2021届湖北省孝感高级中学高三下学期2月调研考试数学试卷及答案

2020-2021学年湖北省孝感高级中学高二（下）调研数学试卷（2月份）一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足iz＝1﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．2D．42．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，现采用随机模拟的方法估计p的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为f，则p，f分别为（）111 001 011 010 000 111 111 111 101 010000 101 011 010 001 011 100 101 001 011A．，B．C．D．，3．若（1﹣2x）2021＝a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021，则a1+a2+a3+…+a2021＝（）A．2B．﹣1C．2D．﹣24．下列命题中正确的是（）A．命题“∃x0≥0，x0＜sin x0”的否定是“∀x＜0，x≥sin x”B．已知与为非零向量，则“＞0”是“与的夹角为锐角”的充要条件C．“x＜0”是“不等式成立”的必要不充分条件D．已知M：x＞3，N：x＞1，则M是N的充分不必要条件5．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（）A．42种B．48种C．60种D．72种6．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC 垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EFC．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC7．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，若此三棱柱外接球的表面积为5π，则异面直线AC1与BA1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．下列说法错误的有（）A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值B．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生C．任意事件A发生的概率P（A）满足0＜P（A）＜1D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件10．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）A．成绩在[70，80）的考生人数最多B．不及格的考生人数为500C．考生竞赛成绩的众数为75分D．考生竞赛成绩的中位数约为75分11．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题，其中正确的有（）A．若S10＝0，则S2+S8＝0B．若S4＝S12，则使S n＞0的最大的n为15C．若S15＞0，S16＜0，则{S n}中S8最大D．若S7＜S8，则S8＜S912．已知A1、A2是椭圆C：长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，点Q与点P关于x轴对称，则下列四个命题中正确的是（）A．直线PA1与PA2的斜率之积为定值B．C．△PA1A2的外接圆半径的最大值为D．直线PA1与QA2的交点M在双曲线上三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停上教课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生人．14．在（x+1）（ax+1）5的展开式中，x2的系数为15，则a＝．15．河北疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援河北的三家医院，规定每家医院民生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有种．16．已知曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，直线l：y＝kx+2与曲线M交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，有b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1＝2cos A，a5＝9，设数列的前n项和为S n，求证：．18．在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数和为73．（1）求正整数n的值；（2）求出展开式中所有x的有理项．19．（1）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，求2个人在不同层离开的概率．（2）柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，求事件“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但他们不成对”的概率．20．2020年12月1日23时11分，我国探月工程嫦娥五号探测器降落在月球表面预选着陆区．在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定的环月轨道，并于12月17日1：59分精准返回着陆．期间，历经23天、往返路程超过76万公里．嫦娥五号任务的圆满完成，实现了我国航天史上的多项重大突破．为了进一步培养中学生对航空航天的兴趣和爱好，某校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作．前五天的报名情况如表：时间（第x天）12345报名人数y（人）36101318数据分析表明，报名人数与报名时间具有线性相关关系，据此请你解决以下问题：（1）求y关于x的线性回归方程，并预测第8天的报名人数（结果四舍五入取整数）；（2）为了更好地完成遴选任务，由专家和社团现有的部分成员组成评审组，已知现有社团成员6人，其中女生2名，男生4名，现欲从中任选2人作为面试评委，求选出的2人中恰有一个男生和一个女生的概率．参考公式：＝，．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD＝2BC ＝2，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：PC⊥BC；（2）若直线PC与平面PAD所成角为30°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．22．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，A，B分别为椭圆的左、右顶点，且|AB|＝4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过左顶点A的直线l与椭圆C另交于点D，与y轴交于点E，在平面内是否存在一定点P，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求△ADP面积的最大值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足iz＝1﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．2D．4解：∵复数z满足iz＝1﹣i，|i|•|z|＝|1﹣i|，则|z|＝|1﹣i|＝，故选：B．2．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，现采用随机模拟的方法估计p的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为f，则p，f分别为（）111 001 011 010 000 111 111 111 101 010000 101 011 010 001 011 100 101 001 011A．，B．C．D．，解：事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，则p＝＝，“恰有1次反面朝上”的频数为7，所以f＝，故选：B．3．若（1﹣2x）2021＝a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021，则a1+a2+a3+…+a2021＝（）A．2B．﹣1C．2D．﹣2解：由（1﹣2x）2021＝a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021，令x＝0得1＝a0；令x＝1得﹣1＝a0+a1+a2+…+a2021，∴a1+a2+…+a2021＝﹣2．故选：D．4．下列命题中正确的是（）A．命题“∃x0≥0，x0＜sin x0”的否定是“∀x＜0，x≥sin x”B．已知与为非零向量，则“＞0”是“与的夹角为锐角”的充要条件C．“x＜0”是“不等式成立”的必要不充分条件D．已知M：x＞3，N：x＞1，则M是N的充分不必要条件解：A．由命题“∃x0≥0，x0＜sin x”的否定是“∀x≥0，x≥sin x”，因此不正确；B．若与为非零向量，则“＞0”⇒与的夹角为锐角或为0，所以“＞0”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，因此不正确；C．不等式成立⇔x＜0，或x＞1，因此“x＜0”是“不等式成立”的充分不必要条件，因此不正确；D．M：x＞3，N：x＞1，则M⇒N，反之不成立，因此M是N的充分不必要条件，正确．故选：D．5．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（）A．42种B．48种C．60种D．72种解：根据题意，分2种情况讨论：①甲在中间位置，将剩下4人全排列，安排到两边位置，有A44＝24种情况，②乙在中间位置，甲不能在最右边，甲有3种情况，将剩下3人全排列，安排到其他位置，此时有3A33＝18种情况，故有24+18＝42种不同的排法；故选：A．6．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC 垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EFC．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC解：在A中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，∵PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，故A正确；在B中，∵BC⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC，PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，故B正确；在C中∴若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，故AC与PB不垂直，故C错误；在D中，∵AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选：C．7．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，若此三棱柱外接球的表面积为5π，则异面直线AC1与BA1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，此三棱柱外接球的表面积为5π，∴此外接球半径R＝＝，取BC中点D，连结AD，设△ABC重心为G，三棱柱外接球球心为O，取AA1中点E，连结OE，A1O，则A1O＝R＝，OE＝AG＝＝1，∴AA1＝2A1E＝2＝1，以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，1），B（，0），C1（0，，1），＝（0，），＝（﹣，1），设异面直线AC1与BA1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线AC1与BA1所成角的余弦值为．故选：A．8．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即∠AF2F1＜∴tan，⇒3b2＜c2⇒3（a2﹣c2）＜c2，⇒3a2＜4c2，e，则椭圆C离心率的取值范围是：（，1），故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列说法错误的有（）A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值B．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生C．