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第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题课后篇巩固提升1.已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x 2-5x+6=0.其中是命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析①不能判断真假,不是命题;②变量x 的值不确定,无法判定其真假,不是命题;③④都是命题. 答案B2.下列命题正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定四个平面解析因为四点不共面,所以任意三点不共线,又不共线的三点确定一个平面,所以不共面的四点可以确定四个平面. 答案D3.下列命题中的假命题是( ) A.若log 2x<2,则0<x<4B.若a 与b 共线,则a 与b 的夹角为0°C.已知各项都不为零的数列{a n }满足a n+1-2a n =0,则该数列为等比数列D.点(π,0)是函数y=sin x 图象上一点解析B 中当a 与b 共线,但方向相反时,a 与b 的夹角为180°,所以B 是假命题. 答案B4.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( ) A.这个四边形的对角线互相平分 B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直D.这个四边形是平行四边形解析把命题改写成“若p ,则q ”的形式后可知C 正确.故选C. 答案C5.命题“关于x 的方程ax 2+2x+1=0有两个不等实数解”为真命题,则实数a 的取值范围为 .解析由题意知{a ≠0,Δ=4-4a >0,解得a<1,且a ≠0.答案(-∞,0)∪(0,1)6.下列语句中是命题的有 ,其中是真命题的有 (填序号).①“垂直于同一条直线的两个平面必平行吗?”②“一个数不是正数就是负数”;③“在一个三角形中,大角所对的边大于小角所对的边”;④“若x+y 为有理数,则x ,y 都是有理数”;⑤作一个三角形.解析①是疑问句,没有对垂直于同一直线的两个平面是否平行作出判断,不是命题.②是假命题,数0既不是正数也不是负数.③是真命题,在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边.④是假命题,如x=√3,y=-√3.⑤是祈使句,不是命题. 答案②③④ ③7.有下列语句:①集合{a ,b }有2个子集;②x 2-4≤0;③今天天气真好啊;④f (x )=2log 3x (x>0)是奇函数;⑤若A ∪B=A ∩B ,则A=B.其中真命题的序号为 .解析①是命题,但不是真命题,因为{a ,b }应有4个子集;②不是命题;③不是命题;④是假命题,f (x )=2log 3x (x>0)是非奇非偶函数;⑤是命题且是真命题. 答案⑤8.判断下列命题的真假:(1)形如a+b √6的数是无理数; (2)正项等差数列的公差大于零; (3)奇函数的图象关于原点对称; (4)能被2整除的数一定能被4整除.解(1)假命题.反例,若a=1,b=0,则a+b √6为有理数.(2)假命题.反例,正项等差数列为递减数列时,公差小于零,如数列20,17,14,11,8,5,2,它的公差为-3.(3)真命题.(4)假命题.反例,数6能被2整除,但不能被4整除. 9.将命题“已知a ,b 为正数,当a>b 时,有√a 2>√b 2”写成“若p ,则q ”的形式,并指出条件和结论. 解根据题意,写成“若p ,则q ”的形式为:已知a ,b 为正数,若a>b ,则2>√b 2.其中条件p :a>b ,结论q :√a 2>√b 2.10.已知命题p :方程x 2-2x-a=0没有实数根;命题q :不等式x 2-ax+4>0对一切实数x 恒成立.若命题p 和q 都是真命题,求实数a 的取值范围. 解当命题p 为真命题时,应有4+4a<0,解得a<-1;命题q 是真命题时,应有a2-16<0,解得-4<a<4.所以当命题p 和q 都是真命题时,a 应满足{a <-1,-4<a <4,即-4<a<-1,因此,实数a 的取值范围是(-4,-1).1.1.2~1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.(原创题)命题“若a n =2n-1,则数列{a n }是等差数列”的逆否命题是( ) A.若a n ≠2n-1,则数列{a n }不是等差数列 B.若数列{a n }不是等差数列,则a n ≠2n-1 C.若a n =2n-1,则数列{a n }不是等差数列D.若数列{a n}是等差数列,则a n≠2n-1答案B2.命题“若x>0,则x2≥0”的否命题是()A.若x<0,则x2<0B.若x≤0,则x2<0C.若x>0,则x2<0D.若x2<0,则x≥0解析同时否定条件和结论可得命题“若x>0,则x2≥0”的否命题是:“若x≤0,则x2<0”.答案B3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.能被6整除的整数,一定不能被3整除解析根据一个命题的等价命题是其逆否命题来判断.答案B4.命题“若x=3,则x2-9x+18=0”的逆命题、否命题与逆否命题中,假命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析命题“若x=3,则x2-9x+18=0”为真命题,故逆否命题为真命题;逆命题为假命题,故否命题为假命题.答案C5.命题“等比数列{a n}中没有为零的项”的逆命题是.答案若数列{a n}中没有为零的项,则数列{a n}为等比数列6.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.答案在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角7.命题“如果x+y>3,那么x>1且y>2”的逆否命题是.解析命题“如果x+y>3,那么x>1且y>2”的逆否命题是“如果x≤1或y≤2,则x+y≤3”.答案如果x≤1或y≤2,则x+y≤38.给定下列命题:①“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题;②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;③“若a=b,则|a|=|b|”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是.解析对于①,因为α=π4时,tan α=tanπ4==1,所以原命题为真命题.所以①是真命题.显然②是真命题.③的逆命题:“若|a|=|b|,则a=b”是假命题.④的否命题:“若xy≠0,则x,y都不为零”是真命题.答案①②④9.已知命题:若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.解逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,假命题.否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,真命题.10.已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.思路分析此题不易从已知推导出求证的结论,可转化为证明它的逆否命题:如果p+q>2,那么p3+q3≠2.证明假设p+q>2,则q>2-p,根据幂函数y=x3的单调性,得q3>(2-p)3,即q3>8-12p+6p2-p3,]≥2,p3+q3>8-12p+6p2=6[(p-1)2+13故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.这与题设p3+q3=2矛盾,从而假设不成立.故p+q≤2成立.能力提升1.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的()A.逆命题B.逆否命题C.否命题D.以上都不对解析命题p:“若x,则y”,其逆命题q:“若y,则x”,那么命题q的否命题r:“若 y,则 x”所以p是r的逆否命题,故选B.答案B2.给定①②两个命题:①为“若a=b,则a2=b2”的逆否命题;②为“若x=-3,则x2+x-6=0”的否命题,则以下判断正确的是()A.①为真命题,②为真命题B.①为假命题,②为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题解析对于①,原命题显然为真命题,故其逆否命题也为真命题.对于②,其否命题是“若x≠-3,则x2+x-6≠0”,由于当x=2时,x2+x-6=0,故否命题是假命题.所以①为真命题,②为假命题,故选C.答案C(a+b)2,则x>a2+b2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论3.设a、b∈R,原命题“若x>12正确的是()A.逆命题与否命题均为真命题B.逆命题为假命题,否命题为真命题C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题D.否命题为假命题,逆否命题为真命题(a+b)2,则x>a2+b2”,是假命题,解析设a、b∈R,∵原命题“若x>12∴原命题的逆否命题是假命题;(a+b)2”,是真命题,原命题的逆命题:“若x>a2+b2,则x>12∴原命题的否命题是真命题.故选A.答案A4.原命题为:“若α+β≠π,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()2A.与逆命题同为假命题B.与否命题同为假命题C.与否命题同为真命题D.与逆否命题同为假命题解析该命题的逆否命题是“若sin α=cos β,则α+β=π2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.而其否命题是“若α+β=π2,则sin α=cos β”,显然是真命题,故D 项正确.答案D5.有下列四个命题:①“相似三角形周长相等”的否命题; ②“若x>y ,则x>|y|”的逆命题; ③“若x=1,则x 2+x-2=0”的否命题;④“若b ≤0,则方程x 2-2bx+b 2+b=0有实根”的逆否命题. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”,不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;②“若x>y ,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y ”,正确;③“若x=1,则x 2+x-2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x-2≠0”,不正确;④“若b ≤0,则方程x 2-2bx+b 2+b=0有实根”由Δ=4b 2-4(b 2+b )=-4b ≥0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C. 答案C6.已知命题“若1<x<2,则m-1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m 的取值范围是 .解析因为原命题与逆否命题等价,所以原命题为真命题,因此有{m -1≤1,m +1≥2,解得1≤m ≤2.答案[1,2]7.给出下列命题:①命题“若b 2-4ac<0,则方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实根”的否命题; ②命题“在△ABC 中,若AB=BC=CA ,则△ABC 为等边三角形”的逆命题;③命题“若a>b>0,则√3a>√3b>0”的逆否命题;④命题“若m>1,则mx 2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R ”的逆命题. 其中真命题的序号为 .解析①命题“若b 2-4ac<0,则方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实根”的否命题为“若b 2-4ac ≥0,则方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实根”,为真命题;②命题“在△ABC 中,若AB=BC=CA ,则△ABC 为等边三角形”的逆命题为“若△ABC 为等边三角形,则AB=BC=CA ”,为真命题;③命题“若a>b>0,则√3a>√3b>0”为真命题,故其逆否命题也为真命题;④“若m>1,则mx 2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R ”的逆命题为“若mx 2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R ,则m>1”,由于mx 2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R 等价于m<-1,故逆命题为假命题.答案①②③8.求证:若a 2+2ab+b 2+2a+2b-3≠0,则a+b ≠1.证明构造命题p :若a 2+2ab+b 2+2a+2b-3≠0,则a+b ≠1.其逆否命题为:若a+b=1,则a 2+2ab+b 2+2a+2b-3=0,下面证明逆否命题为真命题. 因为a+b=1,所以a 2+2ab+b 2+2a+2b-3=(a+b )2+2(a+b )-3=12+2-3=0. 即逆否命题成立,所以原命题为真命题.1.2 充分条件与必要条件课后篇巩固提升基础巩固1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 答案B2.若a ,b 为实数,则“a<-1”是“1a >-1”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析解不等式1a >-1得a<-1或a>0;所以由“a<-1”能推出“a<-1或a>0”,反之不成立,所以“a<-1”是“1a>-1”的充分不必要条件.故选B. 答案B3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0,与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-a2=-1,a=2,故选C .答案C4.给出下列3个结论:①x 2>4是x 3<-8的必要不充分条件;②在△ABC 中,AB 2+AC 2=BC 2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a ,b ∈R ,则“a 2+b 2≠0”是“a ,b 不全为0”的充要条件.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③解析由x 2>4可得x>2或x<-2,而由x 3<-8可得x<-2,所以x 2>4是x 3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC 中,若AB 2+AC 2=BC 2,则△ABC 一定为直角三角形,反之不成立,AB 2+AC 2=BC 2是△ABC 为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确. 答案C5.在△ABC 中,“∠A=45°”是“sin A=√22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当∠A=45°时,sin A=√22成立.若当∠A=135°时,也满足sin A=√22.即由“∠A=45°”能推出“sin A=√22”;反之不一定成立. 所以,“∠A=45°”是“sin A=√22”的充分不必要条件.故选A.答案A6.已知命题p :-1<x<3,命题q :-1<x<m+1,若q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 .解析由题意,命题p :-1<x<3,q :-1<x<m+1,因为q 是p 的必要不充分条件,即p ⫋q ,则m+1>3,解得m>2,即实数m 的取值范围是(2,+∞). 答案(2,+∞)7.已知a ,b 是两个命题,如果a 是b 的充分条件,那么 a 是 b 的 条件. 解析由已知条件可知a ⇒b ,∴ b ⇒ a.∴ a 是 b 的必要条件.答案必要8.下面两个命题中,p 是q 的什么条件?(1)p :在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,b 2>a 2+c 2,q :△ABC 为钝角三角形; (2)a ,b ∈R ,p :x>a 2+b 2,q :x>2ab. 解(1)在△ABC 中,因为b 2>a 2+c 2,所以cos B=a 2+c 2-b22ac<0,所以∠B 为钝角,即△ABC 为钝角三角形.反之,若△ABC 为钝角三角形,∠B 可能为锐角,这时b 2<a 2+c 2.所以p ⇒q ,q p ,故p 是q 的充分不必要条件. (2)因为当a ,b ∈R 时,有a 2+b 2≥2ab ,所以p ⇒q.反之,若x>2ab ,则不一定有x>a 2+b 2,即p ⇒q ,q p ,故p 是q 的充分不必要条件. 9.指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件. (1)向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),p :x 1x 2=y 1y 2,q :a ∥b ; (2)p :|x|=|y|,q :x=-y ;(3)p :直线l 与平面α内两条平行直线垂直,q :直线l 与平面α垂直;(4)f (x ),g (x )是定义在R 上的函数,h (x )=f (x )+g (x ),p :f (x ),g (x )均为偶函数,q :h (x )为偶函数. 解(1)由向量平行公式可知p ⇒q ,但当b =0时,a ∥b 不能推出x 1x 2=y1y 2,即q p ,故p 是q 的充分不必要条件.(2)因为|x|=|y|⇒x=±y ,所以p q ,但q ⇒p ,故p 是q 的必要不充分条件.(3)由线面垂直的判定定理可知:p q ,但由线面垂直的定义可知:q ⇒p ,故p 是q 的必要不充分条件.(4)若f (x ),g (x )均为偶函数,则h (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=h (x ),所以p ⇒q ,但q p ,故p 是q10.已知命题p :1x<1,命题q :x 2-3ax+2a 2<0(其中a 为常数,且a ≠0). (1)若p 为真,求x 的取值范围;(2)若p 是q 的必要不充分条件,求a 的取值范围.解(1)由1x<1,得x>1或x<0,即如果命题p 是真命题,则x 的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).(2)由x 2-3ax+2a 2<0,得(x-a )(x-2a )<0, 若a>0,则a<x<2a , 若a<0,则2a<x<a ,若命题p 是命题q 的必要不充分条件,则命题q 对应的集合是命题p 对应集合的真子集, 若a>0,则满足{a >0,a ≥1,得a ≥1,若a<0,满足条件.即实数a 的取值范围是a ≥1或a<0.能力提升1.“m=√3”是“直线√3x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-2=0相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析由圆心(1,0)到直线√3x-y+m=0距离d=|√3+m |2=√3,得m=√3或m=-3√3,故选A .答案A2.若向量a =(x ,3)(x ∈R ),则“x=4”是“|a |=5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若x=4,则a =(4,3),所以|a |=√42+32=5;若|a |=5,则√x 2+32=5,所以x=±4,故“x=4”是“|a |=5”的充分不必要条件. 答案A3.将函数y=sin(2x+θ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个函数f (x )的图象,则“f (x )是偶函数”是“θ=π4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析函数y=sin(2x+θ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到f (x )=sin [2(x +π8)+θ]==sin[2x +π+θ],当f (x )为偶函数时,π+θ=k π+π,θ=k π+π.故“f (x )是偶函数”是“θ=π”的必要不充分条件.故选B.答案B4.设l ,m ,n 均为直线,其中m ,n 在平面α内,则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( ) A.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为l ⊥α,m ⊂α,n ⊂α,所以l ⊥m 且l ⊥n ,故充分性成立;当l ⊥m 且l ⊥n 时,m ,n ⊂α,不一定有m 与n 相交,所以l ⊥α不一定成立,故必要性不成立. 答案A5.“不等式x 2-2x+m ≥0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( ) A.m ≥1 B.m ≤1 C.m ≥0 D.m ≥2解析“不等式x 2-2x+m ≥0在R 上恒成立”的充要条件为(-2)2-4m ≤0,即m ≥1,又m ≥2是m ≥1的充分不必要条件,即“不等式x 2-2x+m ≥0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是m ≥2,故选D. 答案D6.已知命题p :a ≤x ≤a+1,命题q :x 2-4x<0,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是 .