安徽省涡阳一中高二理科数学模块学分认定试卷人教版选修2-1.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评 选修2－1(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真． 答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3＝cos π3＝12. 反之当cos2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A.答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 选项正确． 答案：D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：B6．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)． 设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案：D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.∴以a 、b 、m 为边长的三角形为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4,2c ＝8.答案：812．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有__________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：“p ∨q ” “綈p ”13．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)， d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：35 5.14．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 答案：25三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：若p 真，则有9－m ＞2m ＞0， 即0＜m ＜3.若q 真，则有m ＞0， 且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52＜m ＜5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假．(4分) ①若p 真、q 假，则0＜m ＜3，且m ≥5或m ≤52，即0＜m ≤52；(6分) ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52＜m ＜5， 即3≤m ＜5.(8分)故所求m 的范围为：0＜m ≤52或3≤m ＜5.(12分)16．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时， |MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.(12分)17．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)方法一：由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .故直线PF 2的斜率为 kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac .∵PF 2⊥F 2Q .∴直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)方法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1F 2∽△F 2MQ ，∴|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |. 即b 2a a 2c －c＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a .∴⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝c a x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(12分)18．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12. (1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33.(14分)。

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．命题“对任意的x∈R,x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R,x3，0－x错误!＋1≤0B．存在x0∈R，x错误!－x错误!＋1≤0C．存在x0∈R，x3，0－x2，0＋1＞0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞03．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈（0,错误!）,x＞sin xB．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2C．∀x∈R，3x＞0D．∃x0∈R，lg x0＝04．方程x＋｜y－1｜＝0表示的曲线是( )5．已知直线l过点P（1，0，－1）,平行于向量a＝（2,1，1），平面α过直线l与点M（1,2，3），则平面α的法向量不可能是（）A．（1，－4，2） B．(错误!，－1，错误!）C．(－错误!,1，－错误!) D．（0,－1，1)6．以椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点为圆心，且与双曲线错误!－错误!＝1的渐近线相切的圆方程是（）A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x－9＝0C．x2＋y2＋10x＋9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝07．如图，在三棱锥O－ABC中,点D是棱AC的中点，若错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则错误!等于（）A．a＋b－cB．a－b＋cC.错误!a－b＋错误!cD．－错误!a＋b－错误!c8．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( )A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x9．在空间直角坐标系O－xyz中，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a 为非零向量,且<a，i〉＝45°，<a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝( ）A．30° B．45°C．60° D．90°10．若命题p：∀x∈R,ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a≤－3或a＞2 B．a≥2C．a＞－2 D．－2＜a＜211．已知A（1，2,3）,B（2，1，2），C（1，1，2）．O为坐标原点,点D在直线OC 上运动,则当错误!·错误!取最小值时，点D的坐标为（)A．（错误!，错误!，错误!） B．(错误!，错误!，错误!）C．(错误!，错误!，错误!） D．（错误!，错误!,错误!）12．已知F1，F2分别是双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( ）A．(1,1＋错误!) B．(1＋错误!，＋∞）C．(1－错误!,1＋错误!) D．（错误!,错误!＋1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________。

试题命制人：山世光 审核人：陈杰 教研室主任：孙正吉第I 卷（共60分）一、 选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.) 1．已知复数12,3iz i i +=-是虚数单位，则复数z 的虚部是 A 、 110i B 、110 C 、 710iD 、7102．若()()0, 1, 1, 1, 1, 0a b =-=，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是 A . -1 B . 0 C . 1 D . -23．曲线x x y 43-=在点（1，-3）处的切线倾斜角为（ ） A43π B 4πC 32πD 65π 4．如图，把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是A. 27B. 28C. 29D. 30 5．“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充要条件 B. 充分非必要条件C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件6．在棱长为1的正方体ABCD —1111A B C D 中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 A ．52 B ．53 C ．1010 D ． 52-7．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于A ．319 B ．316 C ．313 D ．3108．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O P 、两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是9．如图所示曲线是函数32y x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于A.109 B. 89 C. 169 D. 5310．函数12)(+⋅=x e x x f ,[]1,2-∈x 的最大值为A.14e -B.0C. 2eD. 23e11．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x ¢是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ⅱ<<<- B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ⅱ<<-< C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ⅱ<<<- D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ⅱ<-<<12．若函数)(x f 的导数是)1()(+-='x x x f ，则函数)0)(1()(<-=a ax f x g 的单调减区间是 A ⎪⎭⎫⎝⎛0,1a B ()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,01,a C ⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 1,2 D ⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,12,a a第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在答题纸上) 13．函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是 14．220(3)10,x k dx k +==⎰则 ．15．21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+?上是减函数，则b 的取值范围是_____________16．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,则不等式()0xf x >的解集是 .三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知函数()f x x ax bx 32=+++1的导数'()f x 满足()f a '1=2，()f b '2=-，其中 常数,a b ∈R ，求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程.18. （本小题满分12分）已知0a b >>，证明：22()()4a b a b b--<.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，3=BD ，PD⊥底面ABCD .(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ； (2)若二面角D BC P --为6π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值。

