第五章 质点和刚体的运动学基础
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理论力学-5-运动学基础
ds ＝v ＝s dt
dv at s dt
an
v
2
a a a
2 τ
2 n
5.1 点的运动学
自然轴系
自然轴系
当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得 到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然 轴系。
5.1 点的运动学
自然轴系P－TNB
B(副法线) N(主法线)
0
dτ n d
5.1 点的运动学
τ vτ av
τ
弧坐标法
τ ?
ds ＝v ＝s dt
dτ dτ d ds dt d ds dt
dτ n d
d 1 曲率 ds
a at an at τ an n
速度方向的变化率 法向加速度
xA OC CM R
M
即
CM v0t R R
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R 于是M点的运动方程为： vt y AC AM cos R R cos 0 R
5.1 点的运动学
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R vt y AC AM cos R R cos 0 R
切线方向的单位矢量为t ，则有 r ds lim τ ＝v ＝ s t 0 s dt t指向弧坐标s增加的方向。 动点的速度为
τ v vτ s
速度方向
速度大小
5.1 点的运动学
弧坐标法
加速度
dτ dτ d ds dt d ds dt dτ d 1 ds 曲率 ? ＝v ＝s ds d dt τ
大学物理第五章 刚体力学1
特点： 1. 转动惯量具有叠加性
2. 与刚体质量分布有关 （总质量相同的刚体，质 量分布离轴越远，转动惯 量越大）
3. 转轴不同，J 不同
J miri2
i
例：如图质点系
i3
J miri2 i 1 m1r12 m2r22 m3r32
m3
r1 m1
r3 m2 r2
例：课本P182习题5.5
定轴转动定律在转动问题中的地位 律时完全 相同。
相当于平动时的牛顿第二定律
§5.3 转动惯量的计算 反映刚体转动惯性的大小
分立质点 J miri2
i
若质量连 J r 2dm
续分布:
m
由刚体内各质 元相对固定轴 的分布所决定， 与刚体的运动 及所受外力无 关。
在（SI）中，J 的单位：kgm2
L
B X
JC
L
2 L
x 2dx
2
mL2 12
A
C
-L/2
B L/2 X
J 和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的
2、平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量
两轴平行，相距L/2。可见：
J
A＝J C＋m
L 2
2
4.一般运动——既平动又转动
o
Δ
质心的平动和绕定轴的转动结合
o
Δ
平动和转动——可以描
述所有质元（质点）的
运动。
二、刚体定轴转动的描述(运动学问题)
z 转动平面
v
P θr O
刚体
定轴
定轴转动：各质
元在自己的转动平 面内作圆周运动， 其圆心都在一条固 定不动的直线（转 轴）上。各质元的 线量一般不同（因 为半径不同）,但角 量（角位移、角速 度、角加速度）都 相同。
刚体
3
③
取得线元dx；λdx=dm，质元离转轴距离为x
dJ dm x dx
2 2
J 3 dJ
L d 2 L d 2
1 2 2 x dx mL md 12
2
平 行 轴 定 理
例2. 求质量为m，半径为R的细圆环、薄圆盘绕通 过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量。
垂直轴定理(perpendicular axis theorem)
无限小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于 薄板面内另二直角坐标轴的转动惯量之和。
J z mi ri
2
z
2 i 2 i
mi x y
2 i
2 i
mi x mi y
xi
x
ri
yi
y
Jz Jx Jy
注意本定理，对有限厚度板不能成立！
3、转动惯量的计算 [ 例1 ] 质量为m,长度为 L 的均质细杆的转动惯量。 求它对如下轴的转动惯量。 ①通过杆的一端并与杆垂直的轴； ②通过中心并与杆垂直的轴；
③通过与杆垂直且距中心为d的轴.
