函数图象与曲线的方程例题讲解解读

三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。

初三数学用图象法解一元二次方程试题答案及解析1.函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是．【答案】x≤﹣1或x≥3【解析】令函数的值等于1，求出x的值，然后从函数图象即可观察出当y≥1成立的x的取值范围．解：当y=1时，x2﹣2x﹣2=1，解得（x+1）（x﹣3）=0，x 1=﹣1，x2=3．由图可知，x≤﹣1或x≥3时y≥1．故答案为x≤﹣1或x≥3．2.如图，直线与抛物线相交于点A（1，m）和点B（8，n），则关于x的不等式的解集为．【答案】x＞8或x＜1【解析】根据直线与抛物线相交于点A（1，m）和点B（8，n），即可得出关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集．解：∵抛物线y=ax2+bx+c与直线相交于A（1，m）和B（8，n）两点，∴关于x的不等式＜ax2+bx+c的解集是x＞8或x＜1．故答案为：x＞8或x＜1．3.如图，二次函数和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，写出y2≤y1时x的取值范围．【答案】x≥1或x≤﹣2【解析】由函数图象可知，当x＞1或x＜﹣2时，二次函数的图象在一次函数y2=mx+n的图象的上方即可直接得出结论．解：∵由函数图象可知，当x＞1或x＜﹣2时，二次函数的图象在一次函数y 2=mx+n的图象的上方，∴当x≥1或x≤﹣2时y2≤y1．故答案为：x≥1或x≤﹣2．4.如图．一次函数值大于二次函数值时的x范围是．【答案】2＜x＜4【解析】由一次函数值大于二次函数值，结合图象，即可求得x范围．解：如图，观察图象得：一次函数值大于二次函数值时的x范围是：2＜x＜4．故答案为：2＜x＜4．5.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是．【答案】x1=1.6;x2=4.4【解析】本题是一道估算题，先测估计出对称轴左侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴x=3，可以算出右侧交点横坐标．解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，∴x1=1.6；又∵对称轴为x=3，则=3，∴x2=2×3﹣1.6=4.4．6.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2=（精确到0.1）．【答案】2.5【解析】由函数的图象可求出函数的对称轴方程，再根据对称轴与方程两根之间的关系建立起方程，求出未知数的值即可．解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=﹣1，设函数的另一根为x，则=﹣1，解得x=2.5．7.如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．【答案】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得（1﹣2）2+m=0，解得m=﹣1，所以二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1；当x=0时，y=4﹣1=3，所以C点坐标为（0，3），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x=2，所以B点坐标为（4，3），将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x﹣1；（2）当kx+b≥（x﹣2）2+m时，1≤x≤4．【解析】（1）先将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．8.我们可以用如下方法解不等式（x﹣1）（x+1）＞0．第一步：画出函数y=（x﹣1）（x+1）的图象；第二步：找出图象与x轴的交点坐标，即交点坐标为（1，0），（﹣1，0）；第三步：根据图象可知，在x＜﹣1或x＞1时，y的值大于0．因此可得不等式（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＜﹣1或x＞1．请你仿照上述方法，求不等式x2﹣4＜0的解集．【答案】解：如图，不等式x2﹣4＜0的解集是﹣2＜x＜2．【解析】作出函数图象，然后写出x轴下方部分的x的取值范围即可．9.给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=的图象：①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果时，那么a＜﹣1．则（）A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③【答案】A【解析】先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．解：易求x=1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为（1，1），根据对称性，y=x和y=在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），①如果，那么0＜a＜1正确；②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小题错误；③如果，那么a值不存在，故本小题错误；④如果时，那么a＜﹣1正确．综上所述，正确的命题是①④．故选A．10.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1B．x＜﹣1C．0＜x＜1D．﹣1＜x＜0【答案】D【解析】根据图形双曲线y=与抛物线y=x2+1的交点A的横坐标是1，即可得出关于x的不等式+x2+1＜0的解集．解：∵抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，∴x=1时，=x2+1，再结合图象当0＜x＜1时，＞x2+1，∴﹣1＜x＜0时，||＞x2+1，∴+x2+1＜0，∴关于x的不等式+x2+1＜0的解集是﹣1＜x＜0．故选D．11.如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P 作直线PQ⊥x轴，交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞ B．x＜﹣1或＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或1＜x＜3【答案】D【解析】联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，再求出抛物线的对称轴，然后根据图象，点A左边的x的取值和对称轴右边到点B的x的取值都是所要求的取值范围．解：联立，解得，，所以，A（﹣1，﹣1），B（3，3），抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴当﹣1＜x＜3时，PQ=x﹣（x2﹣x﹣3）=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，当x＜﹣1或x＞3时，PQ=x2﹣x﹣3﹣x=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是x＜﹣1或1＜x＜3．故选D．12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，图象在x轴的下方部分，x的取值范围为（）A．x＜﹣1或x＞3B．﹣1＜x＜3C．x≤﹣1或x≥3D．﹣1≤x≤3【答案】B【解析】根据函数图象写出x轴下方部分的x的取值范围即可．解：∵图象在x轴的下方部分，∴x的取值范围为﹣1＜x＜3．故选B．13.如图，已知函数与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式ax2+bx＞0的解为（）A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3C．x＞0D．x＜﹣3或x＞0【答案】D【解析】利用反比例函数的解析式求出点P的坐标，再根据图形写出抛物线在反比例函数图象上方的部分的x的取值范围即可．解：∵点P的纵坐标为1，∴﹣=1，∴x=﹣3，∴点P（﹣3，1），由图可知，ax2+bx+＞0时，即ax2+bx＞﹣时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞0．故选D．14.如图，抛物线和直线y2=2x．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜4【答案】A【解析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．解：联立，解得，，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＞y2时x的取值范围是0＜x＜2．故选A．15.如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P 作直线PQ⊥x轴，交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞ B．x＜﹣1或＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或1＜x＜3【答案】D【解析】联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，再求出抛物线的对称轴，然后根据图象，点A左边的x的取值和对称轴右边到点B的x的取值都是所要求的取值范围．解：联立，解得，，所以，A（﹣1，﹣1），B（3，3），抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴当﹣1＜x＜3时，PQ=x﹣（x2﹣x﹣3）=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，当x＜﹣1或x＞3时，PQ=x2﹣x﹣3﹣x=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是x＜﹣1或1＜x＜3．故选D．16.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【答案】B【解析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，x的取值范围为（）A．x＜﹣1或x＞3B．﹣1＜x＜3C．x≤﹣1或x≥3D．﹣1≤x≤3【答案】B【解析】根据题意，y＜0时即图象在x轴下方时，观察图象可得答案．解：根据题意，要求当y＜0时即图象在x轴下方时自变量x的取值范围，观察图象易得，当﹣1＜x＜3时，二次函数的图象在x轴下方，故选B．18.直线y1=x+1与抛物线y2=﹣x2+3的图象如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（）A．x＜﹣2B．x＞1C．﹣2＜x＜1D．x＜﹣2或x＞1【答案】D【解析】根据函数图象，写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．解：由图可知，x＜﹣2或x＞1时，y1＞y2．故选D．19.如图，抛物线y=ax2与反比例函数的图象交于P点，若P点横坐标为1，则关于x的不等式＞0的解是（）A．x＞1B．x＜﹣1C．﹣1＜x＜0D．0＜x＜1【答案】C【解析】根据抛物线y=ax2与反比例函数的图象交于P点，P点横坐标为1，得出抛物线y=ax2与反比例函数y=﹣的图象的交点的横坐标为﹣1，即可求出答案．解：∵抛物线y=ax2与反比例函数的图象交于P点，P点横坐标为1，∴抛物线y=ax2与反比例函数y=﹣的图象的交点的横坐标为﹣1，∴关于x的不等式ax2＞﹣的解集为﹣1＜x＜0；所以关于x的不等式＞0的解是﹣1＜x＜0；故选C．20.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A．﹣1.6B．3.2C．4.4D．以上都不对【答案】C【解析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．。