解析令M={x|a ≤x ≤a+1},N={x|x 2-4x<0}={x|0<x<4}.∵p 是q 的充分不必要条件,∴M ⫋N ,∴{a >0,a +1<4,解得0<a<3.答案(0,3)7.已知命题p :对数式log a (-2t 2+7t-5)(a>0且a ≠1)有意义;命题q :实数t 满足不等式t 2-(m+3)t+(m+2)<0.(1)若p 为真,求实数t 的取值范围;(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围. 解(1)由对数式有意义得:-2t 2+7t-5>0,解得:1<t<52,即实数t 的取值范围是1,52.(2)∵p 是q 的充分不必要条件,∴1<t<52是不等式t 2-(m+3)t+(m+2)<0解集的真子集.令f (t )=t 2-(m+3)t+(m+2),∴f (1)=0,故只需f52<0,即(52)2−52(m+3)+(m+2)<0,解得m>12.即m 的取值范围是12,+∞.8.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q (p ≠0且p ≠1),求证:数列{a n }为等比数列的充要条件为q=-1.证明充分性:当q=-1时,a 1=p-1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=p n -1(p-1),当n=1时也成立.于是an+1a n=p n (p -1)p n -1(p -1)=p (p ≠0且p ≠1),即数列{a n }为等比数列.必要性:当n=1时,a 1=S 1=p+q. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=p n-1(p-1),因为p ≠0且p ≠1,所以an+1a n=p n (p -1)p n -1(p -1)=p.因为{a n}为等比数列,所以a2a1=a n+1a n=p,即p(p-1)p+q=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,q=-1是数列{a n}为等比数列的充要条件.1.3简单的逻辑联结词课后篇巩固提升基础巩固1.在命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是()A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”答案C2.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根,则下列命题为真命题的是()A.p∧( q)B.( p)∧qC.( p)∧( q)D.p∧q解析由题意知,命题p是真命题,命题q是假命题,所以 q是真命题,故p∧( q)是真命题.答案A3.下列为假命题的是()A.3≥4B.两非零向量平行,其所在直线平行或重合C.菱形的对角线相等且互相垂直D.若x2+y2=0,则x=0且y=0解析菱形的对角线互相垂直但不一定相等.答案C4.“p∨q为真”是“p为真”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若“p∨q为真”可能p假q真,不一定有“p为真”,充分性不成立;若“p为真”,则一定有“p∨q为真”,必要性成立,综上可得:“p∨q为真”是“p为真”的必要不充分条件.答案B5.若命题“( p)∨( q)”是假命题,给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题,其中正确的是()A.①③B.②④C.②③D.①④解析因为( p)∨( q)为假,所以( p)与( q)均为假,所以p与q均为真,所以①③正确.答案A6.在一次数学测试中,成绩在区间[125,150]上为优秀,有甲、乙两名同学,设命题p是“甲测试成绩优秀”,q是“乙测试成绩优秀”,则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为()A.( p)∨( q)B.p∨( q)C.( p)∧( q)D.p∨q解析“甲测试成绩不优秀”可表示为 p,“乙测试成绩不优秀”可表示为 q,“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”或“甲、乙的测试成绩都不优秀”,表示形式为( p)∨( q).答案A7.已知命题p:1∈{x|x2<a},q:2∈{x|x2<a},则当p∧q为真命题时,a的取值范围是.解析由1∈{x|x2<a},得a>1;由2∈{x|x2<a},得a>4.当p∧q为真命题时,有p真q真,所以a>4.答案(4,+∞)8.分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“ p”形式,并判断真假:(1)p:2n-1(n∈Z)是奇数,q:2n-1(n∈Z)是偶数.(2)p:a2+b2<0(a∈R,b∈R),q:a2+b2≥0.(3)p:集合中的元素是确定的,q:集合中的元素是无序的.解(1)p∨q:2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数,是真命题.p∧q:2n-1(n∈Z)既是奇数又是偶数,是假命题.p:2n-1(n∈Z)不是奇数,是假命题.(2)p∨q:a2+b2<0(a∈R,b∈R)或a2+b2≥0,是真命题.p∧q:a2+b2<0(a∈R,b∈R)且a2+b2≥0,是假命题.p:a2+b2≥0(a∈R,b∈R),是真命题.(3)p∨q:集合中的元素是确定的或是无序的,是真命题.p∧q:集合中的元素是确定的且是无序的,是真命题.p:集合中的元素是不确定的,是假命题.9.给定命题p:关于x的方程x2+ax+a=0无实根;命题q:函数y=1-4a在(0,+∞)上单调递减.已知p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,求实数a 的取值范围.解由方程x 2+ax+a=0无实根,可得Δ=a 2-4a<0,解得0<a<4,即命题p :0<a<4;由函数y=1-4a x 在(0,+∞)上单调递减,可得1-4a>0,解得a<14,即命题q :a<14. ∵p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,∴p 、q 两个命题真假性相反,∴{0<a <4,a ≥14或{a ≤0或a ≥4,a <14,解得1≤a<4或a ≤0, ∴实数a 的取值范围为(-∞,0]∪14,4.能力提升1.已知命题p :“若a=0.20.2,b=1.20.2,c=log 1.20.2,则a<c<b ”;命题q :“x-2≥0”是“x-2>0”的必要不充分条件,则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∧( q )C.( p )∧( q )D.( p )∧q解析命题p :若a=0.20.2,b=1.20.2,c=log 1.20.2,则b=1.20.2>1,0<a=0.20.2<1,c=log 1.20.2<0,故b>a>c.故命题p 为假命题.命题q :“x-2≥0”是“x-2>0”的必要不充分条件,故命题q 是真命题.则( p )∧q 为真命题.故选D.答案D2.已知命题p :函数y=log a (ax+2a )(a>0且a ≠1)的图象必过定点(-1,1);命题q :如果函数y=f (x )的图象关于(3,0)对称,那么函数y=f (x-3)的图象关于原点对称,则有( )A.“p ∧q ”为真B.“p ∨q ”为假C.p 真q 假D.p 假q 真解析对于命题p :当x=-1时,y=log a a=1,故命题p 为真;对于命题q :将函数y=f (x )的图象向右平移3个单位,得到函数y=f (x-3)的图象,故函数y=f (x-3)的图象关于点(6,0)对称,所以命题q 为假.答案C3.已知命题p :|x-1|≥2,q :x ∈Z ,若p ∧q , q 同时为假命题,则满足条件的x 的集合为( )A.{x|x ≤-1或x ≥3,x ∉Z }B.{x|-1≤x ≤3,x ∉Z }C.{x|x<-1或x>3,x ∈Z }D.{x|-1<x<3,x ∈Z }解析对于命题p :|x-1|≥2,解得x ≥3或x ≤-1,q :x ∈Z ,∵p ∧q , q 同时为假命题,∴q 真p 假.∴{x ∈Z ,-1<x <3,则满足条件的x 的集合为{x|-1<x<3,x ∈Z }. 答案D4.若“x ∈[2,5]或x ∈(-∞,1)∪(4,+∞)”是假命题,则x 的取值范围是 . 解析由已知得x ∉[2,5]且x ∉(-∞,1)∪(4,+∞),因此可得1≤x<2.答案[1,2)5.已知命题p :x 2+2x-3>0,命题q :13-x =>1,若( q )∧p 为真,则x 的取值范围是 .解析因为x 2+2x-3>0⇔(x+3)(x-1)>0⇔x<-3或x>1.又因为13-x >1⇔x -2x -3<0⇔2<x<3, 所以 q :x ≤2或x ≥3.若( q )∧p 为真,则x 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞).答案(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)6.已知命题p :不等式x 2+x+1≤0的解集为R ,命题q :不等式x -2x -1≤0的解集为{x|1<x ≤2},则命题“p ∨q ”,“p ∧q ”,“ p ”,“ q ”中正确的命题是 .解析因为∀x ∈R ,x 2+x+1>0,所以命题p 为假, p 为真.因为x -2x -1≤0,所以{(x -2)(x -1)≤0,x -1≠0,解得1<x ≤2.所以命题q 为真,p ∨q 为真,p ∧q 为假, q 为假.答案p ∨q , p7.设命题p :A={x|a+1≤x ≤2a-1},B={x|x ≤3或x>5},A ⊆B ;命题q :函数f (x )=x 2-2ax+1在12,+∞上为增函数,若“p ∧q ”为假,且“p ∨q ”为真,求实数a 的取值范围.解当命题p 为真时,即A ⊆B ,则由下列两种情况:①A=⌀,即2a-1<a+1,a<2时,满足A ⊆B ,②A ≠⌀,即{2a -1≥a +1,2a -1≤3或{2a -1≥a +1,a +1>5,满足A ⊆B , a=2或a>4,综合①②得:实数a 的取值范围为a ≤2或a>4,当命题q 为真时,即函数f (x )=x 2-2ax+1在12,+∞上为增函数,则a ≤12,又“p ∧q ”为假,且“p ∨q ”为真,所以命题p 、q 一真一假,即{2<a ≤4,a ≤12或{a ≤2或a >4,a >12, 12<a ≤2或a>4,故实数a 的取值范围为12<a ≤2或a>4.8.设命题p :实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a>0,命题q :实数x 满足{x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0.(1)若a=1且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.解(1)当a=1时,p :{x|1<x<3},q :{x|2<x ≤3},又p ∧q 为真,所以p 真且q 真,由{1<x <3,2<x ≤3得2<x<3,所以实数x 的取值范围为(2,3). (2)因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以q 是p 的充分不必要条件,又p :{x|a<x<3a },q :{x|2<x ≤3},所以{a >0,a ≤2,3a >3,解得1<a ≤2.所以实数a 的取值范围为(1,2].1.4 全称量词与存在量词课后篇巩固提升基础巩固1.下列命题中,是真命题且是全称命题的是( )A.对任意的a ,b ∈R ,都有a 2+b 2-2a-2b+2<0B.菱形的两条对角线相等C.∃x ∈R ,√x 2=xD.对数函数在定义域上是单调函数解析A 中含有全称量词“任意的”,是全称命题,但因为a 2+b 2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0;故是假命题.B,D 在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,所以B,D 是全称命题.菱形的对角线不一定相等,所以B 是假命题,C 虽然是真命题,但是特称命题,故选D.答案D2.命题:“∀x ∈R ,3x >0”的否定形式是( )A.∃x 0∈R ,3x 0≤0B.∃x 0∈R ,3x 0<0C.∀x ∈R ,3x ≤0D.∀x ∈R ,3x <0解析命题:“∀x ∈R ,3x >0”的否定形式是“∃x 0∈R ,3x 0≤0”.答案A3.下列四个命题,真命题的个数是( )①若x ∈R ,则x+1x ≥2②ac 2>bc 2的充分不必要条件是a>b③命题“∃n ∈N ,n 2>2n ”的否定为“∀n ∈N ,n 2≤2n ”A.0B.1C.2D.3解析对于①,当x>0时,x+1x ≥2,x=0时,x+1x 无意义,x<0时,x+1x ≤-2,∴①错误;对于②,当a>b 时,不能得出ac 2>bc 2,即充分性不成立,当ac 2>bc 2时,能得出a>b ,即必要性成立,所以a>b 是ac 2>bc 2的必要不充分条件,②错误;对于③,命题“∃n 0∈N ,n 02>2n 0”的否定为“∀n ∈N ,n 2≤2n ”,③正确.综上,正确的命题序号是③.故选B.答案B4.已知命题p :∀x>0,x+4x ≥4;命题q :∃x 0∈(0,+∞),2x 0=12,则下列判断正确的是( )A.p 是假命题B.q 是真命题C.p ∧( q )是真命题D.( p )∧q 是真命题 解析由均值不等式知,命题p 为真命题,而对任意x ∈(0,+∞),都有2x >1,所以不存在x 0∈(0,+∞),使得2x 0=12,即命题q 为假命题,故p ∧( q )是真命题.答案C5.已知命题p :∀x>3,x>m 成立,则实数m 的取值范围是( )A.m ≤3B.m ≥3C.m<3D.m>3解析对任意x>3,x>m 恒成立,即大于3的数恒大于m ,所以m ≤3.答案A6.命题“∃x 0∈R ,1≤f (x 0)<3”的否定形式是 .解析根据特称命题的否定是全称命题,得命题“∃x 0∈R ,1≤f (x 0)<3”的否定形式是“∀x ∈R ,f (x )<1或f (x )≥3”.答案∀x ∈R ,f (x )<1或f (x )≥37.下列特称命题是真命题的序号是 .①有些不相似的三角形面积相等;②存在一实数x 0,使x 02=+x 0+1<0;③存在实数a ,使函数y=ax+b 的值随x 的增大而增大;④有一个实数的倒数是它本身.解析①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任意x ∈R ,x 2+x+1=(x +12)2+34=>0,所以不存在实数x 0,使x 02=+x 0+1<0,故②为假命题;③中当实数a 大于0时,结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题,故填①③④.答案①③④8.命题“∀x ∈R ,x 2-2ax+1>0”是假命题,则实数a 的取值范围是 .解析由题意,命题“∀x ∈R ,x 2-2ax+1>0”是假命题,可得出二次函数与x 轴有交点,又由二次函数的性质,可得Δ≥0,即4a 2-4≥0,解得a ≤-1或a ≥1.答案(-∞,-1]∪[1,+∞)9.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.(1)所有实数x 都能使x 2+x+1>0成立;(2)对所有实数a ,b ,方程ax+b=0恰有一个解;(3)一定有整数x 0,y 0,使得3x 0-2y 0=10成立;(4)所有的有理数x 都能使13x 2+12x+1是有理数.解(1)∀x ∈R ,x 2+x+1>0,真命题.(2)∀a ,b ∈R ,ax+b=0恰有一个解,假命题.(3)∃x 0,y 0∈Z ,3x 0-2y 0=10,真命题.(4)∀x ∈Q ,13x 2+12x+1是有理数,真命题.10.写出下列命题的否定并判断真假:(1)不论m 取何实数,关于x 的方程x 2+x-m=0必有实数根;(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;(3)某些梯形的对角线互相平分;(4)被8整除的数能被4整除.解(1)这一命题可以表述为p :“对所有的实数m ,关于x 的方程x 2+x-m=0都有实数根”,其否定是:“存在实数m ,使得关于x 的方程x 2+x-m=0没有实数根”,注意到当Δ=1+4m<0,即m<-14时,一元二次方程没有实根,因此 p 是真命题.(2)命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.(3)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题. 能力提升1.命题“∀x ∈R ,∃n 0∈N *,使得n 0≥2x+1”的否定形式是( )A.∀x ∈R ,∃n 0∈N *,使得n 0<2x+1B.∀x ∈R ,∀n 0∈N *,使得n 0<2x+1C.∃x 0∈R ,∃n ∈N *,使得n<2x 0+1D.∃x 0∈R ,∀n ∈N *,使得n<2x 0+1解析由题意可知,全称命题“∀x ∈R ,∃n 0∈N *,使得n 0≥2x+1”的否定形式为特称命题“∃x 0∈R ,∀n ∈N *,使得n<2x 0+1”,故选D.答案D2.已知命题p :∀x ∈R ,2x <3x ;命题q :∃x ∈R ,x 3=1-x 2,则下列命题中为真命题的是( )A.p ∧qB.( p )∧qC.p ∧( q )D.( p )∧( q )解析由20=30知p 为假命题.令h (x )=x 3+x 2-1,则h (0)=-1<0,h (1)=1>0,所以方程x 3+x 2-1=0在(0,1)内有解.因此q 为真命题,故( p )∧q 为真命题,故选B .答案B3.已知函数f (x )=ln (1-a x+1)(a ∈R ).命题p :∃a ∈R ,f (x )是奇函数;命题q :∀a ∈R ,f (x )在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是( )A. pB.p ∧qC.( p )∧qD.p ∧( q )解析当a=2时,f (x )=ln (1-2x+1)=ln x -1x+1是奇函数,故命题p 为真命题;当a=0时,f (x )=0在其定义域内不是增函数,故命题q 为假命题,所以p ∧( q )为真命题. 答案D4.若命题“∀x ∈(1,+∞),x 2-(2+a )x+2+a ≥0”为真命题,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)解析判别式Δ=(2+a )2-4(2+a )=(a+2)(a-2),当Δ=(a+2)(a-2)≤0,即-2≤a ≤2时,不等式恒成立,满足条件.当Δ=(a+2)(a-2)>0,即a>2或a<-2时,设f (x )=x 2-(2+a )x+2+a ,要使命题“∀x ∈(1,+∞),x 2-(2+a )x+2+a ≥0”为真命题,则满足{x =--(2+a )2=a+22≤1,f (1)=1≥0,则a ≤0. ∵a>2或a<-2,∴a<-2.综上,a ≤2,故选B .答案B5.已知命题p :∃x 0∈R ,a x 02=+2ax 0+1≤0,若命题p 为假命题,则实数a 的取值范围是 .解析∵“∃x 0∈R ,a x 02+2ax 0+1≤0”为假命题,∴其否定“∀x ∈R ,ax 2+2ax+1>0”为真命题,当a=0时,显然成立;当a ≠0时,ax 2+2ax+1>0恒成立可化为{a >0,4a 2-4a <0,解得0<a<1.综上,实数a 的取值范围是[0,1).答案[0,1)6.以下给出五个命题,其中真命题的序号为 .①函数f (x )=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,则a 的取值范围是a<-1或a>15; ②“任意菱形的对角线一定相等”的否定形式是“菱形的对角线一定不相等”; ③∀x ∈(0,π2),x<tan x ;④若0<a<b<1,则ln a<ln b<a b <b a ;⑤“b 2=ac ”是“a ,b ,c 成等比数列”的充分不必要条件.解析逐一考查所给的命题:①函数f (x )=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,很明显a ≠0,故f (-1)f (1)<0,据此可得:(1-5a )(a+1)<0,则a 的取值范围是a<-1或a>15,题中的说法正确;②“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形,其对角线不相等”,原命题错误; ③令f (x )=x-tan x ,则f'(x )=1-1cos 2x =cos 2x -1cos 2x ≤0,则f (x )单调递减,又f (0)=0,故f (x )<0恒成立,即x-tan x<0恒成立,据此可知∀x ∈(0,π),x<tan x ,题中的说法正确;④若0<a<b<1,则ln a<ln b<0,a b >0,b a >0,构造函数f (x )=lnx x ,则f'(x )=1-lnx x 2,则函数f (x )在区间(0,1)上单调递增,由于0<a<b<1,故f (a )<f (b ),lna a <lnb b ,则ln a b <ln b a ,a b <b a ,综上可得,ln a<ln b<a b <b a ,题中的说法正确;⑤若a=b=0,c=2,满足b 2=ac ,但是不满足a ,b ,c 成等比数列,反之,若a ,b ,c 成等比数列,一定有b 2=ac ,据此可得“b 2=ac ”是“a ,b ,c 成等比数列”的必要不充分条件,题中的说法错误. 故真命题的序号为①③④.答案①③④7.已知命题p :∀x ∈R ,x 2+(a-1)x+1≥0成立,命题q :∃x 0∈R ,a x 02-2ax 0-3>0不成立,若p 假q 真,求实数a 的取值范围.解因为命题p :∀x ∈R ,x 2+(a-1)x+1≥0是假命题,所以命题 p :∃x 0∈R ,x 02+(a-1)x 0+1<0是真命题,则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.因为命题q :∃x 0∈R ,a x 02-2ax 0-3>0不成立,。