m 解：① dm = d x L 2 2 m dJ = x dm= x dx L
例 1 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分 别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所示。设 滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mτ。绳 与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 解 : 滑轮具有一定的转 动惯量。在转动中受到 阻力矩的作用，两边的 张力不再相等，设物体 1 边 绳 的 张 力 为 T1 、
矩为零，故 F 对转轴的 力矩
讨论
M z k r F M z rF sin
刚体力学基础详解
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计 算飞轮的角加速。
rO T
解 (1) FrJ F r9 80.23.2 9rad 2 /s
J 0.5 (2) m gTma
F mg
TrJ ar
J
mgr mr2
两者区别
0.59 1 80 0.2 0.222.1 8rad 2 /s
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
3. 一般运动
刚体不受任何限制的的任意运动称为刚体
的一般运动。它可视为以下两种刚体的基
本运动的叠加：
随基点O（可任 选）的平动
FMac
绕通过基点O的瞬时 轴的定轴转动
质点运动
本章主要讨论
§5.2 刚体绕定轴转动运动学
z 组成刚体的各质点都绕同一直线 做圆周运动 _____ 刚体转动。
转轴固定不动 — 定轴转动
当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动
实验证明 当存在 M 时， 与 M 成正比
M
在国际单位中 M J
刚体的转动定律 Mz J
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
推论
刚体对 z 轴 的转动惯量
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
dr
J0 m r2 d m 0 R2 R m 2r3 d rm 2R 2
O
Rm dr
r O
(3) J 与转轴的位置有关
z
z
M
L
M
L
O
dx
x
O dx
x
J Lx2dx1M2L
0
3
J L/2x2dx1M2L
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
质点与刚体的运动规律
质点与刚体的运动规律运动是物质存在的基本属性之一，是所有物质都具有的普遍特征。
在物理学中，质点和刚体是两种常见的研究对象，它们分别具有不同的运动规律。
我们将分别探讨质点和刚体的运动规律，并比较它们之间的区别和联系。
一、质点的运动规律质点是指没有大小和形状的物体，质点的运动通常是指质点在空间中的位置随时间的变化过程。
在研究质点的运动规律时，我们通常关注质点的位移、速度和加速度等物理量。
1. 位移：质点的位移是指质点从出发点到达终点所经过的路径长度。
通常用矢量表示，可分为直线位移和曲线位移。
2. 速度：质点的速度是指质点在单位时间内所经过的位移。
速度的大小为每单位时间内的位移的大小，方向与位移方向相同。
速度的矢量表示为速度矢量，即速度大小和速度方向。
3. 加速度：质点的加速度是指质点的速度在单位时间内的变化率。
加速度的大小为每单位时间内的速度的变化量的大小，方向与速度变化的方向相同。
加速度的矢量表示为加速度矢量。
根据牛顿第二定律F=ma，质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比。
即a=F/m，其中a为加速度，F为合外力，m为质点的质量。
二、刚体的运动规律刚体是指形状不变的物体，刚体的运动通常是指刚体在空间中的位置和形态随时间的变化过程。
在研究刚体的运动规律时，我们通常关注刚体的位移、角位移、线速度、角速度和角加速度等物理量。
1. 位移：刚体的位移是指整个刚体在空间中的位置的变化。
通常用矢量表示，可分为直线位移和曲线位移。
2. 角位移：刚体的角位移是指刚体绕某个轴心转动的角度的变化。
通常用标量表示，常用弧度作为单位。
3. 线速度：刚体的线速度是指刚体上任意一点的速度大小。
线速度的大小为该点所在的切线上单位时间内的位移的大小，方向与该切线方向相同。
4. 角速度：刚体的角速度是指刚体绕某个轴心转动的角度在单位时间内的变化率。
角速度的大小为单位时间内角位移的大小，方向与转动方向相同。
根据刚体运动的特点，刚体上各点的线速度和角速度大小相等，方向相同。
刚体的运动及描述
v r
P点线加速度 an r
2
dv at r dt
z
ω ,α v r θ
匀角加速转动的运动学关系：
P
参 考 方 向
0 t ( 0 ) 0 t 1 t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
刚体
r O ×
定轴
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
矢量形式
v r 2 an r at r
或： a t r e
刚体定轴转动(一维转动) 的转动方向可以用角速 度的正、负来表示。 角加速度
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
定点转动：
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固
定点的某一瞬时轴线转动.
