中考数学培优易错试卷(含解析)之相似及答案
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（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）当△ CMN 是直角三角形时，求点 M 的坐标； （3）试求出 AM+AN 的最小值． 【 答 案 】 （ 1 ） 解 ： 把 A （ ﹣ 3 ， 0 ） ， C （ 0 ， 4 ） 代 入 y=ax2 ﹣ 5ax+c 得
，解得
，
∴ 抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+4； ∵ AC=BC，CO⊥AB， ∴ OB=OA=3， ∴ B（3，0）， ∵ BD⊥x 轴交抛物线于点 D， ∴ D 点的横坐标为 3，
于是易得 OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形 DAOP 为菱形，则可得 DQ∥ AB，易 得四边形 DABQ 为平行四边形 ，根据平行四边形的性质可求解；
（2）过 Q 点作 QK⊥AM 于点 K，由已知易证得 ΔABD∽ ΔBFO，可得比例式
，可得
BF 与 AD 的关系，由切线长定理可得 AD=DP,QB=QP ，解直角三角形 DQK 可求得 BQ 与 AD
∴
，
∴ DP＝EP．
∴ 四边形 BDCE 是平行四边形，∴ CE∥ BD．
∵ AP⊥CE，∴ AP⊥BD．
②解：∵
，∴ BC＝nBP，
∴ CP＝(n－1)BP．
∵ CD∥ BE，
∴ △ CPD∽ △ BPE，
∴
．
令 S△ BPE＝S，则 S2＝(n－1)S，
S△ PAB＝S△ BCE＝nS，S△ PAE＝(n＋1)S．
OC∥ AD，根据平行线所截线段成比例可得
=2，从而求得 PC、PD 长，再根据相似
三角形的判定可得△ PCB~△ PAD，由相似三角形的性质可得
，从而求得半径.
6．如图，抛物线 y=ax2﹣5ax+c 与坐标轴分别交于点 A，C，E 三点，其中 A（﹣3，0），C （0，4），点 B 在 x 轴上，AC=BC，过点 B 作 BD⊥x 轴交抛物线于点 D，点 M，N 分别是 线段 CO，BC 上的动点，且 CM=BN，连接 MN，AM，AN．
（2）解：连结 OC（如图），设⊙O 的半径为 r，
由（1）知 CD=CB， ∴ 弧 CD=弧 CB，
∴ ∠ CDB=∠ CBD=∠ CAB=∠ CAD= ∠ BAD，∠ BOC=2∠ CAB， ∴ ∠ BOC=∠ BAD， ∴ OC∥ AD，
∴
，
∵ PB＝OB，
∴ PB=OB=OA=r，PO=2r，
∴
=2，
∵ CD=2 ，
∴ PC=4 ，PD=PC+CD=6 ， 又∵ ∠ PCB=∠ CDB+∠ CBD，∠ PAD=∠ PACB+∠ CAD， ∴ ∠ PCB=∠ PAD， ∵ ∠ CPB=∠ APD， ∴ △ PCB~△ PAD，
∴
，
即
，
解得：r=4.
即⊙O 的半径为 4.
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得 △ CDE~△ CAD，再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得 ∠ CDE=∠ CBD，根据等腰三角形的性质即可得证. （2）连结 OC，设⊙O 的半径为 r，根据圆周角定理可得∠ BOC=∠ BAD，由平行线的判定得
△ CAF∽ DAG，
=,
CF= DG，在△ CHD 中，∠ CHD=180 -135 =45 ，
（1）中的结论是否仍然成立；（3）OE⊥CE 时，OE 最短，此时 OE=CE,△ OEC 为等腰直角
三角形，OC= AC=2,可得 OE 的值.