任意事件A发生的概率P（A）满足0＜P（A）＜1D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件解：根据题意，依次分析选项：对于A，随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，A正确，对于B，基本事件是互斥的，在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，B正确，对于C，任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，C错误，对于D，不可能事件的概率为0，D错误，故选：CD．10．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）A．成绩在[70，80）的考生人数最多B．不及格的考生人数为500C．考生竞赛成绩的众数为75分D．考生竞赛成绩的中位数约为75分解：由频率分布直方图可知，成绩在[70，80]的频率最大，因此成绩分布在此的考生人数最多，所以A正确；成绩在[40，60]的频率为0.005×10+0.015×10＝0.2，所以不及格的人数为2000×0.2＝400（人），所以B错误；成绩在[70，80]的频率最大，所以众数为75，即C正确；成绩在[40，70]的频率和为0.4，所以中位数为70+10×≈73.33，即D错误．故选：AC．11．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题，其中正确的有（）A．若S10＝0，则S2+S8＝0B．若S4＝S12，则使S n＞0的最大的n为15C．若S15＞0，S16＜0，则{S n}中S8最大D．若S7＜S8，则S8＜S9解：根据题意，依次分析4个式子：对于A，若S10＝0，则S10＝＝0，则a1+a10＝0，即2a1+9d＝0，则S2+S8＝（2a1+d）+（8a1+28d）＝10a1+29d≠0，A不正确；对于B，若S4＝S12，则S12﹣S4＝0，即a5+a6+……+a11+a12＝4（a8+a9）＝0，由于a1＞0，则a8＞0，a9＜0，则有S15＝＞0，S16＝＝0，故使S n＞0的最大的n为15，B正确；对于C，若S15＞0，S16＜0，则S15＝＝15a8＞0，S16＝＝＜0，则有a8＞0，a9＜0，则{S n}中S8最大；C正确；对于D，若S7＜S8，即a8＝S8﹣S7＞0，而S9﹣S8＝a9，不能确定其符号，D错误；故选：BC．12．已知A1、A2是椭圆C：长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，点Q与点P关于x轴对称，则下列四个命题中正确的是（）A．直线PA1与PA2的斜率之积为定值B．C．△PA1A2的外接圆半径的最大值为D．直线PA1与QA2的交点M在双曲线上解：设p（x0，y0），∵A1、A2是椭圆C：长轴上的两个顶点．∴A1（﹣2，0）A2（2，0）则＝，故A不正确．由＝（﹣2﹣x0，﹣y0）（2﹣x0，﹣y0）＝＝＜0，故B 正确．当P在短轴顶点时，A1A2＝4，PA2＝PA1＝，sin∠PA1A2＝，由正弦定理：可得△PA1A2的外接圆半径的最大值R＝；故C正确．点Q与点P关于x轴对称，设Q（x0，﹣y0），直线PA1与QA2的方程分别为：…①……②①②两式相乘：可得，由带入双曲线，即直线PA1与QA2的交点M在双曲线上；故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停上教课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生3000人．解：由已知得高三年级抽取的学生数为150﹣40﹣50＝60，设该高中的学生总数为n，则，解得n＝3000．∴该高中共有学生3000人．故答案为：3000．14．在（x+1）（ax+1）5的展开式中，x2的系数为15，则a＝1或﹣．解：∵（x+1）（ax+1）5的展开式中，x2的系数为•a+•a2＝15，求得a＝1，或a＝﹣，故答案为：1或﹣．15．河北疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援河北的三家医院，规定每家医院民生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有900种．解：根据题意，分2步进行分析：①将3名医生安排到三家医院，有A33＝6种安排方法，②将5名护士分为3组，安排到三家医院，若分为3、1、1的三组，有C53×A33＝60种分法，若分为2、2、1的三组，有×A33＝90种分法，则护士有60+90＝150种安排方法，则有6×150＝900种不同的安排方案，故选：A．16．已知曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，直线l：y＝kx+2与曲线M交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为23．解：∵曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，∴曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离与到直线y＝﹣2的距离相等，则曲线M为抛物线，其方程为x2＝8y，焦点为F（0，2），则直线y＝kx+2过抛物线的焦点F，当k＝0时，|AF|＝|DF|＝4，则，当k≠0时，如图，过A作AK⊥y轴于K，设抛物线的准线交y周于E，则|EK|＝|EF|+|FK|＝p+|AF|cos∠AFK＝|AF|，得|AF|＝，则，同理可得，∴，化圆N：x2+y2﹣4y+3＝0为x2+（y﹣2）2＝1，则圆N的圆心为F，半径为1，|AC|+4|BD|＝|AF|+1+4（|DF|+1）＝|AF|+4|DF|+5＝2（|AF|+4|DF|）×（）+5＝2（5+）+5＝23．当且仅当|AF|＝2|DF|时上式等号成立．∴|AC|+4|BD|的最小值为23，故答案为：23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，有b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1＝2cos A，a5＝9，设数列的前n项和为S n，求证：．解：（1）∵b2+c2＝a2+bc，∴，又∵A∈（0，π），∴．（2）由（1）知，设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝a1+（5﹣1）d＝9，∴d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴，∴．显然为递减数列，故为递增数列，故的最小值为，故．18．在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数和为73．（1）求正整数n的值；（2）求出展开式中所有x的有理项．解：（1）展开式的通项公式为T k+1＝C（）n﹣k（）k，则前三项的系数和为1+2+4＝73，即1+2n+2n（n﹣1）＝73，得2n2＝72，得n2＝36，得n＝6，即正整数n的值为6．（2）则通项公式为T k+1＝C（）6﹣k（）k＝C2k x，当k＝0时＝3，当k＝1时＝，当k＝2时，＝0，当k＝3时＝﹣，当k＝4时＝﹣3，当k＝5时＝﹣，当k＝6时＝﹣6则所有x的有理项为T1＝x3，T3＝60，T5＝240x﹣3，T7＝64x﹣6．19．（1）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，求2个人在不同层离开的概率．（2）柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，求事件“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但他们不成对”的概率．解：（1）试验发生包含的事件是两个人各有6种不同的方法，共有36种结果，两个人在同一层下有6种结果，∴两个人在同一层离开电梯的概率是．2个人在不同层离开的概率为P＝（2）可以先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的右脚中选出一只有种选法，所以一共有种不同的取法，所以事件“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但他们不成对”的概率为：．20．2020年12月1日23时11分，我国探月工程嫦娥五号探测器降落在月球表面预选着陆区．在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定的环月轨道，并于12月17日1：59分精准返回着陆．期间，历经23天、往返路程超过76万公里．嫦娥五号任务的圆满完成，实现了我国航天史上的多项重大突破．为了进一步培养中学生对航空航天的兴趣和爱好，某校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作．前五天的报名情况如表：时间（第x天）12345报名人数y（人）36101318数据分析表明，报名人数与报名时间具有线性相关关系，据此请你解决以下问题：（1）求y关于x的线性回归方程，并预测第8天的报名人数（结果四舍五入取整数）；（2）为了更好地完成遴选任务，由专家和社团现有的部分成员组成评审组，已知现有社团成员6人，其中女生2名，男生4名，现欲从中任选2人作为面试评委，求选出的2人中恰有一个男生和一个女生的概率．参考公式：＝，．解：（1）由题意，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（2+6+10+13+18）＝10，所以＝＝＝＝3.7，＝﹣＝10﹣3.7×3＝﹣1.1，所以y关于x的线性回归方程为＝3.7x﹣1.1，计算x＝8时，＝3.7×8﹣1.1＝28.5≈29，即可预测第8天的报名人数约为29人；（2）设社团成员6人中女生2名为A、B，男生4名为c、d、e、f，现从中任选2人，基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，选出的2人中恰有一个男生和一个女生的基本事件是Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf 共8种，故所求的概率值为P＝．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD＝2BC ＝2，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：PC⊥BC；（2）若直线PC与平面PAD所成角为30°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．解：（1）取AD的中点为O，连接PO，CO，∵△PAD为等边三角形，∴PO⊥AD．底面ABCD中，可得四边形ABCO为矩形，∴CO⊥AD，∵PO∩CO＝O，∴AD⊥平面POC，∵PC⊂平面POC，AD⊥PC．又AD∥BC，所以PC⊥BC…（2）由面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD知，∴PO⊥平面ABCD，OP，OD，OC两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30°，即∠CPO＝30°，由AD＝2，知，得CO＝1．分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则，D（0，1，0），C（1，0，0），B（1，﹣1，0），，，设平面PBC的法向量为，∴，则…设平面PDC的法向量为，∴，则…．，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为…22．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，A，B分别为椭圆的左、右顶点，且|AB|＝4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过左顶点A的直线l与椭圆C另交于点D，与y轴交于点E，在平面内是否存在一定点P，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求△ADP面积的最大值；若不存在，说明理由．解：（1）双曲线的离心率为＝2，由题意可得椭圆的离心率为e＝＝，|AB|＝4，即2a＝4，即a＝2，b＝，椭圆的方程为+＝1；（2）过左顶点A的直线l的斜率显然存在，设为k，方程设为y＝k（x+2），可得E（0，2k），且A（﹣2，0），B（2，0），设P（m，n），由可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，则﹣2x D＝，即x D＝，即有D（，），在平面内假设存在一定点P，使得恒成立．可得•＝（﹣m，2k﹣n）•（﹣2，）＝（﹣m）（﹣）+（2k ﹣n）•＝＝0，由于上式恒成立，可得k（4m+6）﹣3n＝0，即有4m+6＝0，且﹣3n＝0，可得m＝﹣，n＝0，则存在P（﹣，0），使得恒成立．此时S△ADP＝|AP|•|y D|＝ו＝，当k＝0时，S△ADP＝0；当k≠0时，S△ADP＝≤＝，当且仅当|k|2＝，即k＝±时，取得等号．综上可得，S△ADP的最大值为．。