专题3.7 函数的图象1．（2021·全国高三专题练习（文））已知图①中的图象是函数()y f x=的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（）A．(||)y f x=B．|()|y f x=C．(||)y f x=-D．(||)y f x=--【答案】C【解析】根据函数图象的翻折变换，结合题中条件，即可直接得出结果.【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x=的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x=-.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）函数()lg1y x=-的图象是（）A．B．C．练基础D ．【答案】C【解析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.3．（2021·全国高三专题练习（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数()y fx =在区间[],a b 上的图象如图，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断出函数是偶函数，根据偶函数的图像特征可得选项．【详解】 函数()y f x =是偶函数，所以它的图象是由()y f x =把0x ≥的图象保留，再关于y 轴对称得到的．结合选项可知选项D 正确，故选：D ．4．（2021·全国高三专题练习（文））函数()5xf x x x e =-⋅的图象大致是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()20f >和()20f -<可排除ACD ，从而得到选项.【详解】由()()2223222160f e e =-=->，可排除AD ；由()()2223222160f e e ---=-+=-<，可排除C ；故选：B.5．（2021·陕西高三三模（理））函数x y b a =⋅与()log a y bx =的图像在同一坐标系中可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐一判断可得选项．【详解】令x f x b a ，()()log a g x bx =，对于A 选项：由x f xb a 得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，所以log >0a b ，而()1log 0a g b =<，所以矛盾，故A 不正确；对于B 选项：由x f xb a 得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，而()1log >0a g b =，所以矛盾，故B 不正确；对于C 选项：由x f xb a 得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，又()1log 0a g b =<，故C 正确；对于D 选项：由x f xb a 得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，而()()log a g x bx =中01a <<，所以矛盾，故D 不正确；故选：C ． 6．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】先求出函数的定义域.A ：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可；B ：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可；C ：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可；D ：结合C 的分析进行判断即可.【详解】 ()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+- 函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增， 在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A7．（2021·安徽高三二模（理））函数()n xf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n n x x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩， 所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， 当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．9.【多选题】（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280mD ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+【答案】AD【解析】根据图象过点求出函数解析式，根据四个选项利用解析式进行计算可得答案.【详解】由图象可知，函数图象过点(1,3)，所以3a =，所以函数解析式为3ty =， 所以浮萍每月的增长率为13323233t t tt t +-⨯==，故选项A 正确； 浮萍第一个月增加的面积为10332-=平方米，第二个月增加的面积为21336-=平方米，故选项B 不正确；第四个月时，浮萍面积为438180=>平方米，故C 不正确；由题意得132t =，234t =，338t =，所以13log 2t =，23log 4t =，33log 8t =，所以2133333332log 2log 8log (28)log 16log 42log 42t t t +=+=⨯====，故D 正确.故选：AD10．（2020·全国高一单元测试）函数()2x f x =和()3g x x =的图象如图所示，设两函数的图象交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <．（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较(3)f ，(3)g ，(2020)f ，(2020)g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）(2020)(2020)(3)(3)f g g f >>>．【解析】（1）根据指数函数和一次函数的函数性质解题；（2）结合函数的单调性及增长快慢进行比较.【详解】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）(0)1f =，(0)0g =，(0)(0)f g ∴>，又(1)2f =，(1)3g =，(1)(1)f g ∴<，()10,1x ∴∈；(3)8f =，(3)9g =，(3)(3)f g ∴<，又(4)16f =，(4)12g =，(4)(4)f g ∴>，()23,4x ∴∈．当2x x >时，()()f x g x >，(2020)(2020)f g ∴>．(2020)(2020)(3)(3)f g g f ∴>>>．1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B【解析】令()0f x =得到1ln x n m =，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断.【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m =，由图象知1l 0n x m n =>，当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B2．（2021·甘肃高三二模（理））关于函数()ln |1|ln |1|f x x x =++-有下列结论，正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称 练提升C ．函数()f x 的最小值为0D ．函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞【答案】D 【解析】A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判断. 【详解】2()ln |1|ln |1|ln |1|f x x x x =++-=-，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，所以函数的定义域为{}|1x x ≠±， 因为()ln |1|ln |1|ln |1|ln |1|()f x x x x x f x -=-++--=++-=,所以函数为偶函数，故A 错误. 因为(0)ln |1|0,(3)ln8f f =-==，所以(0)(3)f f ≠，故B 错误；因为 ()2|1|0,x -∈+∞，所以()f x ∈R ，故C 错误；令2|1|t x =-，如图所示：，t 在(),1,[0,1)-∞-上递减，在()(1,0],1,-+∞上递增，又ln y t =在()0,∞+递增，所以函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞，故D 正确； 故选：D3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））函数ln xy x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 求出函数ln xy x=的定义域，利用导数分析函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数ln xy x =，则有0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠， 所以，函数ln xy x=的定义域为()()0,11,+∞，排除AB 选项；对函数ln x y x =求导得()2ln 1ln x y x -'=.当01x <<或1x e <<时，0y '<；当x e >时，0y '>. 所以，函数ln xy x=的单调递减区间为()0,1、()1,e ，单调递增区间为(),e +∞， 当01x <<时，0ln xy x =<，当1x >时，0ln x y x=>，排除D 选项. 故选：C.4．（2021·海原县第一中学高三二模（文））函数2xx xy e+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】利用导数可求得2xx xy e+=的单调性，由此排除AB ；根据0x >时，0y >可排除C ，由此得到结果. 【详解】 由题意得：()()222211x xxxx e x x e x x y e e +-+-++'==，令0y '=，解得：1x =，2x =，∴当11,,22x ∞∞⎛⎛⎫+∈-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，0y '<；当11,22x ⎛+∈ ⎝⎭时，0y '>；2x x x y e +∴=在1,2⎛--∞ ⎝⎭，1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，可排除AB ； 当0x >时，0y >恒成立，可排除C. 故选：D.5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x x e e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析函数2x xe e y -+=的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.【详解】令()e e 2x x f x -+=，则该函数的定义域为R ，()()2x xe ef x f x -+-==，所以，函数()e e 2x xf x -+=为偶函数，排除B 选项.由基本不等式可得()112f x ≥⨯=，当且仅当0x =时，等号成立，所以，函数()f x 的最小值为()()min 01f x f ==，排除AD 选项. 故选：C.6．（2021·浙江高三月考）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3log a f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =±，当3x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在区间3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，0g=，则()g x 存在极小值33339g a ⎛⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ， 故选：B.7.（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=2(1)mx -的图象与y =的图象交点个数说法正确的是（ ） A ．当[]m 0,1∈时，有两个交点 B ．当(]m 1,2∈时，没有交点 C ．当(]m 2,3∈时，有且只有一个交点 D ．当()m 3,∞∈+时，有两个交点【答案】B 【解析】设f （x ）=2(1)mx -，g （x ） ，其中x∈[0，1]A ．若m=0，则()1f x =与()g x =[0，1]上只有一个交点(1,1)，故A 错误．B ．当m∈（1，2）时，111()(0)1,()(0)1()()2f x f g x g f x g x m<<∴≤=≥=>∴<即当m∈（1，2]时，函数y=2(1)mx -的图象与y =x∈[0，1]无交点，故B 正确，C ．当m∈（2，3]时，2111()(1)(1),()(1)32f x f mg x g m <<∴≤=-≤=2(1)m >-时()()f x g x <，此时无交点，即C 不一定正确．D ．当m∈（3，+∞）时，g （0）1，此时f （1）＞g （1），此时两个函数图象只有一个交点，故D 错误，故选：B．8.（2021·浙江高三专题练习）若关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．30,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】转化为当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，由图可知0111log 22a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a ≤<. 故选：A9.对a 、b ∈R ，记{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R ．（1）求(0)f ，(4)f -．（2）写出函数()f x 的解析式，并作出图像．（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论） 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24f x x x x =--+，∴{}(0)max 0,44f ==，{}(4)max 4,44f -=-=．（2）（3）5m =或m 10．（2021·全国高一课时练习）函数()2xf x =和()()30g x xx =≥的图象，如图所示．设两函数的图象交于点()11A x y ，，()22B x y ，，且12x x <．（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数；（2）结合函数图象，比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小． 【答案】（1）1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）()()()()2015201588f g g f >>>．【解析】（1）根据图象可得结果；（2）通过计算可知1282015x x <<<，再结合题中的图象和()g x 在()0+∞，上的单调性，可比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小.【详解】（1）由图可知，1C 的图象过原点，所以1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）因为11g =（），12f =（），28g =（），24f =（），()9729g =，()9512f =，()101000g =，()101024f =，所以11f g >（）（），22f g <（）（），()()99f g <，()()1010f g >．所以112x <<，2910x <<．所以1282015x x <<<．从题中图象上知，当12x x x <<时，()()f x g x <；当2x x >时，()()f x g x >，且()g x 在()0+∞，上是增函数，所以()()()()2015201588f g g f >>>．1. （2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） 练真题A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.2.（2019年高考全国Ⅲ卷理）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ， 故选B ．3.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D 【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-，如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.5.（2017·天津高考真题（文））已知函数f(x)={|x|+2,x <1x +2x ,x ≥1．设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[−2,2] B ．[−2√3,2] C ．[−2,2√3] D ．[−2√3,2√3] 【答案】A【解析】满足题意时f (x )的图象恒不在函数y =|x2+a|下方，当a =2√3时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当a =−2√3时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.6.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .。