如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
3 平面平行运动 刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的 平面运动，又称为刚体的平面平行运动。 如：车轮直线滚动 可以分解为： 刚体随质心的平动（i=2） 和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动（i=1）
·
Δ
· o
o
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述
定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动。
O
z
ω
r P’(t+dt) d P(t)
动力学中的质点和刚体质点和刚体的运动规律与特性是什么
动力学中的质点和刚体质点和刚体的运动规律与特性是什么动力学中的质点和刚体运动规律与特性动力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动原因、规律以及运动过程中的相互作用。
在动力学中，质点和刚体是常见的研究对象，它们具有不同的特性和运动规律。
本文将就质点和刚体的运动特性和规律进行探讨。
一、质点的运动规律与特性在动力学中，质点是一个理想化的物体，假设它的质量集中于一个点，不考虑其大小和形状。
质点的运动规律可以通过牛顿力学中的运动定律来描述。
1. 质点的第一定律：质点将保持静止或以匀速直线运动，除非受到外力的作用。
这一定律也被称为惯性定律，它说明了质点的惯性属性。
2. 质点的第二定律：当质点受到合外力作用时，它的加速度与所受力成正比，与质点的质量成反比。
具体而言，质点的加速度等于作用在质点上的合外力与质点的质量的比值。
3. 质点的第三定律：对于任意两个相互作用的物体，彼此之间的作用力大小相等、方向相反。
这一定律也被称为作用反作用定律，它将物体的运动视作相互作用的结果。
质点的运动特性包括速度、加速度和位移等。
速度是质点在单位时间内所改变的位置，加速度是质点在单位时间内所改变的速度。
通过运动学方程可以计算质点在运动过程中的速度和加速度，进而得到位移的大小和方向。
二、刚体的运动规律与特性刚体是指在运动过程中，各个质点间的相对位置保持不变的物体。
刚体运动的研究同样遵循牛顿力学中的定律，但相对于质点，刚体又具有一些特殊的运动规律和性质。
1. 刚体的运动学性质：刚体的运动可以通过绕固定轴旋转和平动两种方式进行。
绕固定轴旋转时，刚体上的各个质点围绕轴线进行圆周运动；平动则是刚体的质心沿着直线运动。
2. 刚体的运动动力学性质：刚体的运动规律与质点不同，因为刚体上的各个质点之间存在相互作用力。
在描述刚体运动时，除了质点的运动定律，还需要考虑刚体的转动惯量、角速度和角加速度等概念。
3. 刚体的转动定律：刚体绕固定轴的转动可以通过转动惯量和角动量来描述。
物理竞赛-力学_舒幼生_第五章质心刚体
40
茹可夫斯基凳
41
例 质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。
将杆水平静止释放后，当摆角为θ时，求
15
质心系中质点系角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外
M惯
dL dt
M惯 ri (miac ) miri (ac ) rc (mac )
i
i
选质心为参考点 rc 0 M惯 0
质心系中质点系角动量定理
M外
dL dt
与惯性系完全相同
16
小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和
m 2
a
2
b2 4
2
mab 22
应用平行轴定理
a
O1 O O2
IO
2 IO1
m 2
b 4
2
1ma 2
1
4
1 16
mb 2
1 2
2
mab
比较系数
1
4
1 16
1
1 2
2
2
1
1 12
2 0
37
例 质量 m、半径为 R的匀质薄球壳，
求其以直径为转轴的转动惯量。
I x mi ( yi2 zi2 )
其中一个转轴通过刚体质心C
Ri Ri (C) d
M
Ri
d
P mi
Ri (C) C
N Q
IMN mi Ri Ri mi Ri (C) Ri (C) 2 mi Ri (C) d mid d
i
i
i
i
i
mi Ri2 (C) 2 i
茹可夫斯基凳
41
例 质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。