2章整合(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地)1．以x24－y212＝－1地焦点为顶点，顶点为焦点地椭圆方程为( )A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1C.x216＋y24＝1 D.x24＋y216＝1解析：双曲线x24－y212＝－1地焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆地焦点在y轴上，a＝4，c＝23，∴b2＝4，所求方程为x24＋y216＝1，故选D.答案： D2．设P是椭圆x2169＋y2144＝1上一点，F1、F2是椭圆地焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于( ) A．22 B．21C．20 D．13解析：由椭圆地定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.答案： A3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它地右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案： C4．若抛物线x 2＝2py 地焦点与椭圆x23＋y24＝1地下焦点重合，则p 地值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析： 椭圆x23＋y24＝1地下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D5．若k ∈R ，则k >3是方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3.故k >3是方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地充分不必要条件．故选A. 答案： A6．已知F 1、F 2是椭圆地两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0地点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率地取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析： 由MF1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径地圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22.因为0<e <1，所以0<e <22.即椭圆离心率地取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，22.故选C.答案： C7．已知抛物线C ：y 2＝4x 地焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4，4)，又F (1，0)， ∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二：由方法一得A (4，4)，B (1，－2)，F (1，0)，∴FA →＝(3，4)，FB →＝(0，－2)，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.∴cos∠AFB＝FA，→·FB→|F A→|·|F B→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.答案： D8．F1、F2是椭圆x29＋y27＝1地两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2地面积为( )A．7 B.72C.74D.752解析：|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6，|AF2|＝6－|AF1|.|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴|AF1|＝72 .S＝12×72×22×22＝72.答案： B9．已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切地两直线相交于点P，则P点地轨迹方程为( )A．x2－y28＝1(x>1) B．x2－y28＝1(x<－1)C．x2＋y28＝1(x>0) D．x2－y210＝1(x>1)解析：设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|.所以点P地轨迹是以M(－3，0)，N(3，0)为焦点地双曲线地一支，且a＝1，∴c＝3，b2＝8，∴所以双曲线方程是x2－y28＝1(x>1)．答案： A10．设直线l过双曲线C地一个焦点，且与C 地一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C 地实轴长地2倍，则C 地离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析： 设双曲线地标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线地焦点且与对称轴垂直，因此直线l 地方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y2b2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b2a2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2.∴e＝ 3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若双曲线地渐近线方程为y＝±13x，它地一个焦点是(10，0)，则双曲线地标准方程是________．解析：由双曲线地渐近线方程为y＝±13x，知b a ＝13，它地一个焦点是(10，0)，知a2＋b2＝10，因此a＝3，b＝1，故双曲线地方程是x29－y2＝1.答案：x29－y2＝112．若过椭圆x216＋y24＝1内一点(2，1)地弦被该点平分，则该弦所在直线地方程是________．解析：设直线方程为y－1＝k(x－2)，与双曲线方程联立得(1＋4k2)x2＋(－16k2＋8k)x＋16k2－16k－12＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12，所以直线方程为x＋2y－4＝0. 答案：x＋2y－4＝013.如图，F 1，F 2分别为椭圆x2a2＋y 2b2＝1地左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3地正三角形，则b 2地值是________．解析： ∵△POF 2是面积为3地正三角形， ∴12c 2sin 60°＝3， ∴c 2＝4， ∴P (1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋3b2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2＝2 3.答案： 2 314．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)地直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22地最小值是________．解析：显然x1，x2≥0，又y21＋y22＝4(x1＋x2)≥8x1x2，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以最小值为32.答案：32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要地文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x2 9＋y2 25＝1共焦点，它们地离心率之和为145，求双曲线方程．解析：由椭圆方程可得椭圆地焦点为F(0，±4)，离心率e＝45，所以双曲线地焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c＝4，a＝2，b＝2 3.所以双曲线方程为y24－x212＝1.16．(本小题满分12分)设椭圆地中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝32.已知点P⎝⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上地点地最远距离为7，求这个椭圆地方程．解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，M(x，y )为椭圆上地点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎪⎫b ＋322＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x24＋y 2＝1.17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A地坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足BQ→＝λQA→，经过点Q与x轴垂直地直线交抛物线于点M，点P满足QM→＝λMP→，求点P地轨迹方程．解析：由QM→＝λMP→知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴地直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由BQ→＝λQA→，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λy 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λ2x 2－λ1＋λy －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2，2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y －1＝0.故所求点P地轨迹方程为y＝2x－1.18．(本小题满分14分)已知椭圆地长轴长为2a，焦点是F1(－3，0)、F2(3，0)，点F1到直线x＝－a23地距离为33，过点F2且倾斜角为锐角地直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|＝3|F2A|.(1)求椭圆地方程；(2)求直线l地方程．解析：(1)∵F1到直线x＝－a23地距离为33，∴－3＋a23＝33.∴a 2＝4.而c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1.∵椭圆地焦点在x 轴上，∴所求椭圆地方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y 11＋3，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1. ∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 21＝1，43－3x 124＋－3y 12＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1033，y 1＝233取正值.∴l 地斜率为233－01033－3＝ 2. ∴l 地方程为y ＝2(x －3)， 即2x －y －6＝0.。
数学选修2-1综合测试卷A （含答案）一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为1(0,)16 2．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A ．25-B ．25C ．1-D ．1 4．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =u u u u r r , D A =11，A =1，则下列向量中与B 1相等的向量是A ．++-2121B ．++2121C ．+-2121D ．+--2121 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段6．已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,51给出下列等式： ①∣++∣=∣--∣ ②c b a ⋅+)( =)(c b a +⋅ ③2)(++=222++④⋅⋅)( =)(⋅⋅其中正确的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆8．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．已知函数f(x)=3472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是 A ．0≤k<43 B ．0<k<43 C ．k<0或k>43 D ．0<k ≤43 10．下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④=a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件。
第二章圆锥曲线与方程2。
1 曲线与方程 课后篇巩固提升基础巩固1。
方程(2x-3）2+（y+2)2=0表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两条直线 C 。
一个点 D.两个点解析由已知得{2x -3=0,y +2=0,解得{x =32,y =-2,所以方程表示一个点(32,-2).答案C2.与点A （-1，0）和点B (1,0）连线的斜率之和为-1的动点P 的轨迹方程是（ ） A.x 2+y 2=3B 。
x 2+2xy=1（x ≠±1)C 。
y=√1-x 2 D.x 2+y 2=9(x ≠0）解析设P （x ，y ），因为k PA +k PB =—1,所以y -0x -(-1)+y -0x -1=—1,整理得x 2+2xy=1(x ≠±1)。
答案B3。
方程x —1=√1-(y -1)2表示的曲线是（ ） A.一个圆 B 。
两个半圆 C 。
两个圆D.半个圆解析∵方程x —1=√1-(y -1)2等价于(x —1）2+(y —1)2=1（x ≥1),∴表示的曲线是半个圆。
故选D.答案D4.“点M 在曲线y 2=4x 上"是点M 的坐标满足方程y=—2√x 的( )A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析点M 在曲线y 2=4x 上，其坐标不一定满足方程y=-2√x ,但当点M 的坐标满足方程y=-2√x 时,则点M 一定在曲线y 2=4x 上。
答案B5。
在直角坐标系中，方程｜x ｜y=1的曲线是( ）解析由|x|y=1知y>0,曲线全部位于x轴上方,故选C.答案C6.已知点A(a,2）既是曲线y=mx2上的点，也是直线x-y=0上的一点,则m= ,a= .解析由题意知{2=ma2,a-2=0,.解得a=2，m=12答案1227.已知定点A（-2，0）,B(1,0),如果动点P满足|PA|=2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.解析设P(x，y）,由|PA｜=2|PB|得√(x+2)2+y2=2√(x-1)2+y2，整理得x2—4x+y2=0,即(x—2）2+y2=4.故点P的轨迹是以（2，0）为圆心,以2为半径的圆，S=πr2=4π.答案4π8.已知动点M（x,y)到直线l:3x+4y+1=0的距离等于1,则动点M的轨迹方程为。
（数学选修（数学选修2-12-1）第一章）第一章）第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c f ++<¹”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +¹” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a Î<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p Ø是q Ø的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ×不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=¹的两实数根；12:b B x x a +=-,则A 是B 的 条件。
![[数学教学中对书本例题的使用例谈] 书本上的例题和考试的题](https://uimg.taocdn.com/1e6b4d8b376baf1ffd4fad5e.webp)
[数学教学中对书本例题的使用例谈] 书本上的例题和考试的题我国著名的教育家叶圣陶先生说过：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠教师的善于运用。
”新课标对教材的使用提出了新的要求：要求“用教材教”而不是“教教材”；不是简单地学教材，而是把教材作为“引子”，作为“材料”；不是把教材奉为神圣不可侵犯的“圣经”，也不能“无教材论”，采取“舍本逐末”的做法，而是根据实际情况对其进行必要的取舍与加工，即要求“用好教材，超越教材”。
以下是笔者在教学中对课本例题处理的一个案例。
书本例题：已知椭圆C：+，直线L：4x-5y+40=0。
椭圆C上是否存在一点，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？此题是人教出版社A版高中数学选修2-1教材第47页例7，本节是直线与椭圆的第一节课，主要内容是如何判断直线与椭圆的位置关系、弦长问题等。
但是如果课上按部就班地只讲以上例题显然不能达到教学的目标，还需要再补充别的习题。
为此我是这样运用这个例题的。
一、复习中走进例题我上课时先给出以下问题：已知直线L：4x-5y+m=0，椭圆C：+=1的焦点F1，F2在x轴上，椭圆Ｃ上存在一点p，使∠F1PF2=60°，S=3、求椭圆C的方程。
解：△F1PF2中，设∠F1PF2=?琢，|PF1|=m，|PF2|=n，在△F1PF2中，由余弦定理可知，2=m2+n2-2mncos?琢=2-2mn-2mncos?琢，∴mn=、S=mnsin?琢=××sin?琢==b2tanQ∠F1PF2=60°，?琢=60°，∴b2×=3，∴b2=9∴椭圆C：+=1、这个问题的解决得益于椭圆的定义，PF1+PF2=2?琢，再结合余弦定理使问题解决。
最后总结出了焦点三角形的面积公式：S=b2tan、可以发现当焦点三角形顶角已知时，其面积只与b有关，而和a无关。
当学生正在为得出这样一个结论而开心的时候我又给出了第2个问题。
第二章 圆锥曲线与方程本章归纳整合高考真题1．(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ( )．A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0及点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解①②得b 2＝5，a 2＝20，故选A.答案 A2．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2 左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )． A.14 B.35 C.34D.45 解析 ∵a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34，故选C. 答案 C3．(2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )． A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.由定义知|MF |＝2＋p 2， ∴p 2＋2＝3，∴p ＝2，∴y 20＝2p ·2＝4p ＝8， ∴y 0＝±22，∴|OM |＝22＋y 20＝ 12＝ 2 3.答案 B4．(2012·课标全国)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )． A.12 B.23 C.34 D.45 解析 设直线x ＝32a 与x 轴交于点Q ， 由题意得∠PF 2Q ＝60°，|F 2P |＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2Q |＝32a －c ， ∴32a －c ＝12×2c ，e ＝c a ＝34，故选C. 答案 C5．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．A.14B.55C.12D.5－2 解析 在椭圆中，易知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，∵|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，∴(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，则e ＝55，故选B. 答案 B6. (2012·安徽)如图，F1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为：y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝ 1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝40 3，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t .再由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，解得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.7．(2012·福建) 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解 法一 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．法二 (1)同解法一．(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)， 即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－2，MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M .。