一次函数的函数图像与方程解析解的几何解释一次函数是数学中的基础概念，它在代数和几何中都有重要的应用。

函数图像和方程的解析解为我们提供了关于一次函数的几何解释。

本文将探讨一次函数的函数图像与方程解析解的几何解释。

一次函数的一般形式为 y = ax + b，其中a和b为常数。

函数图像是一条直线，斜率为a，截距为b。

斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则确定了直线与y轴的交点。

首先，我们来看一次函数的斜率。

斜率表示了函数图像上每单位x变化对应的y的变化量。

当a>0时，函数图像为从左下到右上的上升直线；当a<0时，函数图像为从左上到右下的下降直线；当a=0时，函数图像为水平直线，与x轴平行。

其次，截距b代表了函数图像与y轴的交点。

当b>0时，函数图像与y轴交于正y轴上方的某点；当b<0时，函数图像与y轴交于负y轴上方的某点；当b=0时，函数图像与y轴交于原点。

通过分析一次函数的函数图像，我们可以获得关于方程的解析解的几何解释。

考虑方程 y = ax + b = 0，我们可以通过图像解读方程的解析解。

当a>0时，方程的解析解是一个真正的实数解x = -b/a。

这意味着函数图像与x轴的交点恰好是直线上的一点，该点坐标为(-b/a, 0)。

当a<0时，方程的解析解同样是一个真正的实数解x = -b/a。

也就是说，函数图像与x轴的交点仍然是直线上的一点，只是这次是在直线下方。

当a=0时，方程变为 b = 0，此时方程的解析解是一个无穷解集，表示函数图像平行于x轴。

也就是说，直线在整个平面上无限延伸。

通过分析一次函数的函数图像与方程解析解的几何解释，我们可以更好地理解一次函数的性质和特点。

掌握了一次函数的图像与解析解的关系，我们能够更准确地描述和分析一次函数的行为。

这对于解决实际问题、研究数学模型以及理解其他更复杂的数学概念都非常重要。

总结起来，一次函数的函数图像是一条直线，其斜率和截距可以提供关于函数性质的重要信息。

专题50 正弦函数、余弦函数的图象1．正弦曲线正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．2．正弦函数图象的画法(1)几何法①利用正弦线画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法：①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．3．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．4．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．(2)用“五点法”画余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0， (π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．题型一 用“五点法”作三角函数的图象1．用“五点法”作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3[解析]依据“五点法”作图规则可知选A.2．用“五点法”作函数y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．[解析]x 依次取0，π2，π，3π2，2π得五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎫3π2，1，(2π，0)． 3．用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，32π，2πB ．0，π4，π2，34π，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3[解析]由五点作图法，令2x ＝0，π2，π，32π，2π，解得x ＝0，π4，π2，34π，π.4．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )[解析]将x ＝－π2代入y ＝－sin x 中，得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝sin π2＝1.故排除A 、B 、C ，故选D. 5．用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－1＋cos x (0≤x ≤2π)． [解析] (1)①取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121②描点连线，如图所示.(2)①取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1＋cos x－1－2－1②6．用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]；(2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]． [解析] (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x －1－1－1－2－1(2)列表：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x321237．利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． [解析] (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x131－11在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，3，(π，1)，⎝⎛⎭⎫3π2， －1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．(2)列表：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121在直角坐标系中，描出五点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎫3π2，1，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．8．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．[解析]取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 12＋sin x 123212－1212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)9．用“五点法”画出y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． [解析]列表：x 0 π2 π 3π2 2π －2cos x －2 0 2 0 －2 －2cos x ＋313531描点、10．用“五点法”作下列函数的简图．(1)y ＝2sin x (x ∈[0,2π])；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2. [解析] (1)列表如下：xπ2 π3π2 2π2sin x0 20 －2描点连线如图：(2)列表如下：x π2π 3π22π5π2sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 0 1 0 －1 0描点连线如图：11．用“五点法”作出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，11π6的图象． [解析]找出五个关键点，列表如下：u ＝x ＋π60 π2 π 3π2 2π x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 y ＝cos u1－1112．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|sin x |，x ∈R ；(2)y ＝sin|x |，x ∈R.[解析] (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－sin x ，2k π＋π<x ≤2k π＋2π，k ∈Z.其图象如图所示．(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，其图象如图所示．13．作出函数y ＝－sin|x |的图象．[解析] y ＝－sin|x |＝⎩⎨⎧－sin x (x ≥0)，sin x (x <0).其图象如图所示：14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x （－π≤x <0）sin x （0≤x ≤π）.(1)作出该函数的图象；(2)若f (x )＝12，求x 的值．[解析] (1)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x （－π≤x <0）sin x （0≤x ≤π）的图象，如图①所示．(2)因为f (x )＝12，所以在图①基础上再作直线y ＝12，如图②所示，则当－π≤x <0时，由图象知x ＝－π3，当0≤x ≤π时，x ＝π6或x ＝5π6.综上，可知x 的值为－π3或π6或5π6.题型二 正弦(余弦)函数图象的应用1．利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合．(1)sin x ≥12；(2)cos x ≤12.[解析] (1)作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z.(2)作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z.2．求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )；(2)y ＝2sin x － 2.[解析] (1)为使函数有意义，则需要满足－cos x >0，即cos x <0.由余弦函数图象可知满足条件的x 为π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z.所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z .(2)为使函数有意义，则需要满足2sin x －2≥0，即sin x ≥22. 由正弦函数图象可知满足条件的x 为π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z.所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .3．函数y ＝lg(2－2cos x )的定义域是________． [解析]由2－2cos x ＞0得cos x ＜22，作出y ＝cos x 的图象和直线y ＝22，由图象可知cos x ＜22的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z . 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π [解析]画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 由图可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. 5．使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z [解析]∵2－2sin x ≥0，∴sin x ≤22，作出y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－3π2，π2内的图象， 如图所示，则满足条件的x ∈⎣⎡⎦⎤－5π4，π4.∴使不等式成立的x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .6．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______．[解析]在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0,2π)与y ＝cosx ，x ∈(0,2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4时，sin x >cos x ． 7．利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．[解析]首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上， 当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立， 所以12<sin x ≤32的解集为{x |π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z}．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是________．[解析]在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12图象(略)，由图易得：－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N.9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＜0，π2≤x ≤5的解集是________．[解析]当π2≤x ≤π时0≤sin x ≤1，当π＜x ≤5时sin x ＜0，所以原不等式的解集为(π，5]．10．求函数y ＝sin x －12＋cos x 的定义域．[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧sin x －12≥0，cos x ≥0，得⎩⎨⎧sin x ≥12，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z.所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，即函数y ＝sin x －12＋cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋π2(k ∈Z)． 11．已知f (x )是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f (x )·cos x ＜0的解集是( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫π2，3C ．(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 [解析]当0＜x ＜1时，f (x )＜0，而此时cos x ＞0，满足f (x )·cos x ＜0；当1＜x ＜3时，f (x )＞0，由cos x ＜0(x ∈(0,3))，解得π2＜x ＜3，故x ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3. 12．函数y ＝2cos 2x ＋1的定义域是( )A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤k π＋π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π3≤x ≤k π＋π3，k ∈Z [解析]依题意得2cos 2x ＋1≥0，即cos 2x ≥－12.作出y ＝cos x 的图象如图所示．由图象得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故选D.13．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝ [解析]根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x 的图象， 需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π2个单位长度．14．画出函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y ＝32的交点个数．[解析]在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.15．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.] 16．在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． [解析]建立平面直角坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个． 17．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 [解析]在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根． 18．方程x ＋sin x ＝0的根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[解析] 设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x ，在同一直角坐标系中画出f (x )和g (x )的图象， 如图所示．由图知f (x )和g (x )的图象仅有一个交点，则方程x ＋sin x ＝0仅有一个根．19．若方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．[解析]由正弦函数的图象，知当x ∈[0，2π]时，sin x ∈[－1，1]，要使得方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0，2π]上有解，则－1≤4m ＋1≤1，故－12≤m ≤0.20．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数解，求a 的取值范围．[解析]设h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，g (x )＝1－a 2. 作出h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象如图所示．由图可知，当32≤1－a2＜1，即－1＜a ≤1－3时，h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与g (x )＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数解， 所以a 的取值范围是(－1,1－ 3 ]．21．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[解析]f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3). 22．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根[解析]求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题． f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．故选C.23．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝________.[解析] 解法一：y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点坐标为⎝⎛⎭⎫7π6，－12和⎝⎛⎭⎫11π6，－12， 故x 1＋x 2＝7π6＋11π6＝18π6＝3π.解法二：∵A 、B 两点关于x ＝3π2对称，∴x 1＋x 2＝2×3π2＝3π.24．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y＞1；②y＜1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．[解析]列表如下：x －π－π20π2πsin x 0－10101－2sin x 131－1 1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1，所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．25．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．[解析]观察图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4.因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴所求封闭图形的面积为4π.题型三正弦函数、余弦函数图象的认识1．下列叙述正确的是()①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．A．0B．1个C．2个D．3个[解析]分别画出函数y＝s i n x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．2．函数y ＝sin|x |的图象是( )[解析]y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x ＜0，结合选项可知选B.3．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述：①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] 如图所示为y ＝cos x 的图象．可知三项描述均正确．[答案] D 4．关于三角函数的图象，有下列说法：①y ＝sin x ＋1.1的图象与x 轴有无限多个公共点； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos |x |的图象相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．[解析]对②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos |x |＝cos x ，故其图象相同；对④，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称；作图(略)可知①③均不正确． 5．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )[解析]由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2＜x ＜32π.显然只有D 合适．6．如图所示，函数y ＝cos x ·|tan x |0≤x ＜3π2且x ≠π2的图象是( )[解析]当0≤x ＜π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2＜x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ； 当π＜x ＜3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C.7．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象 D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象[解析]f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象．8．函数y ＝ln cos x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的大致图象是( )[解析] 由余弦函数的图象，可知当－π2<x <π2时，0<cos x ≤1，所以y ＝ln cos x ≤0，故选A.。

一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用一次函数是数学中常见的一种函数类型，它可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b为已知值，x和y为自变量和因变量。

在这篇文章中，我们将讨论一次函数的函数图像以及如何使用方程解析解来解决实际应用问题。

一、一次函数的函数图像一次函数的函数图像是一条直线，其斜率确定了直线的倾斜程度，截距则决定了直线与y轴的交点。

根据斜率的正负，可以判断直线是上升还是下降。

下面我们来看几个具体的例子。

1. 实例一：y = 2x + 1这个函数表示了一个斜率为2，截距为1的直线。

根据斜率的正值，我们知道这条直线上升。

当x增加1个单位时，y增加2个单位。

当x减小1个单位时，y减小2个单位。

通过这些关系，我们可以画出该函数的函数图像。

2. 实例二：y = -3x + 2这个函数表示了一个斜率为-3，截距为2的直线。

根据斜率的负值，我们知道这条直线下降。

当x增加1个单位时，y减小3个单位。

当x减小1个单位时，y增加3个单位。

同样地，我们可以通过这些关系画出该函数的函数图像。

通过观察这些例子，我们可以发现直线的倾斜程度（斜率）以及它与y轴的交点（截距）等信息可以从一次函数的解析解中推导出来。

这样，我们可以在解析解的基础上直观地了解一次函数的函数图像。

二、一次函数方程解析解的实际应用一次函数的解析解除了可以用来绘制函数图像之外，还可以应用于解决实际问题。

我们将通过以下两个实际应用问题来说明。

1. 实例一：销售收入问题假设一个公司以每件产品x销售价y的方式进行销售。

已知该公司每个月的固定成本是1000元，每件产品的可变成本是30元。

我们希望找到销售多少件产品时，公司能够实现盈亏平衡。

根据以上信息，我们可以写出一次函数的方程：总收入 = 总成本根据题意，总收入为yx，总成本为1000 + 30x。

将它们相等并整理方程，可得：yx = 1000 + 30x解这个一次方程，我们可以求得x的解析解。

一次函数的图像与方程的解法一次函数是数学中最基础的函数之一，它的图像和方程的解法有着重要的意义。

本文将从图像和方程两个方面来探讨一次函数的特点和解法。

一、图像的特点一次函数的图像是一条直线，具有以下特点：1. 斜率：一次函数的斜率体现了函数的变化速率。

斜率为正数时，函数递增；斜率为负数时，函数递减；斜率为零时，函数为常数函数。

2. 截距：一次函数的截距是函数与坐标轴的交点。

截距分为x轴截距和y轴截距。

当x轴截距为0时，函数经过原点；当y轴截距为0时，函数经过y轴上的点。

3. 图像的倾斜方向：斜率为正数时，图像向上倾斜；斜率为负数时，图像向下倾斜；斜率为零时，图像平行于x轴。

二、方程的解法一次函数的方程通常为y = ax + b的形式，其中a和b是常数。

解一次函数的方程可以通过以下方法：1. 图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地找到函数与坐标轴的交点。

交点的坐标即为方程的解。

2. 代入法：将给定的x值代入方程，计算出对应的y值。

如果求解的是y值，则将给定的y值代入方程，计算出对应的x值。

代入法适用于已知一个变量的值，求解另一个变量的情况。

3. 消元法：当两个一次函数相交时，可以通过消元法求解它们的交点。

将两个方程联立，通过消去其中一个变量，得到另一个变量的值，再代入其中一个方程，求解出另一个变量的值。

4. 斜率法：已知一次函数的斜率和一个点，可以通过斜率公式y - y1 = k(x - x1)来求解方程。

其中k为斜率，(x1, y1)为已知点的坐标。

5. 矩阵法：将一次函数的方程转化为矩阵形式，通过矩阵运算求解方程。

这种方法适用于多个一次函数联立的情况。

三、应用举例一次函数的图像和方程的解法在实际生活中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 财务规划：一次函数可以用来描述收入和支出之间的关系。

