新高考与数学教学习题：(学生版)人教A版选修2-1课本例题习题改编)

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题课后篇巩固提升1.已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x 2-5x+6=0.其中是命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析①不能判断真假,不是命题;②变量x 的值不确定,无法判定其真假,不是命题;③④都是命题. 答案B2.下列命题正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定四个平面解析因为四点不共面,所以任意三点不共线,又不共线的三点确定一个平面,所以不共面的四点可以确定四个平面. 答案D3.下列命题中的假命题是( ) A.若log 2x<2,则0<x<4B.若a 与b 共线,则a 与b 的夹角为0°C.已知各项都不为零的数列{a n }满足a n+1-2a n =0,则该数列为等比数列D.点(π,0)是函数y=sin x 图象上一点解析B 中当a 与b 共线,但方向相反时,a 与b 的夹角为180°,所以B 是假命题. 答案B4.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( ) A.这个四边形的对角线互相平分 B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直D.这个四边形是平行四边形解析把命题改写成“若p ,则q ”的形式后可知C 正确.故选C. 答案C5.命题“关于x 的方程ax 2+2x+1=0有两个不等实数解”为真命题,则实数a 的取值范围为 .解析由题意知{a ≠0,Δ=4-4a >0,解得a<1,且a ≠0.答案(-∞,0)∪(0,1)6.下列语句中是命题的有 ,其中是真命题的有 (填序号).①“垂直于同一条直线的两个平面必平行吗?”②“一个数不是正数就是负数”;③“在一个三角形中,大角所对的边大于小角所对的边”;④“若x+y 为有理数,则x ,y 都是有理数”;⑤作一个三角形.解析①是疑问句,没有对垂直于同一直线的两个平面是否平行作出判断,不是命题.②是假命题,数0既不是正数也不是负数.③是真命题,在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边.④是假命题,如x=√3,y=-√3.⑤是祈使句,不是命题. 答案②③④ ③7.有下列语句:①集合{a ,b }有2个子集;②x 2-4≤0;③今天天气真好啊;④f (x )=2log 3x (x>0)是奇函数;⑤若A ∪B=A ∩B ,则A=B.其中真命题的序号为 .解析①是命题,但不是真命题,因为{a ,b }应有4个子集;②不是命题;③不是命题;④是假命题,f (x )=2log 3x (x>0)是非奇非偶函数;⑤是命题且是真命题. 答案⑤8.判断下列命题的真假:(1)形如a+b √6的数是无理数; (2)正项等差数列的公差大于零; (3)奇函数的图象关于原点对称; (4)能被2整除的数一定能被4整除.解(1)假命题.反例,若a=1,b=0,则a+b √6为有理数.(2)假命题.反例,正项等差数列为递减数列时,公差小于零,如数列20,17,14,11,8,5,2,它的公差为-3.(3)真命题.(4)假命题.反例,数6能被2整除,但不能被4整除. 9.将命题“已知a ,b 为正数,当a>b 时,有√a 2>√b 2”写成“若p ,则q ”的形式,并指出条件和结论. 解根据题意,写成“若p ,则q ”的形式为:已知a ,b 为正数,若a>b ,则2>√b 2.其中条件p :a>b ,结论q :√a 2>√b 2.10.已知命题p :方程x 2-2x-a=0没有实数根;命题q :不等式x 2-ax+4>0对一切实数x 恒成立.若命题p 和q 都是真命题,求实数a 的取值范围. 解当命题p 为真命题时,应有4+4a<0,解得a<-1;命题q 是真命题时,应有a2-16<0,解得-4<a<4.所以当命题p 和q 都是真命题时,a 应满足{a <-1,-4<a <4,即-4<a<-1,因此,实数a 的取值范围是(-4,-1).1.1.2~1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.(原创题)命题“若a n =2n-1,则数列{a n }是等差数列”的逆否命题是( ) A.若a n ≠2n-1,则数列{a n }不是等差数列 B.若数列{a n }不是等差数列,则a n ≠2n-1 C.若a n =2n-1,则数列{a n }不是等差数列D.若数列{a n}是等差数列,则a n≠2n-1答案B2.命题“若x>0,则x2≥0”的否命题是()A.若x<0,则x2<0B.若x≤0,则x2<0C.若x>0,则x2<0D.若x2<0,则x≥0解析同时否定条件和结论可得命题“若x>0,则x2≥0”的否命题是:“若x≤0,则x2<0”.答案B3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.能被6整除的整数,一定不能被3整除解析根据一个命题的等价命题是其逆否命题来判断.答案B4.命题“若x=3,则x2-9x+18=0”的逆命题、否命题与逆否命题中,假命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析命题“若x=3,则x2-9x+18=0”为真命题,故逆否命题为真命题;逆命题为假命题,故否命题为假命题.答案C5.命题“等比数列{a n}中没有为零的项”的逆命题是.答案若数列{a n}中没有为零的项,则数列{a n}为等比数列6.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.答案在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角7.命题“如果x+y>3,那么x>1且y>2”的逆否命题是.解析命题“如果x+y>3,那么x>1且y>2”的逆否命题是“如果x≤1或y≤2,则x+y≤3”.答案如果x≤1或y≤2,则x+y≤38.给定下列命题:①“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题;②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;③“若a=b,则|a|=|b|”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是.解析对于①,因为α=π4时,tan α=tanπ4==1,所以原命题为真命题.所以①是真命题.显然②是真命题.③的逆命题:“若|a|=|b|,则a=b”是假命题.④的否命题:“若xy≠0,则x,y都不为零”是真命题.答案①②④9.已知命题:若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.解逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,假命题.否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,真命题.10.已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.思路分析此题不易从已知推导出求证的结论,可转化为证明它的逆否命题:如果p+q>2,那么p3+q3≠2.