5．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，AC 和 BD 相交于点 E，且 DC2＝ CE·CA．
△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，∠ BAC=∠ DAE=90°，AB=AC=4，O 为 AC 的中点.若点 D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 的运动过程中，线段 OE 的长的最小值.（直接写 出结果）
【答案】 （1）①CF= （2）解：如图：
DG，②45
①连接 AC、AF,在正方形 ABCD 中，延长 CF 交 DG 与 H 点，
（2）作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，此时△ PDC 的周长最
短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，由题意得 CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，
EG= ，根据面积法求出 DH 的长，然后可以判断出△ DEH 相似于△ GDH，根据相似三角 形对应边的比等于相似比得出 EH=2DH= ，再根据面积法求出 HM 的长，根据勾股定理 及矩形的性质及对称的性质得出 DM=CN=NK= 1，在 Rt△ DCK 中，利用勾股定理算出 DK 的 长，从而得出答案。
=2,则点 P 为 BC 的中点，所以易证得 BE=CD，由有一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形可得四边形 BDCE 是平行四边形，由平行四边形的性质可得 CE∥ BD，再根据平行线 的性质即可求得 AP⊥BD； ②方法与①类似，由已知条件易证得△ CPD∽ △ BPE，则可得对应线段的比相等，然后可 将△ PAD 的面积和△ PCE 的面积用三角形 BPE 的面积表示出来，则这两个三角形的比值即 可求解。
∠ ACE=∠ ABC=45 , 又 ∠ ACB=45 , ∠ BCE=90 ,即 CE⊥BC, 根据点到直线的距离垂线段最短，
OE⊥CE 时，OE 最短，此时 OE=CE,△ OEC 为等腰直角三角形，
OC= AC=2, 由等腰直角三角形性质易得，OE= ，
OE 的最小值为 . 【分析】（1）①易得 CF= DG;②45 ；(2)连接 AC、AF,在正方形 ABCD 中，可得
2．如图，AB 是半圆 O 的直径，AB＝2，射线 AM、BN 为半圆 O 的切线.在 AM 上取一点 D，连接 BD 交半圆于点 C，连接 AC.过 O 点作 BC 的垂线 OE，垂足为点 E，与 BN 相交于点 F.过 D 点作半圆 O 的切线 DP，切点为 P，与 BN 相交于点 Q.
（1）若△ ABD≌ △ BFO，求 BQ 的长；
的关系，则根据 FQ=BF−BQ 可得 FQ 与 AD 的关系，从而结论得证。
3．如图①，已知直线 l1∥ l2 ， 线段 AB 在直线 l1 上，BC 垂直于 l1 交 l2 于点 C，且 AB＝ BC，P 是线段 BC 上异于两端点的一点，过点 P 的直线分别交 l2 ， l1 于点 D，E(点 A，E 位 于点 B 的两侧，满足 BP＝BE，连接 AP，CE．
=，
∴ HM=
=2，
∴ DM=CN=NK=
=1，
在 Rt△ DCK 中，DK=
=
=2 ，
∴ △ PCD 的周长的最小值为 10+2 ．
【 解 析 】 【 分 析 】 （ 1 ） 结 论 ： CF=2DG ． 理 由 如 下 ： 根 据 正 方 形 的 性 质 得 出 AD=BC=CD=AB，∠ ADC=∠ C=90°，根据中点的定义得出 AD=CD=2DE，根据同角的余角相等 得出∠ CDF=∠ DEG，从而判断出△ DEG∽ △ CDF，根据相似三角形对应边的比等于相似比即 可得出结论；
∠ ACD=∠ 4+∠ 6=45 ,
∠ 5+∠ 6=45 ，
∠ 5+∠ 6+∠ 7=135 ，
在△ CHD 中，∠ CHD=180 -135 =45 ， （1）中的结论仍然成立
（3）OE 的最小值为 .源自【解析】【解答】（3）如图： 由∠ BAC=∠ DAE=90 ,可得∠ BAD=∠ CAE,又 AB=AC,AD=AE, 可得△ BAD≌ △ CAE,
（2）求证：FQ=BQ
【答案】（1）解：∵
≌
，
∴ ∵ ∴ 连接
， 均为半圆切线，
. ,
则
，
∴ 四边形 为菱形，
∴ DQ∥ ，
∵
均为半圆切线，
∴∥，
∴ 四边形 为平行四边形 ∴
，
（2）证明：易得
∽
，
∴ =，
∴
.
∵ 是半圆的切线，
∴
.
过 点作
于点 ，
则
.
在
中，
，
∴
，
解得：
，
∴ ∴ 【解析】【分析】（1）连接 OP,由 ΔABD≌ ΔBFO 可得 AD=OB，由切线长定理可得 AD=DP，
∴ = =， ∴ CF=2DG （2）解：作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，
此时△ PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ∴ EH=2DH=2 ，
，DH=
的值．
（2）①证明：如图，延长 AP 交 CE 于点 H．
∵ △ ABP≌ △ CBE， ∴ ∠ PAB＝∠ ECB， ∴ ∠ PAB＋∠ AEH＝∠ ECB＋∠ AEH＝90°， ∴ ∠ AHE＝90°，
∴ AP⊥CE．
∵
，即 P 为 BC 的中点，直线 l1∥ 直线 l2 ，
∴ △ CPD∽ △ BPE，
4． （1）问题发现：如图①，
正方形 AEFG 的两边分别在正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上，连接 CF. ①写出线段 CF 与 DG 的数量关系； ②写出直线 CF 与 DG 所夹锐角的度数. （2）拓展探究： 如图②，
将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利 用图②进行说明. （3）问题解决 如图③，
∵
，
∴ S1＝(n＋1)(n－1)S，