通过分析一次函数的斜率和截距，可以帮助人们做出合理的财务规划，实现财务自由。

2. 市场分析：一次函数可以用来描述市场需求和价格之间的关系。

函数的性质与图像分析例题和知识点总结在数学的广袤世界中，函数是一个极为重要的概念。

函数的性质与图像紧密相连，通过对函数性质的研究，我们能够更好地理解和描绘函数的图像，从而解决各种与函数相关的问题。

接下来，让我们通过一些具体的例题来深入探讨函数的性质与图像，并对相关的知识点进行总结。

一、函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域则是函数值的取值范围。

例 1：已知函数$f(x) ＝＼sqrt{x 1}＄，求其定义域。

解：要使根式有意义，被开方数必须大于等于零，即$x 1 ＼geq 0$，解得$x ＼geq 1$，所以函数的定义域为$1, ＋＼infty)＄。

知识点总结：常见函数的定义域要求，如分式函数分母不为零，偶次根式被开方数非负，对数函数真数大于零等。

二、函数的单调性函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。

例2：判断函数$f(x) ＝x^2 2x$在区间$（＼infty, 1)＄上的单调性。

解：对$f(x)＄求导，＄f'（x) ＝ 2x 2$。

当$x ＜ 1$时，＄f'（x) ＜0$，所以函数在区间$（＼infty, 1)＄上单调递减。

知识点总结：判断函数单调性的方法，如定义法、导数法。

对于二次函数，可以通过其对称轴和开口方向来判断单调性。

三、函数的奇偶性奇偶性反映了函数图像的对称性。

例 3：判断函数$f(x) ＝＼sin x$的奇偶性。

解：因为$f(x) ＝＼sin(x) ＝＼sin x ＝ f(x)＄，所以函数$f(x) ＝＼sin x$是奇函数。

知识点总结：奇函数满足$f(x) ＝ f(x)＄，其图像关于原点对称；偶函数满足$f(x) ＝ f(x)＄，其图像关于 y 轴对称。

四、函数的周期性周期性表示函数值在一定区间内重复出现。

例 4：已知函数$f(x) ＝＼sin 2x$，求其最小正周期。

解：因为$＼sin 2(x ＋＼pi) ＝＼sin(2x ＋ 2\pi) ＝＼sin 2x$，所以函数的最小正周期为$T ＝＼frac{2\pi}｛2} ＝＼pi$。

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径注意：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin )4(π-x 的图象是由y ＝sin )4(π+x 的图象向右平移π2个单位长度得到的．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( ) 题组二：教材改编2．为了得到函数y ＝2sin )32(π-x 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．]函数y ＝2sin )321(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三：易错自纠 5．要得到函数y ＝sin )34(π-x 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．三、典型例题题型一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 典例 已知函数y ＝2sin )32(π+x .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y ＝2sin )32(π+x 的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维升华：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练：(1)若把函数y ＝sin )6(πω-x 的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A ．2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f )6(π+x 取得最小值时x 的集合为________．思维升华：y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 跟踪训练 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12 题型三：三角函数图象性质的应用 命题点1：三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin )6(ϕπ+x ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 命题点2：函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在),2(ππ上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．引申探究：本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 命题点3：三角函数图象性质的综合 典例 已知函数f (x )＝3sin )32(πω+x (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点)0,3(π-，求当m 取得最小值时，g (x )在]127,6[ππ-上的单调递增区间．思维升华：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω≤>的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点)21,2(-，则函数f (x )的解析式为__________．四、反馈练习1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin )322(π+x ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.5π43．若函数y ＝sin(ωx －φ))2,0(πϕω<>在区间],2[ππ-上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π34．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3D.π45．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________． 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B )1,3(-π，则f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝cos )33(π+x ，其中x ∈],6[m π，若f (x )的值域是]23,1[--，则m 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ))2(πϕ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P )23,0(，则φ的值为________． 13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f )61(的值为________．.15．设函数f (x )＝sin )6(πω-x ＋sin )2(πω-x ，其中0＜ω＜3.已知f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。

第七讲：函数图像、函数与方程【考点梳理】 1、函数的图象 (1)平移变换：0,0,||()()a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−→=-向右移个单位向左移个单位 0,0,||()()+b b b b y f x y f x b ><=−−−−−−→=向上移个单位向下移个单位(2)伸缩变换：101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−−−−−→=纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍1,01,()()A A A A y f x y Af x ><<=−−−−−−−−−−−−→=横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍(3)对称变换：()()x y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y f x y f x =←−−−−→=--关于原点对称(4)翻折变换：()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−→=去掉轴左侧图象，保留轴及右侧图象将轴右侧的图象翻折到左边()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴及其上方图象将轴下方的图象翻折到上方去2、函数与方程(1)判断二次函数()f x 在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程()0f x =的判别式0,0,0∆>∆=∆<来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数()f x 在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又()()0f a f b ⋅<，则()y f x =在区间(,)a b 内有唯一零点．【典型题型讲解】考点一：函数的图像【典例例题】例1．（多选题）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,xf x a a ag x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC【方法技巧与总结】1.熟练掌握高中八个基本初等函数的图像的画法2.函数的图像变换：平移，对称、翻折变换 【变式训练】1.已知图①中的图象是函数()y f x =的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--【答案】C 【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分， 然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的， ∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x =-. 故选：C.2.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，3.若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】因为函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数.所以01a << .因为函数()log 1a y x =-，定义域为()()11,-∞-+∞，故排除A 、B.当1x >时，函数()()log 1log 1a a y x x =-=-在1,上单调递减.当1x <-时, 函数()()log 1log 1a a y x x =-=--在()1-∞-单调递增. 故选:D.由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.4.函数()ln f x x x =的图象如图所示，则函数()1f x -的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】将函数()f x 的图象作以y 轴为对称轴的翻折变换，得到函数()f x -的图象，再将图象向右平移一个单位，即可得到函数()()()11f x f x -=--的图象． 故选：D ．考点二：求函数的零点或零点所在区间判断【典例例题】例1.已知函数()f x 满足()()1f x f x =--，且0x 是()e x y f x =+的一个零点，则0x -一定是下列函数的零点的是（ ）A ．()e 1xy f x =-B ．()e 1xy f x =--C ．()1e xy f x =+ D ．()e xy f x =-【答案】A 【详解】 因为()()1f x f x =--，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数．由已知可得()00e 0x f x +=，即()00e x f x =-．所以()00e 1x f x -=-，所以()00e 1x f x --=，故0x -一定是()e 1x y f x =-的零点，故A 正确，B错误； 又由()00e1x f x --=，得()001e x f x --=，所以()0011120e e e e x x x x f x -----+=+=≠，故C 错误；由()()000000e e e e 0x x x x f x f x -----=--=-≠，故D 错误.故选：A ．例2.函数()e 26xf x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,1【答案】C 【详解】函数()e 26x f x x =+- 是R 上的连续增函数, 2(1)e 40,(2)e 20f f =-<=->,可得(1)(2)0f f <,所以函数()f x 的零点所在的区间是(1,2). 故选：C【方法技巧与总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 【变式训练】1.已知函数()()21,01,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则1()2y f x =-的所有零点之和为（ ）A B C ．2 D ．0【答案】D 【详解】0x ≥时，由21(1)02x --=得1x =±，0x <时，由1102x +-=得12x =-或32x =-，所以四个零点和为1311022-=． 故选：D ．2．已知函数()24x f x x =+-，()e 4x g x x =+-，()ln 4h x x x =+-的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】C 【详解】 由已知条件得()f x 的零点可以看成2x y =与4y x =-的交点的横坐标，()g x 的零点可以看成e x y =与4y x =-的交点的横坐标，()h x 的零点可以看成ln y x =与4y x =-的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2x y =，e x y =，ln y x =，4y x =-的函数图象，如下图所示, 可知c a b >>， 故选：C .3.（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ， 这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：94．若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________. 【答案】y x z << 【详解】依题意，0,0,0x y z >>>，223log 3log x x x x ⋅=⇔=，3232y yy y ⋅=⇔=，ln 3z z ⋅=3ln z z⇔=，因此，2log 3x x ⋅=成立的x 值是函数12log y x =与43y x=的图象交点的横坐标1t ， 23y y ⋅=成立的y 值是函数22x y =与43y x=的图象交点的横坐标2t ， ln 3z z ⋅=成立的z 值是函数3ln y x =与43y x=的图象交点的横坐标3t ， 在同一坐标系内作出函数1223log ,2,ln xy x y y x ===，43y x=的图象，如图，观察图象得：213t t t <<，即y x z <<，所以x 、y 、z 由小到大的顺序是y x z <<. 故答案为：y x z <<6.函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（ ） A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】2()log f x x x =+为(0,)+∞上的递增函数，222111112log log 3log 03333332f ⎛⎫=+=-<-< ⎪⎝⎭=-，21111log 02222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()22222251log log 353log 333333f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭()221log 32log 2703=->()()22222333511log log 354log 3log log 04444443281f ⎛⎫=+=-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，则函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为12,23⎛⎫⎪⎝⎭故选：B考点三：函数零点个数的判断【典例例题】例1.函数()32,03e ,0xx x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为___________. 【答案】2 【详解】当0x ≤时，令320x +=，解得x =0<，此时有1个零点；当0x >时， ()3e x f x x =-+，显然()f x 单调递增，又1215e 0,(1)2e>022f f ⎛⎫=-+<=-+ ⎪⎝⎭，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.故答案为：2.例2.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【详解】∴()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.2.利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案3.利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。