证明假设p+q>2,则q>2-p,根据幂函数y=x3的单调性,得q3>(2-p)3,即q3>8-12p+6p2-p3,]≥2,p3+q3>8-12p+6p2=6[(p-1)2+13故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.这与题设p3+q3=2矛盾,从而假设不成立.故p+q≤2成立.能力提升1.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的()A.逆命题B.逆否命题C.否命题D.以上都不对解析命题p:“若x,则y”,其逆命题q:“若y,则x”,那么命题q的否命题r:“若 y,则 x”所以p是r的逆否命题,故选B.答案B2.给定①②两个命题:①为“若a=b,则a2=b2”的逆否命题;②为“若x=-3,则x2+x-6=0”的否命题,则以下判断正确的是()A.①为真命题,②为真命题B.①为假命题,②为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题解析对于①,原命题显然为真命题,故其逆否命题也为真命题.对于②,其否命题是“若x≠-3,则x2+x-6≠0”,由于当x=2时,x2+x-6=0,故否命题是假命题.所以①为真命题,②为假命题,故选C.答案C(a+b)2,则x>a2+b2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论3.设a、b∈R,原命题“若x>12正确的是()A.逆命题与否命题均为真命题B.逆命题为假命题,否命题为真命题C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题D.否命题为假命题,逆否命题为真命题(a+b)2,则x>a2+b2”,是假命题,解析设a、b∈R,∵原命题“若x>12∴原命题的逆否命题是假命题;(a+b)2”,是真命题,原命题的逆命题:“若x>a2+b2,则x>12∴原命题的否命题是真命题.故选A.答案A4.原命题为:“若α+β≠π,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()2A.与逆命题同为假命题B.与否命题同为假命题C.与否命题同为真命题D.与逆否命题同为假命题解析该命题的逆否命题是“若sin α=cos β,则α+β=π2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.而其否命题是“若α+β=π2,则sin α=cos β”,显然是真命题,故D 项正确.答案D5.有下列四个命题:①“相似三角形周长相等”的否命题; ②“若x>y ,则x>|y|”的逆命题; ③“若x=1,则x 2+x-2=0”的否命题;④“若b ≤0,则方程x 2-2bx+b 2+b=0有实根”的逆否命题. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”,不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;②“若x>y ,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y ”,正确;③“若x=1,则x 2+x-2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x-2≠0”,不正确;④“若b ≤0,则方程x 2-2bx+b 2+b=0有实根”由Δ=4b 2-4(b 2+b )=-4b ≥0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C. 答案C6.已知命题“若1<x<2,则m-1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m 的取值范围是 .解析因为原命题与逆否命题等价,所以原命题为真命题,因此有{m -1≤1,m +1≥2,解得1≤m ≤2.答案[1,2]7.给出下列命题:①命题“若b 2-4ac<0,则方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实根”的否命题; ②命题“在△ABC 中,若AB=BC=CA ,则△ABC 为等边三角形”的逆命题;③命题“若a>b>0,则√3a>√3b>0”的逆否命题;④命题“若m>1,则mx 2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R ”的逆命题. 其中真命题的序号为 .解析①命题“若b 2-4ac<0,则方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实根”的否命题为“若b 2-4ac ≥0,则方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实根”,为真命题;②命题“在△ABC 中,若AB=BC=CA ,则△ABC 为等边三角形”的逆命题为“若△ABC 为等边三角形,则AB=BC=CA ”,为真命题;③命题“若a>b>0,则√3a>√3b>0”为真命题,故其逆否命题也为真命题;④“若m>1,则mx 2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R ”的逆命题为“若mx 2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R ,则m>1”,由于mx 2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R 等价于m<-1,故逆命题为假命题.答案①②③8.求证:若a 2+2ab+b 2+2a+2b-3≠0,则a+b ≠1.证明构造命题p :若a 2+2ab+b 2+2a+2b-3≠0,则a+b ≠1.其逆否命题为:若a+b=1,则a 2+2ab+b 2+2a+2b-3=0,下面证明逆否命题为真命题. 因为a+b=1,所以a 2+2ab+b 2+2a+2b-3=(a+b )2+2(a+b )-3=12+2-3=0. 即逆否命题成立,所以原命题为真命题.1.2 充分条件与必要条件课后篇巩固提升基础巩固1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 答案B2.若a ,b 为实数,则“a<-1”是“1a >-1”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析解不等式1a >-1得a<-1或a>0;所以由“a<-1”能推出“a<-1或a>0”,反之不成立,所以“a<-1”是“1a>-1”的充分不必要条件.故选B. 答案B3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0,与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-a2=-1,a=2,故选C .答案C4.给出下列3个结论:①x 2>4是x 3<-8的必要不充分条件;②在△ABC 中,AB 2+AC 2=BC 2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a ,b ∈R ,则“a 2+b 2≠0”是“a ,b 不全为0”的充要条件.