二次函数的图像与性质

一．y=ax2思考：开口大小与有关，越大，开口越；______越小，开口越。

探究：已知一抛物线顶点是原点且过点（-1，-3），求其解析式并指出开口方向和对称轴及增减性。

二、过关检测：1、函数y=(-2x)2的图象是一条，顶点坐标为对称轴为。

2、抛物线y=-3x2的图象上有点A（m,-27）,B(2,n), 则m+n=。

3、函数y=mx mm -2的图象是开口向下的抛物线，则m=。

4、抛物线y=(2-m)x 32-m 在其对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，则m=。

5、抛物线y=-πx 2过点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2);且x 1＞x 2＞0,则y1y 2。

6、四个函数①y=ax 2;②y=bx 2;③y=cx 2;④y=dx2的图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系为。

7、对于任意实数x ，二次函数y=(m-1)x 2的图象都不在x 轴上方， 则m 。

8、已知二次函数y=ax 2,当x=1时y=-2;当x=-5时求y 的值。

9、抛物线y=ax 2与直线y=x+m 交于A （-1，1）、B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 的面积。

10、已知抛物线y=ax 2(a ≠0)与直线y=2x-3交于（1，b ）;（1）求a, b 的值；（2）求抛物线解析式及开口方向。

二、抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的性质：二、过关检测：1、 抛物线y=－12x 2+7是由抛物线y=-12x 2向 平移 个单位得到的。

2、 抛物线y=－8x 2－9的开口，对称轴是，顶点坐标是 ，当x=，y 有最值是，当x ＞0时y 随x 的增大而。

3、 正比例函数y=kx(k ≠0)且y 随x 的增大而减小，则函数 y=－kx 2－k 的图象经过的象限是4、抛物线y=x 2-4与x 轴交于B 、C 两点，顶点为A ，求△ABC 的面积。

5 抛物线y=-3x 2－1的顶点坐标是6 将抛物线y=2x 2向下平移1个单位得到的抛物线是 7. 抛物线y=2x 243m m --+(m －2)的顶点在x 轴的上方，则m 的值为若抛物线的顶点在x轴的下方，则m的值为8、抛物线y=－12x2-6是由抛物线=-12x2向平移个单位得到的。

9、抛物线y=4x2-9的开口，对称轴是，顶点坐标是，当x=，y有最值是，当x＞0时y随x的增大而。

10、将抛物线y=ax2+c向下平移3个单位得到抛物线y=－2x2那么a=c=11、一条抛物线的顶点（0，3）在y轴上，它还经过A（1，0），则此抛物线的解析式是12、抛物线y=4x2－1的顶点坐标是13、将抛物线y=2x2向上平移5个单位得到的抛物线是14、已知函数y=ax2+k过点（-2，-3）和（1，6），1）、求这个函数的关系式。

2）、当x为何值时，函数y随x的增大而增大？3)、求这个函数的图象与x轴的交点坐标。

三、函数y=ax2图象与y=a(x-h)2图象的性质：▲归纳：二次函数y=a(x-h)2的图象如何由函数y=ax2的图象平移得到？。

平移规律：左右。

二、过关检测1、抛物线y=ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为－２，且新抛物线经过（１，３），求a的值。

2、抛物线y=-3（x+2）2的顶点坐标，当x时，y随x的增大而减小，当x时，y有最值是。

3、将抛物线y=-5x2向左平移2个单位，得到抛物线。

4、将抛物线y=-（x-6）2向右平移6个单位，得到抛物线。

5、抛物线y=-（x-1）2的开口，对称轴是，顶点坐标，它可以看做是抛物线y=-x2向平移个单位得到的。

6、将抛物线y=3（x-4）2绕顶点旋转180°所得抛物线的解析式为。

两抛物线的关系。

7、函数y=-3（x-3）2的图象关于x轴对称的函数图象的关系式是。

8、抛物线和函数y=2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标是（-1，0），此抛物线解析式是。

四、抛物线y=a（x-h）2+k的性质：二.过关检测：探究:已知二次函数图象的顶点是（–1,2）,且过点（0，23）.（1）求这个二次函数的解析式。

（2）说出它的开口方向、增减性和最值。

1、抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标为 。

2、抛物线y=-(x-7)2-3的开口方向、顶点坐标、对称轴。

3、抛物线y=(x-1)2+2的最值，为。

4、将抛物线y=2x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为。

5、抛物线y=2(x-4)2-1是由y=2x 2先向平移个单位，再向平移个单位所得到的。

6、抛物线y=-5(x+3)2-2中，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小 。

7、二次函数的图象如图所示，则它的 解析式为（ ）A y=(x+1)2- 4 B y=(x-1)2- 4 C y=2(x+1)2-4 D y=2(x-1)2- 48、襄城县市政广场中心处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图1所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（）A.、y=-(x-12)2+3 B、y=3(x-12)2+1C、y=-8(x-12)2+3 D、y= -8 (x+12)2+39、抛物线y=a(x-h)2+2的一部分如图2所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是（）A 、（12，0） B 、（1，0）C、（2，0）D、 (3,0 )10、抛物线y=(x-1)2+5是由一条抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到的，则原抛物线为。