2021年高三下学期2月教学质量调研数学（文）试题含答案本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：椎体的体积公式：V=，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高。

第I卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=，B=，则=A. B. C. D.2.设复数z=（7+3i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在下列函数中既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为A. B. C. D.4. 已知向量=（1,2），=(-4,m),若2+与垂直，则m=A. -3B.3C. -8D. 85．已知x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为A.6B.8C.10D. 126. 下列说法错误的是A.若a,b，且a+b>4,则a,b至少有一个大于2B.“，=1”的否定是“，1C.a>1,b>1是ab>1的必要条件D.中，A是最大角，则是为钝角三角形的充要条件7. 已知函数f（x）=，则的值为A. B. C.15 D.8. 将函数y=的图像沿x轴向右平移a(a>0)个单位后，所得图像关于y轴对称，则a的最小值为A. B. C. D.9. 已知点，分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若>0，则该双曲线的离心率e的取值范围是A.（，+1）B.（1，+1）C.（1，）D.10. 已知函数是定义在R上的可导函数，为其导函数，若对于任意实数x，有->0，则A.ef（xx）>f(xx)B.ef（xx）<f(xx)C.ef（xx）=f(xx)D.ef（xx）与f(xx) 大小不确定第II卷（共100分）二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

湖北孝感21-22高三第二次统一考试试卷--数学（文）数学(文)满分150分 时刻120分钟注意事项：1．答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号填写(涂)在试题卷和答题卡上．2．考生答题时,选择题请用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3. 考试终止,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知集合}02|{},034|{2>-=<+-=x xx N x x x M ，则N M =（ ） A ．}31|{<<x x B ．}21|{<<x x C ．}3|{<x x D ．}32|{<<x x 2.已知复数ii z +=12013，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. “1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间),1[+∞上为增函数”的（ ） A.充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）D ．3± 5.函数),2||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为（ ）A ．)48sin(4)(ππ--=x x fB ．)48sin(4)(ππ+-=x x fC ．)48sin(4)(ππ-=x x fD ．)48sin(4)(ππ+=x x f6.已知直线m 、n 、不重合，平面α、β不重合，下列命题正确的是（ ）A ．若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα//B ．若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥lC ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥D ．若n m m //,α⊥，则α⊥n 7.若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．1-或2D ．1-或1 8.已知函数c bx ax x x f +++=232131)(在1x 处取得极大值,在2x处取得极小值,满足)0,1(1-∈x ，)1,0(2∈x ，则242+++a b a 的取值范畴是（ ）A ．)2,0(B ．)3,1(C ．]3,0[D ．]3,1[9.已知点P 是双曲线116922=-y x 的右支上一动点，M ，N 分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 的动点，则PN PM -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．910.定义函数()D x x f y ∈=,，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯独的D x ∈2，使得()()C x f x f =21，则称函数()x f 在D 上的几何平均数为C .已知()[]4,2,∈=x x x f ，则函数()x x f =在[]4,2上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）11.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如下图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 .TDME FCA12.如上图，矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中A ，B ，C ，D 都在矩形的边上，若向量AF y AE x BD +=，则=+22y x . 13.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为6的等腰直角三角形，则它的体积为 .14.上图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 . 15．若0,0>>b a ,且点）（b a ,在过点)1,1(-、)3,2(-的直线上，则2242b a ab S --=的最大值是 .16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢能够近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以)(n f 表示第n 个图的蜂巢总数，则)(n f 的表达式为 .甲 乙9 8 7 65 x 0 8 1 1 y6 2 9 1 1 6（第11题图）正视图侧视图俯视图（第13题图）（第14题图）17.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm 的球）正好落入孔中的概率是 .(不作近似运算)三、解答题：(本大题共5小题，满分65分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤.)18.（本题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量),(a b c a m -+=，),(b c a n -=,且n m ⊥．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)若向量)1,0(-=s ,)2cos 2,(cos 2B A t =,…（第16题图）19.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，当2≥n 时，总有nn n a a 221+=-成立，且41=a ．(Ⅰ)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n na 2是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ．20.（本小题满分13分）已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点．求证：(Ⅰ)1C O ∥面11AB D ； (Ⅱ)1AC ⊥面11AB D ．21.（本题满分14分）设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>的左焦点，直线方程为ca x 2-=，直线与x 轴交于P 点，M 、N 分别为椭圆的左右顶点，已知22=MN ，且MF PM 2=． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；A（第20题图）D 1C 1B 1A 1ODCB(Ⅱ)过点P 且斜率为66的直线交椭圆于A 、B 两点，求三角形ABF 面积．22.（本小题满分14分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． (Ⅰ)若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值； (Ⅱ)若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范畴；(III)在(Ⅰ)的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．参考答案一、选择题1. D2. A3. C4.C5.B6. D7. D8. B9. D 10. C 二、填空题11.8 12. 13 13.72 14.7500 15.21-2 16.1332+-n n 17.π36164三、解答题18．解：(Ⅰ)由题意得0),)(,(222=-+-=--+=⋅ab b c a b c a a b c a n m ， 即ab b a c -+=222.……………3分 由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C , 3,0ππ=∴<<C C .……………6分（Ⅱ）∵)cos ,(cos )12cos 2,(cos 2B A BA t s =-=+……………7分)32(cos cos cos cos 2222A AB A -+=+=π1)62sin(21+--=πA . ……9分 ∵320π<<A ，∴67626πππ<-<-A ，∴1)62sin(21≤-<-πA . ∴4521<，故2522……………12分 19．解：（Ⅰ） 当2≥n 时， n n n a a 221+=-，即12211=---n n nn a a ，又221=a .∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是以2为首项，1为公差的等差数列……………4分 ∴ 11)1(22+=⨯-+=n n a nn，故n nn a 2)1(+=……………6分（Ⅱ）∵n n n a 2)1(+=，n n nn n S 2)1(22322121⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴-，1322)1(223222+⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n S ，两式相减得：11113222)1(21)21(442)1()222(4++-+⨯-=⨯+---+=⨯+-+⋅⋅⋅+++=-n n n n nn n n n S∴ 12+⋅=n nn S ……………12分20．证明：（Ⅰ）连结11C A ，设11111O D B C A = ，连结1AO ，1111D C B A ABCD - 是正方体, 11ACC A ∴是平行四边形,AC ∴//11C A , 又1O ,O 分别是11C A ,AC 的中点， AO ∴//11C O , 11O AOC ∴是平行四边形, 11//AO O C ∴……………4分111D AB AO 平面⊂ ，111D AB O C 平面⊄111//D AB O C 平面∴……………6分（Ⅱ）11111D C B A CC 平面⊥ ,111D B CC ⊥∴, 又1111D B C A ⊥，C C A D B 1111平面⊥∴,111D B C A ⊥∴……………10分同理可证11AB C A ⊥……………11分 又1111B AB D B = ,111D AB C A 平面⊥∴……………13分(其它解答酌情给分)21．解：（Ⅰ）∵222===a MN ，∴2=a ，又∵MF PM 2=， ∴22=e ，∴1=c ，1222=-=c a b ， ∴椭圆的标准方程为1222=+y x ……………6分(Ⅱ)由题知：)0,1(-F ，)0,2(-P ，AB l ：)2(66+=x y ，),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+)2(661222x y y x 消y 得：01222=-+x x ……………9分∴2144)(61121221=-++=x x x x AB ． 点F 到直线AB 的距离：71=d ……………12分 ∴427121421=⨯⨯=∆ABFS ，即三角形ABF 面积为42……………14分 22．解：（Ⅰ）由b x x x f ++-=23)(，得)23(23)(2--=+-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得0=x 或32．当x 变化时，)(x f '及)(x f 的变化如下表：由b f +=-83)21(，b f +=274)32(，)32()21(f f >-∴，即最大值为8383)21(=+=-b f ，0=∴b ……………4分（Ⅱ）由x a x x g )2()(2++-≥，得x x a x x 2)ln (2-≤-．x x e x ≤≤∴∈1ln ],,1[ ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x xx x x x a ln 22--≤∴恒成立，即min2)ln 2(x x xx a --≤……………6分 令]),1[(,ln 2)(2e x x x x x x t ∈--=，求导得，2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x t --+-='，当],1[e x ∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而0)(≥'x t ，)(x t ∴在],1[e 上为增函数，1)1()(min -==∴t x t ，1-≤∴a ……………8分（Ⅲ）由条件，⎩⎨⎧+-=,ln ,)(23x a x x x F 11≥<x x ，假设曲线)(x F y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，不妨设)0))((,(>t t F t P ，则),(23t t t Q +-，且1≠t ．POQ ∆ 是以O 为直角顶点的直角三角形，0=⋅∴OQ OP ，0))((232=++-∴t t t F t )(*⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，是否存在P ，Q 等价于方程)(*在0>t 且1≠t 时是否有解……………10分①若10<<t 时，方程)(*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解；②若1>t 时，方程)(*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t ta=+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++， 明显，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上…………14分。

孝感高中2021届高三2月调研考试英语第I卷(选择题)(共95分)第一部分听力（共两节，满分30分）第一节1. What is Joey doing now?A. Making a pudding.B. Playing a video game.C. Decorating a Christmas tree.2. How will the speakers go to Hangzhou?A. By car.B. By plane.C. By train.3. What is the weather like now?A. Warm.B. Hot.C. Cold.4. Why does the woman look unhappy?A. She has to work overtime.B. She can’t go to the movies.C. She doesn’t feel well.5. What are the speakers probably talking about?A. A scenic spot.B. A painting.C. A photo.第二节：（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面一段较长对话，回答以下小题。

6. What edition of the book should the man read?A. The second edition.B. The third edition.C. The fourth edition.7. What’s the probable relationship between the spe akers?A. Professor and student.B. Classmates.C. Librarian and reader.听下面一段对话，回答以下小题。

8. What injury is Mike suffering now?A. A broken leg.B. A broken arm.C. A head injury.9. Why did the accident happen to Mike probably?A. He got distracted.B. He ran a red light.C. He drove too fast.10. Where does the conversation probably take place?A. In a hospital.B. In an office.C. In a police station.听下面一段对话，回答以下小题。