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③解析由x 2>4可得x>2或x<-2,而由x 3<-8可得x<-2,所以x 2>4是x 3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC 中,若AB 2+AC 2=BC 2,则△ABC 一定为直角三角形,反之不成立,AB 2+AC 2=BC 2是△ABC 为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确. 答案C5.在△ABC 中,“∠A=45°”是“sin A=√22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当∠A=45°时,sin A=√22成立.若当∠A=135°时,也满足sin A=√22.即由“∠A=45°”能推出“sin A=√22”;反之不一定成立. 所以,“∠A=45°”是“sin A=√22”的充分不必要条件.故选A.答案A6.已知命题p :-1<x<3,命题q :-1<x<m+1,若q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 .解析由题意,命题p :-1<x<3,q :-1<x<m+1,因为q 是p 的必要不充分条件,即p ⫋q ,则m+1>3,解得m>2,即实数m 的取值范围是(2,+∞). 答案(2,+∞)7.已知a ,b 是两个命题,如果a 是b 的充分条件,那么 a 是 b 的 条件. 解析由已知条件可知a ⇒b ,∴ b ⇒ a.∴ a 是 b 的必要条件.答案必要8.下面两个命题中,p 是q 的什么条件?(1)p :在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,b 2>a 2+c 2,q :△ABC 为钝角三角形; (2)a ,b ∈R ,p :x>a 2+b 2,q :x>2ab. 解(1)在△ABC 中,因为b 2>a 2+c 2,所以cos B=a 2+c 2-b22ac<0,所以∠B 为钝角,即△ABC 为钝角三角形.反之,若△ABC 为钝角三角形,∠B 可能为锐角,这时b 2<a 2+c 2.所以p ⇒q ,q p ,故p 是q 的充分不必要条件. (2)因为当a ,b ∈R 时,有a 2+b 2≥2ab ,所以p ⇒q.反之,若x>2ab ,则不一定有x>a 2+b 2,即p ⇒q ,q p ,故p 是q 的充分不必要条件. 9.指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件. (1)向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),p :x 1x 2=y 1y 2,q :a ∥b ; (2)p :|x|=|y|,q :x=-y ;(3)p :直线l 与平面α内两条平行直线垂直,q :直线l 与平面α垂直;(4)f (x ),g (x )是定义在R 上的函数,h (x )=f (x )+g (x ),p :f (x ),g (x )均为偶函数,q :h (x )为偶函数. 解(1)由向量平行公式可知p ⇒q ,但当b =0时,a ∥b 不能推出x 1x 2=y1y 2,即q p ,故p 是q 的充分不必要条件.(2)因为|x|=|y|⇒x=±y ,所以p q ,但q ⇒p ,故p 是q 的必要不充分条件.(3)由线面垂直的判定定理可知:p q ,但由线面垂直的定义可知:q ⇒p ,故p 是q 的必要不充分条件.(4)若f (x ),g (x )均为偶函数,则h (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=h (x ),所以p ⇒q ,但q p ,故p 是q10.已知命题p :1x<1,命题q :x 2-3ax+2a 2<0(其中a 为常数,且a ≠0). (1)若p 为真,求x 的取值范围;(2)若p 是q 的必要不充分条件,求a 的取值范围.解(1)由1x<1,得x>1或x<0,即如果命题p 是真命题,则x 的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).(2)由x 2-3ax+2a 2<0,得(x-a )(x-2a )<0, 若a>0,则a<x<2a , 若a<0,则2a<x<a ,若命题p 是命题q 的必要不充分条件,则命题q 对应的集合是命题p 对应集合的真子集, 若a>0,则满足{a >0,a ≥1,得a ≥1,若a<0,满足条件.即实数a 的取值范围是a ≥1或a<0.能力提升1.“m=√3”是“直线√3x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-2=0相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析由圆心(1,0)到直线√3x-y+m=0距离d=|√3+m |2=√3,得m=√3或m=-3√3,故选A .答案A2.若向量a =(x ,3)(x ∈R ),则“x=4”是“|a |=5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若x=4,则a =(4,3),所以|a |=√42+32=5;若|a |=5,则√x 2+32=5,所以x=±4,故“x=4”是“|a |=5”的充分不必要条件. 答案A3.将函数y=sin(2x+θ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个函数f (x )的图象,则“f (x )是偶函数”是“θ=π4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析函数y=sin(2x+θ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到f (x )=sin [2(x +π8)+θ]==sin[2x +π+θ],当f (x )为偶函数时,π+θ=k π+π,θ=k π+π.故“f (x )是偶函数”是“θ=π”的必要不充分条件.故选B.答案B4.设l ,m ,n 均为直线,其中m ,n 在平面α内,则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( ) A.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为l ⊥α,m ⊂α,n ⊂α,所以l ⊥m 且l ⊥n ,故充分性成立;当l ⊥m 且l ⊥n 时,m ,n ⊂α,不一定有m 与n 相交,所以l ⊥α不一定成立,故必要性不成立. 答案A5.“不等式x 2-2x+m ≥0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( ) A.m ≥1 B.m ≤1 C.m ≥0 D.m ≥2解析“不等式x 2-2x+m ≥0在R 上恒成立”的充要条件为(-2)2-4m ≤0,即m ≥1,又m ≥2是m ≥1的充分不必要条件,即“不等式x 2-2x+m ≥0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是m ≥2,故选D. 答案D6.已知命题p :a ≤x ≤a+1,命题q :x 2-4x<0,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是 .解析令M={x|a ≤x ≤a+1},N={x|x 2-4x<0}={x|0<x<4}.