函数图像与性质例题和知识点总结函数是数学中非常重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。

函数的图像和性质能够帮助我们更直观地理解函数的特点和行为。

接下来，我们将通过一些例题来深入探讨函数图像与性质的相关知识。

一、函数的基本概念函数可以简单地理解为一种规则，给定一个输入值（自变量），通过这个规则就能得到唯一的输出值（因变量）。

例如，函数＄y ＝ 2x＋ 1$ 中，＄x$ 是自变量，＄y$ 是因变量。

二、常见函数类型1、一次函数：形如＄y ＝ kx ＋ b$（＄k$、＄b$ 为常数，＄k ≠ 0$）的函数，其图像是一条直线。

当＄k ＞ 0$ 时，函数单调递增；当＄k＜ 0$ 时，函数单调递减。

2、二次函数：一般式为＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$），图像是一条抛物线。

当＄a ＞ 0$ 时，抛物线开口向上，有最小值；当＄a ＜ 0$ 时，抛物线开口向下，有最大值。

3、反比例函数：形如＄y ＝＼frac{k}｛x}＄（＄k$ 为常数，＄k≠ 0$），其图像是以原点为对称中心的两条曲线。

三、函数图像的性质1、对称性一次函数的图像是直线，没有对称性。

二次函数的对称轴为＄x ＝＼frac{b}｛2a}＄。

反比例函数的图像关于原点对称。

2、单调性一次函数中，根据斜率＄k$ 的正负判断单调性。

二次函数在对称轴两侧单调性不同。

反比例函数在每个分支上分别单调。

3、定义域和值域一次函数的定义域和值域通常都是实数集。

二次函数的定义域通常是实数集，值域根据开口方向和顶点坐标确定。

反比例函数的定义域为＄x ≠ 0$，值域也相应受到限制。

四、例题分析例 1：已知一次函数＄y ＝ 3x 2$，求其图像与＄x$ 轴、＄y$ 轴的交点坐标。

解：当＄y ＝ 0$ 时，＄3x 2 ＝ 0$，解得＄x ＝＼frac{2}｛3}＄，所以与＄x$ 轴的交点坐标为＄（＼frac{2}｛3}， 0)＄。

当＄x ＝ 0$ 时，＄y ＝－2$，所以与＄y$ 轴的交点坐标为＄（0, －2)＄。

函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。

下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。

一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。

例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。

当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。

最全一次函数图像专题(带解析)完整版.doc最全一次函数图像专题(带解析)完整版一次函数也称为一次方程或线性方程，是数学中的重要概念。

在本专题中，我们将详细讨论一次函数的图像及相关概念和性质。

一、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k和b为常数，k 称为斜率，b称为截距。

一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

二、一次函数的图像特征1. 斜率k的正负决定了直线的倾斜方向。

当k为正数时，直线向右上方倾斜；当k为负数时，直线向右下方倾斜。

2. 斜率k的绝对值决定了直线的倾斜程度。

绝对值越大，倾斜程度越大。

3. 当k为0时，直线为水平线；当k不存在时，直线为竖直线。

三、一次函数图像的基本形状1. 当k>0时，直线从左下方向右上方倾斜。

2. 当k=1时，直线为45°斜线。

3. 当k=-1时，直线为水平斜线。

4. 当k=0时，直线为水平线。

5. 当k不存在时，直线为竖直线。

四、一次函数的图像平移1. 沿x轴平移的结果：将y = kx + b中的b替换为b'，则得到的函数为y = kx + b'。

平移后的直线与原直线平行，斜率不变，但截距发生了变化。

2. 沿y轴平移的结果：将y = kx + b中的k替换为k'，则得到的函数为y = k'x + b。

平移后的直线与原直线平行，截距不变，但斜率发生了变化。

五、一次函数的图像伸缩1. 垂直伸缩的结果：将y = kx + b中的k替换为ak，其中a 为正数。

当a>1时，直线变得更陡峭；当0<a<1时，直线变得更平缓。

2. 水平伸缩的结果：将y = kx + b中的x替换为x/a，其中a为正数。

当a>1时，直线变得更平缓；当0<a<1时，直线变得更陡峭。

六、一次函数的解析法与图像的关系1. 斜率k的正负决定了图像的倾斜方向。

考点七二次函数的图像与性质知识点整合一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例引领变式拓展考向二二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例引领1x=时有最小值2-，即a-当2x=-时有最大值6，即4解得：89a=，109b=-，∴1118110 333939 a b⎛-=⨯-⨯-⎝②a<0时，如图，1x =时有最大值6，即26a a b -+=当2x =-时有最小值2-，即44a a +解得：89a =-，469b =，∴11181462333939a b ⎛⎫-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：23或2-．4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，抛物线223y x x =-+与直线y x =-【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，变式拓展【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得在y轴右侧，得0b>，抛物线与x=，即对称轴是直线1【答案】②④/④②【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：将点(11933b c b c ++=⎧⎨++=⎩，。