将杆水平静止释放后，当摆角为θ时，求
15
质心系中质点系角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外
M惯
dL dt
M惯 ri (miac ) miri (ac ) rc (mac )
i
i
选质心为参考点 rc 0 M惯 0
质心系中质点系角动量定理
M外
dL dt
与惯性系完全相同
16
小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和
m 2
a
2
b2 4
2
mab 22
应用平行轴定理
a
O1 O O2
IO
2 IO1
m 2
b 4
2
1ma 2
1
4
1 16
mb 2
1 2
2
mab
比较系数
1
4
1 16
1
1 2
2
2
1
1 12
2 0
37
例 质量 m、半径为 R的匀质薄球壳，
求其以直径为转轴的转动惯量。
I x mi ( yi2 zi2 )
其中一个转轴通过刚体质心C
Ri Ri (C) d
M
Ri
d
P mi
Ri (C) C
N Q
IMN mi Ri Ri mi Ri (C) Ri (C) 2 mi Ri (C) d mid d
i
i
i
i
i
mi Ri2 (C) 2 i
理论力学第5章(点的运动)
包括几何静力学、分析静力学
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
刚体力学基础
v p 0
1。微分形式
M dt d L
dL M r F dt
L2 L1
2。积分关系
dL
t2
t1
M dt
刚体→质点系(连续体)
L
t2
M外 d t d L
dL M外 dt
t1
M dt
t2 L M 外 d t
3.刚体的转动（rotation): 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。这条直线称作转轴。
定轴转动──转轴相对参考系固定不动的转动。 特征：各点的角位移、角速度、角加速度相同。但线 位移、线速度、线加速度不同。
4.复杂运动可视为平动和转动的叠加。 二、刚体定轴转动的角量描述 1。转动平面：刚体定轴转动时，任一 质点作圆周运动的垂直于转轴的平面 某一时刻， 不同点的：
二、转动惯量J 1.定义：
Moment of inertia
J mi ri2
第i质元到转轴的垂直距离
J 的单位：kg· m2
m
第i质元的质量
如质量连续分布，则有：
2 r dm J lim mi ri 0
2 m i 0
质量分布
2。物理意义：物体转动惯性大小的量度
t1
[例题6]一棒长l,质量m,其质量分布与到 O点的距离成正比，将细 棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始角速 度为ω0 棒与桌面的摩擦系数为μ。 求:(1)细棒对O点的转动惯量。(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 （3）细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。 解：
(1) d m d r
2 2
J c md 0
物理教案《质点和刚体的运动》
物理教案《质点和刚体的运动》教案：质点和刚体的运动教学目标：1.知识目标：了解质点和刚体的基本概念，掌握质点和刚体的运动规律。
2.能力目标：能够通过质点和刚体的运动规律，解决相关的物理问题。
3.情感目标：培养学生对物理学的兴趣和探索精神。
教学重点：1.质点的运动规律2.刚体的平动和转动教学难点：1.刚体的转动运动2.质点和刚体的运动规律的应用教学过程：一、导入（10分钟）1.引入话题：你们是否知道质点和刚体的运动有何不同？二、概念解释与讲解（15分钟）1.质点的概念：质点是指物体的形状和大小可以忽略不计，只考虑物体的质量在空间中运动的模型。
2.刚体的概念：刚体是指物体的各个部分保持相对位置和相对角度不变的物体。
3.质点和刚体的运动规律：质点受到的合外力等于质量与加速度的乘积；刚体受到的合外力矩等于惯量与角加速度的乘积。
三、质点的运动规律（20分钟）1.质点的平动：简单介绍质点的平动以及运动的基本规律。
2.质点的转动：通过实例解释质点的转动，并引入角加速度和角速度的概念。
3.案例分析：通过解决一系列质点运动的问题，让学生更好地理解质点运动规律的应用。
四、刚体的平动和转动（20分钟）1.刚体的平动：解释刚体平动的概念、条件以及相关的数学表示方法。
2.刚体的转动：介绍刚体的转动运动，引入惯量的概念，解释刚体的转动定律。