∵p 是q 的充分不必要条件,∴M ⫋N ,∴{a >0,a +1<4,解得0<a<3.答案(0,3)7.已知命题p :对数式log a (-2t 2+7t-5)(a>0且a ≠1)有意义;命题q :实数t 满足不等式t 2-(m+3)t+(m+2)<0.(1)若p 为真,求实数t 的取值范围;(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围. 解(1)由对数式有意义得:-2t 2+7t-5>0,解得:1<t<52,即实数t 的取值范围是1,52.(2)∵p 是q 的充分不必要条件,∴1<t<52是不等式t 2-(m+3)t+(m+2)<0解集的真子集.令f (t )=t 2-(m+3)t+(m+2),∴f (1)=0,故只需f52<0,即(52)2−52(m+3)+(m+2)<0,解得m>12.即m 的取值范围是12,+∞.8.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q (p ≠0且p ≠1),求证:数列{a n }为等比数列的充要条件为q=-1.证明充分性:当q=-1时,a 1=p-1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=p n -1(p-1),当n=1时也成立.于是an+1a n=p n (p -1)p n -1(p -1)=p (p ≠0且p ≠1),即数列{a n }为等比数列.必要性:当n=1时,a 1=S 1=p+q. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=p n-1(p-1),因为p ≠0且p ≠1,所以an+1a n=p n (p -1)p n -1(p -1)=p.因为{a n}为等比数列,所以a2a1=a n+1a n=p,即p(p-1)p+q=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,q=-1是数列{a n}为等比数列的充要条件.1.3简单的逻辑联结词课后篇巩固提升基础巩固1.在命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是()A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”答案C2.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根,则下列命题为真命题的是()A.p∧( q)B.( p)∧qC.( p)∧( q)D.p∧q解析由题意知,命题p是真命题,命题q是假命题,所以 q是真命题,故p∧( q)是真命题.答案A3.下列为假命题的是()A.3≥4B.两非零向量平行,其所在直线平行或重合C.菱形的对角线相等且互相垂直D.若x2+y2=0,则x=0且y=0解析菱形的对角线互相垂直但不一定相等.答案C4.“p∨q为真”是“p为真”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若“p∨q为真”可能p假q真,不一定有“p为真”,充分性不成立;若“p为真”,则一定有“p∨q为真”,必要性成立,综上可得:“p∨q为真”是“p为真”的必要不充分条件.答案B5.若命题“( p)∨( q)”是假命题,给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题,其中正确的是()A.①③B.②④C.②③D.①④解析因为( p)∨( q)为假,所以( p)与( q)均为假,所以p与q均为真,所以①③正确.答案A6.在一次数学测试中,成绩在区间[125,150]上为优秀,有甲、乙两名同学,设命题p是“甲测试成绩优秀”,q是“乙测试成绩优秀”,则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为()A.( p)∨( q)B.p∨( q)C.( p)∧( q)D.p∨q解析“甲测试成绩不优秀”可表示为 p,“乙测试成绩不优秀”可表示为 q,“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”或“甲、乙的测试成绩都不优秀”,表示形式为( p)∨( q).答案A7.已知命题p:1∈{x|x2<a},q:2∈{x|x2<a},则当p∧q为真命题时,a的取值范围是.解析由1∈{x|x2<a},得a>1;由2∈{x|x2<a},得a>4.当p∧q为真命题时,有p真q真,所以a>4.答案(4,+∞)8.分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“ p”形式,并判断真假:(1)p:2n-1(n∈Z)是奇数,q:2n-1(n∈Z)是偶数.(2)p:a2+b2<0(a∈R,b∈R),q:a2+b2≥0.(3)p:集合中的元素是确定的,q:集合中的元素是无序的.解(1)p∨q:2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数,是真命题.p∧q:2n-1(n∈Z)既是奇数又是偶数,是假命题.p:2n-1(n∈Z)不是奇数,是假命题.(2)p∨q:a2+b2<0(a∈R,b∈R)或a2+b2≥0,是真命题.p∧q:a2+b2<0(a∈R,b∈R)且a2+b2≥0,是假命题.p:a2+b2≥0(a∈R,b∈R),是真命题.(3)p∨q:集合中的元素是确定的或是无序的,是真命题.p∧q:集合中的元素是确定的且是无序的,是真命题.p:集合中的元素是不确定的,是假命题.9.给定命题p:关于x的方程x2+ax+a=0无实根;命题q:函数y=1-4a在(0,+∞)上单调递减.已知p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,求实数a 的取值范围.解由方程x 2+ax+a=0无实根,可得Δ=a 2-4a<0,解得0<a<4,即命题p :0<a<4;由函数y=1-4a x 在(0,+∞)上单调递减,可得1-4a>0,解得a<14,即命题q :a<14. ∵p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,∴p 、q 两个命题真假性相反,∴{0<a <4,a ≥14或{a ≤0或a ≥4,a <14,解得1≤a<4或a ≤0, ∴实数a 的取值范围为(-∞,0]∪14,4.能力提升1.已知命题p :“若a=0.20.2,b=1.20.2,c=log 1.20.2,则a<c<b ”;命题q :“x-2≥0”是“x-2>0”的必要不充分条件,则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∧( q )C.( p )∧( q )D.( p )∧q解析命题p :若a=0.20.2,b=1.20.2,c=log 1.20.2,则b=1.20.2>1,0<a=0.20.2<1,c=log 1.20.2<0,故b>a>c.故命题p 为假命题.命题q :“x-2≥0”是“x-2>0”的必要不充分条件,故命题q 是真命题.则( p )∧q 为真命题.故选D.答案D2.已知命题p :函数y=log a (ax+2a )(a>0且a ≠1)的图象必过定点(-1,1);命题q :如果函数y=f (x )的图象关于(3,0)对称,那么函数y=f (x-3)的图象关于原点对称,则有( )A.“p ∧q ”为真B.