2004年高考试题——数学文(全国卷I)
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2004年高考试题全国卷1 文科数学（必修+选修I ）(河南、河北、山东、山西等地区)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=C k n P k (1－P )n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 .1．设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,5}B =，则()U A B = ð （ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ． {1，3} 2．已知函数11()lg ,(),()12x f x f a f a x -==-=+若则 （ ）A ．12B ．－12C ．2D ．－2 3．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3a b +|=（ ）ABCD ．4 4．函数1(1)y x =≥的反函数是（ ）A ．222(1)y x x x =-+< B ．222(1)y x x x =-+≥C ．22(1)y x x x =-<D ．22(1)y x x x =-≥球的表面积公式S =42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式 V =334R π， 其中R 表示球的半径5．37(2x的展开式中常数项是 （ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设(0,)2πα∈若3sin ,5α=)4πα+= （ ）A ．75B ．15C ．72D ．47．椭圆2214x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF=（ ）A ．2B C ．72D ．48．设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是（ ）A ．11[,]22- B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则TS等于（ ）A ．19B ．49C ．14D ．1311．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 （ ）A ．59B ．49C ．1121D ．102112．已知2222221,2,2,a b b c c a ab bc ca +=+=+=++则的最小值为 （ ）A 12B ．12C ．－12D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x +x 3≥0的解集是 .14．已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = . 15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB =60°，则动点P的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 . ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{n a }的前n 项和记为n S .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若242n S =，求n .18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面P AD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.22．（本小题满分14分）设双曲线C ：2221(0):1x y a l x y a-=>+=与直线相交于两个不同的点A 、B .（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且5.12PA PB =求a 的值.2004年高考试题全国卷1 文科数学（必修+选修I ）(河南、河北、山东、山西)参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥0} 14．3·2n －3 15．422=+y x 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组 ⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得11n =或22n =-（舍去）……12分 18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分（Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且………………6分所以，当3a <-时，由()0f x '<知()()f x x R ∈是减函数；………………9分（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x 由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分. 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE .∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵P A =PD ，∴OA =OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD . 由此知∠PEB 为面P AD 与面ABCD所成二面角的平面角，………………4分 ∴∠PEB =120°，∠PEO =60°由已知可求得PE =3∴PO =PE ·sin 60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分（II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.3(0,0,),2P B ，PB 中点G的坐标为3)4.连结AG .又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：3(1,),443),(2,0,0).2GA PB BC =--=-=-于是有0,0GA PB BC PB ⋅=⋅=所以GA PB BC PB ⊥⋅⊥ .,GA BC的夹角为θ，等于所求二面角的平面角，…………10分于是cos ||||GA BC GA BC θ⋅==⋅所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG //BC ，FG =21BC . ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .又∵PE =BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG =60°. 在Rt △PEG 中，EG =PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG =21AD =1. 于是tan ∠GAE =AE EG =23， 又∠AGF =π－∠GAE . 所以所求二面角的大小为π－arctan23.…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分.解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分所以242210.48(1)0.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得0a <<且 1.a ≠ 双曲线的离心率e a ==0a < 1,a ≠2e e ∴>≠ 即离心率e的取值范围为).+∞ ……6分 （II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A112255,(,1)(,1).1212PA PB x y x y =∴-=- 由此得125.12x x =……8分 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以222172,121a x a =--222252.121a x a =--消去2x ，得222289160a a -=- 由0a >，所以17.13a =……14分。