2021-2021年湖北省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）2．cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．3．设a=2﹣2，，c=log25，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c4．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58．数列{a n}满足，则数列{log2a n}的前10项和S10=（）A．55 B．50 C．45 D．409．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=，a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为（）A．12 B．8C．8D．810．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图，且过点，则以下结论不正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数11．设a＞b＞0，当a2+取得最小值时，函数f（x）=+bsin2x的最小值为（）A．3 B．2C．5 D．412．设f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2﹣x）=0．当x∈[0，1]时f（x）=x2﹣1，若关于x 的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围是（）A．（5﹣2，4﹣）B．（8﹣2，4﹣2）C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中相应的横线上13．函数的定义域为．14．在等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则a7=．15．若函数（a＞0，a≠1）的值域是（﹣∞，﹣1]，则实数a的取值范围是．16．已知函数，若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）当时，求函数f（x）的取值范围；（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，sin（B﹣A）+cos （A+B）=0．（1）求sinB的值；（2）若△ABC的面积为3+，求a，c的值．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，且a1=1，a n a n+1=2S n．（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．20．某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x（x∈N*，x≤16）年末可以以（80﹣5x）万元的价格出售．（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由．21．已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（）=log a x++（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的极值；（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1：平面几何选讲】22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|0＜x＜2}=（0，2），则A∪B=（﹣1，2），故选：A．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知表达式，通过同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：cos（﹣φ）=，且|φ|＜，所以sinφ=﹣，φ，cosφ==，tanφ==．故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．3．设a=2﹣2，，c=log25，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=2﹣2=，1=30＜=＜2，c=log25＞log24=2，∴a＜b＜c．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意利用指数函数、对数函数的单调性的合理运用．4．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：B【点评】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键．5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等差数列通项公式得到a1=﹣4d，由此能求出a5的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3+a9=a10﹣a8，且公差d不为零，得a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣a1﹣7d，解得a1=﹣4d，∵d≠0，∴a5=a1+4d=﹣4d+4d=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题．6．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意将f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，说明两个函数相位差是2π的整数倍，求出ω的值即可．【解答】解：∵将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位，所得的图象解析式为：y=sin （ωx+ω+φ），将函数f（x）的图象右平移个单位所得的图象解析式为：y=y=sin（ωx﹣ω+φ），若所得图象重合，∴ω+ω=2kπ，k∈Z，解得ω=4k，k∈Z，∵ω＞0，可解得ω的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，相位差是函数周期的整数倍，是本题解题关键．8．数列{a n}满足，则数列{log2a n}的前10项和S10=（）A．55 B．50 C．45 D．40【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，从而，进而log2a n=n，由此能求出数列{log2a n}的前10项和S10．【解答】解：∵数列{a n}满足，∴{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴log2a n=n，∴数列{log2a n}的前10项和S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．故选：A．【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和对数性质的合理运用．9．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=，a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为（）A．12 B．8C．8D．8【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】将sinA+cosA=两边平方，可解得sin2A=﹣，结合范围0＜A＜π，可得：cosA=﹣，由正弦定理化简3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，根据余弦定理可得49=b2+c2+bc②，由①②联立可解得b，c的值，从而得解．【解答】解：∵sinA+cosA=，∴两边平方，可得：1+sin2A=，解得：sin2A=﹣，∵0＜A＜π，0＜2A＜2π，∴解得：A=或（由sinA+cosA=舍去），可得：cosA=﹣，∵3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，∴由a=7，根据余弦定理可得：49=b2+c2﹣2bccosA，∴49=b2+c2+bc②，∴由①②可解得：b=5，c=3，b+c=8．故选：D．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键，属于中档题．10．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图，且过点，则以下结论不正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由图象可得A=2，由图象过点B（0，﹣1），即2sinϕ=﹣1，结合|ϕ|＜，解得ϕ=﹣．由图象过点A（，0），可得2sin（ω﹣）=0，解得：ω=k+，k∈Z，解析式可为f（x）=2sin（x﹣），利用正弦函数的图象和性质即可逐一求解．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）图象最高点的纵坐标为2，所以A=2，∵图象过点B（0，﹣1），∴2sinϕ=﹣1，∴ϕ=2kπ+，k∈Z，或ϕ=2kπ+，k∈Z∵|ϕ|＜，∴ϕ=﹣．∵图象过点A（，0），∴2sin（ω﹣）=0，解得：ω=k+，k∈Z．∴k=0时，可得：ω=，故所求解析式为f（x）=2sin（x﹣）．则：A，由2sin[×（﹣）﹣]=﹣2sin≠±2，故错误；B，2sin（×﹣）=﹣2sin≠0，故错误；C，由2k≤x﹣≤2kπ，解得单调递增区间为：[7kπ﹣，7kπ+]，k∈Z，当k=0时，⊂[﹣，]，故正确；D，由2k≤x﹣≤2kπ+，解得单调递减区间为：[7kπ+，7kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[，]，故错误．故选：C．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．11．设a＞b＞0，当a2+取得最小值时，函数f（x）=+bsin2x的最小值为（）A．3 B．2C．5 D．4【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式．【分析】根据基本不等求出a，b的值，再利用换元法，求出f（t）的最小值即可．【解答】解：a2+=a2+b2﹣ab+b（a﹣b）+≥2ab﹣ab+2=ab+4，∴f（x）=+bsin2x≥2，∵b（a﹣b）≤=，当且仅当a=2b时取等号，∴a2+≥a2+≥2=8，当且仅当a2=4时，即a=2时取等号，此时b=1，∴f（x）=+bsin2x=+sin2x，设sin2x=t，则t∈（0，1]，∴y=+t，∴y=+t在（0，1]上单调递减，∴y min=+1=3，故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的应用和函数的单调性和最值的关系，属于中档题．12．设f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2﹣x）=0．当x∈[0，1]时f（x）=x2﹣1，若关于x 的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围是（）A．（5﹣2，4﹣）B．（8﹣2，4﹣2）C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；分类讨论；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期，以及函数的解析式，利用函数与方程之间的关系，转化为函数f（x）与y=kx有三个不同的交点，利用数形结合，以及直线和抛物线相切的等价条件，利用判别式△=0，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2﹣x）=0．∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），即f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数的周期是4的周期函数，若x∈[﹣1，0]时，则﹣x∈[0，1]时，此时f（﹣x）=x2﹣1=f（x），即f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]，综上f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]，若x∈[﹣2，﹣1]时，则x+2∈[0，1]，则由f（x+2）=﹣f（x），得f（x）=﹣f（x+2）=﹣[（x+2）2﹣1]=1﹣（x+2）2，x∈[﹣2，﹣1]若x∈[1，2]时，则﹣x∈[﹣2，﹣1]时，则f（﹣x）=1﹣（﹣x+2）2=1﹣（x﹣2）2=f（x），即f（x）=1﹣（x﹣2）2，x∈[1，2]，即函数在一个周期[﹣2，2]上的解析式为f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，等价为f（x）=kx=0恰有三个不同的实数解，即函数f（x）与y=kx有三个不同的交点，作出函数f（x）和y=kx的图象如图：当x∈[1，2]时，由f（x）=1﹣（x﹣2）2=kx，得x2+（k﹣4）x+3=0，由判别式△=（k﹣4）2﹣12=0得k﹣4=±2，即k=4±2，由1＜＜2，解得0＜k＜6则k=4﹣2，此时两个函数有2个交点．当x∈[﹣4，﹣3]时，x+4∈[0，1]时，则f（x）=f（x+4）=（x+4）2﹣1，x∈[﹣4，﹣3]，此时当f（x）与y=kx相切时，即（x+4）2﹣1=kx，即x2+（8﹣k）x+15=0，判别式△=（8﹣k）2﹣4×15=0得k﹣8=±2，即k=8±2，由﹣4＜﹣＜﹣3，得0＜k＜2，即k=8﹣2，此时两个函数有4个交点．故若关于x的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k满足8﹣2＜k＜4﹣2，故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性和解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的图象交点问题是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中相应的横线上13．函数的定义域为[﹣2，0）∪（3，5]．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数，列出使函数有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数，∴1﹣lg（x2﹣3x）≥0，即lg（x2﹣3x）≤1，∴0＜x2﹣3x≤10，解得﹣2≤x＜0或3＜x≤5，∴函数f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（3，5]．故答案为：[﹣2，0）∪（3，5]．【点评】本题考查了对数函数的定义域，解题时要认真审题，注意对数函数性质的灵活运用与等价转化，是基础题．14．在等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则a7=64．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质结合已知求得a3=4，进一步求得公比，再代入等比数列的通项公式求得a7．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a2a4=16，得，则a3=4（与a1同号），则，∴．故答案为：64．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．15．若函数（a＞0，a≠1）的值域是（﹣∞，﹣1]，则实数a的取值范围是[，1）．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质求出f（x）在（﹣∞，2]的最大值，从而判断出a的范围即可．【解答】解：x≤2时：f（x）=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1，f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，2]递减；∴f（x）的最大值是﹣1，而f（x）的值域是（﹣∞，﹣1]，故0＜a＜1，∴≤﹣1，解得：a≥，故答案为：[，1）．【点评】本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．16．已知函数，若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f′（x）=x2+2x+a，由于函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，可得：f′（x）≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．令g（x）=（x+1）2+a﹣1，x∈[﹣2，a]．对a分类讨论即可得出．【解答】解：f′（x）=x2+2x+a，∵函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，∴f′（x）=x2+2x+a≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．令g（x）=x2+2x+a，x∈[﹣2，a]．g（x）=（x+1）2+a﹣1，①当﹣2＜a＜﹣1时，函数g（x）在x∈[﹣2，a]单调递减，∴必有g（a）=a2+3a≥0，解得a≤﹣3或a≥0，舍去．②当﹣1≤a时，函数g（x）在x=﹣1时取得最小值，∴必有g（x）≥g（﹣1）=1﹣2+a≥0，解得a≥﹣1，满足条件．综上可得：a≥﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立转化问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）当时，求函数f（x）的取值范围；（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣），由，可求2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的图象和性质可求f（x）的取值范围．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=f（x+）=sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）===sin（2x﹣），∵时，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]．∴函数f（x）的取值范围为：[﹣，1]…6分（2）∵g（x）=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间为：[k，kπ+]，k∈Z (12)分【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，sin（B﹣A）+cos （A+B）=0．（1）求sinB的值；（2）若△ABC的面积为3+，求a，c的值．【考点】解三角形．【专题】计算题；分类讨论；分类法；解三角形．【分析】（1）将sin（B﹣A）+cos（A+B）=0化简得（sinB+cosB）（cosA﹣sinA）=0，然后分情况讨论解出B和A要注意角的范围．（2）借助于（1）中的结论，利用正弦定理得出==，由面积公式得出ac==4，联立方程组即可解出答案．【解答】解：（1）∵sin（B﹣A）+cos（A+B）=0．∴sinBcosA﹣cosBsinA+cosAcosB﹣sinAsinB=0cosA（sinB+cosB）﹣sinA（sinB+cosB）=0（sinB+cosB）（cosA﹣sinA）=0①若sinB+cosB=0，则sinB=，cosB=﹣，B=，C=﹣A∵=，∴=，即=，整理得：cos2A﹣sin2A﹣sinAcosA=cosA．∴cos2A﹣sin2A=cosA，即cos（2A+）=cosA∴2A+=A+2kπ或2A+=﹣A+2kπ．k∈Z．∴A=2kπ﹣或A=又∵0，∴上式无解．②若cosA﹣sinA=0，则sinA=cosA=，A=，C=﹣B．∵=，∴=，即=，整理得：﹣+sinBcosB+cosB=0∴+sin2B=﹣cosB，即sin（2B+）=﹣sin（）=sin（B﹣），∴2B+=B﹣+2kπ或2B+=π﹣（B﹣）+2kπ．k∈Z．∴B=2kπ﹣或B=+．又∵0＜B＜，∴B=．∴sinB=sin（+）==．（2）由（1）可知A=，B=，∴C=．∵S=acsinB=3+，∴ac==4．∵=，∴==，∴a=2，c=2．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，涉及分情况讨论思想．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，且a1=1，a n a n+1=2S n．（n∈N*）（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{}的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）当n=1时，求出a 2=2，当n ≥2时，求出a n+1﹣a n ﹣1=2，由此能求出a n =n ，n ∈N *． （2）由a n =n ，=n •2n ，利用错位相减法能求出数列{}的前n 项和．【解答】解：（1）∵数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a 1=1，a n a n+1=2S n ．（n ∈N *）， ∴当n=1时，a 1a 2=2a 1，解得a 2=2，当n ≥2时，a n ﹣1a n =2S n ﹣1，a n （a n+1﹣a n ﹣1）=2a n ， ∵a n ＞0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，a 2n ﹣1=2n ﹣1， a 2，a 4，…，a 2n ，…，是以2为首项，2为公差的等差数，a 2n =2n ， ∴a n =n ，n ∈N *． （2）∵a n =n ， =n •2n ， ∴数列{}的前n 项和：T n =1•2+2•22+3•23+…+n •2n ，①2T n =1•22+2•23+…+（n ﹣1）•2n +n •2n+1，② ②﹣①，得：T n =n •2n+1﹣（2+22+23+…+2n ） =n •2n+1﹣=（n ﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查数列通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x （x ∈N *，x ≤16）年末可以以（80﹣5x ）万元的价格出售．（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】函数思想；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得总利润y等于总收入减去总成本（固定资产加上维护费），结合二次函数的最值求法，即可得到最大值；（2）求得年平均利润为，再由基本不等式，结合x为正整数，加上即可得到最大值，及对应的x 的值．【解答】解：（1）y=22x+（80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣x（2+2x）=﹣x2+16x﹣20=﹣（x﹣8）2+44（x≤16，x∈N），由二次函数的性质可得，当x=8时，y max=44，即有总利润的最大值为44万元；（2）年平均利润为=16﹣（x+），设f（x）=16﹣（x+），x＞0，由x+≥2=4，当x=2时，取得等号．由于x为整数，且4＜2＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7，即有x=4或5时，f（x）取得最大值，且为7万元．故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机．【点评】本题考查二次函数的模型的运用，考查最值的求法，注意运用单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（）=log a x++（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的极值；（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）先利用方程组思想，求出f（x）的解析式，再利用导数，求f（x）的极值；（2）构造函数，利用导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）+2f（）=log a x++①∴f（）+2f（x）=﹣log a x++，②由①②可得f（x）=﹣log a x+，∴f′（x）=﹣+=0，∴x=1，a＞1时，x=1取得极小值；0＜a＜1时，x=1取得极大值；（2）设h（x）=﹣log a x++﹣，则h′（x）=﹣+﹣=，a＞1时，x=取得极小值，h（x）≥h（）＞0，∴f（x）＞f′（x）；0＜a＜1时，x=取得极大值，h（x）≤h（）＜0，∴f（x）＜f′（x）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的解析式是关键，属于中档题．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1：平面几何选讲】22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）推导出△EDC∽△EBA，由此能求出的值．（2）推导出△FAE∽△FEB，从而∠FEA=∠EBF，再由四点共圆，能证明EF∥CD．【解答】解：（1）∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，∴△EDC∽△EBA，∴，==，∴=．证明：（2）∵EF2=FA•FB，∴，∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA=∠EBF，∵A、B、C、D四点共圆，∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．【点评】本题考查两线段比值的求法，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质、三角形相似的性质的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由已知得t=x﹣3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l：=0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．【点评】本题考查直线的普通方程及圆的直角坐标方程的求法，考查直线上的点到圆心的距离最小的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）由条件化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数f（x）的最小值．（2）根据=（+）•，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|=，故函数的减区间为（﹣∞，]，增区间为（，+∞），故当x=时，函数f（x）取得最小值为a=．（2）已知m，n＞0，m+n=a=，∴=（+）•=[1+++4]=+（+）≥+•2=6，当且仅当=时，取等号，故的最小值为6．【点评】本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的因公，属于中档题．。