函数图象与曲线的方程例题讲解（完整版）doc资料函数图象与曲线的方程例题讲解一、函数图像利用函数图像，我们可以研究函数本身的性质，如课本上我们是根据幂函数、指数函数等函数的图像归纳出它们的性质，并以此来进一步研究其它函数的性质．在解决函数的其它问题时，我们也可以利用函数图像帮助我们打开思路．例１．试判断函数：⎩⎨⎧++∈-+∈=)22,12(,1)12,2(,1)(k k x k k x x f （k ∈Z ）的奇偶性． 分析：由函数奇偶性的定义直接确定函数的奇偶性有些困难，但我们若给出函数图像．以奇偶函数的图像关于原点或y 轴对称这一性质判断，则问题不难解决．解：令,2,1,0±±=k … … 得到各段函数的离散区间，从而得到函数)(x f 的图像，如图．由图知，函数)(x f 是奇函数．例2．设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对k ∈Z 用I k 表示区间]12,12(+-k k ，已知当0I x ∈时，2)(x x f =．(1)求)(x f 在I k 上的解析表达式；(2)对自然数k ，求集合M k = {a | 使方程ax x f =)(在I k 上有两个不相等的实根}． 分析：借助于函数图像，不仅能正确理解题意寻求解题思路，还可以直接从图像上得出答案．当)(,,112x f x y x 又时=≤<-是以２为周期的函数，故它的图像就是：)11(2≤<-=x x y 左、右平移后的重复出现． O所以在每一周期I k 内对应的解析式点2)2(k x y -=．又考虑ax y =的图像是过原点的直线，要满足题目的条件就应使斜率a 在]121,0(+k 上取值．当然利用图形的直观性得出结论不能完全替代逻辑推理的论证，但重视函数图像的作用是十分必要的．解：（1）)(x f 是以2为周期的函数，∴当z k ∈时，2 k 是)(x f 的周期． 又k I x ∈ 时o I k x ∈-)2(，∴2)2()2()(k x k x f x f -=-=，即对z k ∈，当k I x ∈时，2)2()(k x x f -=．（2）当N k ∈且k I x ∈时，由（１）有.)2(2ax k x =-整理得 04)4(22=++-k x a k x).8(16)4(22k a a k a k +=-+=∆方程在区间Ｉk 上恰有两个不相等的实根的充分必要条件是a 满足[][])8(42112)8(421120)8(k a a a k k k a a a k k k a a +++≥++-+<->+解不等式组得1210+≤<k a ．∴所求集合为M k =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤<1210k a a ．说明：函数图像可以帮助我们理解题意，寻求思路，并可以帮助我们检验结论． 例３．已知c bx x x f +-=2)(，且)(),()2(,3)0(R x x f x f f ∈=-=，则（）(A))()(x x c f b f ≥ (B))()(x x c f b f ≤(C))()(x x c f b f < (D))()(x x c f b f 和大小不定．分析：)(x b f 与)(x c f 的大小取决于两个条件：(1)x b 与xc 的大小；(2)x b 与x c 在)(x f 的增区间中还是减区间中；因此解决本题要抓住这两个环节．由3)0(=f 可知c 值；由)()2(x f x f =-可知1=x 是函数图像的对称轴，从而可知b 的值．解法一：.3,3)0(=∴=c f )()2(x f x f =- 对任何实数x 成立，)(x f ∴的图像关于直线1=x 对称．.2=∴b函数x x y y 3,2==的图像如图所示．可见，0>x 时，.123>>x x此时，x x 2,3同在)(x f 的增区间中，故)2()3(x x f f >，即).()(x x b f c f >当0=x 时，x x 23=，∴)2()3(x x f f =，即 )()(x x c f b f =．当0<x 时，123<<x x ，此时，x x 2,3都在)(x f 的减区间内，故)2()3(x x f f >，即)()(x x b f c f >．综上所述，对任意R x ∈，总有).()(xx c f b f ≤故应选（Ｂ）．解法二：3)0(=f ，∴c=3． )()2(x f x f =- 对任何实数x 成立，∴)(x f 的图像关于直线1=x 对称．∴ b =2考虑幂函数,αx y =当0>α时，αx 在),0(+∞上是增函数，当0<α时，αx 在),0(+∞上是减函数．因此有，0>x 时，12323>>⇒>x x ． x 3，x 2都在)(x f 的增区间，所以)2()3(x x f f >．即)()(x x b f c f >．0<x 时，12323<<⇒>x x ，x x 2,3都在)(x f 的减区间上，所以有),2()3(x x f f >即)()(x x b f c f >．而当0=x 时，x x b c =，所以).()(x x c f c f =故∈x R 时，总有)()(x x c f b f ≤．应选Ｂ．错解：.3,0)0(=∴=c f)()2(x f x f =- 对任何实数x 都成立，∴ f (x )的图像关于直线x =1对称，∴b =2∵3>2，∴3x >2x ，∴f(3x )>f(2x )．即f(b x )<f(c x )．而x =0时3x =2x ，所以f(b x )=f(c x )．∴总有)()(x x c f b f ≤．选Ｂ．说明：本题把一元二次函数，指数函数，幂函数的性质综合在一起，对于考察学生对函数基本性质及函数图像的掌握情况作用不小，但以选择题形式出现，有些地方就没有完全体现出来，如上面的错解，事实上，.2323x x >≠>> 例４：已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图，则(Ａ))0,(-∞∈b(Ｂ))1,0(∈b (Ｃ))2,1(∈b (Ｃ)),2(+∞∈b 分析：给了三次函数的图像，欲求二次项系数b 的范围，情景新，没有现成套路，只能从形上多找信息．从图像知，三次函数图像过（０，０），（１，０），（２，０）三点，故1,0==x x 和2=x 是方程0)(=x f 的三个根，又知在不同区间数值的正负及单调性，再注意到选择题的解法可获如下思路．解法一：由图知0，1，2是方程0)(=x f 的三个根，代入得0,32,3=-=-=d b c b a ∴x b bx x b x f 323)(23-+-=． 又0)21(>f 得0<b ，故选Ａ．解法二：由图知，０，１，２是方程0)(=x f 的三个根，∴可设f(x)=ax(x －1)(x －2)=ax 3－3a 2+2ax ∴b=－3a又0)1(<-f ∴0>a ∴0<b ．解法三：由0)0(=f 及0)1(=f 得：0=++c b a ①又0,0)1(>-+-∴<-c b a f ②①＋②得 0<b ．说明：三种解法都紧扣目标，“求b 的范围”考查了消元，化归及待定系数法等重要方法及转化，函数，方程等数学思想，特别是抓住图形提供的信息，采取有效办法直奔目标，化为熟知问题，以便解决．例５．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的３００天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图１的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图２的抛物线表示．图１ 图２(1)写出图１表示的市场售价与时间的函数关系式);(t f p =写出图２表示的种植成本与时间的函数关系式);(t g Q =(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿的收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位；元／１０２kg ，时间单位：天）分析：本题是2000年高考的第２１题，主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数的最大值的问题，考查运用所学知识解决问题的能力．解：（１）由图（１）可得市场售价与时间的函数关系为： ⎩⎨⎧≤<-≤≤-=;3002003002.2000300)(t t t t t f 由图２可得种植成本与时间的函数关系为：3000,100)150(2001)(2≤≤+-=t t t g ; (2) 设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得：).()()(t g t f t h -=即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.300200,21025272001,2000,2175212001)(22t t t t t t t h 当2000≤≤t 时，配方整理得：100)50(2001)(2+--=t t h ． 所以，当50=t 时，)(t h 取得区间［0，200］上的最大值100；当300200≤<t 时，)(t h 取得区间(200，300)上的最大值87．5．综上，由5.87100>可知，)(t h 在区间[0，300]上可以取到最大值100，此时50=t ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．说明：图像法和解析法是表示函数的最基本方法．曲线与方程的理论，参数方程的概念都是中学数学重要的基础知识．本题提出问题的背景是现实的，提供的信息是用图示的方式直观形象表现出来的，若能在头脑中形成“图像———函数—方程”的意识，利用熟知的折线段，抛物线，用解析式表示函数图像，定性地反映问题本质，便可顺利找到思路，再加上对二次函数性质的运用，便可顺利求解．二．图像变换例6．函数)252sin(π+=x y 的图像的一条对称轴是 (A)2π-=x (B)4π-=x (C)8π=x (D)45π=x分析：将45.8,4,2ππππ--=x 分别代入函数),252sin(π+=x y 求得分别对应的函数值,22,0,1-0，其中1-=y 是函数的最小值，故选A ． 说明：这是一道考查正弦函数的图像的几何特征的题目，而求解的方式是检验自变量的值与对应的函数值的数量关系，简便有效．如果通过作函数)252sin(π+=x y 的图像—正弦曲线以及相应的直线，也可以得到正确的结果 ，只是对图像变换的要求比较高．事实上，对于函数)sin()(ϕω+=x A x f (其中R x ∈)，过曲线的一个最高点或一个最低点且垂直于x 轴的每一条直线，都是曲线的对称轴．我们证明如下：设A a f ±=)(，则ω)(2Z ∈+=+k k a ππϕ这时，对任意k t ∈，)()(t a f t a f --+[][]ϕωϕω+--++=)(sin )(sin t a A t a A0sin )sin(2=+=t a A ωϕω恒成立，即)()(t a f t a f -=+恒成立，因此)(x f 的图像关于直线a x =对称．借助于对数量关系的推理论证，对图形的几何特征进行精确刻划，是函数图像及其应用的重要组成部分．例2．函数)(x f 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则当[]0,2-∈x 时，)(x f 的解析式是：(A)4)(+=x x f(B)x x f -=2)( (C)13)(+-=x x f (D)13)(++=x x f ．分析：本题涉及函数解析式，奇偶性，周期性等问题．从不同角度入手，也可有不同解法．下面我们借助函数图像加以讨论．解：依题意在区间[2，3]上，函数的图像是线段AB∵函数周期是2，∴把线段AB 左移两个单位得[0，1]上的线段CD ；再左移两个单位得[－2 ，－1]上的图像线段EF ．∵函数是偶函数，∴把线段CD 沿y 轴翻折到左边，得[－1，0]上的图像线段FC ．于是由直线的点斜式方程，得函数在[－2，0]上的解析式：[](]⎩⎨⎧-∈++---∈++=0,13)1(1,22)2()(x x x x x f 即[](]⎩⎨⎧-∈+---∈++=0,1)1(31,2)1(3)(x x x x x f 由于]1,2[--∈x 时，x+1≤0]0,1(-∈x 时，x+1>0[].0,213-∈+-=∴x x y 例3．已知函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 23cos 212 (1) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合;(2) 该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 分析：本题是全国2000年高考理科第17题，主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．解：(1)1cos sin 23cos 212+⋅+=x x x y 452sin 432cos 411)cos sin 2(4341)1cos 2(412++=+++-=x x x x x .45)62sin(2145)6cos 2sin 6sin 2(cos 21++=+⋅+⋅=πππx x x y 取得最大值必须且只需,,2262Z ∈+=+k k x πππ即.,6Z ∈+=k k x ππ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为{}z k k x x ∈+=,6ππ． (2)将函数x y sin =依次进行如下变换：①把函数x y sin =的图像向左平移,6π得到函数)6sin(π+=x y 的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数)62sin(π+=x y 的图像； ③把得到的图像上各点的纵坐标缩短到原来的21倍，(横坐标不变)，得到函数)62sin(21π+=x y 的图像； ④把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数45)62sin(21++=πx y 的图像；综上得到函数1cos sin 23cos 212+⋅+=x x x y 的图像． 说明：由于函数的图像变换与变换顺序可以有不同选择．所以本例(2)的变换方式不唯一．如也可将函数)(sin R x x y ∈=的图像依次作如下变换．①把函数x y sin =图像上各点横坐标缩短为缩短为原来的21(纵坐标不变)，得到x y 2sin =的图像． ②把得到的图像向左平移12π，得到函数)62sin()12(2sin ππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x y 的图像; ③把得到的图像上各点纵坐标缩短为原来的21(横坐标不变)，得到)62sin(21π+=x y 的图像; ④把得到的图像上平移45个单位长度，得到函数45)62sin(21++=πx y 的图像; 综上得到1cos sin 23cos 212++=x x x y 的图像． 例4．已知,121)(x x x f +-=函数)(x g y =的图像与函数)1(1+=-x f y 的图像关于直线x y =对称，则=)5(g ．分析：依题意知)(x g y =是)1(1+=-x f y 的反函数，只要把)1(1+=-x f y 反函数求出即可．怎样得到)1(1+=-x fy 的反函数就成为解决本题的关键．解法一：由x x y +-=121得,21x xy y -=+解出x ，得)2(21-≠+-=y y yx .32)1()1(1)1().2(21)(11x xx x x f x x xx f y +-=+++-=+∴-≠+-==∴--设x x y +-=3，去分母得x xy y -=+3，解出x ，得 ).1(13-≠+-=y y yx )1(1+∴-x f 的反函数).1(13)(-≠+-=x xxx g.255153)5(-=+⨯-=∴g 解法二：如图，)(x f 和)(1x f-互为反函数，当)(1x f -的图像沿x 轴负方向平移1个单位时，作为“镜面”的另一侧图像)(x f 的图像一定向下平移1个单位，因此，)1(1+-x f 的图像与1)(-x f 的图像仍保持关于直线xy =对称．故)1(1+-x f的反函数是.1)()(-=x f x g.251)5()5(-=-=∴f g解法三：)1(1+=-x fy[].1)(1)()1()(1-=⇒+=⇒+=⇒-y f x x y f x f f y f )1(1+=∴-x f y 的反函数是.1)()(-=x f x g.251511011)5()5(-=-+-=-=∴f g 解法四 (错解)依题意．)(x g 是)1(1+=-x fy 的反函数，而)1(1+=-x f y 的反函数是221)1(+--=+x x x f ，即.711)5(.212)(-=∴++-=g x x x g 说明 解法四的错误原因是误认为)1(1+-x f 的反函数是)1(+x f ，忽略了)1(1+-x f 中的x 对应看它的反函数中的因变量)1(,1+-x f y 中的“加”对应着“减”，于是)1(1+-x f 与1)(-x f 对应．解法二从图像的运动变化中，探求出)1(1+-x f 的反函数．体现了数形结合的优势，体现了图像变换的作用．三．函数图像与方程曲线函数图像与曲线方程的联系十分密切，运用十分广泛，从代数到几何的各种问题中处处都有其优美的例证，尤其是笛卡尔直角坐标系这一划时代的创造，更使数形结合充满着勃勃生机．其中几何问题代数化是中学数学里解析几何的基本任务．也是中学数学的必修内容．例１ 给定实数,1,0,≠≠a a a 设函数11--=ax x y (其中R x ∈且ax 1≠)． 求证．(1)经过这个函数上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．(2)这个函数的图像关于直线x y =成轴对称图形．分析：由于给出了函数的解析式，故可反解知函数存在反函数，且原函数与反函数为同一函数．