答案
1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．A 7.212
8．(0,1) 9．a <－3 10．2n －2 11．解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3，从而m ∈⎣⎡⎦
⎤12，3， 原题可转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立．
当x ＝2时，不等式不成立．∴x ≠2，
令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2为m 的一次函数．
问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0.
⎩⎪⎨⎪⎧
g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0.解得x >2或x <－1. 故x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
12．解 设数列{a n }的公差为d ，由于S m ＝S k ，
所以ma 1＋m (m －1)2d ＝ka 1＋k (k －1)2
d ， 所以(m －k )a 1＝－(m －k )(m ＋k －1)2
d . 因为m ≠k ，所以a 1＝－(m ＋k －1)d 2
. 因为a 1>0，m 、k 均为正整数，所以d <0.
又因为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－(m ＋k －1)d 2n ＋n (n －1)2
d ＝d 2⎝⎛⎭
⎫n －m ＋k 22－(m ＋k )28d ，d 2<0， 所以以n 为自变量的二次函数的图象开口向下，故S n 有最大值．
若m ＋k 为偶数，当n ＝m ＋k 2时，S n 有最大值－(m ＋k )28
d ； 若m ＋k 为奇数，当n ＝m ＋k ±12
时， S n 有最大值－(m ＋k )2－18
d . 13．解 ∵方程ax 2＋bx ＝2x 有等根，
∴Δ＝(b －2)2＝0，得b ＝2.
由f (x －1)＝f (3－x )知此函数图象的对称轴方程为
x ＝－b 2a
＝1得a ＝－1， 故f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，
∴4n ≤1，即n ≤14
. 而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，
∴n ≤14
时，f (x )在[m ，n ]上为增函数． 若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎪⎨⎪⎧
f (m )＝4m ，f (n )＝4n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2＋2m ＝4m ，－n 2＋2n ＝4n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝0或m ＝－2，n ＝0或n ＝－2. 又m ，∴m ＝－2，n ＝0， 这时定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]．
由以上知满足条件的m，n存在，且m＝－2，n＝0.
