜语有人物谜、名著谜、物谜、字谜等。

②谜语是语言与文字、知识与游戏的结合，是与文学的相映成趣。

如谜语一、三、二、四涉及对古诗、小说名著和对联的解读；如谜语二、五涉及一定的汉字造字法知识；如谜语四涉及生活常识。

2015年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sincos )4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部………………4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===Q ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为ED I BD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-u u u r u u u r…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=r是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u r ξ所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n =r …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30o，所以AP 与(0,1,1)n =r 所成的角为60o 或120o所以1cos ,2AP n AP n AP n ⋅<>===⋅u u u r r u u u r r u u u r r………11分所以22440(*)y z yz ++-=L L L又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：y z ==………13分所以，(0,33P或(0,33P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b = (1)分由2c e a a ===，得224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == (4)分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b……………………6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。