2021年高三第二次调研考试数学（文）试卷含答案数学（文科）xx.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，，其中，是数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.平面向量，，若，则等于A ．B ．C ．D ．3.已知集合，，则A ．B ．C ．D ． 4.命题，，则为 A ．， B ．， C ．，D ．，5.已知直线，平面，则下列能推出的条件是 A.， B.， C.， D.，6.已知某路口最高限速，电子监控测得连续辆汽车的速 度如图1的茎叶图（单位：）．若从中任取辆， 则恰好有辆汽车超速的概率为A. B. C. D. 7.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于原点对称，则的 最小正值为A ．B ．C ．D ．8.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐近线与圆相切，则 此双曲线的离心率等于A ． B. C. D ． 9.如图2所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应 分别填写A ．，B ．，C ．，D ．，10.定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.已知，下列四个函数：①；②；③；④.其中是在上的“追逐函数”的有 A ．个 B.个 C ．个 D ．个（图1）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11.等差数列中，，则 ．12.若实数满足，则的最小值为 ．13.某几何体的三视图如图3所示，其中俯视图为半径为的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．（二）选做题：第14、15分．14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线：（为参数）与曲线：（为参数）相交于、两点，则_________． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，、是⊙的两条切线，切点分别为、．若，， 则⊙的半径为 ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．16．（本小题满分12分） 在中，已知,. （1）求与的值；（2）若角，，的对边分别为，，，且，求，的值.17．（本小题满分12分）A是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表：（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度为多少（保留整数）？18．（本小题满分14分）如图5，是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，且平面，. （1）证明：平面； （2）证明：.DCABE（图5）19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足，（）.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知平面上的动点与点连线的斜率为，线段的中点与原点连线的斜率为，()，动点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线的弦为直径；②过点；③直径．求的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数，且对任意，都有.（1）求，的关系式；（2）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围并证明；（3）在（2）的条件下，判断零点的个数，并说明理由．xx年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11．. 12．. 13． 14．． 15． .三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，已知,.（1）求与的值；（2）若角，，的对边分别为，，，且，求，的值. 解：（1），，…………………………………………………………………………………2分 又，………………………………………………………………………………3分 .………………………………………………………………………………4分 ，且，.………………………………………………………………………………………6分 （2）法一：由正弦定理得，，…………………………………………………………………………8分 另由得，解得或（舍去），………………………………………………………………11分 ，.………………………………………………………………………………12分 法二：由正弦定理得，，…………………………………………………………………………8分 又()cos cos cos()C A B A B π=--=-+，1111sin sin cos cos 1427A B A B =-=⨯=，……………………10分 得，即，………………………………………………………………………………………11分 ，.………………………………………………………………………………12分【说明】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力.17．（本小题满分12分）是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表：（1（2）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）若周六同一时间段的车流量是万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度为多少（保留整数）？解：（1）散点图如下图所示. ………………………………………………………………2分（2），，………6分51()()4534344564iii x x y y =--=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5222221()(4)(3)3450ii x x =-=-+-++=∑，，， …………………………………………………9分故关于的线性回归方程是：.…………………………………10分 （3）当时，所以可以预测此时的浓度约为.…………………………………………12分【说明】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力.18．（本小题满分14分）如图，是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，且平面，. （1）证明：平面； （2）证明：.证明：（1）取的中点，连结、，…………1分 是等腰直角三角形，， ，，………………2分 又平面平面，平面平面，平面，………………………………3分 由已知得平面，，…………………………………………………………………………………4分 又，四边形为平行四边形，……………………………………………………………5分 ，…………………………………………………………………………………6分 而平面，平面，平面.……………………………………………………………………………7分 （2）为的中点，为等边三角形，，…………………………………………………………………………………8分 由（1）知平面，而平面，可得，………………………………………………………………………………9分 ，平面，…………………………………………………………………………10分 而平面，，………………………………………………………………………………11分 又，，………………………………………………………………………………12分 而，，DCABE平面，…………………………………………………………………………13分 又平面，.…………………………………………………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足，（）. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式；（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.解：（1）当得，解得，………………………………………1分 当得，，解得，…………………………………………………………………………………3分 （2）当时，， 即，（），…………………………………………4分 另由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，……………………………………5分 .…………………………………………………………………………………6分 （2）把代入中得，即，……………………………………………………………………………7分2(2)1688(2)4(2)4(2)4n nn nm --+∴==--+-+-+，…………………………………………8分 要使是整数，则须有是整数，能被整除，……………………………………………………………………9分 当时，，，此时，……………………………10分 当时，，，此时，………………………………11分 当时，，，此时，………………………12分 当，，不可能是整数，…………………………………13分 综上所求，所求满足条件的整数对有，，.………………………14分【说明】本题主要考查等比数列的定义，会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公式，考查考生运算求解、推理论证、处理变形的能力.20．（本小题满分14分）已知平面上的动点与点连线的斜率为，线段的中点与原点连线的斜率为， ()，动点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线的弦为直径；②过点；③直径．求的取值范围．解：（1）设，记的中点为，所以．由题意 （）， （），由可得：（），化简整理可得：（），曲线的方程为（）．……………………………………………6分（2）由题意，若存在以曲线的弦为直径的圆过点，则有，所以直线、的斜率都存在且不为，设直线的斜率为（不妨设），所以直线的方程为，直线的方程为，将直线和曲线的方程联立，得，消整理可得，解得，所以，以替换，可得222222221m k m NB m k m k==++， 又因为，即有，所以，所以，即，（1）当时，，解得；（2）当 时，方程有，所以方程有唯一解；（3）当时，方程有，且，所以方程有三个不等的根．综上，当 时，恰有一个圆符合题意．21．（本小题满分14分）已知函数，且对任意，都有.（1）用含的表达式表示；（2）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围，并证明；（3）在（2）的条件下，判断零点的个数，并说明理由．解：（1）法一：根据题意：令，可得，∴，…………………………………………………………………………1分经验证，可得当时，对任意，都有，∴．………………………………………………………………………………………2分 法二：1()()ln ln b a f x f x ax x bx x x x+=-+--+ ，，………………………………………………1分∴要使上式对任意恒成立，则须有，即.……………………………2分（2）由（1）可知，且，，………………………………………………………3分令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，20102140(0)0a a a g a >⎧⎪⎪>⎪∴⎨⎪∆=->⎪=-<⎪⎩或20102140(0)0a aa g a <⎧⎪⎪>⎪⎨⎪∆=->⎪=->⎪⎩，解得或无解，………………………5分 的取值范围,可得， 由题意知2ln 22ln 2222ln )2(3322--+=+-=a a a a a a a f ， 令，则，而当时，，即，在上单调递减， ∴1163()()2ln 24ln 23ln e 021616h x h >=-+-->->， 即时，．……………………………………………………………7分（3）∵，，令得：，，由（2）知时，的对称轴，，，∴，又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以最多只有三个不同的零点,…………………………………………………10分又∵，∴在上递增，即时，恒成立，根据（2）可知且所以，即∴，使得，……………………………………………………12分由，得，又，∴恰有三个不同的零点：.综上所述，恰有三个不同的零点．………………………………………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.殷木森、蔡俊杰、李勇魏显峰q26079 65DF 旟332330 7E4A 繊29566 737E 獾24293 5EE5 廥35286 89D6 觖22869 5955 奕21167 52AF 劯W34562 8702 蜂^P20721 50F1 僱39389 99DD 駝。