3.案例分析：通过解决一些刚体的平动和转动问题，让学生进一步理解刚体的运动规律。
五、综合应用与拓展（20分钟）1.通过练习题和思考题，让学生巩固和拓展所学的质点和刚体运动的知识。
2.带领学生思考，质点和刚体的运动规律在实际生活中的应用。
六、总结与反思（10分钟）1.总结质点和刚体的运动规律及其应用。
2.鼓励学生思考，物理学在日常生活中的意义和重要性。
3.让学生回答一些反思性问题，检查他们对所学内容的理解。
扩展活动：1.组织学生观察并讨论日常生活中质点和刚体的运动现象。
2.安排小组活动，让学生从生活中寻找和质点和刚体运动相关的例子。
09第五章 刚体1(2011)
L 2
平行轴定理 一般有关系 J J md 2 C
J d
JC
12
例题 2： 均匀细圆环的转动惯量 质量 m ，半径 R ，轴与环平面垂直且过圆心
J r dm R 2 dm
2
dm
o
R
mR
2
13
例题 3： 均匀薄圆盘的转动惯量 质量 m，半径 R ，轴与盘面垂直且过盘心
m 面密度 2 R 2 2 dJ r dm r ds
51、一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速转动( 沿z轴 正方向)．设某时刻刚体上一点P的位置矢量为 r 3 i 4 j 5 k 其单位为“10-2 m”，若以“10-2 m·-1” s 为速度单位，则该时刻P点的速度为：
(A) v 94.2i 125.6 j 157.0 k (B) v 25.1 i 18.8 j
ri Fi ri f i ri mi ri2
Fi ri ----质元 m i 所受的外力矩 f i ri ----质元m i 所受的内力矩
6
对所有质元求和
Fi ri f i ri ( mi ri2 )
i i i
左边第一项----刚体所受的外力矩之和---合外力矩。 左边第二项----刚体各质元内力矩之和。 内力成对出现，且总是大小相等，方向相反，作用在 一条直线上。 f i ri 0 i 所以上式变为：
19
与同向 与反向
0
2、刚体定轴转动的转动定律
M J
选转向为正方向，采用标量计算
几种典型刚体的转动惯量 均匀细棒 均匀细圆环 均匀薄圆盘
1 JC mL 2 12
平行轴定理 一般有关系 J J md 2 C
J d
JC
12
例题 2： 均匀细圆环的转动惯量 质量 m ，半径 R ，轴与环平面垂直且过圆心
J r dm R 2 dm
2
dm
o
R
mR
2
13
例题 3： 均匀薄圆盘的转动惯量 质量 m，半径 R ，轴与盘面垂直且过盘心
m 面密度 2 R 2 2 dJ r dm r ds
51、一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速转动( 沿z轴 正方向)．设某时刻刚体上一点P的位置矢量为 r 3 i 4 j 5 k 其单位为“10-2 m”，若以“10-2 m·-1” s 为速度单位，则该时刻P点的速度为：
(A) v 94.2i 125.6 j 157.0 k (B) v 25.1 i 18.8 j
ri Fi ri f i ri mi ri2
Fi ri ----质元 m i 所受的外力矩 f i ri ----质元m i 所受的内力矩
6
对所有质元求和
Fi ri f i ri ( mi ri2 )
i i i
左边第一项----刚体所受的外力矩之和---合外力矩。 左边第二项----刚体各质元内力矩之和。 内力成对出现，且总是大小相等，方向相反，作用在 一条直线上。 f i ri 0 i 所以上式变为：
19
与同向 与反向
0
2、刚体定轴转动的转动定律
M J
选转向为正方向，采用标量计算
几种典型刚体的转动惯量 均匀细棒 均匀细圆环 均匀薄圆盘
1 JC mL 2 12
大学物理第五章刚体力学1
详细描述
机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一，对于刚体而言同样适用。如果一个刚体在 运动过程中不受外力矩作用，则其动能和势能之和保持不变。这意味着，如果刚体的动
能增加，则其势能必定减少，反之亦然。
05
刚体的振动和波动
简谐振动
简谐振动定义
物体在平衡位置附近做周期性往复运动的现象。
简谐振动方程
x=A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相角。
THANK YOU
感谢聆听
转动惯量的计算
对于细长均匀杆，转动惯量I=mr^2/2；对于质量均匀分布的圆盘， I=mr^2/4。
03
刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律