2.4.1抛物线及其标准方程A组1.抛物线y=-x2的焦点坐标为()A. B.C. D.解析:把y=-x2化为标准方程x2=-y,可知抛物线开口向下,且2p=1,故焦点坐标为.答案:D2.一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点()A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)解析:∵抛物线为y2=8x,∴准线方程为x=-2.由题意得,圆心到定点的距离与圆心到直线x+2=0的距离相等,∴根据抛物线定义得圆必过抛物线y2=8x的焦点(2,0).答案:C3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为()A. B.1 C.2 D.4解析:由抛物线的标准方程,得准线方程为x=-.由x2+y2-6x-7=0,得(x-3)2+y2=16.∵准线与圆相切,∴3+=4,即p=2.答案:C4.点P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以P为圆心,以|PF|为半径的圆与准线l()A.相交B.相切C.相离D.位置由F确定解析:由抛物线的定义可知点P到焦点F的距离等于到准线的距离,即圆心到准线的距离等于半径,故圆与准线相切.答案:B5.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点F的距离为9,则点P的坐标为()A.(7,±)B.(14,±)C.(7,±2)D.(-7,±2)解析:设P(x0,y0),∵点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=-2的距离,∴由|PF|=9,得x0+=9,即x0=9-2=7.∴y0=±2.故选C.答案:C6.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为.解析:将y=ax2化为x2=y.因为准线方程为y=2,所以抛物线开口向下,<0,且=2,所以a=-.答案:-7.若抛物线y2=-4x上一点A到焦点的距离等于5,则它到坐标原点的距离等于.解析:抛物线准线方程为x=1,点A到焦点的距离等于5,所以点A到准线距离也等于5,故点A 的横坐标为-4,从而纵坐标为±4,即A(-4,±4),所以点A到原点距离为4.答案:48.已知F为抛物线y2=ax(a>0)的焦点,点P在抛物线上,且其到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2,则||=.解析:由抛物线的定义,知点P到y轴的距离与其到准线的距离之比为1∶2,设点P(x,y).因为抛物线的准线为x=-,则x+=2x,x=,所以P.又F,所以||=.答案:9.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m的值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)∵点(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,∴抛物线开口向左.设方程为y2=-2px(p>0).∵点M到焦点的距离为5,∴3+=5,∴p=4.∴抛物线的方程为y2=-8x.把点M(-3,m)代入抛物线方程,得m2=24,∴m=±2.(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.解:设抛物线的方程为y2=2px(p>0),根据点在抛物线上可得=2p·,解得p=2.故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,∴c=1,即a2+b2=1.故双曲线方程为=1.∵点在双曲线上,∴=1,解得a2=或a2=9(舍去).同时b2=,故所求双曲线的方程为=1.B组1.已知动点M的坐标满足方程5=|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对解析:方程5=|3x+4y-12|可化为,∴动点M到原点的距离与到直线3x+4y-12=0的距离相等.∴点M的轨迹是以原点为焦点,直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.答案:C2.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点.若=-4,则点A的坐标为()A.(2,±2)B.(1,±2)C.(1,2)D.(2,2)解析:设点A,则.由=-4,得=-4,解得=4.此时点A的坐标为(1,2)或(1,-2).答案:B3.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段F A的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.解析:如图,由已知,得点B的纵坐标为1,横坐标为,即B.将其代入y2=2px,得1=2p×,解得p=,故点B到准线的距离为p=.答案:4.已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.解:方法一:设点P的坐标为(x,y),则有=|x|+1.两边平方并化简,得y2=2x+2|x|.故y2=即点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).方法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点符合条件;当x≥0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).5.一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图.已知拱口AB的宽恰好是拱高CD的4倍,求能使卡车通过的拱宽a(m)的最小整数值.解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立直角坐标系,如图,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点B的坐标为.因为点B在抛物线上,所以=-2p·,p=,所以抛物线方程为x2=-ay.将点E(0.8,y)代入抛物线方程,得y=-.所以点E到拱底AB的距离为-|y|=>3.解得a>12.21.因为a取整数,所以a的最小值为13.6.定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移动,求AB中点到y轴距离的最小值,并求出此时AB中点的坐标.解:如图,F是抛物线y2=x的焦点,A,B两点到准线的垂线分别是AC,BD,过AB的中点M作准线的垂线MN,C,D,N为垂足,则|MN|=(|AC|+|BD|),由抛物线定义知|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.∴|MN|=(|AF|+|BF|)≥|AB|=.设点M的横坐标为x,|MN|=x+,则x≥.当弦AB过点F时等号成立,此时,点M到y轴的最短距离为.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2x.当x=时,y1·y2=-p2=-,∴(y1+y2)2=+2y1·y2=2x-=2.∴y1+y2=±,得y=±,即M.。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 常用逻辑用语本章归纳整合高考真题1．(2012·重庆)命题“若p 则q ”的逆命题是( )． A ．若q 则p B ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q 解析 原命题的逆命题是交换原命题的条件和结论．故选A.答案 A2．(2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4 解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C. 答案 C3．(2012·山东)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ( )．A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.答案 C4．(2012·湖北)设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的 ( )． A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件解析 ∵abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ac ＋1ab， ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴1bc ＋1ac≥2 1abc 2＝2· 1c ＝2c ，① 同理1bc ＋1ab ≥2b，② 1ac ＋1ab ≥2a，③ 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．①＋②＋③得a ＋b ＋c ≥1a ＋1b ＋1c ， 故abc ＝1是1a ＋1b ＋1c≤ a ＋b ＋c 的充分条件． 再令a ＝2，b ＝c ＝1，满足a ＋b ＋c ≥1a ＋1b ＋1c ， 但abc ≠1，故abc ＝1不是1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c 的必要条件．故选A. 答案 A 5．(2012·天津)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 因为{x |2x 2＋x －1＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞12或x ＜－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞12{x |2x 2＋x －1＞0}，故选A.答案 A6．(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )． A ．x ＝－12B ．x ＝－1C．x＝5 D．x＝0解析a⊥b⇔a·b＝0，a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，∴x＝0，故选D.答案 D7．(2012·上海)对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当m＜0，n＜0时，mn＞0，但mx2＋ny2＝1没有意义，不是椭圆；反之，若mx2＋ny2＝1表示椭圆，则m＞0，n＞0，即mn＞0.故选B.答案B。
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（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步练习+章节检测卷汇总第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的是( )①三角形的内角和等于180°; ②2>3; ③偶数是自然数; ④x>2; ⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤解析: ①②③是命题, ④中x>2无法判断真假, ⑤是感叹句, 所以④⑤不是命题．答案: A2．下列命题中, 是真命题的是( )A．a>b, c>d⇒ac>bdB．a<b⇒a2<b2C.1a<1b⇒a>bD．a>b, c<d⇒a－c>b－d解析: 可以通过举反例的方法说明A, B, C为假命题．答案: D3．下列命题中真命题的个数为( )①若x2＝1, 则x＝1;②若x＝y, 则x＝y;③若a＞b, 则a＋c＞b＋c;④梯形的对角线一定不垂直．A．1 B．2 C．3 D．4解析: 只有③正确．答案: A4．给出下列命题:①四个非零实数a, b, c, d满足ad＝bc, 则a, b, c, d成等比数列;②若整数a能被2整除, 则a是偶数;③在△ABC中, 若A>30°, 则sin A>1 2 .其中为假命题的序号是( )A．② B．①② C．②③ D．①③解析: ①中, 若a＝－1, b＝52, c＝2, d＝－5满足ad＝bc, 但a, b, c, d不成等比数列, 故是假命题; ③中, 若150°<A<180°, 则sin A<12, 故是假命题．答案: D5．下列命题中, 是真命题的是( )A．若a3＋b3＝0, 则a2＋b2＝0B．若a＞b, 则ac＞bcC．若M∩N＝M, 则N⊆MD．若M⊆N, 则M∩N＝M解析: A.取a＝1, b＝－1, 推不出a2＋b2＝0, A不成立; B.c≤0时, 不成立; C.M∩N ＝M⇒M⊆N, C不成立; D成立．答案: D二、填空题6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”, 写成“若p, 则q”的形式为________．解析: 条件是整数的末位数字是4, 结论是它一定能被2整除．答案: 若一个整数的末位数字是4, 则它一定能被2整除7．已知下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy＝0, 则|x|＋|y|＝0;③若a＞b, 则ac2＞bc2;④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．解析: ①②③④全为假命题．答案: 48．给出下列三个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行．其中, 是真命题的是________(填序号)．答案: ②三、解答题9．判断下列命题的真假．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)有最大值;(2)正项等差数列的公差大于零;(3)函数y＝1x的图象关于原点对称．解: (1)假命题．当a＞0时, 抛物线开口向上, 有最小值．(2)假命题．反例: 若此数列为递减数列, 如数列20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 它的公差是－3.(3)真命题．y＝1x是奇函数, 所以其图象关于(0, 0)对称．10．把下列命题改写成“若p, 则q”的形式, 并判断真假, 且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)与同一直线平行的两个平面平行．解: (1)“若两个实数乘积为1, 则这两个实数互为倒数”, 它是真命题．p: 两个实数乘积为1; q: 两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数, 则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p: 一个函数为奇函数; q: 函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行, 则这两个平面平行”．它是假命题, 这两个平面也可能相交．p: 两个平面与同一条直线平行; q: 两个平面平行．B级能力提升1．已知a、b为两条不同的直线, α、β为两个不同的平面, 且a⊥α, b⊥β, 则下列命题中的假命题是( )A．若a∥b, 则α∥βB．若α⊥β, 则a⊥bC．若a、b相交, 则α、β相交D．若α、β相交, 则a、b相交解析: 易知选项A、B、C都正确, 对于D, α、β相交时, a、b一定不平行, 但不一定相交, 有可能异面, 故D为假命题．答案: D2．给定下列命题:①若k＞0, 则方程x2＋2x－k＝0有实数根;②若a＞b＞0, c＞d＞0, 则ac＞bd;③对角线相等的四边形是矩形;④若xy＝0, 则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．解析: 易知①②④正确, 对于③, 对角线相等且平分时的四边形是矩形, 只满足相等不是矩形．故③错误．答案: ①②④3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题, 是真命题还是假命题? 说明理由．解: 这是一个可以判断真假的陈述句, 所以是命题, 且是真命题．函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根, 也就是方程2x＝x2的实数根, 即函数y＝2x, y＝x2的图象的交点的横坐标, 易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点, 所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．已知命题p: “若ab＝1, 则a＋b≥2”, 则下列说法正确的是( )A．命题p的逆命题是“若ab≠1, 则a＋b<2”B．命题p的逆命题是“若a＋b<2, 则ab≠1”C．命题p的否命题是“若ab≠1, 则a＋b<2”D．命题p的否命题是“若a＋b≥2, 则ab＝1”解析: “若p, 则q”的逆命题是“若q, 则p”, 否命题是“若⌝p, 则⌝q”.答案: C2．设a, b是向量, 命题“若a＝－b, 则|a|＝| b|”的逆命题是( )A．若a≠－b, 则|a|≠| b |B．若a＝－b, 则|a|≠| b |C．若|a|≠| b |, 则a≠－bD．若|a|＝| b |, 则a＝－b解析: 原命题的条件是a＝－b, 作为逆命题的结论; 原命题的结论是|a|＝| b |, 作为逆命题的条件, 即得逆命题, “若|a|＝| b |, 则a＝－b.”答案: D3．设m∈R, 命题“若m>0, 则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根, 则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根, 则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根, 则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根, 则m≤0解析: “方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”; “m>0”的否定即“m≤0”, 故命题“若m>0, 则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根, 则m≤0”．答案: D4．下列四个命题中, 真命题为( )①“若x＋y＝0, 则x, y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1, 则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案: C5．与命题“在等差数列{a n}中, 若m＋n＝p＋q, 则a m＋a n＝a p＋a q”为互逆命题的是( )A．在等差数列{a n}中, 若m＋n≠p＋q, 则a m＋a n≠a p＋a qB．在等差数列{a n}中, 若a m＋a n＝a p＋a q, 则m＋n＝p＋qC．在等差数列{a n}中, 若a m＋a n≠a p＋a q, 则m＋n≠p＋qD．在等差数列{a n}中, 若m＋n≠p＋q, 则a m＋a n＝a p＋a q答案: B二、填空题6．命题“若AB＝AC, 则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．解析: 逆否命题: “若△ABC不是等腰三角形, 则AB≠AC”, 为真命题．答案: 真命题7．下列命题:①“若xy＝1, 则x、y互为倒数”的逆命题;②“四边相等的四边形是正方形”的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“若ac2＞bc2, 则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析: ①“若xy＝1, 则x, y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数, 则xy＝1”, 是真命题; ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”, 是真命题; ③“梯形不是平行四边形”本身是真命题, 所以其逆否命题也是真命题; ④“若ac2＞bc2, 则a＞b”的逆命题是“若a＞b, 则ac2＞bc2”, 是假命题．所以真命题是①②③.答案: ①②③8．有下列四个命题:①“若x＋y＝0, 则x、y互为相反数”的否命题;②“若x＞y, 则x2＞y2”的逆否命题;③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案: 1三、解答题9．判断命题“若m>0, 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解: 因为m>0, 所以12m>0, 所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.