度下学期高三数学(理科)试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U= {小于7的正整数)，{}{}21257100,,A B x x x x N ==-+≤∈，，，则()U A C B ⋂=A.{}1B. {}2C. {}12，D. {}125，，2．设复数12z i =+(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为 A ．()3,2-B ．(5，4)C ．(－3，4)D ．(3，4)3．设a R ∈，则“3a >”是“函数()log 1a y x =-在定义域内为增函数”的 A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()201821n n S a n N a *=-∈=，则 A. 20162B. 20172C. 20182D. 201925．已知双曲()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点，当2AB CD =时，双曲线的离心率为 A ．2B ．62C ．51+ D ．62+ 6．已知随机变量X 服从正态分布()()3,1240.6826N X ≤≤=，且P ，则()4P X >= A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6D. 0.158 57．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．424π++B ．2424π+C ．2422π+D ． D ．2224π++8．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是 A ．()ca f x dx ⎰B ．()ca f x dx ⎰C ．()()bcabf x dx f x dx +⎰⎰D ．()()cbbaf x dx f x dx -⎰⎰9.执行如图所示的程序框图，令()y f x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围是 A. ()(],22,5-∞⋃B. ()(),11,-∞-⋃+∞C. ()(),22,-∞⋃+∞D. ()(],11,5-∞-⋃A. ()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. ()2sin 2g x x =D. ()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的向左、右焦点分别为12F F P ，，是椭圆上一点，12PF F ∆是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120PF F <∠<，则该椭圆的离心率的取值范围是 A. 3112⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭， B. 31122⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭， C. 112⎛⎫⎪⎝⎭，D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12.已知在数列{}()112,1,n n n n a a n a a a n N *+=-=+∈中，，若对于任意的[]2,2a ∈-，n N *∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为C. (][),12,-∞-⋃+∞D. []2,2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()()1,,3,1,1,2a b c λ===，若向量2a b c -与共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为___________.14.若不等式组0,0,260,0x y x y x y m ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≤⎪⎪-+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域，则实数m 的取值范围是___________.15.在三棱锥A BCD ABC BCD -∆∆中，与都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为2015π，则ABC ∆的边长为__________.16.若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线()ln 2y x =+的切线，则实数b=__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.（12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为5,,,cos cos 3a b c c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求cos B 的值；（2）若172,cos 17a C ABC ==-∆，求的外接圆的半径R.18.（12分）如图，在四棱锥222=P ABCD PA PD AD CD BC ADC -=====∠中，，且=90BCD ∠.（1）当PB=2时，证明：平面PAD ⊥平面ABCD. （2）当四棱锥P ABCD -的体积为34，且二面角P AD B --为钝角时，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.19.（12分）一只药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：℃）有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表所示.经计算得()()()26666111111=26,33,55766i i i i i i i i i i x x y y x x x y y x x =======--=-∑∑∑∑， 84=，()6213930i i y y=-=∑，线性回归模型的残差平方和()621236.64,i ii y y =-=∑8.06053167e ≈，其中,i i x y 分别为观测数据中的温度和产卵数，1,2,3,4,5,6.i =（1）若用线性回归模型，求y x 与的回归方程y bx a =+（结果精确到0.1）.（2）若用非线性回归模型预测当温度为35℃时，该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()()()2121122111,;1nniiii i nn ii i xxy y yy b a y bx R xxyy====---==-=--∑∑∑∑.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:12x T y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点.（1）求抛物线C 的标准方程以及MF 的值.（2）记抛物线的准线l x '与轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ=，且22854HA HB +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()()2ln ,3x f x x x g x x ax e ==-+-（a 为实数）. （1）当5a =时，求函数()g x 的图像在1x =处的切线方程； （2）求()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（3）若存在两个不等实数121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使方程()()2xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a . （1）求a 的值；。

2021年湖北省孝感市高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是虚数单位，则复数的共轭复数是A、1－B、－1＋C、1＋D、－1－参考答案：C∴复数的共轭复数是说明：⑴形如Z=a + bi（其中）称为复数，a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）为z的共轭复数.⑵两个复数相等的定义：.⑶复数集是无序集，不能建立大小顺序。