根据函数必须是一一映射才存在反函数，且原函数与反函数的图像关于直线x y =对称，于是第(1)，(2)两小题同时得证．解 由)1,(11ax R x ax x y ≠∈--=得.1)1(-=-y x ay ① 若01=-ay ，则由0≠a 有ay 1=，而由①可有1=y ， 于是得1,11=∴=a a．与1≠a 矛盾，.01≠-∴ay 由①得 )1,(11ay R y ay y x ≠∈--=即)1,(11)(1ax R x ax x x f≠∈--=-即函数)1,(11ax R x ax x y ≠∈--=的反函数是其本身．命题得证．说明：本题为高考题，需要正确理解数学概念（如函数图像、反函数、轴对称图形等概念），并在此基础上灵活地综合运用代数、解析几何知识（如互为反函数的图像之间的关系，两条直线平行的条件等），进行推理论证．另证一：设),(),,(222111y x M y x M 为函数图像上两个不同的点，且21M M ‖x 轴，即21x x ≠且21y y =，那么11112211--=--ax x ax x ． 即 1.)(2121=∴-=-a x x x x a ．与1≠a 矛盾，假设不成立． 故图像上任意两个不同点的连线均不可能与x 轴平行．另证二： 设),(),,(212111y x M y x M 为函数图像上两个不同点，,21x x ≠ 则)1)(1()1)((11111212112212----=-----=-ax ax a x x ax x ax x y y 2121,,1y y x x a ≠∴≠≠ 得证．另证三 任取一条与x 轴平行的直线y = m ．(m 为实常数)．解方程组 ,11⎪⎩⎪⎨⎧--==ax x y m y 得.1)1(-=-m x ma当1=ma 即a m 1=时，由1≠a 知无解;当1≠ma 即am 1≠时，有唯一解11--=ma m x ．故平行于x 轴的直线与所给函数图像或者不相交，或者恰有一个交点． 故函数图像上任意两个不同点的连线均不可能与x 轴平行． 例2 设R a ∈，解关于x 的不等式：.222a x x a +>-分析：这是一个含字母系数a 的无理不等式的求解问题，由于字母a 的制约因素较多．求解时既要对字母系数a 进行讨论， 又要对相应的图形进行思考和对照．解：当0=a 时，不等式变为x x >-22，由于22x -的定义域是｛０｝，而0=x 时，不等式00>不成立，原不等式的解集是空集∅．若0≠a ，则原来不等式⇔（Ⅰ）⎩⎨⎧<+≥-00222a x x a 或（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧+>-≥+≥-22222)(2002a x x a a x x a当0>a 时，（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤-⇔.,2222a x a x a 由于.22a a -<-此不等式组无解． （Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≥≤≤-⇔.032.,2222x a a x a x a 由于.03222<-<-<-a a a 此不等式组的解是.032<<-x a 当0<a 时，（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤≤⇔..2222a x a x a 由于a a a -<-<2222，此不等式组的解是.2222a x a -≤≤ （Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<<-≥-≤≤⇔.320.2222a x a x a x a 由于a a a -<-<-2232，此不等式组无解． 综上可知，当0<a 时，不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤a x a x 2222|;当0=a 时，不等式的解集是空集ø;当0>a 时，不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-032|x a x ．说明：借助于函数的图像与方程的曲线，可以对题意理解得更清楚、准确，并对所得的解集进行有效的检验．设222x a y -=，当0≠a 时，⎪⎩⎪⎨⎧=+≥⇔-=1,022222222a y x y x a y a ，可知它的图像是以原点为中心，焦点在y 轴上的椭圆的上半部分(包括短轴的两个端点)，其半长轴为a ，半短轴为a 22，与x 轴交于)0,22(a ±两点，与y 轴交于点),0(a ，而函数a x y +=的图像是斜率为1，纵截距为a 的直线．如左图，当0>a 时，此直线交上半椭圆于)31,32(a a -和(0，a )两点，因此半椭圆位于直线上方部分各点横坐标的集合是区间)0,32(-．如右图，当0<a 时，此直线位于半椭圆的下方，与半椭圆无交点，因此原不等式的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤a x a x 2222|就是椭圆上各点横坐标的集合． 当0=a 时，22x y -=的图像是坐标原点，而直线x y =通过原点，原不等式无解．联想代数问题的几何背景，对深化数形结合的思想方法的理解，提高分析问题和解决问题的水平是十分重要和有益的．例3 已知函数)(x f 是函数)(11102R x y x∈-+=的反函数，函数)(x g 的图像与函数134--=x xy 的图像关于直线1-=x y 成轴对称图形．记).()()(x g x f x F += (1) 求函数)(x F 的解析式及定义域;(2) 试问在函数)(x F 的图像上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直．若存在，求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由．分析：本题涉及函数图像、对称变换及直线位置关系等曲线方程与函数图像内容，需要我们把握住相互联系，集中解决．解：(1) 由)(11102R x y x ∈-+=，得yy x +-=1110 ,y yx +-=11lg)11(11log)(<<-+-=∴x xxx f 设点),(y x P 点函数)(x g 图像上任一点，点P 关于直线1-=x y 的对称点是①Q ),(b a ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=--.122.1a x b y ax by ,解得⎩⎨⎧-=+=.11x b y a∴点Q 在函数134--=x xy 的图像上， ,1)1()1(341-++-=-∴y y x解得 .21+=x y 即 ).2(21)(-≠+=x x x g.2111lg)()()(,+++-=+=x x x x g x f x F 综上)(x f 的定义域为(－1，1)．(2)假设函数)(x F 的图像上存在两个不同的点),(),,(2211y x B y x A ，使直线AB 与y 轴垂直，其中)1,1(,21-∈x x ，即当21x x ≠时有21y y =，不妨设21x x <，)()(1212x F x F y y -=-)2111(lg )2111(lg111222+++--+++-=x x x x x x )2)(2()1)(1()1)(1(lg12211212++-+-++-=x x x x x x x x ,1121<<<-x x ,11021x x +<+<∴,01121>->-x x,1110,11101221<-+<<++<∴x x x x,1)1)(1()1)(1(01221<-+-+<∴x x x x,0)1)(1()1)(1(lg1221<-+-+∴x x x x.0)2)(2(,0,02,02,11,1221212121<++-∴<->+>+∴<<<-x x x x x x x x x x 同样 由①、②、③得 012<-y y ，这与21y y =相矛盾．所以，函数)(x F 的图像上不存在两上不同的点A 、B ，使直线AB 与y 轴垂直． 说明：由直线y AB ⊥轴与A 、B 纵坐标相同这一转化，将直线位置关系问题转化为纵坐标数量大小的比较，为解决问题提供了思路．例4 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ．① 解不等式：1)(≤x f ．② 求a 的取值范围，使函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数．分析 这是二○○○年全国高考理科19题，主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算推理能力．解：(1)不等式1)(≤x f ，即ax x +≤+112．由此得ax +≤11即0≥ax ，其中常数0>a ．所以，原不等式等价于 ⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x即 ⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x所以，当10<<a 时，所给不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ; 当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x ． (2)在区间),0[+∞上任取21,x x ，使21x x <，②③.)11)(()(11)(11)()(22212121212221222121222121a x x x x x x x x a x x x x x x a x x x f x f -++++-=--+++-=--+-+=-① 当1≥a 时，011,111222121222121<-++++∴<++++a x x x x x x x x． 又0)()(,02121>-∴<-x f x f x x ． 即 )()(21x f x f >．所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数． ②当10<<a 时，在区间),0[+∞上存在两点22112,0a ax x -==，满足1)(1=x f ，1)(2=x f ，即)()(21x f x f =，所以函数)(x f 在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数． 说明 对于第(1)小题，可以从几何角度审视条件，从而得出相应的解法． 另解： 1)(≤x f 即111122+≤+⇔≤-+ax x ax x ．证1,1221+=+=ax y x y ．在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，y 1图像是实、虚轴长均为2的等轴双曲线的上支，y 2图像为过点(0，1)，斜率为正数a 的直线．如图： 当10<<a 时，由左图知，所给不等式的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ，当1≥a 时，由右图知，所给不等式的解集为{}0|≥x x ，其中212a a-为点c 的横坐标，该坐标可由方程22)1(1+=+ax x 中解出．例5 设动直线l 过定点A (2，0)，且与函数22+=x y 的图像交于两不同点B 和C ．点B 、C 在x 轴上的射影分别是B´，C´，P 点线段BC 上的点，且适合关系式ιιCCBB PC BP=，求POA ∆重心Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形?分析：Q 点的位置取决于P 点，P 是动线段BC 的一个分点，P 点的位置随动线段BC 位置的变化而变化，而BC 的位置取决于动直线 的斜率，因此可选动直线 的斜率为参数．解 设).,(),,(),,(),,(2211y x C y x B y x Q y x P ιι 动直线).2(:-=x k y⎩⎨⎧+=-=2)2(2x y x k y 由 得 0222=++-k kx x ． 由0882>--=∆k k有624-<k 或624+>k ．21122121'21''21211,y y y x y x x x x y y CCBB y y y y ++=++=∴=.)2(41224424)()(22)2()2()2()2('212121211221≠-+=-+=-++-=-+--⋅+-⋅=x k k k x x x x x x x k x k x k x x k x整理得()442''+=-x x k ． 又)2('-'=x k y ，44'+'=∴x y ．这就是P 点的轨迹方程．)441(12412)2(''-+=-=-=k k k x k y 且2≠x ， 又624-<k 或624+>k ．)6412,6412('+-∈∴y 且12'≠y ．∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=332''y y x x ， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴.323''y y x x 代入44''+=x y 中得.4)6344,6344(04312≠+-∈=--y y y x 且 ∴轨迹为直线04312=--y x 介于63446344+<<-y 间的一段，且除(34，4)． 例6 已知x y x 4422=+，求22y x +的最值．分析：本题是条件最值问题，可以从代数条件直接求解，也可分析几何背景从图形角度进行突破．思路一：设22y x u +=，则22x u y -=代入原方程得x x u x 4442=-+，即x x u 4342+=．]4,0[31)32(432∈-+=∴x x u当0=x 时，0=miu u 即0)(min 22=+y x ，当4=x 时，16max =u 即16)(max 22=+y x ．思路二 把x y x 4422=+化为14)2(22=+-y x ．它的图形是椭圆，设⎩⎨⎧=+=θθsin cos 22y x (θ为参数)．则θθ2222sin )cos 2(++=+y x5cos 8cos 32++=θθ)2,0[31)34(cos 32πθθ∈-+= ∴当1cos =θ时，16)(max 22=+y x ，当1cos -=θ时，0)(min 22=+y x ．思路三 如果把22y x +看作点(x ， y )到原点距离的平方，本题则变为求椭圆14)2(22=+-y x 上的点到原点的距离的平方的最值．由图知，椭圆上到原点最近的距离为0，最远的距离为4，则22y x +的最小值为0，最大值为16．例7 已知集合{},,4|2R t it t z z M ∈+-=={}R i z z N ∈++==θλθθλ,,)cos 2(sin 3|，若∅≠⋂N M ，求实数λ的取值范围． 分析： ∅≠⋂N M 的意思是两个集合有公共的元素，从复数角度看，两个集合中至少有一对相等的复数；从几何角度看，这两个集合都是点集，各表示一条曲线，那么∅≠⋂N M 就是两曲线有公共点，下面从方程曲线的角度给出解题思路．解：设149)(cos 2cos 3,2=+-∴⎩⎨⎧=+=∈+=y x y x N yi x z λθθλ则．设2244,,,y x ty t x R y x M yi x z -=⇒⎩⎨⎧=-=∈∈+=则．∴在坐标平面上与z 对应的点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+--=149)(4222y x y x λ 方程①的曲线是以(4，0)为顶点，x 轴为对称轴，开口向左的抛物线．① ②方程②的曲线点以)0,(λ为中心，半长轴为3的动椭圆． 如图，易知．7>λ时， ∅≠⋂N M ;故.7≤λ又由①，②消去2y ，得36)4(9)(42=-+-λλx ． 即04)98(422=++-λλx x 由064)98(22≥-+=∆λλ得169-≥λ． 7169≤≤-∴λ． 例8 已知1,0≠>a a ，试求使方程)(log )(log 222a x ak x a a -=-有解的k 的取值范围．分析 求k 的取值范围，就要构造k 满足的不等式，依据什么去构造k 的不等式? 从方程的角度看，原方程等价于：⎪⎩⎪⎨⎧-=->->-22222)(00a x ak x a x ak x 从中解出x ，代入上述关系式构造k 的不等式; 从函数的角度看，等式22a x ak x -=-告诉我们，k 是x 的函数，本质上是求函数值域;从数形结合的角度看，方程ak x y -= 和 22a x y -=表示的曲线应当有公共点，这样根据图形的性质及特征可以建立k 的不等式．下面从函数图像与方程曲线角度给出两种思路．解法一 设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22ax y ak x y在直角坐标平面y x 0上，方程①的曲线是平行直线系，方程②的曲线是等轴双曲线222a y x =-位于x 轴上方的部分，不含)0,(a ±．由图可知，直线①与②的右支相交的充要条件是①的截距在0和a 之间取值① ②即;10<<∴k ,0a ak <<直线①和②左支相交的主要条件是①的横截距小于－a ，即a ak -<1-<∴k综上，k 在取值为10<<k 或1-<k ．解法二 设⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=22ax b xka b在直角坐标平面上，方程③表示纵截距为x 的直线系(不含纵轴)，方程④表示以原点为圆心，以x 为半径的圆位于第一象限的弧．(1)当0>x 时，由图知，直线③与圆弧④有公共点的充要条件是横截距大于x ，即x kx>10<<∴k ． (2)当0<x 时，由图知，直线③与圆弧④有公共点的充要条件是横截距在O 和－X 之间．即 x kx-<<0 1-<∴k ．综上，1-<k 或10<<k ．说明 变换角度看问题，是我们处理问题的一个方面．③ ④例[] 试画出用2片74LS194组成8位双向移位寄存器的逻辑图。