“p ∨q ”为假C.p 真q 假D.p 假q 真解析对于命题p :当x=-1时,y=log a a=1,故命题p 为真;对于命题q :将函数y=f (x )的图象向右平移3个单位,得到函数y=f (x-3)的图象,故函数y=f (x-3)的图象关于点(6,0)对称,所以命题q 为假.答案C3.已知命题p :|x-1|≥2,q :x ∈Z ,若p ∧q , q 同时为假命题,则满足条件的x 的集合为( )A.{x|x ≤-1或x ≥3,x ∉Z }B.{x|-1≤x ≤3,x ∉Z }C.{x|x<-1或x>3,x ∈Z }D.{x|-1<x<3,x ∈Z }解析对于命题p :|x-1|≥2,解得x ≥3或x ≤-1,q :x ∈Z ,∵p ∧q , q 同时为假命题,∴q 真p 假.∴{x ∈Z ,-1<x <3,则满足条件的x 的集合为{x|-1<x<3,x ∈Z }. 答案D4.若“x ∈[2,5]或x ∈(-∞,1)∪(4,+∞)”是假命题,则x 的取值范围是 . 解析由已知得x ∉[2,5]且x ∉(-∞,1)∪(4,+∞),因此可得1≤x<2.答案[1,2)5.已知命题p :x 2+2x-3>0,命题q :13-x =>1,若( q )∧p 为真,则x 的取值范围是 .解析因为x 2+2x-3>0⇔(x+3)(x-1)>0⇔x<-3或x>1.又因为13-x >1⇔x -2x -3<0⇔2<x<3, 所以 q :x ≤2或x ≥3.若( q )∧p 为真,则x 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞).答案(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)6.已知命题p :不等式x 2+x+1≤0的解集为R ,命题q :不等式x -2x -1≤0的解集为{x|1<x ≤2},则命题“p ∨q ”,“p ∧q ”,“ p ”,“ q ”中正确的命题是 .解析因为∀x ∈R ,x 2+x+1>0,所以命题p 为假, p 为真.因为x -2x -1≤0,所以{(x -2)(x -1)≤0,x -1≠0,解得1<x ≤2.所以命题q 为真,p ∨q 为真,p ∧q 为假, q 为假.答案p ∨q , p7.设命题p :A={x|a+1≤x ≤2a-1},B={x|x ≤3或x>5},A ⊆B ;命题q :函数f (x )=x 2-2ax+1在12,+∞上为增函数,若“p ∧q ”为假,且“p ∨q ”为真,求实数a 的取值范围.解当命题p 为真时,即A ⊆B ,则由下列两种情况:①A=⌀,即2a-1<a+1,a<2时,满足A ⊆B ,②A ≠⌀,即{2a -1≥a +1,2a -1≤3或{2a -1≥a +1,a +1>5,满足A ⊆B , a=2或a>4,综合①②得:实数a 的取值范围为a ≤2或a>4,当命题q 为真时,即函数f (x )=x 2-2ax+1在12,+∞上为增函数,则a ≤12,又“p ∧q ”为假,且“p ∨q ”为真,所以命题p 、q 一真一假,即{2<a ≤4,a ≤12或{a ≤2或a >4,a >12, 12<a ≤2或a>4,故实数a 的取值范围为12<a ≤2或a>4.8.设命题p :实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a>0,命题q :实数x 满足{x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0.(1)若a=1且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.解(1)当a=1时,p :{x|1<x<3},q :{x|2<x ≤3},又p ∧q 为真,所以p 真且q 真,由{1<x <3,2<x ≤3得2<x<3,所以实数x 的取值范围为(2,3). (2)因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以q 是p 的充分不必要条件,又p :{x|a<x<3a },q :{x|2<x ≤3},所以{a >0,a ≤2,3a >3,解得1<a ≤2.所以实数a 的取值范围为(1,2].1.4 全称量词与存在量词课后篇巩固提升基础巩固1.下列命题中,是真命题且是全称命题的是( )A.对任意的a ,b ∈R ,都有a 2+b 2-2a-2b+2<0B.菱形的两条对角线相等C.∃x ∈R ,√x 2=xD.对数函数在定义域上是单调函数解析A 中含有全称量词“任意的”,是全称命题,但因为a 2+b 2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0;故是假命题.B,D 在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,所以B,D 是全称命题.菱形的对角线不一定相等,所以B 是假命题,C 虽然是真命题,但是特称命题,故选D.答案D2.命题:“∀x ∈R ,3x >0”的否定形式是( )A.∃x 0∈R ,3x 0≤0B.∃x 0∈R ,3x 0<0C.∀x ∈R ,3x ≤0D.∀x ∈R ,3x <0解析命题:“∀x ∈R ,3x >0”的否定形式是“∃x 0∈R ,3x 0≤0”.答案A3.下列四个命题,真命题的个数是( )①若x ∈R ,则x+1x ≥2②ac 2>bc 2的充分不必要条件是a>b③命题“∃n ∈N ,n 2>2n ”的否定为“∀n ∈N ,n 2≤2n ”A.0B.1C.2D.3解析对于①,当x>0时,x+1x ≥2,x=0时,x+1x 无意义,x<0时,x+1x ≤-2,∴①错误;对于②,当a>b 时,不能得出ac 2>bc 2,即充分性不成立,当ac 2>bc 2时,能得出a>b ,即必要性成立,所以a>b 是ac 2>bc 2的必要不充分条件,②错误;对于③,命题“∃n 0∈N ,n 02>2n 0”的否定为“∀n ∈N ,n 2≤2n ”,③正确.综上,正确的命题序号是③.故选B.答案B4.已知命题p :∀x>0,x+4x ≥4;命题q :∃x 0∈(0,+∞),2x 0=12,则下列判断正确的是( )A.p 是假命题B.q 是真命题C.p ∧( q )是真命题D.( p )∧q 是真命题 解析由均值不等式知,命题p 为真命题,而对任意x ∈(0,+∞),都有2x >1,所以不存在x 0∈(0,+∞),使得2x 0=12,即命题q 为假命题,故p ∧( q )是真命题.答案C5.已知命题p :∀x>3,x>m 成立,则实数m 的取值范围是( )A.m ≤3B.m ≥3C.m<3D.m>3解析对任意x>3,x>m 恒成立,即大于3的数恒大于m ,所以m ≤3.答案A6.命题“∃x 0∈R ,1≤f (x 0)<3”的否定形式是 .解析根据特称命题的否定是全称命题,得命题“∃x 0∈R ,1≤f (x 0)<3”的否定形式是“∀x ∈R ,f (x )<1或f (x )≥3”.答案∀x ∈R ,f (x )<1或f (x )≥37.下列特称命题是真命题的序号是 .①有些不相似的三角形面积相等;②存在一实数x 0,使x 02=+x 0+1<0;③存在实数a ,使函数y=ax+b 的值随x 的增大而增大;④有一个实数的倒数是它本身.解析①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任意x ∈R ,x 2+x+1=(x +12)2+34=>0,所以不存在实数x 0,使x 02=+x 0+1<0,故②为假命题;③中当实数a 大于0时,结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题,故填①③④.