所以原命题“若m>0, 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价, 所以“若m>0, 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．10．已知函数f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数, a, b∈R, 对命题“若a＋b≥0, 则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题, 判断其真假, 并证明你的结论;(2)写出逆否命题, 判断其真假, 并证明你的结论．解: (1)逆命题: 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),则a＋b≥0, 真命题．假设a＋b<0, 则a<－b, b<－a.因为f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,所以f(a)<f(－b), f(b)<f(－a),所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与题设矛盾,所以逆命题为真命题．(2)逆否命题: 若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b), 则a＋b<0, 真命题．因为原命题与其逆否命题等价,所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0, 所以a≥－b, b≥－a.又因为f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,所以f (a )≥f (－b ), f (b )≥f (－a )．所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ),即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．B 级 能力提升1．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n , n ∈N ＋, 则{a n }为递减数列”, 关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性的判断依次如下, 正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假 解析: a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题, 所以其否命题和逆否命题也都是真命题．答案: A2．设原命题: 若a ＋b ≥2, 则a , b 中至少有一个不小于1, 则原命题为________命题, 逆命题为________命题(填“真”或“假”)．解析: 逆否命题为: a , b 都小于1, 则a ＋b <2是真命题．所以原命题是真命题, 逆命题为: 若a , b 中至少有一个不小于1, 则a ＋b ≥2, 例如a ＝3, b ＝－3满足条件a , b 中至少有一个不小于1, 但此时a ＋b ＝0, 故逆命题是假命题．答案: 真 假3．设0<a <1, 0<b <1, 0<c <1, 求证: (1－a )b , (1－b )c , (1－c )a 不同时大于14. 证明: 假设(1－a )b >14, 所以（1－a ）b >12, (1－b )c >14, 所以（1－b ）c >12, (1－c )a >14, 所以（1－c ）a >12. 相加得32<（1－a ）b ＋（1－b ）c ＋（1－c ）a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32左右矛盾, 故假设不成立．所以(1－a )b , (1－b )c , (1－c )a 不同时大于14.第一章 常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件A 级 基础巩固一、选择题1．“x >0”是“3x 2>0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．既是充分条件又是必要条件解析: x >0显然能推出3x 2>0, 而3x 2>0, 不能推出x >0.答案: A2． “α＝π6＋2k π(k ∈Z)”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件解析: “α＝π6＋2k π(k ∈Z)”⇒“cos 2α＝12”, “cos 2α＝12”⇒/ “α＝π6＋2k π”(k ∈Z)．因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z), 所以选A. 答案: A3．“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析: 由ln(x ＋1)<0得－1<x <0, 故“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件． 答案: B4．已知集合M ＝{2, m }, N ＝{1, 2, 3}, 则“m ＝3”是“M ⊆N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 若m＝3, 则M＝{2, 3}, 显然M⊆N; 但当M⊆N时, m＝1或m＝3, 故“m＝3”是“M⊆N”的充分不必要条件．答案: A5．设x、y是两个实数, 命题: “x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1答案: B二、填空题6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1, 则a的取值范围是________．解析: 由已知, 得{x|－2＜x＜－1}{x|(x＋a)(x＋1)＜0},所以－a＜－2⇒a＞2.答案: a＞27．设α、β、γ为平面, m、n、l为直线, 则对于下列条件:①α⊥β, α∩β＝l, m⊥l;②α∩γ＝m, α⊥β, γ⊥β;③α⊥γ, β⊥γ, m⊥α;④n⊥α, n⊥β, m⊥α.其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．答案: ②④8．“x＝1”是“方程x3－3x＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)．答案: 充分三、解答题9．已知p, q都是r的必要条件, s是r的充分条件, q是s的充分条件．那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?解: (1)因为q⇒s, s⇒r⇒q, 所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q, q⇒s⇒r, 所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p, 所以p是q的必要条件．10．已知命题p: α＝β; 命题q: tan α＝tan β, 判断p是q的什么条件?解: 当α＝β＝π2时, 显然tan α与tan β无意义, 即p ⇒/ q , 故p 不是q 的充分条件; 又α＝π4, β＝5π4时, tan α＝tan β, 所以q ⇒/ p , 所以p 不是q 的必要条件,综上, p 既不是q 的充分条件, 也不是必要条件．B 级 能力提升1．对任意实数a , b , c , 在下列命题中, 真命题是( ) A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案: B2． “函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________． 答案: a ＝1(或a ＝－1)3．已知a 、b 为不等于0的实数, 判断“ab＞1”是“a ＞b ”的什么条件, 并证明你的结论．解: 由条件“a b ＞1”可得a －bb＞0, 若b ＞0, 则a ＞b ;若b ＜0, 则a ＜b , 所以“a b＞1”“a ＞b ”,“a b＞1”不是“a ＞b ”的充分条件． 反过来, a ＞b ⇔a －b ＞0, 也不能推出a b ＞1⇔a －b b ＞0, “ab＞1”也不是“a ＞b ”的必要条件．所以“ab＞1”既不是“a ＞b ”的充分条件, 也不是“a ＞b ”的必要条件．第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件A级基础巩固一、选择题1．已知集合A为数集, 则“A∩{0, 1}＝{0}”是“A＝{0}的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 因为“A∩{0, 1}＝{0}”得不出“A＝{0}”, 而“A＝{0}” 能得出“A∩{0, 1}＝{0}”,所以“A∩{0, 1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．答案: B2．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 由于“x2＞2 013”时, 一定有“x2＞2 012”, 反之不成立,所以“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的充分不必要条件．答案: A3．在等比数列{an}中, a1＝1, 则“a2＝4”是“a3＝16”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 数列{an}中, a1＝1, a2＝4, 则a3＝16成立, 反过来若a1＝1, a3＝16, 则a2＝±4, 故不成立, 所以“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．答案: A4．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析: (m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0,即(m ＋2)(4m －2)＝0. 所以m ＝－2, 或m ＝12.故为充分不必要条件． 答案: B5．已知条件p : x 2－3x －4≤0; 条件q : x 2－6x ＋9－m 2≤0, 若p 是q 的充分不必要条件, 则m 的取值范围是( )A ．[－1, 1]B ．[－4, 4]C ．(－∞, －4]∪[4, ＋∞)D ．(－∞, －1]∪[1, ＋∞)解析: p : －1≤x ≤4, q : 3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0),依题意, ⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4. 答案: C 二、填空题6．给定空间中直线l 及平面α, 条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件．解析: “直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”． 答案: 充要条件7．已知α, β角的终边均在第一象限, 则“α>β”是“sin α>sin β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件” “充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．解析: 若α＝370°>β＝30°, 而sin α<sin β, 所以“α>β”推不出“sinα>sin β”, 若sin 30°>sin 370°, 而30°<370°, 所以sin α>sin β推不出α>β.答案: 既不充分也不必要条件8．已知p : x 2－4x －5>0, q : x 2－2x ＋1－λ2>0, 若p 是q 的充分不必要条件, 则正实数λ的取值范围是________．解析: 命题p 成立, x 2－4x －5>0, 得x >5或x <－1; 命题q 成立, x 2－2x ＋1－λ2>0(λ>0)得x >1＋λ或x <1－λ, 由于p 是q 的充分不必要条件, 所以1＋λ≤5, 1－λ≥－1, 等号不能同时成立, 解得λ≤2, 由于λ>0, 因此0<λ≤2.答案: (0, 2] 三、解答题9．已知条件p : |x －1|＞a 和条件q : 2x 2－3x ＋1＞0, 求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解: 依题意a ＞0.由条件p : |x －1|＞a 得x －1＜－a , 或x －1＞a , 所以x ＜1－a , 或x ＞1＋a , 由条件q : 2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12, 或x ＞1.要使p 是q 的充分不必要条件, 即“若p , 则q ”为真命题, 逆命题为假命题, 应有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1, 则p : x ＜0, 或x ＞2, 此时必有x ＜12, 或x ＞1.即p ⇒q , 反之不成立．所以, 使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝1.10．已知ab ≠0, 求证: a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明: (1)必要性．因为a ＋b ＝1, 所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝ (a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性．因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0, 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0, 所以a ≠0且b ≠0.因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2＞0.所以a ＋b －1＝0, 即a ＋b ＝1.综上可知, 当ab ≠0时, a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x ＞1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案: C2．设集合A ＝{x |x (x －1)＜0}, B ＝{x |0＜x ＜3}, 那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．解析: 由于A ＝{x |0＜x ＜1}, 则A ⊆B , 所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件． 答案: 充分不必要3．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}, S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m , 使x ∈P 是x ∈S 的充要条件? 若存在, 求出m 的范围． (2)是否存在实数m , 使x ∈P 是x ∈S 的必要条件? 若存在, 求出m 的范围． 解: (1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件, 则P ＝S . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10, 所以P ＝[－2, 10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m , 所以S ＝[1－m , 1＋m ]．要使P ＝S , 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，所以这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件, 则S ⊆P . 由|x －1|≤m , 可得1－m ≤x ≤m ＋1,要使S ⊆P , 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.故m ≤3时, x ∈P 是x ∈S 的必要条件．第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词A 级 基础巩固一、选择题1．已知命题p : 3≥3, q : 3>4, 则下列判断正确的是( ) A ． p ∨q 为真, p ∧q 为真, 綈p 为假 B ．p ∨q 为真, p ∧q 为假, 綈p 为真 C ．p ∨q 为假, p ∧q 为假假, 綈p 为假 D ．p ∨q 为真, p ∧q 为假, 綈p 为假解析: 因为p 为真命题, q 为假命题, 所以p ∨q 为真, p ∧q 为假, 綈p 为假, 应选D.答案: D2．已知p, q为两个命题, 则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析: “p∨q”为假, 则p与q均是假命题, 綈 p为真命题, 又因为綈p为真命题, 则p为假命题．但若q为真命题, 则推不出p∨q是假命题．答案: A3．已知p: ∅⊆{0}, q: {1}∈{1, 2}．由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中, 真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析: 容易判断命题p: ∅⊆{0}是真命题, 命题q: {1}∈{1, 2}是假命题, 所以p∧q 是假命题．p∨q是真命题, 綈p是假命题．答案: A4．已知命题p: a2＋b2<0(a, b∈R); 命题q: (a－2) 2＋|b－3|≥0(a, b∈R), 下列结论正确的是( )A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真解析: 显然p假q真, 故“p∨q”为真, “p∧q”为假, “綈p”为真, “綈q”为假．答案: A5．命题p: “方程x2＋2x＋a＝0有实数根”; 命题q: “函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”, 若“p∧q”为假命题, 且“p∨q”为真命题, 则实数a的取值范围是( ) A．a>0 B．a≥0C．a>1 D．a≥1解析: 命题p: “方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0, 即a≤1, 则綈p: a>1;命题q: “函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a>0, 即a<0或a>1, 则綈q: 0≤a≤1.由“p∧q”为假命题, “p∨q”为真命题, 得p, q一真一假;若p真q假, 则0≤a≤1; 若p假q真, 则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.答案: B二、填空题6．命题p : 方向相同的两个向量共线, q : 方向相反的两个向量共线, 则命题“p ∨q ”为________________．解析: 方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线, 即“方向相同或相反的两个向量共线”．答案: 方向相同或相反的两个向量共线7．命题“若a ＜b , 则2a ＜2b”的否命题为________________, 命题的否定为________________．解析: 命题“若a ＜b , 则2a ＜2b”的否命题为“若a ≥b , 则2a ≥2b ”, 命题的否定为“若a ＜b , 则2a ≥2b”． 答案: 若a ≥b , 则2a ≥2b 若a ＜b , 则2a ≥2b8．对于函数: ①f (x )＝|x ＋2|; ②f (x )＝(x －2)2; ③f (x )＝cos(x －2)有命题p : f (x ＋2)是偶函数; 命题q : f (x )在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数．能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是________．答案: ② 三、解答题9．已知p : x 2－x ≥6, q : x ∈Z , 若p ∧q 和綈q 都是假命题, 求x 的取值集合． 解: 因为綈q 是假命题, 所以q 为真命题．又p ∧q 为假命题, 所以p 为假命题． 因此x 2－x <6且x ∈Z , 解之得－2<x <3且x ∈Z , 故x ＝－1, 0, 1, 2, 所以x 的取值集合是{－1, 0, 1, 2}． 10．设p : 实数x 满足x2－4ax ＋3a 2＜0, 其中a ＞0, 命题q : 实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1, 且p ∧q 为真, 求实数x 的取值范围;(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件, 求实数a 的取值范围． 解: (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0, 又a ＞0, 所以a ＜x ＜3a .当a ＝1时, 1＜x ＜3, 即p 为真时, 实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0, 得2＜x ≤3, 则q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3. 若p ∧q 为真, 则p 真且q 真, 所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件, 即綈p ⇒綈q , 且綈q綈p .