两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.①若为复数，则若，则.（×）若，则.（√）②特别地：⑷2. 设函数,将的图像向右平移个单位,使得到的图像关于对称,则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：B略3. 函数y=sin(2x+)在区间[0，π]上的一个单调递减区间是（）A．[0，] B．[，] C．[，]D．[，]参考答案：B【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用正弦函数的单调性及可求得答案．【解答】解：由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），令k=0得≤x≤，∴函数y=sin（2x+）在区间[0，π]上的一个单调递减区间为[，]．故选B．4. 若函数对定义域R内的任意都有=，且当时其导函数满足若则A． B．C． D．参考答案：C略5. 规定表示不超过的最大整数，，若方程有且仅有四个实数根，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、参考答案：B略6. 没函数，则下列结论错误的是A．的值域为{0，1} B．是偶函数C．不是周期函数D．不是单调函数参考答案：7. 设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：D如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．8. 已知集合M={x︱2x≥},N={y︱x2+y2=4,x∈R,y∈R}︳，则M ∩ N（）A. B.C. D.N参考答案：D略9. 是虚数单位，若复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A10. 命题“对任意的x∈R，sinx≤1”的否定是( )A．不存在x∈R，sinx≤1B．存在x∈R，sinx≤1C．存在x∈R，sinx＞1 D．对任意的x∈R，sinx＞1参考答案：C考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，sinx≤1”的否定是：存在x∈R，sinx＞1．故选：C．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量则实数k 等于______.参考答案：12. 正方体的棱长为2，则三棱锥与三棱锥公共部分的体积等于_______参考答案：【知识点】几何体的结构，几何体的体积. G1解析：设,取中点P ，则 三棱锥与三棱锥公共部分的体积为.【思路点拨】画出图行可知两三棱锥公共部分的结构，从而利用三棱锥的体积公式求解.13. 已知正项等比数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n （n∈N*），且，则S4=．参考答案：15【考点】89：等比数列的前n 项和．【分析】由题意先求出公比，再根据前n 项和公式计算即可．【解答】解：正项等比数列{a n }中，a 1=1，且，∴1﹣=，即q 2﹣q ﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S 4==15，故答案为：15．14. 若不等式|ax 3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a 取值范围是 ．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题． 【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】令g （x ）=ax 3﹣lnx ，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a 取值范围．【解答】解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．令g （x ）=ax 3﹣lnx ，①当a≤﹣1时，对任意x∈（0，1]，，g （x ）在（0，1]上递减，g （x ）min=g （1）=a≤﹣1，此时g （x ）∈，，∴函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增∴|g（x ）|的最小值为≥1，解得：．∴实数a 取值范围是【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．15. 设变量、满足约束条件 则目标函数的最大值为_______．参考答案：16. 已知函数y=的图象与函数y=kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．参考答案：（0，1）∪（1，2）【考点】函数的零点与方程根的关系． [来源:Z,xx,] 【专题】函数的性质及应用．【分析】函数y===，如图所示，可得直线y=kx 与函数y=的图象相交于两点时，直线的斜率k 的取值范围．【解答】解：函数y===，如图所示：故当一次函数y=kx 的斜率k 满足0＜k ＜1 或1＜k ＜2时，直线y=kx 与函数y=的图象相交于两点，故答案为 （0，1）∪（1，2）．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想， 属于基础题．17. 已知，sin()=－sin则cos=_____.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2021届湖北省孝感高级中学高三下学期2月调研考试数学试题一、单选题1．若集合{}240∣=-<A xx ，{lg 0}B x x =<∣，则A B =（ ） A ．(2,1)- B ．(2,2)- C ．(0,1) D ．(0,2)【答案】C【分析】解不等式，求出集合A 与集合B 所表示区间，直接求交集. 【详解】解：{}240(2,2)A xx =-<=-∣， {lg 0}(0,1)B x x =<=∣， 故(0,1)A B =， 故选：C.2．已知命题:p x ∀∈R ，20x ≥，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x <B ．x ∀∉R ，20x ≥C ．0x ∃∈R ，200x ≥D ．0x ∃∈R ，200x <【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，则p ⌝是“0x ∃∈R ，200x <”.故选：D.3．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅= A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D【详解】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.4．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按两项测试分别是否合格分层抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ）A ．1人B ．2人C ．5人D ．6人【答案】C【分析】由已知可确定两项都合格的人数，由分层抽样原则可构造方程求得结果. 【详解】由题意可知：立定跳远合格且100米跑不合格的共有5人；100米跑合格且立定跳远不合格的共有10人；两项都合格的共有25人； 设抽出来复测的同学中，两项都合格的有x 人，∴25945x =，解得：5x =； 即抽出来复测的同学中，两项都合格的有5人. 故选：C.5．如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326,2326δ︒︒'⎡⎤∈-⎣⎦'.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427︒'''，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）A ．北纬5533︒'''B ．南纬5533︒'''C ．北纬55427︒'''D ．南纬55427︒'''【答案】B【分析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角90(395427)45θδ︒︒︒'''=--=可得结果.【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角90(395427)50533θδδ︒︒︒''''''=--=+， 由华表的高和影长相等可知45θ︒=，所以5533δ︒'''=-. 所以该天太阳直射纬度为南纬5533︒'''， 故选：B .【点睛】关键点睛：本题的解题关键是理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，从而进行计算.6．若函数()()3212f x ax a x x =+--为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为（ ）A ．4y x =+B ．4y x =-C ．2y x =+D ．2y x =-【答案】C【分析】根据函数()f x 为奇函数，求得10a -=，解得1a =，得到()32f x x x =-，再利用导数的几何意义，即可求解在点()()1,1f --处的切线方程.【详解】由题意，函数()()3212f x ax a x x =+--为奇函数，则()00f =，即10a -=，解得1a =，从而()32f x x x =-，()232f x x '∴=-，()11k f '∴=-=，且()11f -=，∴切线方程为11y x -=+，即2y x =+. 故选：C .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，过点2F 的直线与双曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，23PM F M=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．53y x =±B ．35y x =±C ．43y x =±D ．34yx 【答案】D【分析】利用勾股定理和双曲线的定义，求得21cos bPF F c∠=，24PF b =和142PF b a =-，再在12PF F ∆中，由余弦定理和222+=a b c ，取得ab的值，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意，在直角2OMF ∆中，可得2F M b =，所以21cos b PF F c∠=， 又因为23PM F M=，所以3PM b =，所以24PF b =，且142PF b a =-，在12PF F ∆中，由余弦定理可得222212121212cos 2PF F F PF b PF F c PF F F +-∠==⨯⨯()()()2224242242b c b a b c+--=⨯⨯，代入222+=a b c ，解得34a b =， 所以双曲线的渐近线方程为34y x . 故选：D .【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，以及双曲线的渐近线的求解，其中解答中熟记双曲线的定义和几何性质是解答关键，着重考查了推理与运算能力. 8．已知222ln ,,ln 12ln m n p πππ===--，则（ ）A ．n p m >>B ．p n m >>C ．m n p >>D ． n m p >>【答案】A【分析】根据,,m n p 的结构特征，将m 的分子化为2，利用做差法分别比较各数的分母大小，即可得出结论.【详解】可知0,0,0m n p >>>， 因为22222,ln 12ln lnlnn p e eππππ====--， 又223lnln lnln10e ee πππ-=<=，所以2ln ln e e ππ<，故n p >，而22ln 1ln m ππ==， 而11(2ln )ln 220ln ln ππππ--=+->>， 所以12ln ln ππ>-，22ln 2ln ππ<-，即<m p .因此，n p m >>. 故选：A.【点睛】本题考查做差法比较代数式的大小，利用对数函数的单调性和不等式的性质是解题的关键，属于中档题.二、多选题9．在ABC 中，2,1AB AC ==，2,AB AC AP +=则（ ） A ．0PB PC ⋅> B ．0PB PC += C ．1122PB AB AC =- D ．34AP BP ⋅=-【答案】BCD【分析】由2AB AC AP +=可得0PB PC +=，B 正确；由0PB PC +=可得PB PC ⋅20PC =-<，A 不正确；根据向量减法的三角形法则以及0PB PC +=可得C 正确，由2AB AC AP +=和1122PB AB AC =-可得D 正确. 【详解】因为2,AB AC AP +=所以0AB AP AC AP -+-=，所以0PB PC +=，故B 正确；所以PB PC =-，所以PB PC ⋅20PC =-<，故A 不正确； 因为111222AB AC CB -=11()()22PB PC PB PB PB =-=+=，故C 正确； AP BP ⋅=1()2AB AC ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦1()2AB AC ⎡⎤⋅--⎢⎥⎣⎦221()4AB AC =--13(41)44=--=-，故D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用向量的线性运算和数量积的运算律求解是解题关键. 10．已知函数()2(cos cos )sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线π4x =对称C ．()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的值域为[2,2]-【答案】CD【分析】对于A ，利用周期的定义判断即可；对于B ，判断()()2f x f x π-=是否成立即可；对于C ，在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上求出()f x 的解析式直接判断；对于D ，把函数解析式化简后判断【详解】解：对于A ，因为()2(cos()cos())sin()2(cos cos )sin ()f x x x x x x x f x ππππ+=+++⋅+=--⋅≠，所以()f x 的最小正周期不是π，所以A 错误； 对于B ，因为()2cos()cos()sin()2(sin sin )cos ()2222f x x x x x x x f x ππππ⎛⎫-=-+-⋅-=+⋅≠ ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，所以B 错误； 对于C ，当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2(cos cos )sin 4cos sin 2sin 2f x x x x x x x =+⋅==，所以 ()f x在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以C 正确；对于D ，2sin 2,22,22()2(cos cos )sin 30,22,22x k x k k Z f x x x x k x k k Z ππππππππ⎧-+≤≤+∈⎪⎪=+⋅=⎨⎪+<<+∈⎪⎩，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以()f x 的值域为[2,2]-，所以D 正确， 故选：CD11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段MP 的最大值为34C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+5【答案】BD【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，根据MP CN ⊥，确定点P 的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为111,BD B C 的中点，则()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,0C ，所以1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为MP CN ⊥，所以1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，2430x z +-=，当1x =时，14z =；当0x =时，34z =；取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以四边形EFGH 为矩形， 则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥，又EFEH E =，且EF ⊂平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，所以CN ⊥平面EFGH ，又111,,224EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以M 为EG 中点，则M ∈平面EFGH ，所以，为使MP CN ⊥， 必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体的表面上运动，所以点P 的轨迹为四边形EFGH ，因此点P 不可能是棱1BB 的中点，即A 错； 又1EF GH ==，52EH FG ==EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形；且矩形EFGH 的周长为222+=C 错，D 正确； 因为点M 为EG 中点，则点M 为矩形EFGH 的对角线交点，所以点M 到点E 和点G 的距离相等，且最大，所以线段MP 的最大值为max 1324MP EG =，故B 正确. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MP CN ⊥，求出动点轨迹图形，即可求解.12．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n (n ∈N )次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ，则下列结论正确的是（ ） A ．p 2＝1627，q 2＝727B ．数列{2p n ＋q n －1}是等比数列C ．X n 的数学期望E (X n )＝113n⎛⎫+ ⎪⎝⎭(n ∈N )D ．数列{p n }的通项公式为p n ＝31111109235nn⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(n ∈N )【答案】BC【分析】利用已知条件求出113p =，123q =，推出2p ；2q 即可判断A ．推出11239n n n p p q +=+，11293n n q q +=-+，得到11122(2)33n n n n p q p q +++=++，推出11121(21)3n n n n p q p q --+-=+-，说明数列{21}n n p q +-是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即判断B ，C ；把1n =代入，可判断D ．【详解】解：由题意可知：113p =，123q =，则211121733327p p q =+⨯=； 2112221116()3333327q p q =+⨯+⨯=．故A 错误； 由题意可知：11211233339n n n n n p p q P q +=+⨯=+，122211212()(1)33333393n n n n n n q p q p q q +=+⨯+⨯+--=-+， 两式相加可得：11212122(2)33333n n n n n n p q p q p q +++=++=++， 11122(2)33n n n n p q p q --∴+=++，11121(21)3n n n n p q p q --∴+-=+-，111213p q +-=，∴数列{21}n n p q +-是首项为13，公比为13的等比数列，故B 正确； 数列{21}n n p q +-是首项为13，公比为13的等比数列，121()3n n n p q ∴+-=，即12()13n n n p q +=+，1()20(1)()13n n n n n n E X p q p q ∴=++⨯--=+，*()n N ∈，故C 正确；若数列{}n p 的通项公式为*31111()()()109235n n n p n N =--+∈， 则1311111()01092353p =⨯--⨯+=≠，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题13．262(1)()x x x+-展开式中含2x 的项的系数为_______． 【答案】-100【分析】先求出62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含2x 的系数，再求62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项，合并求得结果.【详解】62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：662166(2)2rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令620r -=，解得3r =，33316(2)160T C +∴=-⋅=-，令622r -=，解得2r ，22216(2)60T C +∴=-⋅=，()6212x x x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭展开式中含2x 的项的系数为：16060100-+=-，故答案为：-100.【点睛】该题考查二项展开式中某一项系数的求解，属于基础题目.14．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB 、直角边BC 、AC ，N 为AC 的中点，点D 在以AC 为直径的半圆上.已知以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，3sin 5DAB ∠=，则cos DNC ∠=______．2437- 【分析】先求出6CAB π∠=，设DAB α∠=，则23DNC πα∠=-，求出22cos ,sin αα，即得解.