第2章 习 题
2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应
（1）0)(2)(3
)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt d
y ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dt
d y ；
（3）0)(2)(2
)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt d
y ； （4）0)()(2
)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt
d
y ； （5）0)()(2)(2233=+
+t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22
===---y dt d y dt d y 。 （6）0)(4
)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt
d
y 。 解：
（1）微分方程的特征方程为：2
320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t t
h y t Ae Be --=+.
由(0)3,
(0)2d
y y dt
--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85t
t
y t e e
--=-.
（2）微分方程的特征方程为：2
40λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.
因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.
由(0)1,
(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2
A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1
()cos(2)sin(2)2
y t t t =+.
（3）微分方程的特征方程为：2
220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())t
h y t e A t B t -=+.
由(0)1,
(0)2d
y y dx
--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.
所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())t
y t e t t -=+.
（4）微分方程的特征方程为：2
210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.
因此该方程的齐次解为：()()t
h y t At B e -=+. 由(0)1,
(0)2d
y y dx
--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)t
y t t e -=+.
（5）微分方程的特征方程为：32
20λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()t
h y t A Bt C e -=++.
由2
2(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt
---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.
所以方程的零输入响应为:()5(34)t
y t t e -=-+.
（6）微分方程的特征方程为：2
40λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()t
h y t A Be -=+.
由(0)1,
(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22
A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22
t
y t e -=-.
2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。
（1）()()t u e t x t x t y t y dt
d
t y dt d t -==++),(3)(6)(5
)(22； （2）()()t u e t x t x t x dt
d
t y t y dt d t y dt d t 222),(4)()(2)(3
)(-=+=++； （3）
()()()t u e t x t x t x dt
d
t y t y dt d t 2,)()(3)(-=+=+； （4）()()t u t x t x t x dt
d
t y dt d t y dt d t y dt d =+=++),(8)(3)(8
)(4)(2233。 解：
（1）：
将()x t 带入到原方程得到：()22()5
()6()3t d d
y t y t y t e u t dt dt
-++=
特征方程为：2
560λλ++=，解得特征根 122, 3.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：23()t t
h y t Ae Be --=+.
可设其特解为:()t p y t ce -=,将()t p y t ce -=代入上述微分方程,有:
22()5()6()3t t t t
d d c
e ce ce e dt dt ----++=,解得特解为: 3()2
t p y t e -=.
可得完全解:233
()2
t
t t y t Ae Be e ---=++.
根据冲击函数匹配法，系统在0-t <<0+时的微分方程:
22()5
()6()3()d d
y t y t y t u t dt dt
++=∆,得到: 2'
2()()()()()()()()()d y t a t b t c u t dt d y t a t b u t dt y t a u t δδδ⎧=++∆⎪⎪
⎪
=+∆−−→⎨
⎪
=∆⎪
⎪⎩
'()()()5()5()6()3()a t b t c u t a t b u t a u t u t δδδ++∆++∆+∆=∆
从而有：''
(0)(0)0
(0)(0)0y y a y y b +=-+=⎧⎨
+=-+=⎩
。 将233
()2
t
t t y t Ae
Be e ---=++代入得：
33023323022
A A
B B A B ⎧
=-++=⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨=⎪⎪---=⎩⎪⎩
故系统的零状态响应为：323
3()(3)()2
2
t
t
t y t e e e u t ---=+-
（2）。
将()()2t
x t e u t -=带入原方程得到：()222()3()2()()2t
d d y t y t y t t
e u t dt dt
δ-++=+