11、已知一个抛物线，当x=-1时y的最小值为-6，且图象过点（0，-5），求函数解析式12、抛物线和y=2x2的形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标是（-1，2），求此抛物线的解析式.●归纳：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：二、活动与探究探究1. 求抛物线y=-2x2+4x+1的顶点坐标，并写出其对称轴和增减性。

探究2. 已知抛物线y=2x2+bx+c，当x=1时，y的最小值为2，求b和c的值。

三、过关检测1.将二次函数y=x2-2x+4化成顶点式为，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。

2.抛物线y=-x2-2x+1的开口，顶点坐标是，对称轴是，当x=时，y 有最值，其值为。

3.已知抛物线y=-x2+2x+c2的对称轴与x轴交于点（m,n），则m=. .4.当a<0时，判断抛物线y=x2+2ax+1+2a2 的顶点在第几象限。

5.已知点（2，5）、(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上的两点，则这条抛物线的对称轴为。

6.已知：抛物线y=-x2+（3-k）x+2k-1与y轴的交点位于点（0，5）的上方，则k的取值范围是。

7.已知二次函数y=x2-x+m.①写出图象的开口方向，对称轴及顶点坐标。

②当m为何值时，顶点在x轴上方。

③若抛物线与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B。

当三角形ABO面积为4时，求该二次函数解析式。

二次函数图象及其性质(复习课)一、知识梳理1、二次函数解析式的表示方法：（1）顶点式：（2）一般式：（3）交点式2、填表：3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的系数a 、b 、c 、ac b 42-的符号确定：（1）a 的符号决定抛物线的；a 决定抛物线的。

（2）b 的符号是由和共同决定的，当抛物线的对称轴在y 轴的左侧a 、b ；当抛物线的对称轴在y 轴的右侧a 、b 。

4、c 的符号是由抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与y 轴的交点（）的位置决定的，当交点在x 轴上方时，c0；交点在x 轴下方时，c0。

5、ac b 42-的符号是由抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与轴的交点个数决定；当抛物线与x 轴有一个交点时，ac b 42-0，当抛物线与x 轴有交点时，ac b 42-0，当抛物线与x 轴交点时，ac b 42-0， 6、抛物线的平移规律：1）：抛物线2ax y =到k h x a y +-=2)(，抓住顶点从平移到。

2）：简而言之：左右，上下。

7、用化归思想，解决实际问题 解题程序:问题 建立二次函数答案 运用二次函数及其性质注意事项：①要注意实际问题中自变量x 的取值范围②要注意用数形结合思想和方程思想解决二次函数问题.二、自我检测1．下列函数中，二次函数的是（ ）A.y=8x 2+1 B.y=8x+1 C.y=8x D.y=8x2．已知函数y=mx 2-m ，当m= 时，它是二次函数。

3．抛物线42--=x y 的顶点坐标是，对称轴是_____ ，开口向_____。

4．将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式为y =________________，它的顶点坐标是______，当x=时，它有最值是。

5．抛物线y =(x -1)2-2是由y=x 2向平移个单位，再向平移个单位得到的.6、请你写出函数① ② ③ ④ 的图象具有的一个共同性质：_______________。

7.抛物线432-+=x x y 与y 轴的交点坐标是，与x 轴的交点坐标是。

8．抛物线y=x 2-mx+9的顶点在x 轴的负半轴上，则m=。

10.已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：________________。

11. 过点(1,2)的 抛物线y=ax 2向左平移一个单位,再向下平移8个单位，.则平移后的解析式为____________。

12．二次函数图象过A 、C 、B 三点，点A 的坐标为（－1，0）， 点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB=OC. （1）求C 的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值三、作业布置1．抛物线2ax y =经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为． 2. 将二次函数y =(x +1)2的图象向平移单位得到y =x 2的图象。

3．已知抛物线y =－2(x -1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_____。

4.、抛物线 y=x 2+2x+1 与x 轴交点的个数为（ ）221x y =()42212++=x y 4212+=x y 2)2(21+=x yA ．0 B.1 C.2 D.35.二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为（）A.1B.3C.4D.26.已知二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，是常数），x 与y 的部分对应值如下表，则当x 满足的条件是时，0y =；当x 满足的条件是 时，0y >．x2- 1- 01 2 3y 16-6- 026-7. 抛物线如图所示：当x =_______时，y =0，当x _____时，y >0； 当x_____时，y <0；对称轴是直线x =。