数学选修2-1模块学分认定考试试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共100分，第I 卷一、选择题（每小题4分，共40分）1、“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要2、对抛物线24y x =，下列描述正确的是A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)163、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A ．25-B ．25C ．1-D ．1 4. 在下列结论中，正确的是 （ ）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件A. ①② B . ①③ C. ②④ D . ③④5、空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为A .平面B .直线C .圆D .线段6、已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量)1,1,2(=a ，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是A. (0,－1,1)B. (1,－4,2)C. 11(,1,)42-D. 11(,1,)42-- 7、若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．()0,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,28、在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1BA 与1D E 所成角的余弦值为（ ）A ．1010- B ．55 C ．1010 D ．105 9、双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为A ．6B ．5C ．3D ．210、方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1(mn ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )A B C D二、填空题（每小题4分，共16分）11、命题P: "01,0200≤+-∈∃x x R x "；其P ⌝为 _____________________ .12、已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ= ____________.13、双曲线2213664x y -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于13，那么点P 到另一个焦点的距离等于 .14、已知向量c b a ,,是空间的一个单位正交基底，向量c b a b a ,,-+是空间的另一个基底。

模块综合测评 选修2－1(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真． 答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3＝cos π3＝12. 反之当cos2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A.答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 选项正确． 答案：D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：B6．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)． 设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案：D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.∴以a 、b 、m 为边长的三角形为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4,2c ＝8.答案：812．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有__________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：“p ∨q ” “綈p ”13．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)， d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：35 5.14．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 答案：25三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：若p 真，则有9－m ＞2m ＞0， 即0＜m ＜3.若q 真，则有m ＞0， 且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52＜m ＜5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假．(4分) ①若p 真、q 假，则0＜m ＜3，且m ≥5或m ≤52，即0＜m ≤52；(6分) ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52＜m ＜5， 即3≤m ＜5.(8分)故所求m 的范围为：0＜m ≤52或3≤m ＜5.(12分)16．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时， |MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.(12分)17．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)方法一：由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .故直线PF 2的斜率为 kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac .∵PF 2⊥F 2Q .∴直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)方法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1F 2∽△F 2MQ ，∴|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |. 即b 2a a 2c －c＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a .∴⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝c a x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(12分)18．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12. (1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33.(14分)。

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D1BCG D E FA 1B 1C 1 考试1 高二数学（选修2-1、2—2）综合测试题数 学 试 卷(理科）姓名： 班级： 学号:一、选择题：(每题5分，共60分）1．复数i iz +-=22（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．i 54B ．i 54-C ．54D ．54-2．曲线2-=x xy 在点)1,1(-处的切线方程为( )A ．2-=x yB 。

23+-=x y C. 32-=x y D. 12+-=x y3. 已知0),2,4(),3,5,2(=⋅-=-=b a x b a 且，则=x ( ）A ．—4 B. -6 C 。

-8 D. 64．过抛物线x y 42=的焦点作直线l ，交抛物线于B A ,两点,若线段AB 的中点的横坐标为3，则||AB 等于( ）A ．10B 。

8C 。

6 D. 4 5. 设)('x f 是函数)(x f 的导函数,)('x f y =则)(x f y =图象可能为（ )A B C D6．ax x y +=331在]1,0[上是增函数，则a 的取值范围为（ )A ．0>aB ．0<aC ．0≥aD ．0≤a7．动点到点)3,0(距离比它到直线2-=x 的距离大1，则动点轨迹是( ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线一支 D ．抛物线 8. 如图长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是 DD 1、AB 、CC 1的中点,则异面直线A 1E 与GF 所成角的大小是( ）A.60B 。