答案①③④8.命题“∀x ∈R ,x 2-2ax+1>0”是假命题,则实数a 的取值范围是 .解析由题意,命题“∀x ∈R ,x 2-2ax+1>0”是假命题,可得出二次函数与x 轴有交点,又由二次函数的性质,可得Δ≥0,即4a 2-4≥0,解得a ≤-1或a ≥1.答案(-∞,-1]∪[1,+∞)9.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.(1)所有实数x 都能使x 2+x+1>0成立;(2)对所有实数a ,b ,方程ax+b=0恰有一个解;(3)一定有整数x 0,y 0,使得3x 0-2y 0=10成立;(4)所有的有理数x 都能使13x 2+12x+1是有理数.解(1)∀x ∈R ,x 2+x+1>0,真命题.(2)∀a ,b ∈R ,ax+b=0恰有一个解,假命题.(3)∃x 0,y 0∈Z ,3x 0-2y 0=10,真命题.(4)∀x ∈Q ,13x 2+12x+1是有理数,真命题.10.写出下列命题的否定并判断真假:(1)不论m 取何实数,关于x 的方程x 2+x-m=0必有实数根;(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;(3)某些梯形的对角线互相平分;(4)被8整除的数能被4整除.解(1)这一命题可以表述为p :“对所有的实数m ,关于x 的方程x 2+x-m=0都有实数根”,其否定是:“存在实数m ,使得关于x 的方程x 2+x-m=0没有实数根”,注意到当Δ=1+4m<0,即m<-14时,一元二次方程没有实根,因此 p 是真命题.(2)命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.(3)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题. 能力提升1.命题“∀x ∈R ,∃n 0∈N *,使得n 0≥2x+1”的否定形式是( )A.∀x ∈R ,∃n 0∈N *,使得n 0<2x+1B.∀x ∈R ,∀n 0∈N *,使得n 0<2x+1C.∃x 0∈R ,∃n ∈N *,使得n<2x 0+1D.∃x 0∈R ,∀n ∈N *,使得n<2x 0+1解析由题意可知,全称命题“∀x ∈R ,∃n 0∈N *,使得n 0≥2x+1”的否定形式为特称命题“∃x 0∈R ,∀n ∈N *,使得n<2x 0+1”,故选D.答案D2.已知命题p :∀x ∈R ,2x <3x ;命题q :∃x ∈R ,x 3=1-x 2,则下列命题中为真命题的是( )A.p ∧qB.( p )∧qC.p ∧( q )D.( p )∧( q )解析由20=30知p 为假命题.令h (x )=x 3+x 2-1,则h (0)=-1<0,h (1)=1>0,所以方程x 3+x 2-1=0在(0,1)内有解.因此q 为真命题,故( p )∧q 为真命题,故选B .答案B3.已知函数f (x )=ln (1-a x+1)(a ∈R ).命题p :∃a ∈R ,f (x )是奇函数;命题q :∀a ∈R ,f (x )在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是( )A. pB.p ∧qC.( p )∧qD.p ∧( q )解析当a=2时,f (x )=ln (1-2x+1)=ln x -1x+1是奇函数,故命题p 为真命题;当a=0时,f (x )=0在其定义域内不是增函数,故命题q 为假命题,所以p ∧( q )为真命题. 答案D4.若命题“∀x ∈(1,+∞),x 2-(2+a )x+2+a ≥0”为真命题,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)解析判别式Δ=(2+a )2-4(2+a )=(a+2)(a-2),当Δ=(a+2)(a-2)≤0,即-2≤a ≤2时,不等式恒成立,满足条件.当Δ=(a+2)(a-2)>0,即a>2或a<-2时,设f (x )=x 2-(2+a )x+2+a ,要使命题“∀x ∈(1,+∞),x 2-(2+a )x+2+a ≥0”为真命题,则满足{x =--(2+a )2=a+22≤1,f (1)=1≥0,则a ≤0. ∵a>2或a<-2,∴a<-2.综上,a ≤2,故选B .答案B5.已知命题p :∃x 0∈R ,a x 02=+2ax 0+1≤0,若命题p 为假命题,则实数a 的取值范围是 .解析∵“∃x 0∈R ,a x 02+2ax 0+1≤0”为假命题,∴其否定“∀x ∈R ,ax 2+2ax+1>0”为真命题,当a=0时,显然成立;当a ≠0时,ax 2+2ax+1>0恒成立可化为{a >0,4a 2-4a <0,解得0<a<1.综上,实数a 的取值范围是[0,1).答案[0,1)6.以下给出五个命题,其中真命题的序号为 .①函数f (x )=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,则a 的取值范围是a<-1或a>15; ②“任意菱形的对角线一定相等”的否定形式是“菱形的对角线一定不相等”; ③∀x ∈(0,π2),x<tan x ;④若0<a<b<1,则ln a<ln b<a b <b a ;⑤“b 2=ac ”是“a ,b ,c 成等比数列”的充分不必要条件.解析逐一考查所给的命题:①函数f (x )=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,很明显a ≠0,故f (-1)f (1)<0,据此可得:(1-5a )(a+1)<0,则a 的取值范围是a<-1或a>15,题中的说法正确;②“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形,其对角线不相等”,原命题错误; ③令f (x )=x-tan x ,则f'(x )=1-1cos 2x =cos 2x -1cos 2x ≤0,则f (x )单调递减,又f (0)=0,故f (x )<0恒成立,即x-tan x<0恒成立,据此可知∀x ∈(0,π),x<tan x ,题中的说法正确;④若0<a<b<1,则ln a<ln b<0,a b >0,b a >0,构造函数f (x )=lnx x ,则f'(x )=1-lnx x 2,则函数f (x )在区间(0,1)上单调递增,由于0<a<b<1,故f (a )<f (b ),lna a <lnb b ,则ln a b <ln b a ,a b <b a ,综上可得,ln a<ln b<a b <b a ,题中的说法正确;⑤若a=b=0,c=2,满足b 2=ac ,但是不满足a ,b ,c 成等比数列,反之,若a ,b ,c 成等比数列,一定有b 2=ac ,据此可得“b 2=ac ”是“a ,b ,c 成等比数列”的必要不充分条件,题中的说法错误. 故真命题的序号为①③④.答案①③④7.已知命题p :∀x ∈R ,x 2+(a-1)x+1≥0成立,命题q :∃x 0∈R ,a x 02-2ax 0-3>0不成立,若p 假q 真,求实数a 的取值范围.解因为命题p :∀x ∈R ,x 2+(a-1)x+1≥0是假命题,所以命题 p :∃x 0∈R ,x 02+(a-1)x 0+1<0是真命题,则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.因为命题q :∃x 0∈R ,a x 02-2ax 0-3>0不成立,。