角动量守恒定律
一个不受外力矩作用或者所受 外力矩的矢量和为零的刚体， 其角动量保持不变。
角动量
刚体绕某一定点的转动惯量与 刚体相对该点的角速度的乘积 。
角动量守恒的条件
刚体定义与特性
80%
刚体定义
刚体是一个理想化的物理模型， 在实际中并不存在。
100%
刚体特性
刚体具有不变形、不可压缩、无 摩擦等特性。
80%
刚体运动
刚体的运动可以用质点和刚体的 运动学来描述，其动力学则由牛 顿第二定律和转动定律来描述。
02
刚体的转动定律
刚体的角速度和角动量
角速度
描述刚体绕固定点转动的速度，用矢 量表示，单位为弧度/秒。
总结词
刚体的动能在数值上等于刚体 转动惯量与刚体角速度平方乘 积的一半。
详细描述
除了平动运动外，刚体还可以 进行转动运动。在转动运动中 ，刚体的动能等于刚体的转动 惯量与刚体角速度平方乘积的 一半。
刚体的势能
机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一，对于刚体而言同样适用。如果一个刚体在 运动过程中不受外力矩作用，则其动能和势能之和保持不变。这意味着，如果刚体的动
能增加，则其势能必定减少，反之亦然。
05
刚体的振动和波动
简谐振动
简谐振动定义
物体在平衡位置附近做周期性往复运动的现象。
简谐振动方程
x=A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相角。
THANK YOU
感谢聆听
转动惯量的计算
对于细长均匀杆，转动惯量I=mr^2/2；对于质量均匀分布的圆盘， I=mr^2/4。
03
刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律
角动量守恒定律
一个不受外力矩作用或者所受 外力矩的矢量和为零的刚体， 其角动量保持不变。
角动量
刚体绕某一定点的转动惯量与 刚体相对该点的角速度的乘积 。
角动量守恒的条件
刚体定义与特性
80%
刚体定义
刚体是一个理想化的物理模型， 在实际中并不存在。
100%
刚体特性
刚体具有不变形、不可压缩、无 摩擦等特性。
80%
刚体运动
刚体的运动可以用质点和刚体的 运动学来描述，其动力学则由牛 顿第二定律和转动定律来描述。
02
刚体的转动定律
刚体的角速度和角动量
角速度
描述刚体绕固定点转动的速度，用矢 量表示，单位为弧度/秒。
总结词
刚体的动能在数值上等于刚体 转动惯量与刚体角速度平方乘 积的一半。
详细描述
除了平动运动外，刚体还可以 进行转动运动。在转动运动中 ，刚体的动能等于刚体的转动 惯量与刚体角速度平方乘积的 一半。
刚体的势能
第五章刚体的转动
38
§5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。
质点系： 对点：
M外
dL dt
， t2 t1
M
外
dt
L2
L1
对轴：
M t2
t1 外z
dt
L2z
L1z
刚体： Lz J z
M t2
t1 外z
dt
J z2
J z1
——刚体定轴转动的角动量定理 39
z
mC a
mD
a
l
24
§5.4 转动定律应用举例
M
J
d
J
dt
刚体定轴转动的两类问题：
(t) (t) (t) J M
用求导的方法
M J (t) (t) (t) 积分加初始条件
25
例1.
R· 定轴
已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m， 绳轮间无相对
r P
a
r
dv d
r
r
d
r
r
刚体基点O×
dt dt
dt
r
v
瞬时轴
旋转加速度 向轴加速度 9
2.定转轴轴转固动定（，rota和tion
about a fixed axis）
退化为代数量 和
。
z ,
第五章 刚体的转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）
§5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。
质点系： 对点：
M外
dL dt
， t2 t1
M
外
dt
L2
L1
对轴：
M t2
t1 外z
dt
L2z
L1z
刚体： Lz J z
M t2
t1 外z
dt
J z2
J z1
——刚体定轴转动的角动量定理 39
z
mC a
mD
a
l
24
§5.4 转动定律应用举例
M
J
d
J
dt
刚体定轴转动的两类问题：
(t) (t) (t) J M
用求导的方法
M J (t) (t) (t) 积分加初始条件
25
例1.