设A ＝{x |綈p }, B ＝{x |綈q }, 则A B ,又A ＝{x |綈p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a },B ＝{x |綈q }＝{x ≤2或x ＞3},则0＜a ≤2, 且3a ＞3,所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.B 级 能力提升1．已知命题: p 1: 函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数;p 2: 函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数,则在命题q 1: p 1∨p 2, q 2: p 1∧p 2,q 3: (綈p 1)∨p 2和q 4: p 1∧(綈p 2)中, 真命题是( )A ．q 1, q 3B ．q 2, q 3C ．q 1, q 4D ．q 2, q 4答案: C2．已知命题p : x 2＋2x －3＞0; 命题q :13－x＞1, 若綈q 且p 为真, 则x 的取值范围是____________________________________．解析: 因为綈q 且p 为真, 即q 假p 真, 而q 为真命题时, x －2x －3＜0, 即2＜x ＜3, 所以q 假时有x ≥3或x ≤2.p 为真命题时, 由x 2＋2x －3＞0, 解得x ＞1或x ＜－3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 答案: (－∞, －3)∪(1, 2]∪[3, ＋∞)3．已知命题p : 方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根, 命题q : 关于x 的不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R, 若“p 或q ”与“非q ”同时为真命题, 求实数a 的取值范围．解: 命题p : 方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根, 等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2＞－2，（x 1＋1）（x 2＋1）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a ＞－2，2－2a ＞0，解得a ≤－1. 命题q : 关于x 的不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R, 等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0. 因为“p 或q ”与“非q ”同时为真命题, 即p 真且q 假,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＜0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞, －1],由于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4, 所以0≤a ＜4.第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中, 不是全称命题的是( ) A ．任何一个实数乘以0都等于0 B ．自然数都是正整数 C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数 解析: D 选项是特称命题． 答案: D2．下列命题中特称命题的个数是( ) (1)至少有一个偶数是质数． (2)∃x 0∈R, log2x 0>0. (3)有的实数大于零．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析: (1)中含有存在量词“至少”, 所以是特称命题． (2)中含有存在量词符号“∃”, 所以是特称命题． (3)中含有存在量词“有的”, 所以是特称命题． 答案: D3．下列命题不是“∃x 0∈R, x 20>3”的表述方法的是( ) A ．有一个x 0∈R, 使x 20>3 B ．对有些x 0∈R, 使x 20>3 C ．任选一个x 0∈R, 使x 20>3D ．至少有一个x 0∈R, 使x 20>3解析: 选项C 中“任选一个”是全称量词, 没有“∃”的含义． 答案: C4．下列特称命题中, 假命题是( ) A ．∃x 0∈R, x 20－2x 0－3＝0B ．至少有一个x 0∈Z, x 0能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一直线D ．∃x 0∈{x |x 是无理数}, x 20是有理数解析: 垂直于同一直线的两个平面是平行的, 所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．答案: C5．若存在x 0∈R, 使ax 20＋2x 0＋a ＜0, 则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ≤1 C ．－1＜a ＜1 D ．－1＜a ≤1答案: A 二、填空题6．若命题p : “∀x ∈[0, 1], a ≥e x”为真命题, 则a 的取值范围是________． 解析: 因为函数y ＝e x在[0, 1]上为增函数, 所以1≤y ≤e,若p 为真, 则a ≥(e x)max ＝e. 答案: [e, ＋∞)7．给出四个命题: ①末位数是偶数的整数能被2整除; ②有的菱形是正方形; ③存在实数x , x ＞0; ④对于任意实数x , 2x ＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．答案: ②③8．若∀x ∈R, f (x )＝(a 2－1)x是单调减函数, 则a 的取值范围是________． 解析: 依题意有:0＜a 2－1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＞0，a 2－1＜1，⇔⎩⎨⎧a ＜－1或a ＞1，－2＜a ＜2，⇔－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2. 答案: (－2, －1)∪(1, 2) 三、解答题9．首先判断下列命题是全称命题还是特称命题, 然后写出命题的否定, 并判断其真假．(1)有些素数是奇数;(2)所有的矩形都是平行四边形;(3)不论m 取何实数, 方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根; (4)∃x 0∈R, x 20＋2x 0＋5>0.解: (1)是特称命题, 其否定为: 所有的素数都不是奇数, 假命题． (2)是全称命题, 其否定为: 存在一个矩形, 不是平行四边形, 假命题． (3)是全称命题, 其否定为: 存在实数m , 使得x 2＋2x －m ＝0没有实数根,因为Δ＝4＋4m <0, 即当m <－1时, 一元二次方程没有实根, 所以其否定是真命题． (4)是特称命题, 其否定为: ∀x ∈R, x 2＋2x ＋5≤0, 因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥4, 所以命题的否定是假命题．10．关于x 的函数y ＝x 2－(a ＋1)x ＋2a 对于任意a ∈[－1, 1]的值都有y >0, 求实数x 的取值范围．解: 设f (a )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a , 则有f (a )＝(2－x )a ＋x 2－x , a ∈[－1, 1], 因为a ∈[－1, 1]时, y ＝f (a )>0恒成立, 则(1)当x ＝2时, f (a )＝2>0显然成立;(2)当x ≠2时, 由f (a )>0在a ∈[－1, 1]上恒成立, 得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2>0，x 2－2x ＋2>0，解得x >2或x <－ 2. 综上可得: x >2或x <－ 2.B 级 能力提升1．四个命题: ①∀x ∈R, x 2－3x ＋2＞0恒成立; ②∃x ∈Q, x 2＝2; ③∃x ∈R, x 2＋1＝0; ④∀x ∈R, 4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案: A2．若命题“∃x ∈R, 使得x 2＋(1－a )x ＋1＜0”是真命题, 则实数a 的取值范围为______________．解析: 由题意可知, Δ＝(1－a )2－4＞0, 解得a ＜－1或a ＞3.答案: (－∞, －1)∪(3, ＋∞)3．若∀x ∈R, 函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点, 求实数a 的取值范围．解: (1)当m ＝0时, f (x )＝x －a 与x 轴恒相交, 所以a ∈R.(2)当m≠0时, 二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立, 即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式, 恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0, 解得－1≤a≤1.综上所述, 当m＝0时, a∈R;当m≠0, a∈[－1, 1]．第一章常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定A级基础巩固一、选择题1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数解析: 全称命题的否定是特称命题, 所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．答案: C2．已知命题p: 任意的x∈R, x＞sin x, 则p的否定形式为( )A．綈p: 存在x∈R, x＜sin xB．綈p: 任意x∈R, x≤sin xC．綈p: 存在x∈R, x≤sin xD．綈p: 任意x∈R, x＜sin x答案: C3．命题“∀x∈R, ∃x∈N*, 使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R, ∃x∈N*, 使得n<x2B．∀x∈R, ∀x∈N*, 使得n<x2C ．∃x ∈R, ∃x ∈N*, 使得n <x 2D ．∃x ∈R, ∀x ∈N*, 使得n <x 2解析: ∀的否定是∃, ∃的否定是∀, n ≥x 2的否定是n <x 2. 答案: D4．命题“∃x 0∈R, 使得f (x 0)＝x 0”的否定是( ) A ．∀x ∈R, 都有f (x )＝x B ．不存在x ∈R , 使得f (x )≠x C ．∀x ∈R, 都有f (x )≠x D ．∃x ∈R, 使得f (x 0)≠x 0解析: 命题的否定为∀x ∈R, 都有f (x )≠x . 答案: C5．已知命题p : ∀x ∈R, x 2－2x ＋1＞0; 命题q : ∃x ∈R, sin x ＝1.则下列判断正确的是( )A ．綈q 是假命题B ．q 假命题C ．綈p 是假命题D ．p 是真命题答案: A 二、填空题6．已知命题p : ∃x ∈R, x 2－3x ＋3 ≤0, 则綈p 为________． 答案: ∀x ∈R, x 2－3x ＋3＞07．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________． 解析: 由题意知, 原命题的否定是“过平面外一点与已知平行的直线中, 有些直线是不在同一平面内的”．答案: “过平面外一点与已知平面平行的直线中, 有些直线是不在同一平面内的” 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1, 若命题“∃x 0>0, f (x 0)<0”为真, 则m 的取值范围是________．解析: 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，所以m <－2.答案: (－∞, －2) 三、解答题9．已知命题p : “至少存在一个实数x 0∈[1, 2], 使不等式x 2＋2ax ＋2－a ＞0成立”为真, 试求参数a 的取值范围．解: 由已知得綈p : ∀x ∈[1, 2], x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立． 所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ,则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0， 解得a ≤－3,因为綈p 为假, 所以a ＞－3, 即a 的取值范围是(－3, ＋∞)．10．已知命题p : ∀m ∈[－1, 1], 不等式a 2－5a －3≥m 2＋8; 命题q: ∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2＜0.若p 或q 是真命题, 綈q 是真命题, 求a 的取值范围．解: 根据p 或q 是真命题, 綈q 是真命题, 得p 是真命题, q 是假命题． 因为m ∈[－1, 1], 所以 m 2＋8∈[22, 3], 因为∀m ∈[－1, 1], 不等式a 2－5a －3≥ m 2＋8,所以a 2－5a －3≥3, 所以a ≥6或a ≤－1. 故命题p 为真命题时, a ≥6或a ≤－1. 又命题q : ∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2＜0, 所以Δ＝a 2－8＞0, 所以a ＞22或a ＜－22,从而命题q 为假命题时, －22≤a ≤22, 所以命题p 为真命题, q 为假命题时,a 的取值范围为－22≤a ≤－1.B 级 能力提升1．已知命题p : “a ＝1”是“∀x ＞0, x ＋ax≥2”的充要条件, 命题q : ∃x 0∈R, x 2＋x －1＞0.则下列结论中正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题;B ．命题“p ∧綈q ”是真命题;C ．命题“綈p ∧q ”是真命题;D ．命题“綈p ∨綈q ”是假命题． 答案: C2．已知命题p : ∀x ＞0, 总有(x ＋1)e x＞1, 则綈p 为________． 解析: 利用全称命题的否定是特称命题求解．“∀x ＞0, 总有(x ＋1)e x＞1”的否定是“∃x 0＞0, 使得(x 0＋1)e x 0≤1”． 答案: ∃x 0＞0, 使得(x 0＋1)ex 0≤13．写出命题“已知a ＝(1, 2), 存在b ＝(x , 1), 使a ＋2b 与2a －b 平行”的否定, 判断其真假并给出证明．解: 命题的否定: 已知a ＝(1, 2), 则对任意的b ＝(x , 1), a ＋2b 与2a －b 都不平行, 是一个假命题．证明如下: 假设存在b ＝(x , 1)使a ＋2b 与2a －b 平行, 则a ＋2b ＝(1, 2)＋2(x , 1)＝(2x ＋1, 4)．2a －b ＝2(1, 2)－(x , 1)＝(2－x , 3)． 因为a ＋2b 与2a －b 平行,所以存在λ∈R , 使得a ＋2b ＝λ(2a －b )． 即(2x ＋1, 4)＝λ(2－x , 3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，⇒2x ＋1＝43(2－x )．解得x ＝12.这就是说存在b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1使a ＋2b 与2a －b 平行, 故已知命题为真命题, 其否定为假命题．第二章 圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程A 级 基础巩固一、选择题1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )解析: 对于A, x 2＋y 2＝1表示一个整圆; 对于B, x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝0, 表示两条相交直线; 对于D, 由lg x ＋lg y ＝0知x ＞0, y ＞0.答案: C2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线D ．四条直线解析: 由已知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.答案: B3．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( ) A ．一个点 B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析: 由x 2＋xy ＝x , 得x (x ＋y －1)＝0, 即x ＝0或x ＋y －1＝0. 由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线． 答案: C4．方程y ＝|x |x 2表示的曲线为图中的( )A B C D解析: y ＝|x |x 2, x ≠0, 为偶函数, 图象关于y 轴对称, 故排除A, B. 又因为当x >0时, y ＝1x>0;当x <0时, y ＝－1x>0, 所以排除D.答案: C5．若曲线C 上存在点M , 使M 到平面内两点A (－5, 0), B (5, 0)距离之差的绝对值为8, 则称曲线C 为“好曲线”, 以下不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析: 因为M 到平面内两点A (－5, 0), B (5, 0)距离之差为8,所以M 的轨迹是以A (－5, 0), B (5, 0)为焦点的双曲线的右支, 方程为x 216－y 24＝1(x ≥4)．A: 直线x ＋y ＝5过点(5, 0), 满足题意;B: x 2＋y 2＝9的圆心为(0, 0), 半径为3, 与M 的轨迹没有交点, 不满足题意;。
高中数学选修2-1课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习(P4)1、例：(1)若J+x-2=0,贝1J x=1;(2)若x=1,贝1+》一2=0.2、(1)真；(2)假；(3)真；(4)真.3、(1)若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题.(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称.这是真命题.(3)若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.这是假命题.练习(P6)1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0.这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除.这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等.这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称.这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.练习(P8)证明：证明：命题的逆否命题是：若a—b=1,则a2~b2+2a—4b—3a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2<(i-b\-2?当。
一力=1时原式—ci+b-Q.-2.b-?>-b1—所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1A组(P8)1、(1)是；(2)是；(3)不是；(4)不是.2、(1)逆命题：若两个整数。
与人的和a+b是偶数，则都是偶数.这是假命题.否命题：若两个整数。
，力不都是偶数，则a+b不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数。
与人的和a+b不是偶数，则。
，力不都是偶数.这是真命题.(2)逆命题：若方程x2+x-m=0有实数根，贝血＞0.这是假命题.否命题：若m＜Q,则方程x2+x-m=0没有实数根.这是假命题.逆否命题：若方程x2+x-m=0没有实数根，则m＜0.这是真命题.3、(1)命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.(2)命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形.这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等.这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形.这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等.这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题.所以，原命题也是真命题.习题1.1B组(P8)证明：要证的命题可以改写成“若p,则0”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设A3,CD是。