【详解】因为以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为3， 所以:3,6AC BC CAB π=∴∠=,设DAB α∠=，则62ππα<<，且2()263DNC ππαα∠=-=-，由已知得：4sin 5α，整理得3cos 5α=，所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 225α=．所以cos cos(2)cos2cos sin 2sin333DNC πππααα∠=-=+． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是建立DNC ∠和DAB ∠的关系，即得到23DNC πα∠=-.实际上是数学的转化思想的应用，要把未知的转化为已知，再去解答.15．已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 则球面与正方体的表面相交所得的曲线的长等于___________. 【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，另一类在不过顶点A 的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果. 【详解】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B ，面ABCD ，面11AA D D ；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C ，面11CC D D，面1111D C B A 上，在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上， 1213AE AA ==，则16A AE π∠=，同理，6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 6π=，而这样的弧共有三条，在面11BB C C 上，交线为弧FG ，且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B2FBG π∠=，所以弧FG2π=，这样的弧也有三条，所以，所得的曲线长为33=故答案为：536π.【点睛】本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键.四、双空题16．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同.现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望()E X =______． 【答案】31065【分析】现从中任意取出3个小球，基本事件总数3510n C ==，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数21233m C C ==，由此能求出其中恰有2个小球颜色相同的概率；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望()E X ．【详解】解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数3510n C ==，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数21233m C C ==，∴其中恰有2个小球颜色相同的概率是310m p n ==； 若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2，()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===，∴数学期望()16360121010105E X =⨯+⨯+⨯=． 故答案为310，65． 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．五、解答题17．已知ABC的面积为求：（Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值.条件①:6a =,1cos 3=-C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.【分析】选择条件①（Ⅰ）根据三角形的面积公式和余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据正弦定理求sin ,sin A B ，利用同角三角函数的关系求得其余弦值，再由差角的正弦公式可求得答案；选择条件②（Ⅰ）由已知得出三角形为等腰三角形，再由三角形的面积公式和余弦定理直接求解得答案；（Ⅱ）根据正弦定理和三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再由正弦的差角公式可求得结果． 【详解】若选择条件①：解：（Ⅰ）在ABC 中，因为1cos 3=-C ，所以(,)2C ππ∈，sin 3C ==因为1sin 2S ab C ==6a =，所以2b =.由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，所以c =（Ⅱ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，可得62sin sin A B =.所以sin A =sin B .因为,(0,)2A B π∈，所以cos Acos B . 所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- 若选择条件②：解：（Ⅰ）在ABC 中，因为A C =，所以a c =.因为7cos 9B =-，所以(,)2B ππ∈，sin B =.因为211sin 22S ac B c ===所以a c ==.由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，所以8b =. （Ⅱ）由正弦定理得sin sin a b A B=，所以1sin sin 3a A B b ==. 因为(0,)2A π∈，所以cos A ==所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-1723()3927=⨯-=-. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，属中档题，解决问题的关键在于根据已知的边，角，选择合适的公式.18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()23n n S na n n N *-=∈，且25a =．（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）设n b n T 为数列|{}n b 的前n项和，求使n T >整数n 的值．【答案】（1）证明见解析，()21n a n n N *=+∈；（2）8.【分析】（1）分析得到1223n n n a a a n --=+≥（），即证数列{}n a 为等差数列，再求其通项公式；（2）化简得12n b =，再利用裂项相消法求和得到n T，解不等式12. 【详解】（1）由23n n S na n -=①可得， 当2n ≥时，()()112131n n S n a n ----=-②，①﹣②得，()()11232n n n a n a n ----=≥（），所以当3n ≥时，()()21233n n n a n a -----=， 所以()()()()1211223n n n n n a n a n a n a ------=---，整理得1223n n n a a a n --=+≥（），所以{}n a 为等差数列． 又1123S a -=，所以13a =， 又25a =，所以212a a -=，所以()21n a n n N *=+∈．（2）由（1）可得，n b =12=，所以12n T =12=．要使n T >12>， 解得638n >，又n *∈N ，所以n 的最小值为8． 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征灵活熟练选择求和方法.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.（Ⅰ）求证：BE ⊥平面1AB C ； （Ⅱ）求二面角1C AB D --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）306. 【分析】（Ⅰ）由直三棱柱的性质结合AB AC ⊥可得AC ⊥平面11AA B B ，进而AC BE ⊥，结合1BE AB ⊥即可得线面垂直；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A xyz -，平面1AB C 的一个法向量为(2,0,1)BE =-，求出平面1AB D 的一个法向量为(2,1,1)n =-，求出两法向量夹角的余弦值即可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AC ⊥.因为AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，所以AC ⊥平面11AA B B . 因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥. 因为1BE AB ⊥，1AC AB A ⋂=， 所以BE ⊥平面1AB C .（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,,AB AC AA 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ，，,1(2,0,4)B ,(0,2,2)D ,(2,0,0)B . 设)(0,0,E a ，所以1(0,2,2),(2,0,4),(2,0,)AD AB BE a ===-， 因为AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =. 所以平面1AB C 的一个法向量为(2,0,1)BE =-. 设平面1AB D 的法向量为(,,)n x y z =，所以100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以220,240.y z x z +=⎧⎨+=⎩ 即,2.y z x z =-⎧⎨=-⎩ 令1z =-，则2,1x y ==，所以平面1AB D 的一个法向量为(2,1,1)n =-.所以530cos ,6||||65n BE BE n n BE ⋅-<>===-⨯.由已知，二面角1C AB D --为锐角， 所以二面角1C AB D --的余弦值为306. 20．红铃虫（Pectinophora gossypiella ）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y （个）和温度x （C ）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①bx a y e +=，②2y cx d =+分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.根据收集到的数据，计算得到如下值：xzt()821ii xx =-∑()821i i t t =-∑()()81ii i zz x x =--∑()()81iii y y tt =--∑252.89646 168 422688 48.48 70308表中ln i i z y =；118i i z z ==∑；2i i t x =；8118i i t t ==∑；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y 关于x 的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为34C 时，产卵数y 的预报值. 参考数据： 5.41224e ≈， 5.50245e ≈， 5.59268e ≈.附：对于一组数据11(),v ω，22(,)v ω，⋅⋅⋅，(,)n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1122ˆni i ii ni v n vn ωβωωω===--∑∑，ˆˆv αβω=-. 【答案】（1）选择模型①，理由见解析；（2）0.29 4.36ˆx ye -=，245个. 【分析】（1）由残差图可知模型①拟合度更高，由此可得结论；（2）令ln z y =，利用最小二乘法可求得z 与温度x 的线性回归方程，由此可求得产卵数y 关于温度x 的回归方程；将34x =代入回归方程即可求得预报值. 【详解】（1）应该选择模型①.由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适.（2）令ln z y =，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则ˆˆˆz abx =+. ()()()8811882112248.480.29168ˆi ii i i i i i i i x x z z bx x x z nx z x nx====--∴=-==--≈∑∑∑∑，ˆˆ 2.890.2925 4.36az bx =-=-⨯≈-， 则z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.29 4.36zx =-，即ln 0.29 4.36y x =-， ∴产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.29 4.36ˆx y e -=当34x =时，0.2934 4.36 5.50245y e e ⨯-==≈（个）∴在气温在34C 时，一个红铃虫的产卵数的预报值为245个.【点睛】思路点睛：求解非线性回归的回归方程时，需通过对回归方程变形，将方程转化为线性回归的形式，从而利用最小二乘法求得线性回归方程后，进一步化回非线性的形式.21．已知椭圆22:142x y C +=.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和长轴长；（Ⅱ）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点. 是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ4；（Ⅱ）存在，当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-.【分析】（Ⅰ）根据椭圆方程可得24a =，22b =，即可求出a ，b ，再根据222a b c =+，求出c ，即可求出离心率与长轴长；（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，设AB 中点00(,)G x y ，即可表示出G 的坐标，假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，又因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=.即可求出k 的值，从而求出P 的坐标；【详解】解：（Ⅰ）由题意：24a =，22b =，所以2a =. 因为222a b c =+，所以22c =，c =所以2c e a ==. 所以椭圆C4. （Ⅱ）联立222,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得：22(21)840k x kx +++=. 因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0>，解得212k >.设()()1122,,,A x y B x y ，则122821k x x k -+=+，122421x x k =+. 设AB 中点00(,)G x y ， 则12024221x x k x k +-==+，0022221y kx k =+=+， 故2242(,)2121k G k k -++. 假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，所以222211421k k k m k +⨯=--+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1k P k -，. 又因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=.所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=.整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=.所以222248(1)(2)402121kk k m m k k +⋅--⋅++=++， 代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =. 当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-.此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-．（1）若函数()f x 在()0,∞+上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当12a ≤<时，证明：函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点． 【答案】（1）2a ≤；（2）证明见解析.【分析】（1）由()cos x f x e a x '=-+，根据条件即cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，设()cos xh x e x =+，求出其导数，得出单调性，求出最小值，可得答案.（2）由()()2=00=0g g ，，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点．所以即证函数()f x 在(),0-∞上有且仅有1个零点，分(],πx ∈-∞-和()π,0x ∈-分别讨论即可证明.【详解】（1）因为()cos xf x e a x '=-+，由函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立.令()cos x h x e x =+，()0,x ∈+∞，()sin xh x e x '=-当0x >时，e 1x >，所以()sin 0xh x e x '=->恒成立.所以()h x 在()0,∞+为增函数．所以()()02h x h >= 所以2a ≤．（2）由()()()()()2sin 12xe ax g xf x x x x -+=---=，则()()2=00=0g g ，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点． 所以下面证函数()f x 在(),0-∞上有且仅有1个零点．①当(],πx ∈-∞-时，∵12a ≤<，∴πax -≥，∴()πsin 10xf x e x ≥++->．无零点．②当()π,0x ∈-时，∵sin 0x <，设()()()','sin 0xu x f x u x e x ==->，∴()f x '在()π,0-上递增，又∵()020f a '=->，()ππ10f e a -'-=--<，∴存在唯一零点()0π,0x ∈-，使得()00f x '=． 当()0π,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 在()0π,x -上递减； 当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,0x 上递增． 所以，函数()f x 在()π,0-上有且仅有1个零点． 故函数()f x 在(),0-∞上有且仅有1个零点．综上：当12a ≤<时，函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．【点睛】关键点睛：本题考查由函数单调性求参数范围和利用导数讨论函数零点个数问题，解答本题的关键是将问题转化为cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，以及由()()2=00=0g g ，，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点．所以即证函数()f x 在(),0-∞上有且仅有1个零点，属于难题.。

湖北省孝感高级中学2021届高三英语下学期2月调研考试试题（含解析）第I卷(选择题)(共95分)第一部分听力（共两节，满分30分）第一节1. What is Joey doing now?A. Making a pudding.B. Playing a video game.C. Decorating a Christmas tree.2. How will the speakers go to Hangzhou?A. By car.B. By plane.C. By train.3. What is the weather like now?A. Warm.B. Hot.C. Cold.4. Why does the woman look unhappy?A. She has to work overtime.B. She can’t go to the movies.C. She doesn’t feel well.5. What are the speakers probably talking about?A. A scenic spot.B. A painting.C. A photo.第二节：（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面一段较长对话，回答以下小题。

6. What edition of the book should the man read?A. The second edition.B. The third edition.C. The fourth edition.7. What’s the probable relationship be tween the speakers?A. Professor and student.B. Classmates.C. Librarian and reader.听下面一段对话，回答以下小题。

8. What injury is Mike suffering now?A. A broken leg.B. A broken arm.C. A head injury.9. Why did the accident happen to Mike probably?A. He got distracted.B. He ran a red light.C. He drove too fast.10. Where does the conversation probably take place?A. In a hospital.B. In an office.C. In a police station.听下面一段对话，回答以下小题。