R· 定轴
已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m， 绳轮间无相对
r P
a
r
dv d
r
r
d
r
r
刚体基点O×
dt dt
dt
r
v
瞬时轴
旋转加速度 向轴加速度 9
2.定转轴轴转固动定（，rota和tion
about a fixed axis）
退化为代数量 和
。
z ,
第五章 刚体的转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）
5-1刚体运动学与转动定律
2
R
dm 2π r Rd
m 4π R
2
r R sin
m dm sin d 2 2 2 m dJ r dm ( R sin ) sin d 2 π 2 2 m J ( R sin ) sin d mR 2 0 3 2
z
2
处理方法: 在V上选取 dm 一个dm,
J = ∑Δm r
i
i
质量连续分布
m
J r dm
2 V
r
• 计算转动惯量的三个要素： (1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
练习 ＊.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量
4m
m
l l
J 2ml 2 3m( 2l )2
2 xA ( y A L) 2 R 2
University physics
v Ax v Ay
dx A R sin(t 0 ) dt dy A R cos(t 0 ) dt
2 Ax
vA v
v
2 Ay
25 R 0.26 m / s 300
例2： 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经 150s其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与 时间t的平方成正比。
求：在这段时间内，转子转过的圈数。
根据题意，设 解：
kt 2 （k为比例常量） d 2 由角加速度的定义，有 kt
分离变量并积分，有
2
o ri
对固定轴的力矩 Fi ri f i ri mi ri 对所有质元
Fi r fi r i ( mi ri )
R
dm 2π r Rd
m 4π R
2
r R sin
m dm sin d 2 2 2 m dJ r dm ( R sin ) sin d 2 π 2 2 m J ( R sin ) sin d mR 2 0 3 2
z
2
处理方法: 在V上选取 dm 一个dm,
J = ∑Δm r
i
i
质量连续分布
m
J r dm
2 V
r
• 计算转动惯量的三个要素： (1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
练习 ＊.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量
4m
m
l l
J 2ml 2 3m( 2l )2
2 xA ( y A L) 2 R 2
University physics
v Ax v Ay
dx A R sin(t 0 ) dt dy A R cos(t 0 ) dt
2 Ax
vA v
v
2 Ay
25 R 0.26 m / s 300
例2： 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经 150s其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与 时间t的平方成正比。
求：在这段时间内，转子转过的圈数。
根据题意，设 解：
kt 2 （k为比例常量） d 2 由角加速度的定义，有 kt
分离变量并积分，有
2
o ri
对固定轴的力矩 Fi ri f i ri mi ri 对所有质元
Fi r fi r i ( mi ri )
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
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zM
v
M´
t 瞬时: 矢径 r(t)
t＋t 瞬时: 矢径 r (t ＋ t ) 或r(t)＋r(t)
Δr
t 时间间隔内矢径的改变量
r(t) r(t Δt) r(t)
r＝ r (t ＋ t)－ r(t)
y
x
t时间内的平均速度
点在 t 瞬时的速度
v r t
v lim r d r t0 t dt
的平面运动。
运动学所研究的内容：
(1) 建立物体的运动方程； (2) 分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度等； (3) 研究物体运动的分解与合成规律。
第一节 点的运动
几个基本概念
❖ 1.参考系、瞬时、时间间隔。 ❖ 2. 运动方程 ：点的位置随时间的变化规律。 ❖ 3.速度:描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。 ❖ 4.加速度 :描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化率的力学量。
一、 点的空间运动的矢量表示法
运动方程－变矢量法中，运动方程用点在任意瞬时t
的位置矢量r(t)表示。 r(t)简称为位矢。
zM
M´
r = r (t)
r r´ r M
动点M运动过程中，矢径r 末端在空间描绘出一条连续
曲线，即为点M的运动轨迹， y 亦称矢端曲线（或称矢径端