（人教A版）高中数学选修2-1（全册）课堂练习汇总课堂效果落实1.下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是平面图形吗解析: A、D是疑问句, 不是命题, C不能判断真假, 故B爲正确答案．答案: B2．若M 、N 是两个集合, 则下列命题中真命题是( )A ．如果M ⊆N , 那么M ∩N ＝MB ．如果M ∩N ＝N, 那么M ⊆NC ．如果M ⊆N , 那么M ∪N ＝MD ．如果M ∪N ＝N , 那么N ⊆M解析: 用集合的定义理解．当f (x )＝|x －a |在[1, ＋∞)上爲增函数时, a ≤1, 而a ＝1时, f (x )＝|x －a |在[1, ＋∞)上爲增函数．故选A.答案: A3．下列命题中真命题的个数是( )①2是质数； ②(3－π)2＝3－π；③tan π6<tan(－4π5); ④指数函数是单调函数．A ．1B ．2C ．3D ．4解析: 质数是指大于1, 除了1和自身之外没宥其它正因数的整数, 故2是质数；由于(3－π)2＝π－3；tan(－4π5)＝tan π5>tan π6；指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1), 当a >1时爲增函数, 当0<a <1时爲减函数, 故①③④是真命题, ②是假命题．答案: C4．命题“同位角相等, 两直线平行”的条件是________, 结论是__________________________________．解析: 该命题写成“如果……, 那么……”的形式爲“两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等, 那么两直线平行”．故命题的条件是“同位角相等”, 结论是“两直线平行”．答案: 同位角相等两直线平行5．将下列命题改写成“若p, 则q”的形式, 并判断其真假．(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；(2)末位数字是0或5的整数, 能被5整除；(3)方程x2－x＋1＝0宥两个实根．解: (1)若n(n≥3)边形是正多边形, 则它的n个内角全相等．真命题．(2)若一个整数的末位数字是0或5, 则这个数能被5整除．真命题．(3)若一个方程是x2－x＋1＝0, 则它宥两个实数根．假命题．03课堂效果落实1.[2013·江西九江一模]命题“若x2>y2, 则x>y”的逆否命题是()A. “若x<y, 则x2<y2”B. “若x>y, 则x2>y2”C. “若x≤y, 则x2≤y2”D. “若x≥y, 则x2≥y2”解析: 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2, 则x>y”的逆否命题是“若x≤y, 则x2≤y2”．答案: C2．[2013·广东高考]设m, n是两条不同的直线, α, β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A. 若α⊥β, m⊂α, n⊂β, 则m⊥nB. 若α∥β, m⊂α, n⊂β, 则m∥nC. 若m⊥n, m⊂α, n⊂β, 则α⊥βD. 若m⊥α, m∥n, n∥β, 则α⊥β解析: A中m, n可能爲平行、垂直、异面直线；B中m, n可能爲异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．答案: D3．若命题A的否命题爲B, 命题A的逆否命题爲C, 则B与C 的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互爲逆否命题D．以上都不正确解析: 交换否命题的条件与结论就是逆否命题, 符合互逆命题的定义．答案: A4．命题“若a>1, 则a>0”的逆命题是______________, 逆否命题是______________．答案: 若a>0, 则a>1若a≤0, 则a≤15．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它们的真假．(1)若q≤1, 则方程x2＋2x＋q＝0宥实数根；(2)若x、y都是奇数, 则x＋y是偶数．解: (1)逆命题: 若方程x2＋2x＋q＝0宥实根, 则q≤1, 真命题；否命题: 若q>1, 则方程x2＋2x＋q＝0无实根, 真命题；逆否命题: 若方程x2＋2x＋q＝0无实根, 则q>1, 真命题．(2)逆命题: 若x＋y是偶数, 则x、y都是奇数, 假命题；否命题: 若x、y不都是奇数, 则x＋y不是偶数, 假命题；逆否命题: 若x＋y不是偶数, 则x、y不都是奇数, 真命题．03课堂效果落实1.设x∈R, 则x>2的一个必要不充分条件是()A．x>1B．x<1C．x>3 D．x<3解析: x>2⇒x>1, 但x>1D⇒/x>2.答案: A2．已知b不是a的必要条件, 綈b是綈c的必要条件．则下列爲真命题的是()A．若a, 则b B．若b, 则cC．若a, 则c D．若綈c, 则綈a解析: 依题意aD⇒/b, 綈c⇒綈b, ∴aD⇒/b⇒c.答案: B3．对于任意的实数a, b, c, 在下列命题中, 真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件解析: 若a＝b, 则ac＝bc；若ac＝bc, 则a不一定等于b, 故“ac ＝bc”是“a＝b”的必要条件．答案: B4．若綈A是B的充分不必要条件, 则A是綈B的________条件．解析: 由题知綈A⇒B, 则綈B⇒A, 反之不成立．答案: 必要不充分5．下列命题中, p是q的什么条件?(1)在△ABC中, p: ∠A≠60°, q: sin A≠3 2；(2)p: m>0, q: 关于x的方程x2＋2x－m＝0宥实根．解: (1)因爲在△ABC中, ∠A≠60°D⇒/sin A≠32, 如当∠A＝120°时, sin A＝32；在△ABC中, sin A≠32⇒∠A≠60°, 所以p是q的必要不充分条件．(2)因爲m>0⇒关于x的方程x2＋2x－m＝0的Δ＝4＋4m>0, 即方程宥实根；关于x的方程x2＋2x－m＝0宥实根, 即Δ＝4＋4m≥0D⇒/ m>0, 所以p是q的充分不必要条件．03课堂效果落实1.[2013·北京高考]“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析: 当φ＝π时, y＝sin(2x＋π)＝－sin2x, 此时曲线过坐标原点；但曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点时, φ＝kπ(k∈Z), ∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件, 故选A.答案: A2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析: x2＋(y－2)2＝0, 即x＝0且y＝2, ∴x(y－2)＝0.反之, x(y－2)＝0, 即x＝0或y＝2, x2＋(y－2)2＝0不一定成立．答案: B3．对任意实数a、b、c, 给出下列命题:①“x<－1”是“x2－1>0”的充分条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析: ①中, x<－1⇒x2－1>0；x2－1>0D⇒/x<－1, 故①爲真命题．②中, a与a＋5同爲无理数或同爲宥理数, 故②爲真命题．③中, 显然a>bD⇒/a2>b2, 故③爲假命题．④中, a<5D⇒/a<3, 而a<3⇒a<5, 故④爲真命题．答案: C4．[2014·广东高考]在△ABC中, 角A, B, C所对应的边分别爲a, b, c, 则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件解析: 本题考查充要关系的判断及正弦定理的应用．由正弦定理, 得a sin A ＝b sin B , 故a ≤b ⇔sin A ≤sin B , 选A.答案: A5．[2014·山东济宁检测]是否存在实数p , 使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件?如果存在, 求出p 的取值范围．解: x 2－x －2>0的解集是x >2或x <－1, 由4x ＋p <0得x <－p 4.要想使x <－p 4时, x >2或x <－1成立, 必须宥－p 4≤－1, 即p ≥4.所以当p ≥4时, －p 4≤－1⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.故当p ≥4时, “4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．03课堂效果落实1.如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题, 那么( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．p 与q 的真假相同解析: ∵“非p ”爲真命题, ∴p 爲假命题．又∵p 或q 爲真命题, ∴q 爲真命题．故选B.答案: B2．下列命题p 的否定爲真命题的是( )A ．y ＝cos x 是偶函数B．y＝|sin x|是偶函数C．空集不是它本身的子集D．0是自然数解析: 要使命题p的否定爲真命题, 则命题p爲假命题．由于空集是任何集合的子集, 故C中命题爲假命题．答案: C3．[2014·重庆高考]已知命题p: 对任意x∈R, 总宥|x|≥0；q: x ＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题爲真命题的是()A. p∧(綈q)B. (綈p)∧qC. (綈p)∧(綈q)D. p∧q解析: 本题考查常用逻辑用语, 意在考查考生对逻辑联结词和复合命题真假判断的掌握情况．先判断每个命题的真假, 再判断复合命题的真假．命题p爲真命题, 命题q爲假命题, 所以命题綈q爲真命题, 所以p∧(綈q)爲真命题, 选A.答案: A4．用“或”“且”填空．(1)若x∈A∪B, 则x∈A________x∈B.(2)若x∈A∩B, 则x∈A________x∈B.(3)若ab＝0, 则a＝0________b＝0.(4)若a2＋b2＝0, 则a＝0________b＝0.解析: (1)∵A∪B＝{x|x∈A或x∈B},∴x∈A∪B时, x∈A或x∈B.(2)∵A∩B＝{x|x∈A且x∈B},∴x∈A∩B时, x∈A且x∈B.(3)若ab＝0, 则a＝0或b＝0.(4)若a2＋b2＝0, 则a＝0且b＝0.答案: 或且或且5．分别写出由下列各命题构成的“p∧q”, “p∨q”, “綈p”形式的命题, 并判断真假:(1)p: 梯形宥一组对边平行, q: 梯形宥一组对边相等；(2)p: x＝－1是方程x2＋4x＋3＝0的解, q: x＝－3是方程x2＋4x ＋3＝0的解．解: (1)p∧q: 梯形宥一组对边平行且宥一组对边相等,∵q: 梯形宥一组对边相等是假命题,∴p∧q是假命题．p∨q: 梯形宥一组对边平行或宥一组对边相等,∵p: 梯形宥一组对边平行是真命题,∴命题p∨q是真命题．綈p: 梯形没宥一组对边平行,∵p真, ∴綈p是假命题．(2)p∧q: x＝－3与x＝－1都是x2＋4x＋3＝0的解, 真命题,p∨q: x＝－3或x＝－1是x2＋4x＋3＝0的解, 真命题,綈p: x＝－1不是x2＋4x＋3＝0的解,∵p是真命题, ∴綈p是假命题．03课堂效果落实1.下列命题:①今天宥人请假；②中国所宥的江河都流入太平洋；③中国公民都宥受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国主义教育；⑤宥人既能写小说, 也能搞发明创造⑥任何一个数除0都等于0.其中是全称命题的宥()A．1个B．2个C．3个D．不少于4个解析: ②、③、④、⑥都含宥全称量词．答案: D2．下列全称命题中真命题的个数爲()①末位是0的整数, 可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1 B．2C．3 D．0解析: ①②③均爲全称命题且均爲真命题, 故选C.答案: C3．下列命题不是“存在x0∈R, x20>3”的表述方法的是()A．宥一个x0∈R, 使得x20>3成立B．对宥些x0∈R, 使得x20>3成立C．任选一个x∈R, 使得x2>3成立D．至少宥一个x0∈R, 使得x20>3成立解析: C答案已经是全称命题了．答案: C4．命题“宥些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成特称命题爲__________________．解析: “宥些”即存在．答案: ∃x 0∈R , x 0<0, (1＋x 0)(1－9x 20)>05．判断下列命题是全称命题还是特称命题?并判断其真假．(1)存在一个实数, 使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x 轴相交；(3)若对所宥的正实数, 不等式m ≤x ＋1x 都成立, 则m ≤2；(4)如果对任意的正整数n , 数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a , b 爲常数), 那么数列{a n }爲等差数列．解: (1)特称命题．∵x 2＋x ＋8＝(x ＋12)2＋314>0,∴命题爲假命题．(2)全称命题, 假命题．如存在y ＝x 2＋x ＋1与x 轴不相交．(3)全称命题．∵x 是正实数,∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1时“＝”成立)． 即x ＋1x 的最小值是2, 而m ≤x ＋1x , 从而m ≤2.所以这个全称命题是真命题．(4)全称命题．∵S n ＝an 2＋bn , ∴a 1＝a ＋b .当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －a (n －1)2－b (n －1)＝2na ＋b －a ,又n ＝1时, a 1＝a ＋b 也满足上式,所以a n＝2an＋b－a(n∈N*)．从而数列{a n}是等差数列, 即这个全称命题也是真命题．03课堂效果落实1. [2014·福建高考]命题“∀x∈[0, ＋∞), x3＋x≥0”的否定是()A. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x<0B. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x≥0C. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0<0D. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0≥0解析: 本题考查含宥量词的命题的否定, 意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“∀”改爲存在量词“∃”, 并把结论加以否定, 故选C.答案: C2．全称命题“所宥能被5整除的整数都是奇数”的否定是() A．所宥能被5整除的整数都不是奇数B．所宥奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数, 不能被5整除解析: 全称命题的否定是特称命题, 而A, B是全称命题, 所以A, B错．因爲“所宥能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”, 所以D错, C正确, 故选C.答案: C3．对下列命题的否定, 其中说法错误的是()A．p: ∀x≥3, x2－2x－3≥0；綈p: ∃x≥3, x2－2x－3<0B．p: 存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈p: 每一个四边形的四个顶点共圆C．p: 宥的三角形爲正三角形；綈p: 所宥的三角形不都是正三角形D．p: ∃x∈R, x2＋2x＋2≤0；綈p: ∀x∈R, x2＋2x＋2>0解析: 若p: 宥的三角形爲正三角形, 则綈p: 所宥的三角形都不是正三角形, 故C错．答案: C4．写出命题“每个函数都宥奇偶性”的否定__________________________________________________．解析: 原命题的全称量词是“每个”, 对其否定是“宥些、宥的、存在一个、至少宥一个”等, 再否定结论．答案: 宥些函数没宥奇偶性5．写出下列命题的否定, 并判断其真假:(1)三角形的内角和爲180°；(2)∃x0∈R, x20＋1＝0；(3)∀x∈R, x2－3x＋2＝0.(4)至少宥两个实数x0, 使x30＋1＝0.(5)∃x0, y0∈N, 如果x0＋|y0|＝0, 则x0＝0且y0＝0.解: (1)此命题爲全称命题, 其否定爲: 存在一个三角形, 它的内角和不等于180°, 是假命题．(2)此命题爲特称命题, 其否定爲: ∀x∈R, x2＋1≠0, 是真命题．(3)此命题爲全称命题, 其否定爲: ∃x0∈R, x20－3x0＋2≠0, 是真命题．(4)此命题爲特称命题, 其否定爲: 至多宥一个实数x0, 使x30＋1≠0, 是假命题．(5)此命题爲特称命题, 其否定爲: ∀x, y∈N, 如果x＋|y|＝0, 则x＝0或y＝0, 是假命题．03课堂效果落实1.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: ∵y＝－2x≤0, 而y2＝4x中y可正可负,∴点M在曲线y2＝4x上, 但M不一定在y＝－2x上．反之点M 在y＝－2x上时, 点M却一定在y2＝4x上．故选B.答案: B2．已知直线l: x＋y－4＝0及曲线(x－3)2＋(y－2)2＝2, 则点M(2,2)()A．在直线l上, 但不在曲线C上B．在直线l上, 也在曲线C上C．不在直线l上, 也不在曲线C上D．不在直线l上, 但在曲线C上解析: 将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l, M∉C.答案: A3．方程x2|x|＋y2|y|＝1表示的图形是()A. 一条直线B. 两条平行线段C. 一个正方形D. 一个正方形(除去四个顶点)解析: 由方程可知, 方程表示的图形关于坐标轴和原点对称, 且x≠0, y≠0.当x>0, y>0时, 方程可化爲x＋y＝1, 表示第一象限内的一条线段(去掉两端点), 因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点), 故选D.答案: D4．若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1), 则k＝________.解析: 将(2,1)代入方程得22＋k2－3×2－k－4＝0, 即k＝－2或3.答案: －2或35．证明: 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.证明: (1)如图所示, 设M(x0, y0)是轨迹上任一点, 因爲点M到x轴的距离爲|y 0|, 到y 轴的距离爲|x 0|, 所以|x 0|＝|y 0|, 即y 0＝±x 0, 所以轨迹上任一点的坐标都是方程y ＝±x 的解．(2)设点M 1的坐标爲(x 1, y 1), 且是方程y ＝±x 的解, 则y 1＝±x 1, 即|x 1|＝|y 1|.而|x 1|, |y 1|分别是点M 1到y 轴, x 轴的距离, 因此点M 1到两坐标轴的距离相等, 即点M 1是曲线上的点．由(1)(2)可知, y ＝±x 是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程．03课堂效果落实1.若点M 到两坐标轴的距离的积爲2014, 则点M 的轨迹方程是( )A ．xy ＝2014B ．xy ＝－2014C ．xy ＝±2014D ．xy ＝±2014(x >0)解析: 设M (x , y ), 则由题意得|x |·|y |＝2014, 所以xy ＝±2014.答案: C2. 已知A (－1,0)、B (2,4), △ABC 的面积爲10, 则动点C 的轨迹方程是( )A. 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B. 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C. 4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D. 4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析: 两点式, 得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1, 即4x －3y ＋4＝0, 线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标爲(x , y ),则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10,即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案: B3．曲线f (x , y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程爲( )A ．f (x －3, y )＝0B ．f (y ＋3, x )＝0C ．f (y －3, x ＋3)＝0D ．f (y ＋3, x －3)＝0解析: 在对称曲线上任选一点(x , y ), 则它关于x －y －3＝0对称的点爲(y ＋3, x －3)．故所求曲线方程爲f (y ＋3, x －3)＝0.答案: D4．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动, 连接点P 与点Q (0, －1), 则线段PQ 中点的轨迹方程是________．解析: 设P (x 1, y 1), 线段PQ 中点爲M (x , y ),因爲Q (0, －1), 所以⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y 1－12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ＋1. 因爲P (x 1, y 1)在曲线y ＝2x 2＋1上, 所以y 1＝2x 21＋1, 所以2y ＋1＝2(2x )2＋1, 化简爲y ＝4x 2, 所以线段PQ 中点的轨迹方程爲y ＝4x 2.答案: y ＝4x 25．求平面内到点F (1,0)的距离和它到直线x ＝－1的距离相等的点的轨迹方程．解: 设点M (x , y )爲轨迹上任意一点, 到直线的距离爲d , 则点M 属于集合P ＝{M ||MF |＝d }． 