人教版高中数学选修2-1模块综合检测题（满分150分 时间120分钟）一、单选题.（每小题5分，共12小题） 1.“如果x y >，则22x y >”的逆否命题是.A 如果x y ≤，则22x y ≤ .B 如果x y >，则22x y < .C 如果22x y ≤，则x y ≤ .D 如果x y <，则22x y < 2. 不等式()20x x -<成立的一个必要不充分条件是.A ()0,2x ∈ .B [)1,x ∈-+∞ ().0,1C x ∈ ().1,3D x ∈ 3.已知A 、B 、C 三点不共线，则下列条件中能使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 .A 32OM OA OB OC =-- .B 0OM OA OB OC +++= .C 0MA MB MC ++= 11.42D OM OB OA OC =-+4.若方程22216y x a a+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为 .A 3a > .B 2a <- .C 3a >或2a <- .D 3a >或62a -<<-5. 如图，椭圆221259y x +=上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF则ON (O 为坐标原点)的值为.A 8.2B.4C 3.2D6.已知椭圆的标准方程为()2210yx a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =，则椭圆的离心率为A B 1.3C 1.2D7.双曲线221412y x -=的焦点到渐近线的距离为A .2BC .1D8.直线1y kx k =-+与椭圆22194y x +=的位置关系是 .A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 不确定9.已知椭圆2211216y x +=,则以点()1,2M -为中点的弦所在直线方程为.38190A x y -+= .38130B x y +-= .2380C x y -+= .2340D x y +-=10.在同一坐标系中,方程22221a x b y +=与()200ax by a b +=>>所表示的曲线大致是11.过点()3,0A 且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为.A 直线 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线12.已知0a b >>，椭圆1C 方程为22221y x a b +=，双曲线2C 的方程为22221y x a b-=，曲线1C 与2C 的离心率B，则双曲线2C 的渐近线方程为.0A x ±=0B y ±= .20C x y ±= .20D x y ±=二、填空题.（每小题5分，共4小题）13. 命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤”的否定形式为 . 14. 已知平面α的一个法向量为()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为 .15. 设抛物线()20y mx m =≠的准线与直线1x =的距离为3,则抛物线的方程为 .16. 与椭圆22194x y +=有公共焦点,且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为 . 三、解答题.17.（10分）设命题:p 函数21y x mx =++在()1,-+∞上单调递增；命题:q 函数()24421y x m x =+-+大于零恒成立. 若p 或q 为真，而p 且q 为假，求实数m 的取值范围.18.（12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()1,0B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.19.（12分）已知双曲线过点()3,2-且与椭圆224936x y +=有相同的焦点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若点M 在双曲线上，1F 、2F 为双曲线的左右焦点，且122MF MF =，求12MF F ∆的面积.20.（12分）如图所示,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD DC =, E F 、分别为AB 、PB 的中点.（1）求证:EF CD ⊥；（2）在平面PAD 内求一点G ,使GF ⊥平面PCB ,并证明你的结论； （3）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值.21.（12分）如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,证明:直线AB 的斜率为定值PA B C D EF22.（12分）已知12,F F 分别为椭圆()22122:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点，其中1F 也是抛物线22:4C x y=的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且153MF =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知点()1,3P 和圆222:O x y b +=,过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A 、B ,在线段AB 上取一点Q ,满足:,AP PB AQ QB λλ=-=（0λ≠且1λ≠±）.求证:点Q 总在某定直线上.人教版高中数学选修2-1 模块综合检测题参考答案解析一、选择题. 1.【答案】.C【解析】原命题为“若p 则q 形式”，则其逆否命题为“若q ⌝则p ⌝形式”.故选.C2.【答案】.B【解析】由()20x x -<得02x <<，()[)0,21,⊂-+∞且()0,2x ∈是[)1,x ∈-+∞的一个真子集， ∴ [)1,x ∈-+∞是“不等式()20x x -<成立”的一个必要不充分条件.3.【答案】.C【解析】∵ 0MA MB MC ++=，∴ MA MB MC =--，根据向量共面定理，可知点M 与点A 、B 、C 四点共面. 4.【答案】.D【解析】∵ 椭圆221y x a+=的焦点在x 轴上， ∴ 2660a a a ⎧>+⎪⎨+>⎪⎩ 即 ()()2306a a a ⎧+->⎪⎨>-⎪⎩ 解得 3a >或62a -<<-，故选.D5.【答案】.C【解析】∵O 为12F F 的中点,N 为1MF 的中点， ∴ 2//ON MF 且212ON MF =. ∵12210MF MF a +== ∴ 21101028MF MF =-=-=，∴ 4ON =.6.【答案】.D【解析】如图，∵ 2AP PB =，∴ 2OA OF =，即 2a c =，∴ 12e =.7.【答案】.A【解析】双曲线221y x -=的焦点分别为()()4,0,4,0-.渐近线方程为y =或y =，由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一条渐近线的距离都相等，∴d ==.A8.【答案】.A【解析】直线方程1y kx k =-+可化为()11y k x =-+，过定点()1,1.而把点()1,1代入椭圆方程可得13111+=<，∴点()1,1在椭圆内部，∴直线与椭圆相交. 9.【答案】.C【解析】设弦的两端点为()()1122,,,A x y B x y ,代入椭圆方程得22112222112161x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得 ()()()()1212121201216x x x x y y y y -+-++= 整理得 121223y y x x -=-， ∴ 弦所在直线斜率为2，∴ 直线方程为()221y x -=+，即2380x y -+=，故选.C10.【答案】.D【解析】方法一 将方程22221a x b y +=与()200ax by a b +=>>转化为2222111y x a b+=和2a y x =-，∵ 0a b >>，∴ 110>>. ∴ 椭圆焦点在y 轴上，抛物线焦点在x 轴上，且开口向左，故选.D方法二 方程()200ax by a b +=>>中将y -代替y ，方程结果不变，∴ 20ax by +=图象关于x 轴对称，排除B 、C ;又椭圆焦点在y 轴上,排除A ,故选.D11.【答案】.D【解析】如图，设点P 为满足条件的一点，易知点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离.故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故 点P 的轨迹为抛物线，故选.D 12.