6.3一次函数图像【推本溯源】用待定系数法代入求21y x =-+2.那么你可以把上面求出的函数关系式用图像的方法在平面直角坐标系表示出来吗？第一步：画出平面直角坐标系；第二步：把上面表格中的数据x 对应横坐标、y 对应纵坐标，把它们在平面直角坐标系表示出来；第三步：顺次把描出的点连接起来。

3.上面的图像形成了一条直线。

4.试着画一下y=x+2的图像。

5.我们发现，由于两点确定一条直线，画一次函数的图像时，只要先确定这个图像上两个点的位置，再过这两个点画直线就可以了。

通常取x 轴与y 轴的两个交点，我们只需要令x=0，y=0即可。

6.结合上面的两个图像，我们有什么发现？在一次函数y=kx+b 中：如果k ＞0，那么函数值y 随自变量x 增大而增大；如果k ＜0，那么函数值y 随自变量x 增大而减小；k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限。

7.画出y=-2x+2和y=x+1的图像，与y=-2x+1、y=x+2有什么位置关系？一般地，正比例函数y=kx 的图像是经过原点的一条直线；当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的。

8.课外补充两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交；（2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行【解惑】．．．．【答案】C【分析】根据一次函数的、b 的符号确定其经过的象限即可确定答案．【详解】解：∵一次函数33x =-+中，0k ，30=>b ，∴一次函数的解析式为32y x =--．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确建立二元一次方程组即可．【摩拳擦掌】1．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知点()2,5-在一次函数y x b =-+的图像上，则b 等于（）．A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】C【分析】运用待定系数法将点()2,5-代入函数解析式求解即可．【详解】解：将点()2,5-代入一次函数y x b =-+得，(2)5b --+=，∴3b =，故选：C ．【点睛】本题主要考查已知点坐标运用待定系数法求解析式的参数，掌握一次函数图像与点坐标的关系是解题的关键．2．（2023春·广东广州·八年级统考期末）直线2y x n =+经过点()1,5，则n =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】将点()1,5代入2y x n =+求解即可．【详解】解：将点()1,5代入2y x n =+可得：52n=+解得3n =故选：C【点睛】此题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．3．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）若正比例函数()12y m x =-的图象中，y 随x 的增大而减小，则m 的值可以为（）A ．1B ．1-C ．2-D ．3-【答案】A【分析】根据题意和一次函数的性质，可以得到120m -<，从而可以求得m 的取值范围．（2）将点()2,4代入函数解析式()2y k x =-中，待定系数法求解析式即可求解．【详解】（1）解：∵函数图象经过第二、四象限∴20k -<，解得：2k <，即k 的取值范围是2k <；（2）将点()2,4代入函数解析式()2y k x =-中，得：()224k -=，解得：4k =，所以正比例函数解析式为2y x =．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．【知不足】1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知一次函数()13y k x =-+，函数值y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（）A ．1k <B ．1k >C ．1k ≠D ．1k ≤【答案】A【分析】根据已知条件：y 随x 的增大而减小推出自变量x 的系数小于0，然后解得即可．【详解】解：∵()13y k x =-+是一次函数且函数值y 随x 的增大而减小，∴10k -<，∴1k <，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系，当0k >时，y 随x 的增大而增大，当0k <时，y 随x 的增大而减小，熟记此关系是解题的关键．2．（2023春·福建福州·八年级校考期末）直线23y x =-可以由2y x =（）单位长度得到的．A ．向右平移3个B ．向左平移3个C ．向下平移3个D ．向上平移3个【答案】C【分析】根据一次函数图象的平移规律进行求解即可．【详解】解：直线2y x =向下平移3个单位长度得到23y x =-，A．112y x=+B．【答案】A【分析】利用待定系数法即可求出函数的解析式．【详解】从图示来看，点A．．．．【答案】Bk>【分析】根据(),k b为第四象限内的点，可得0,=-的图象经过第一、三、四象限，即可求解．kx bA．()3,1-B．(-【答案】C【分析】根据题意P点是线段求得P的坐标．(1)求y与x之间的函数关系式（不必注明自变量(2)该市2023年荔枝种植面积为多少万亩？【答案】(1)y与x之间的关系式为(2)该市2023年荔技种植面积为【分析】（1）用待定系数法，由图形可知函数图象经过点200924（，），24)和201126（，），则200924201126k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：11985k b =⎧⎨=-⎩．∴y 与x 之间的关系式为1985y x =-．（2）解：令2023x =，得2023198527y =-=．∴该市2023年荔技种植面积为27万亩．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，熟练求解一次函数的解析式是解题的关键．11．（2023春·云南昆明·八年级校考阶段练习）一次函数y kx b =+的图象经过点()32-，和点()16-，．(1)画出函数图象并求出该一次函数的解析式；(2)求该图象与x 轴的交点A 的坐标，与y 轴的交点B 的坐标；(3)求一次函数与正比例函数y x =-的交点坐标【答案】(1)图见解析，24y x =-+(2)()()2004A B ，，，；(3)一次函数与正比例函数y x =-的交点坐标是()44-，．【分析】（1）描点，连线即可作出函数图象，利用待定系数法即可求解；（2）令0x =，得到4y =，令0y =得到2x =，即可求解；（3）联立，解方程组即可求解．【详解】（1）解：直线AB 如图：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()32-，和点()16-，，则有326k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为24y x =-+；（2）解：对于直线24y x =-+，令0x =，得到4y =，令0y =得到2x =，∴()()2004A B ，，，；（3）解：由24y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得44x y =⎧⎨=-⎩，∴()44C -，，∴一次函数与正比例函数y x =-的交点坐标是()44-，．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握数形结合思想是解决本题的关键．12．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100C ︒的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s 测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温中学习过的某种函数关系，填空：可能是次”“反比例”）；(2)根据以上判断，求y 关于t 的函数解析式；(3)当加热110s 时，油沸腾了，请推算沸点的温度．【答案】(1)一次(2)210y t =+(3)当加热110s 时，油沸腾了，推算沸点的温度为当0=t 时，10y =；当10t =时，30y =，103010b k b =⎧∴⎨=+⎩，解得210k b =⎧⎨=⎩，∴y 关于t 的函数解析式为210y t =+；（3）当110t =时，211010230y =⨯+=答：当加热110s 时，油沸腾了，推算沸点的温度为230C ︒．【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．【一览众山小】1．（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数y ax b =-和y bx a =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a 、b 的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确.【详解】解：A 、若函数y ax b =-图象经过第一、三、四象限，则0a >，0b >，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、二、三象限；若函数y ax b =-图象经过第一、二、四象限时，则a<0，0b <时，此时函数y bx a =+的图象应经过第二、三、四象限，故选项A 错误，不符合题意；B 、若函数y ax b =-图象经过第一、二、四象限时，则a<0，0b <时，此时函数y bx a =+的图象应经过第二、三、四象限，故选项B 错误，不符合题意；C 、若函数y ax b =-图象经过第一、二、三象限，则0a >，0b <，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、二、四象限；若函数y ax b =-图象经过第二、三、四象限时，则a<0，0b >．．．．请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km 1.2(1)求这个次函数的解析式；(2)在如图所示的同一平面直角坐标系中分别画出一次函数【答案】(1)112y x =+(2)见解析【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式求解即可；【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，数的解析式和一次函数的性质是解题的关键．9．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，比例函数2y x =的图象相交于点B (1)求该一次函数的解析式．(2)该一次函数与x 轴交于点D ，若点的13时，求点P 的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式是(2)P 的坐标为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或12,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求直线BC 的表达式；(2)连接CD ，求BDC ∠的度数．【答案】(1)24y x =-+(2)90︒(1)表中的m n +=___________．(2)根据上表的数据，画出函数图象的另一部分．(3)请你根据函数1y x =-的图象判断以下两种说法（在相应的括号内填①当1x >时，y 随x 的增大而减小（②整个函数图像关于直线1x =对称（（3）解：①观察图象知，当1x >时，图象是上升的，即故答案为：错；x 对称，②由图象知，整个函数图像关于直线1故答案为：对．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象等知识，掌握函数基础知识及一次函数的知识是解题的关键．。

曲线y 3=6x 2+x+20的主要性质及图像示意图主要内容：本文主要介绍曲线方程y 3=6x 2+x+20的定义域、单调性、凸凹性及极限等性质，并通过函数导数知识求函数的单调和凸凹区间，简要画出示意图。

※.曲线的定义域观察曲线的特征，自变量x 可以取全体实数，则曲线方程的定义域为：（-∞，+∞）。

※.曲线的单调性主要思路是求出曲线方程的一阶导数，再判断曲线的单调性。

∵y 3=6x 2+x+20,∴3y 2*y'=12x+1,则：y'=12x+13y 2 ,令y'=0，有: 12x+1=0。

即：x=-112，进一步可知函数单调性及单调区间： (1)当x ∈(-∞，-112]时，y'<0,此时为减曲线。

(2)当x ∈(-112，+∞)时，y'>0,此时为凹曲线。

※.曲线的凸凹性主要思路是求出曲线方程的二阶导数，再判断函数的凸凹性性。

∵y'=13(12x+1)*y -2 ∴y"=13[12*y -2+(12x+1)*(-2)*y -3*y'],即： y"=23[6y -2-(12x+1)y -3*y'] =23[6y -2-(12x+1)y -3*13(12x+1)*y -2] =29[18y -2-(12x+1)2*y -5] =29[18y 3-(12x+1)2]*y -5 将y 3代入上式得到：y"=29[18(6x 2+x+20)-(12x+1)2]*y -5， =29(-36x 2-6x+360-1)*y -5 =-29(36x 2+6x-359)*y -5 对于g(x)=6x 2+1x+20判别式△=1-480=-479<0;则g(x)在定义上为正数，即y -5>0。

令y"=0,则：36x 2+6x-359=0;x 1,2=-1±143712,此时：x 1≈-3.24；x 2≈3.07。