2章整合(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地)1．以x24－y212＝－1地焦点为顶点，顶点为焦点地椭圆方程为( )A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1C.x216＋y24＝1 D.x24＋y216＝1解析：双曲线x24－y212＝－1地焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆地焦点在y轴上，a＝4，c＝23，∴b2＝4，所求方程为x24＋y216＝1，故选D.答案： D2．设P是椭圆x2169＋y2144＝1上一点，F1、F2是椭圆地焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于( ) A．22 B．21C．20 D．13解析：由椭圆地定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.答案： A3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它地右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案： C4．若抛物线x 2＝2py 地焦点与椭圆x23＋y24＝1地下焦点重合，则p 地值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析： 椭圆x23＋y24＝1地下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D5．若k ∈R ，则k >3是方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3.故k >3是方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地充分不必要条件．故选A. 答案： A6．已知F 1、F 2是椭圆地两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0地点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率地取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析： 由MF1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径地圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22.因为0<e <1，所以0<e <22.即椭圆离心率地取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，22.故选C.答案： C7．已知抛物线C ：y 2＝4x 地焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4，4)，又F (1，0)， ∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二：由方法一得A (4，4)，B (1，－2)，F (1，0)，∴FA →＝(3，4)，FB →＝(0，－2)，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.∴cos∠AFB＝FA，→·FB→|F A→|·|F B→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.答案： D8．F1、F2是椭圆x29＋y27＝1地两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2地面积为( )A．7 B.72C.74D.752解析：|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6，|AF2|＝6－|AF1|.|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴|AF1|＝72 .S＝12×72×22×22＝72.答案： B9．已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切地两直线相交于点P，则P点地轨迹方程为( )A．x2－y28＝1(x>1) B．x2－y28＝1(x<－1)C．x2＋y28＝1(x>0) D．x2－y210＝1(x>1)解析：设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|.所以点P地轨迹是以M(－3，0)，N(3，0)为焦点地双曲线地一支，且a＝1，∴c＝3，b2＝8，∴所以双曲线方程是x2－y28＝1(x>1)．答案： A10．设直线l过双曲线C地一个焦点，且与C 地一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C 地实轴长地2倍，则C 地离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析： 设双曲线地标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线地焦点且与对称轴垂直，因此直线l 地方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y2b2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b2a2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2.∴e＝ 3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若双曲线地渐近线方程为y＝±13x，它地一个焦点是(10，0)，则双曲线地标准方程是________．解析：由双曲线地渐近线方程为y＝±13x，知b a ＝13，它地一个焦点是(10，0)，知a2＋b2＝10，因此a＝3，b＝1，故双曲线地方程是x29－y2＝1.答案：x29－y2＝112．若过椭圆x216＋y24＝1内一点(2，1)地弦被该点平分，则该弦所在直线地方程是________．解析：设直线方程为y－1＝k(x－2)，与双曲线方程联立得(1＋4k2)x2＋(－16k2＋8k)x＋16k2－16k－12＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12，所以直线方程为x＋2y－4＝0. 答案：x＋2y－4＝013.如图，F 1，F 2分别为椭圆x2a2＋y 2b2＝1地左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3地正三角形，则b 2地值是________．解析： ∵△POF 2是面积为3地正三角形， ∴12c 2sin 60°＝3， ∴c 2＝4， ∴P (1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋3b2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2＝2 3.答案： 2 314．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)地直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22地最小值是________．解析：显然x1，x2≥0，又y21＋y22＝4(x1＋x2)≥8x1x2，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以最小值为32.答案：32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要地文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x2 9＋y2 25＝1共焦点，它们地离心率之和为145，求双曲线方程．解析：由椭圆方程可得椭圆地焦点为F(0，±4)，离心率e＝45，所以双曲线地焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c＝4，a＝2，b＝2 3.所以双曲线方程为y24－x212＝1.16．(本小题满分12分)设椭圆地中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝32.已知点P⎝⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上地点地最远距离为7，求这个椭圆地方程．解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，M(x，y )为椭圆上地点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎪⎫b ＋322＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x24＋y 2＝1.17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A地坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足BQ→＝λQA→，经过点Q与x轴垂直地直线交抛物线于点M，点P满足QM→＝λMP→，求点P地轨迹方程．解析：由QM→＝λMP→知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴地直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由BQ→＝λQA→，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λy 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λ2x 2－λ1＋λy －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2，2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y －1＝0.故所求点P地轨迹方程为y＝2x－1.18．(本小题满分14分)已知椭圆地长轴长为2a，焦点是F1(－3，0)、F2(3，0)，点F1到直线x＝－a23地距离为33，过点F2且倾斜角为锐角地直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|＝3|F2A|.(1)求椭圆地方程；(2)求直线l地方程．解析：(1)∵F1到直线x＝－a23地距离为33，∴－3＋a23＝33.∴a 2＝4.而c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1.∵椭圆地焦点在x 轴上，∴所求椭圆地方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y 11＋3，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1. ∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 21＝1，43－3x 124＋－3y 12＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1033，y 1＝233取正值.∴l 地斜率为233－01033－3＝ 2. ∴l 地方程为y ＝2(x －3)， 即2x －y －6＝0.。