【答案】.A【解析】22221122c a b e a a -==，22222222c a b e a a +==，∴ ()44422124314a b b e e a a-⋅==-=，∴b =∴渐近线方程为y x =,即0x ±=,故选.A 二、填空题.13.【答案】()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >.【解析】全称命题的否定是特称命题，否定结论时“且”要换为“或”，“≤”换为“>”，故最后的否定形式为“()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >”.14.【答案】10.3【解析】()1,2,4PA =-,()2,2,1n =--,∴ 点()2,1,4P -到平面α的距离为103PA n d n⋅==. 15.【答案】28y x =或216y x =-.【解析】当0m >时,2p m =,∴2m p =，∴抛物线的准线方程为4m x =-，依题意，()134m --=,∴8m =，∴抛物线方程为28y x =.当0m <时,2p m =-,∴2m p =-,∴抛物线的准线方程为4m x =-,依题意得134m +=，∴8m =（舍）或16m =-,∴抛物线的方程为216y x =-.综上，抛物线方程为28y x =或216y x =-.16.【答案】2252x y -=.【解析】因为所求双曲线的两条渐近线互相垂直，∴渐近线方程为y x =±.故可设双曲线方程为()220x y λλ-=>，又∵椭圆焦点为()，根据题意，所求双曲线焦点为(). ∴25λ=,52λ=. 故所求双曲线方程为2252x y -=. 三、解答题17.【答案】{}312m m m ≥<<或.【解析】若函数21y x mx =++在()1,-+∞上单调递增，则12m-≤-，∴2m ≥，即:2p m ≥； 若函数()24421y x m x =+-+大于零恒成立，则()2162160m ∆=--<，解得13m <<，即:13q m <<. ∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴,p q 一真一假.当p 真q 假时，由231m m m ≥⎧⎨≥≤⎩或 得3m ≥，P当p 假q 真时，由213m m <⎧⎨<<⎩得 12m <<，综上，m 的取值范围为{}3m m ≥或1<m<2.18.【解析】将圆A 的方程整理得()22116x y ++=，∴点A 的坐标为()1,0-∵AD AC =,∴ACD ADC ∠=∠.∵//EB AC ，∴EBD ACD∠=∠，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠.∴EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=.又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，从而4AD =，∴4EA EB +=由题设得()()1,0,1,0,2A B AB -=，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为()221043x y y +=≠. 19.【解析】（1）椭圆方程可化为22194x y +=，焦点在x 轴上，且c 设双曲线方程为22221x y a b -=，则22229415a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解得 2232a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， ∴ 双曲线的方程为22132x y -=. （2）因为点M 在双曲线上，又122MF MF =①，∴ 点M 在双曲线右支上，∴ 12MF MF -=②，由①②解得12MF MF ==12F F = 在12MF F ∆中，222121212125cos 26MF MF F F F MF MF MF +-∠==，∴ 12sin F MF ∠=，∴12121211sin 22MF F S MF MF F MF ∆=∠=⨯=. 20.【解析】如图，以D 为原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，设AD a =，则()()()()0,0,0,,0,0,,,0,0,,0D A a B a a C a ,,,02a E a ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,,,,222a a a P a F ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）证明：∵(),0,,0,,022a a EF DC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴0EF DC ⋅=，∴EF DC ⊥，即EF CD ⊥.（2）设(),0,G x z ，则,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，若使GF ⊥平面PCB ，则由(),,,0,002222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a x =.由()2,,0,,022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0z =. ∴G 点坐标为,0,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.（3）设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则OAl00n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴ ()(),,,,0222,,,,002a a a x y z a x y z a ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩即()0202a x y z a ax y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取1x =,则2,1y z =-=，∴()1,2,1n =-,∴cos ,2BD n BD n a BD n⋅===∴DB 与平面DEF . 21.【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为()220y px p =>，由点()1,2P 在抛物线上，得2221p =⨯，解得2p =，故所求抛物线方程 为24y x =，准线方程为1x =-.（2）∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴PA PB k k =-， 即12122211y y x x --=---，又()()1122,,,A x y B x y 均在抛物线上， ∴ 221212,44y y x x ==，从而有122212221144y y y y --=---， 即124422y y =-++，整理得124y y +=-， 故直线AB 的斜率12121241AB y y k x x y y -===--+.22.【解析】（1）由22:4C x y =得()10,1F ，设()()000,0M x y x <，因M 在抛物线2C 上，故2004x y =，① 又153MF =，则0513y +=，② 由①②解得0023x y ==.而点M 在椭圆上，故有 2222231a b ⎛⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即 2248193a b +=，③又1c =，则221b a =-，④由③④可解得224,3a b ==，∴ 椭圆1C 的方程为22143y x +=. （2）设()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y ，由AP PB λ=-可得()()11221,31,3x y x y λ--=---，即()1212131x x y y λλλλ-=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩⑤⑥由AQ QB λ=得()()1122,,x x y y x x y y λ--=--，即()()121211x x x y y y λλλλ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩⑦⑧⨯⑤⑦得:()2222121x x x λλ-=-，⨯⑥⑧得:()22221231y y y λλ-=-. 两式相加得 ()()()()222222112213x y x y x y λλ+-+=-+，又点,A B 在圆223x y +=上,且1λ≠±,∴ 222211223,3x y x y +=+=， 即 33x y +=,∴点Q 总在定直线33x y +=上.2F。

