【拔尖特训】2024-2025学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.13二次函数的最值问题拔高专练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•亭湖区期末）函数y ＝（x +1）2﹣3的最小值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣32．（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y ＝﹣x 2﹣4x +c 的最大值为0，则c 的值等于（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣16D ．163．（2022秋•绿园区校级期末）已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．函数有最小值1，有最大值3B ．函数有最小值﹣1，有最大值3C ．函数有最小值﹣1，有最大值0D ．函数有最小值﹣1，无最大值4．（易错题）（2022春•泰山区校级期末）二次函数y ＝mx 2﹣4x +1有最小值﹣3，则m 等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．±12 5．（易错题）（2022•威海模拟）已知二次函数y ＝（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ）A ．3或5B ．﹣1或1C ．﹣1或5D ．3或16．（易错题）（2022春•东莞市校级期中）已知：如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点（点E ，F 不与线段BC ，CD 的端点重合）且BE ＝CF ，连接OE ，OF ，EF ，在点E ，F 运动的过程中，有下列四个说法：①△OEF 是等腰直角三角形；②△OEF 面积的最小值是12； ③△OEF 面积的最大值是1；④四边形OECF 的面积是1．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④7．（培优题）（2023春•北碚区校级期末）当a ﹣1≤x ≤a 时，二次函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为8，则a 的值为（ ）A ．﹣1 或5B ．0或6C ．﹣1或6D ．0或58．（培优题）（2023•宝鸡模拟）乐乐设计了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数a 2+2b ﹣7，例如把（2，﹣3）放入其中，就会得到22+2×（﹣3）﹣7＝﹣9，现将实数对（m ，﹣4m ）放入其中，得到实数﹣23，则二次函数y ＝mx 2﹣8x +7的最小值为（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．3D ．49．（培优题）（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2﹣2mx +2（m ≠0）在﹣2≤x ＜2时有最小值﹣2，则m ＝（ ）A ．﹣4或−12B ．4或−12C ．﹣4或12D ．4或12 10．（压轴题）（2023•杭州）设二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）（a ＞0，m ，k 是实数），则（ ）A ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣aB ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣2aC ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣aD ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣2a二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023•道里区三模）二次函数y ＝﹣x 2+9的最大值是 ．12．（2022秋•池州期末）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝．13．（易错题）（2022•西湖区校级模拟）函数y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值为．14．（压轴题）（2023•白山模拟）若点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，则m﹣n的最大值等于．15．（易错题）（2023春•碑林区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，EG⊥HF．当四边形EFGH面积的最小值为27时，线段EG的长为．16．（压轴题）（2023•宽城区二模）在平面直角坐标系中，点A（m，y1）、B（m+1，y2）在抛物线y＝（x ﹣1）2﹣2上．当y1＜y2时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则m的值为．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020秋•珠海校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），且当x＝﹣1时，y有最小值y＝﹣2．（1）求这个函数的关系式；（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．18．（易错题）（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．（1）求b、c的值；（2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．19．（易错题）（2022秋•洞头区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．20．（培优题）（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y ＝2x 2﹣bx +c 的图象经过A （1，n ），B （3，n ）．（1）用含n 的代数式表示c ．（2）若二次函数y ＝2x 2﹣bx +c 的最小值为c 281，求n 的值．21．（培优题）（2023•深圳模拟）对于“已知x +y ＝1，求xy 的最大值”这个问题，小明是这样求解的： ∵x +y ＝1，∴y ＝1﹣x ，∴xy =x(1−x)=x −x 2=−(x −12)2+14；∴xy ≤14，所以xy 的最大值为14． 请你按照这种方法计算：当2n +m ＝4（m ＞0，n ＞0）时，2m +1n 的最小值． 22．（培优题）（2022秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），如果点Q （x ，y '）的纵坐标满足y '={x −y(当x ≥y 时)y −x(当x ＜y 时)，点Q 为点P 的“关联点”． （1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标；（2）如果点P 在函数y ＝x ﹣2的图象上，其“关联点”Q 与点P 重合，求点P 的坐标；（3）如果点M （m ，n ）的“关联点”N 在函数y ＝2x 2的图象上，当0≤m ≤2时，求线段MN 的最大值．23．（培优题）（2023•贵阳模拟）已知函数y ＝x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．（1）求b ，c 的值；（2）当0≤x ≤4时，求y 的最大值与最小值之差；（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．。
易错专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一没有限定自变量的取值范围求最值【方法8①】1．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是()A．3 B．2 C．1 D．－12．(2017·天门中考)飞机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是s ＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长距离为________米．3．函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二限定自变量的取值范围求最值【方法8②】4．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0和最大值3B．有最小值－1和最大值0C．有最小值－1和最大值3D．有最小值－1，无最大值第4题图第6题图5．已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当－5≤x≤0时，它的最大值与最小值分别是() A．1，－29 B．3，－29 C．3，1 D．1，－36．(2017·宿迁中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上从点A向点C移动，点Q在边CB上从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是()A．20cm B．18cm C．25cm D．32cm7．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2x2＋80x＋750，由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是________元．◆类型三限定自变量的取值范围求函数值的范围8．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是()A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5 C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤19．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是()A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜310．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值11．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3 B．－1 C．4 D．4或－112．如果二次函数y＝x2－6x＋8在x的一定取值范围内有最大值(或最小值)3，则满足条件的x的取值范围可以是()A．－1≤x≤5 B．1≤x≤6C．－2≤x≤4 D．－1≤x≤113．★(2017·乐山中考)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，求m的值．参考答案与解析1．C 2.9003．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝⎛⎭⎫x 2－23x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝⎛⎭⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13.4．C5．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图象的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.6．C 解析：设点P ，Q 的运动时间为t s ，则AP ＝CQ ＝t cm ，CP ＝(6－t )cm ，∴PQ ＝PC 2＋CQ 2＝（6－t ）2＋t 2＝2（t －3）2＋18(cm)，∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小，∴PQ 最小＝2×（2－3）2＋18＝25(cm)．故选C.7．1550 8.C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.10．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图象的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.11．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a＝4a （a －1）－424a＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.12．D13．解：y ＝x 2－2mx ＝(x －m )2－m 2，①若m ＜－1，当x ＝－1时，y ＝1＋2m ＝－2，解得m ＝－32；②若m ＞2，当x ＝2时，y ＝4－4m ＝－2，解得m ＝32＜2(舍去)，③若－1≤m ≤2，当x ＝m 时，y ＝－m 2＝－2，解得m ＝2或m ＝－2(舍去)，∴m 的值为－32或 2.。