图）。 x
1. 点的速度矢量v
x y
z
a ax2 ay2 az2
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标
对时间的二阶导数。
例5-1 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，
它与水平线间的夹角为 t 其 中, 为t= 0时的夹角，
为一常数。已知动杆上A、B两点间距离为b。
求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
第五章 质点和刚体的 运动学基础
第一节 点的运动 第二节 刚体的运动 第三节 点的合成运动 第四节 刚体的平面运动
教学目的和要求
❖ 本章主要讲述质点和刚体运动学的基础知识。学习 时要明确点的运动在不同坐标系下有不同的表示方 式，重点掌握描述点的运动的矢量表示法。掌握运 动合成和分解的基本概念和方法，能应用速度和加 速度合成定理分析解决具体的运动学问题。了解刚 体运动的类型和描述方式，能够应用刚体的平面运 动方程解决具体的刚体运动问题。
பைடு நூலகம்
三、动点速度和加速度的自然坐标表示法 1.弧坐标形式的运动方程
如果点沿着已知的轨迹运动， 则点的运动方程可用点在已 知轨迹上所走过的弧长随时间 变化的规律描述。
轨迹的运动方程 s f (t) s(t)
2. 自然轴系
b n
3. 点的速度
v lim r t0 t
（1）速度的大小
由 v lim r lim s ds t0 t t0 t dt
3.点的加速度
v vxi vy j vzk
dv d 2r a
dt dt 2
dv d 2r d 2 x d 2 y d 2 z a i j k
dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 2
a axi ay j azk
ax ay az
d2x
dt 2 d2y
dt 2 d2z
dt 2
2. 点的速度矢量a
速度矢端曲线——将各不同瞬时的速度平行移动到同一出 发点O1 (任选)，以光滑曲线连接各速度端点。此曲线称 为速度矢端曲线，简称速度端图。
t时间内的平均加速度
a* v t
t＋△ t 瞬时:速度 v(t ＋ △ t ) 或v(t)＋ △ v(t)
△ t 时间间隔内速度的改变量 △ v＝ v (t ＋ △ t )－ v(t)
点在 t 瞬时的加速度：
a lim v d v v t0 t dt
或 a d 2 r r dt 2
二、 动点速度和加速度的直角坐标表示法
1.点的运动方程和轨迹方程
1)运动方程式
r xi yj zk
不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标 系中，点在空间的位置由 3个方程确定：
x = f1(t)=x(t)
y = f2(t)=y(t)
z = f3(t)=z(t)
2)点的轨迹方程
x f1 (t) x(t) y f 2 (t) y(t) 消去参数t z f3 (t) z(t
f (x, y, z) 0
平面运动时
x
y
f1 t f2 t
消去参数t
f x, y 0
a v 0 点作加速运动，a 与 v 同向 a v 0 点作减速运动，a 与 v 反向
例5-2 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称
为纯滚动），设轮子转角 t(为常值），如图所
示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的 运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速
度。
解 M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。
得速度的大小为 v ds dt
（2）速度的方向
ds 0 v 与 同向，点沿轨迹正向运动。
dt
v ds 0
dt
v ds v
与 反向，点沿轨迹负向运动。
dt
4. 点的加速度
a dv d v dv v d
dt dt
dt
dt
a
dv
dt
v2
an n
a a an
a a 2 an 2
教学重点
❖ 点的运动的矢量表示法以及在不同坐标系下的表示 形式；
❖ 刚体的定轴转动规律； ❖ 点的速度合成定理； ❖ 刚体平面运动速度分析方法。
教学难点
❖ 点的运动方程、轨迹、速度和加速度的求解； ❖ 刚体定轴转动的描述规律； ❖ 速度合成定理的应用； ❖ 基点法、速度投影定理和瞬时速度中心法分析刚体
2.点的速度
r xi yj zk
v dr dx i dy j dz k dt dt dt dt
v vxi vy j vzk
vx vy vz
dx
dt dy
dt dz
dt
x
y
z
v vx2 vy2 vz2
点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时 间的一阶导数。
由纯滚动条件
OC MC r rt
从而 x OC O1M sin rt sin t y O1C O1M cos r1 cost
解 A、B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
运动方程为
xA b r sin b r sin( t )
xB r sin r sin( t )
B点的速度和加速度
vB xB r cost
aB xB r2 sin t 2xB
周期运动
x(t T ) xt
f 1 频率 T