高二年级理科班数学选修2-1模块学分认定试卷一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1、已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 2、对抛物线24y x =，下列描述正确的是 A 、开口向上，焦点为(0,1) B 、开口向上，焦点为1(0,)16C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)163、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A 、25-B 、25C 、1-D 、14、在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A=11，A =1，则下列向量中与B 1相等的向量是A 、++-2121B 、 ++2121C 、 +-2121 D 、c b a +--2121 5、空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 A 、平面 B 、直线 C 、圆 D 、线段 6、已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,51给出下列等式：①∣++∣=∣--∣ ②⋅+)( =)(+⋅ ③2)(++=222++④⋅⋅)( =)(⋅⋅其中正确的个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 7、设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、圆8、已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的 A 、充分必要条件 B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分又不必要条件 9、已知函数f(x)=3472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是A 、0≤k<43 B 、0<k<43 C 、k<0或k>43 D 、0<k ≤4310、下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④=a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件.A 、2B 、3C 、4D 、5二、填空题（每小题6分，共6小题，满分36分）11、已知+-=+82,3168-+-=-(,,两两互相垂直)，那么⋅= 。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”，D 正确． 【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件． 【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】 由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1­AB ­C 为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1­AB ­C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )【导学号：18490126】 A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/ q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C. 【答案】 C12．(2016·上海杨浦模考)若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】 由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______. 【导学号：18490127】【解析】 如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b2a 2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}， 由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}． 则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)易知M(2，0)，N(－2，0)，Q(1，3)，2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2.∴c＝2，a＝3＋1，b2＝a2－c2＝2 3.∴椭圆的方程为x24＋23＋y223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.图3(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．【解】(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩P A＝A，∴AB⊥平面P AD.∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值． 【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→·OB →＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；【导学号：18490128】(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2， ∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F1为(－c，0)，kF1C＝b3a2＋c22a2ca2＋c2＋c＝b33a2c＋c3，又k AB＝－bc，由F1C⊥AB，得b33a2c＋c3·⎝⎛⎭⎪⎫－bc＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝ca＝5 5.。