数学选修2-1综合测试卷A （含答案）一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为1(0,)16 2．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A ．25-B ．25C ．1-D ．1 4．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =u u u u r r , D A =11，A =1，则下列向量中与B 1相等的向量是A ．++-2121B ．++2121C ．+-2121D ．+--2121 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段6．已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,51给出下列等式： ①∣++∣=∣--∣ ②c b a ⋅+)( =)(c b a +⋅ ③2)(++=222++④⋅⋅)( =)(⋅⋅其中正确的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆8．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．已知函数f(x)=3472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是 A ．0≤k<43 B ．0<k<43 C ．k<0或k>43 D ．0<k ≤43 10．下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④=a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件。

第二章圆锥曲线与方程2。

1 曲线与方程 课后篇巩固提升基础巩固1。

方程(2x-3）2+（y+2)2=0表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两条直线 C 。

一个点 D.两个点解析由已知得{2x -3=0,y +2=0,解得{x =32,y =-2,所以方程表示一个点(32,-2).答案C2.与点A （-1，0）和点B (1,0）连线的斜率之和为-1的动点P 的轨迹方程是（ ） A.x 2+y 2=3B 。

x 2+2xy=1（x ≠±1)C 。

y=√1-x 2 D.x 2+y 2=9(x ≠0）解析设P （x ，y ），因为k PA +k PB =—1,所以y -0x -(-1)+y -0x -1=—1,整理得x 2+2xy=1(x ≠±1)。

答案B3。

方程x —1=√1-(y -1)2表示的曲线是（ ） A.一个圆 B 。

两个半圆 C 。

两个圆D.半个圆解析∵方程x —1=√1-(y -1)2等价于(x —1）2+(y —1)2=1（x ≥1),∴表示的曲线是半个圆。

故选D.答案D4.“点M 在曲线y 2=4x 上"是点M 的坐标满足方程y=—2√x 的( )A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析点M 在曲线y 2=4x 上，其坐标不一定满足方程y=-2√x ,但当点M 的坐标满足方程y=-2√x 时,则点M 一定在曲线y 2=4x 上。

答案B5。

在直角坐标系中，方程｜x ｜y=1的曲线是( ）解析由|x|y=1知y>0,曲线全部位于x轴上方,故选C.答案C6.已知点A(a,2）既是曲线y=mx2上的点，也是直线x-y=0上的一点,则m= ,a= .解析由题意知{2=ma2,a-2=0,.解得a=2，m=12答案1227.已知定点A（-2，0）,B(1,0),如果动点P满足|PA|=2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.解析设P(x，y）,由|PA｜=2|PB|得√(x+2)2+y2=2√(x-1)2+y2，整理得x2—4x+y2=0,即(x—2）2+y2=4.故点P的轨迹是以（2，0）为圆心,以2为半径的圆，S=πr2=4π.答案4π8.已知动点M（x,y)到直线l:3x+4y+1=0的距离等于1,则动点M的轨迹方程为。

（数学选修（数学选修2-12-1）第一章）第一章）第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c f ++<¹”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +¹” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a Î<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p Ø是q Ø的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ×不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=¹的两实数根；12:b B x x a +=-,则A 是B 的 条件。

[数学教学中对书本例题的使用例谈] 书本上的例题和考试的题我国著名的教育家叶圣陶先生说过：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠教师的善于运用。

”新课标对教材的使用提出了新的要求：要求“用教材教”而不是“教教材”；不是简单地学教材，而是把教材作为“引子”，作为“材料”；不是把教材奉为神圣不可侵犯的“圣经”，也不能“无教材论”，采取“舍本逐末”的做法，而是根据实际情况对其进行必要的取舍与加工，即要求“用好教材，超越教材”。

以下是笔者在教学中对课本例题处理的一个案例。

书本例题：已知椭圆C：+，直线L：4x-5y+40=0。

椭圆C上是否存在一点，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？此题是人教出版社A版高中数学选修2-1教材第47页例7，本节是直线与椭圆的第一节课，主要内容是如何判断直线与椭圆的位置关系、弦长问题等。

但是如果课上按部就班地只讲以上例题显然不能达到教学的目标，还需要再补充别的习题。

为此我是这样运用这个例题的。

一、复习中走进例题我上课时先给出以下问题：已知直线L：4x-5y+m=0，椭圆C：+=1的焦点F1，F2在x轴上，椭圆Ｃ上存在一点p，使∠F1PF2=60°，S=3、求椭圆C的方程。

解：△F1PF2中，设∠F1PF2=?琢，|PF1|=m，|PF2|=n，在△F1PF2中，由余弦定理可知，2=m2+n2-2mncos?琢=2-2mn-2mncos?琢，∴mn=、S=mnsin?琢=××sin?琢==b2tanQ∠F1PF2=60°，?琢=60°，∴b2×=3，∴b2=9∴椭圆C：+=1、这个问题的解决得益于椭圆的定义，PF1+PF2=2?琢，再结合余弦定理使问题解决。

最后总结出了焦点三角形的面积公式：S=b2tan、可以发现当焦点三角形顶角已知时，其面积只与b有关，而和a无关。

当学生正在为得出这样一个结论而开心的时候我又给出了第2个问题。