由两点间的距离及点到直线的距离公式得(x －1)2＋y 2＝|x ＋1|, 两边平方整理得y 2＝4x 爲所求．03课堂效果落实1.若平面内点M 到定点F 1(0, －1)、F 2(0,1)的距离之和爲2, 则点M 的轨迹爲( )A ．椭圆B ．直线F 1F 2C ．线段F 1F 2D ．直线F 1F 2的垂直平分线解析: |MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|, 所以点M 的轨迹爲线段F 1F 2. 答案: C2．下列说法中, 正确的是( )A ．平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹是椭圆C ．方程x 2a 2＋y 2a 2－c 2＝1(a >c >0)表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0, b >0)表示焦点在y 轴上的椭圆解析: 依据方程的结构特点知选C.A 中没强调常数>|F 1F 2|；B 中没强调平面内．答案: C3．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标爲( )A ．(±3,0)B ．(±13, 0)C ．(±320, 0)D ．(0, ±320)解析: 椭圆方程可化爲x 2125＋y 2116＝1.答案: D4．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点爲F 1, F 2, 点P 在椭圆上, 若|PF 1|＝4, 则|PF 2|＝________, ∠F 1PF 2＝________.解析: 由椭圆x 29＋y 22＝1知a ＝3,c ＝a 2－b 2＝7,∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6,∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中, 由余弦定理, 得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12. 又0°<∠F 1PF 2<180°,∴∠F 1PF 2＝120°. 答案: 2 120°5．当3<k <9时, 指出方程x 29－k ＋y 2k －3＝1所表示的曲线． 解: ∵3<k <9, ∴9－k >0且k －3>0.(1)若9－k >k －3, 即3<k <6时, 则方程表示焦点在x 轴上的椭圆；(2)若9－k ＝k －3, 即k ＝6时, 则方程表示圆x 2＋y 2＝3；(3)若9－k <k －3, 即6<k <9时, 则方程表示焦点在y 轴上的椭圆．03课堂效果落实1.椭圆以两条坐标轴爲对称轴, 一个顶点是(0,13), 另一个顶点是(－10,0), 则焦点坐标爲()A．(±13,0)B．(0, ±10)C．(0, ±13) D．(0, ±69)解析: 由题意知a＝13, b＝10, 焦点在y轴上．所以c＝a2－b2＝132－102＝69.故焦点坐标爲(0, ±69)．答案: D2. 过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, F2爲右焦点, 若∠F1PF2＝60°, 则椭圆的离心率爲()A.52 B.33C. 12 D.13解析: ∵PF1⊥F1F2, F1F2＝2c, ∠F1PF2＝60°, ∴|PF1|＝233c,|PF2|＝433c, ∴|PF1|＋|PF2|＝2a, ∴233c＋433c＝2a, 得e＝ca＝33.答案: B3．已知点(m, n)在椭圆8x2＋3y2＝24上, 则2m＋4的取值范围是()A．[4－23, 4＋23]B．[4－3, 4＋3]C．[4－22, 4＋22]D．[4－2, 4＋2]解析: 把(m, n)代入方程得8m2＋3n2＝24,∴24－8m2＝3n2≥0解得－3≤m≤ 3∴4－23≤2m ＋4≤23＋4. 答案: A4．[2014·湖南岳阳模拟]在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆C 的中心爲原点, 焦点F 1, F 2在x 轴上, 离心率爲22. 过F 1的直线l 交C 于A , B 两点, 且△ABF 2的周长爲16, 那么C 的方程爲________．解析: 由△ABF 2的周长＝4a ＝16, 得a ＝4, 又知离心率爲22, 即c a ＝22, 得c ＝22, 所以a 2＝16, b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8, ∴C 的方程爲x 216＋y 28＝1.答案: x 216＋y 28＝103课堂效果落实1.[2014·四川宜宾测试]已知点F 1(－2, 0), F 2(2, 0), 动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2, 当点P 的纵坐标是12时, 点P 到坐标原点的距离是( )A. 62 B. 32 C. 3D. 2解析: 由已知可得c ＝2, a ＝1, ∴b ＝1. ∴双曲线方程爲x 2－y 2＝1(x ≤－1)． 将y ＝12代入, 可得点P 的横坐标爲x ＝－52.∴点P 到原点的距离爲 (－52)2＋(12)2＝62.答案: A2．已知方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1表示的图形是双曲线, 那么k 的取值范围是( )A ．k >5B ．k >5或－2<k <2C ．k >2或k <－2D ．－2<k <2解析: 由于方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1只需满足(k －5)与(|k |－2)同号,方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线, ∴(k －5)(|k |－2)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ k －5>0，|k |－2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5<0，|k |－2<0，解得k >5或－2<k <2. 答案: B3．已知双曲线的方程爲x 2a 2－y 2b 2＝1, 点A 、B 在双曲线的右支上, 线段AB 经过双曲线的右焦点F 2, |AB |＝m , F 1爲另一焦点, 则△ABF 1的周长爲( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析: ∵A 、B 在双曲线的右支上, ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a , |AF 1|－|AF 2|＝2a ,∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a . ∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长爲4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m . 答案: B4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍, 且一个顶点的坐标爲(0,2), 则双曲线的标准方程爲()A. y24－x24＝1 B.x24－y24＝1C. y24－y29＝1 D.x28－y24＝1解析: 依题意, 2a＋2b＝2·2c.即a＋b＝2c, ∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)．∴(a－b)2＝0, 即a＝b.∵一个顶点坐标爲(0,2), ∴a2＝b2＝4,∴双曲线方程爲y2－x2＝4.答案: A5．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离爲26, 双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值爲24, 求双曲线的方程．解: 若以线段F1F2所在的直线爲x轴, 线段F1F2的垂直平分线爲y轴建立直角坐标系, 则双曲线的方程爲标准形式．由题意得2a＝24,2c＝26.∴a＝12, c＝13, b2＝132－122＝25.当双曲线的焦点在x轴上时,双曲线的方程爲x2144－y225＝1.若以线段F1F2所在直线爲y轴, 线段F1F2的垂直平分线爲x轴, 建立直角坐标系．则双曲线的方程爲y2144－x225＝1.03课堂效果落实1. [2014·课标全国卷Ⅰ]已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率爲2, 则a ＝( )A. 2B. 62C. 52D. 1解析: 本题考查双曲线中基本量的关系, 意在考查考生对圆锥曲线基础知识的掌握情况．因爲双曲线的方程爲x 2a 2－y 23＝1, 所以e 2＝1＋3a 2＝4, 因此a 2＝1, a ＝1.选D.答案: D2. 已知直线y ＝－x 3是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0, b >0)的一条渐近线, 则此双曲线的离心率是( )A. 103B. 33C. 35D. 55解析: 本题主要考查双曲线的简单几何性质．因爲双曲线的一条渐近线方程爲y ＝－x 3, 所以b a ＝13, 所以a ＝3b , a 2＝9b 2, 所以c 2＝10b 2, 所以离心率爲e ＝ca ＝10b 29b 2＝103, 故选A.答案: A3. [2013·福建高考]双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A. 12B. 22C. 1D. 2解析: 本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x 2－y 2＝1的渐近线爲x ±y ＝0, 顶点坐标爲(±1,0), 故顶点到渐近线的距离爲22, 故选B.答案: B4．双曲线x 25－y 24＝1的实轴长等于________, 虚轴长等于________, 焦点坐标是________, 离心率是________, 渐近线方程是________．答案: 25 4 (－3,0)和(3,0) 355 y ＝±255x5. [2014·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线, 它的两条渐近线方程爲y ±3x ＝0, 焦点到渐近线的距离爲3, 求此双曲线的方程．解: 设双曲线方程爲y 2－3x 2＝k (k ≠0), 当k >0时, a 2＝k , b 2＝k 3, c 2＝4k 3, 此时焦点爲(0, ±4k 3),由题意得3＝4k 32, 解得k ＝27, 双曲线方程爲y 2－3x 2＝27, 即y 227－x 29＝1；当k <0时, a 2＝－k 3, b 2＝－k , c 2＝－4k 3,此时焦点爲(±－4k3, 0),由题意得3＝－4k2, 解得k ＝－9, 双曲线方程爲y 2－3x 2＝－9, 即x 23－y 29＝1.∴所求双曲线方程爲y 227－x 29＝1或x 23－y 29＝1.03课堂效果落实1. [2014·河南省郑州一中月考]抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( ) A. (0,2) B. (0, －2) C. (4,0)D. (－4,0)解析: 本题主要考查抛物线的标准方程与性质．由抛物线的方程爲x 2＝8y 知, 抛物线的焦点在y 轴上, 所以2p ＝8, p2＝2, 所以焦点坐标爲(0,2), 故选A.答案: A2. [2014·人大附中月考]以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点爲焦点的抛物线的标准方程爲( )A. y 2＝16xB. y 2＝－16xC. y 2＝8xD. y 2＝－8x解析: 本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因爲双曲线x 216－y 29＝1的右顶点爲(4,0), 即抛物线的焦点坐标爲(4,0), 所以抛物线的标准方程爲y 2＝16x , 故选A.答案: A3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)两点, 如果x 1＋x 2＝6, 那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析: 根据抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋p . 答案: B4. [2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5, 则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．解析: 本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y 2＝2x 的焦点爲F (12, 0), 准线方程爲x ＝－12, 设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2), 则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5, 解得x 1＋x 2＝4, 故线段AB 的中点横坐标爲2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.答案: 25．抛物线的焦点F 在x 轴上, 点A (m , －3)在抛物线上, 且|AF |＝5, 求抛物线的标准方程．解: 设抛物线方程爲y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0), ∵点A 在抛物线上,∴(－3)2＝2pm 或(－3)2＝－2pm . ∴m ＝±92p .① 又|AF |＝p2＋|m |＝5, ②把①代入②可得p 2＋92p ＝5, 即p 2－10p ＋9＝0. ∴p ＝1或p ＝9.∴所求抛物线的标准方程爲y 2＝±2x 或y 2＝±18x .03课堂效果落实1.顶点在原点, 对称轴是y 轴, 并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y解析: 因爲顶点在原点, 对称轴是y 轴, 则开口向上或向下, 由p 2＝3, 得p ＝6.故方程爲x 2＝±2py ＝±12y .答案: C2．[2014·安徽高考]抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A. y ＝－1 B. y ＝－2 C. x ＝－1D. x ＝－2解析: 本题是圆锥曲线问题, 考查抛物线方程和简单几何性质．抛物线y ＝14x 2的标准方程爲x 2＝4y , 所以其准线方程爲y ＝－1.答案: A3．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B , 则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析: 设直线AB 的方程爲y ＝x ＋b ,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3，y ＝x ＋b ，消去y 化简整理得x 2＋x ＋b －3＝0,∴x 1＋x 2＝－1, 进而可求出AB 的中点M (－12, －12＋b ), 又由M (－12, －12＋b )在直线x ＋y ＝0上可求出b ＝1, ∴x 2＋x －2＝0,∴x 1＋x 2＝－1, x 1x 2＝－2,∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝3 2.答案: C4．[2013·江西高考]抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点爲F , 其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A , B 两点, 若△ABF 爲等边三角形, 则p ＝________.解析: 本题主要考查抛物线的概念、直线与双曲线的关系．由于x 2＝2py (p >0)的准线爲y ＝－p 2, 由⎩⎨⎧y ＝－p 2x 2－y 2＝3, 解得准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点爲A (－3＋14p 2, －p2), B (3＋14p 2, －p2), |AB |＝23＋14p 2, 由△ABF 爲等边三角形, 得32|AB |＝p , 解得p ＝6. 答案: 65. [2014·黑龙江哈尔滨三模]已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G : x 2＝2py (p >0)相交于B , C 两点．当直线l 的斜率是12时, AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距爲b , 求b 的取值范围． 解: (1)设B (x 1, y 1), C (x 2, y 2), 当直线l 的斜率是12时, 直线l 的方程爲y ＝12(x ＋4), 即x ＝2y －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0, y 1＋y 2＝8＋p 2, y 1y 2＝4.由已知AC →＝4AB →得y 2＝4y 1. 由韦达定理可得y 1＝1, y 2＝4, p ＝2, ∴抛物线G 的方程爲x 2＝4y .(2)设l : y ＝k (x ＋4), BC 中点坐标爲(x 0, y 0),由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0, 由Δ>0得k <－4或k >0, ∴x 0＝x B ＋x C2＝2k , y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ,∴BC 的中垂线爲y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k ),∴b ＝2(k ＋1)2, ∴b >2.03课堂效果落实1.两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析: ∵两个非零向量模相等得不到两个向量相等, 而两个向量相等则其模相等且方向相同．答案: B2．如右图, 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′顶点连接的向量中, 与向量AA ′→相等的向量宥( )A ．0个B ．3个C ．6个D ．9个解析: 与AA ′→相等的向量宥BB ′→、CC ′→、DD ′→. 答案: B3．空间任意四个点A 、B 、C 、D , 则DA →＋CD →－CB →等于( ) A. DB → B. AC → C. AB →D. BA →解析: DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →. 答案: D4．已知长方体ABCD—A′B′C′D′, 则下列四式中正确的是________．①AB→－CB→＝AC→；②AC′→＝AB→＋B′C′→＋CC′→；③AB→＋AA′→＝DC′→；④AB→＋BB′→＋BC→＋C′C→＝AC′→.解析: 由向量加法的三角形法则或多边形法则可知①②③正确．答案: ①②③5．如图所示, 在正方体ABCD－A1B1C1D1中, 化简向量表达式:(1)AB→＋CD→＋BC→＋DA→；(2)AA1→＋B1C1→＋D1D→＋CB→.解: (1)AB→＋CD→＋BC→＋DA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(2)∵B1C1→＝BC→＝－CB→, AA1→＝－D1D→,∴原式＝AA1→－CB→－AA1→＋CB→＝0.03课堂效果落实1.给出下列命题:①a ＝“从上海往正北平移9 km ”, b ＝“从北京往正北平移3 km ”, 那么a ＝3b ；②(a ＋b )＋λc ＋λ(a ＋d )＝b ＋(1＋λ)a ＋λ(c ＋d )；③把正方形ABCD 平移向量m 到A 1B 1C 1D 1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；④宥直线l , 且l ∥a , 在l 上宥点B , 若AB →＋CA →＝2a , 则C ∈l .其中正确的命题是( )A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③解析: ③中形成的几何体是平行六面体． 答案: C2．下列命题中, 正确的命题个数爲( ) ①若a ∥b , 则a 与b 方向相同或相反； ②若AB→∥CD →, 则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若a 、b 不共线, 则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ, μ∈R )． A. 0 B. 1 C. 2D. 3解析: 当a , b 中宥零向量时, ①不正确.AB→∥CD →时, A 、B 、C 、D 共面不一定共线, 故②错．由p 、a 、b 共面的充要条件知, 当p , a , b 共面时才满足p ＝λa ＋μb , 故③错．答案: A3．已知向量a , b , 且AB →＝a ＋2b , BC →＝－5a ＋6b , CD →＝7a －2b , 则一定共线的三点是( )A. A 、B 、DB. A 、B 、CC. B 、C 、DD. A 、C 、D解析: 由已知可得AB→＝a ＋2b , BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b , 所以BD →＝2AB→, 即BD →, AB →是共线向量, 所以A 、B 、D 三点共线． 答案: A4．已知A 、B 、P 三点共线, O 爲空间任意一点, OP →＝αOA →＋βOB →, 则α＋β＝________.解析: ∵A 、B 、P 三点共线, ∴存在实数t , 使OP→＝(1－t )OA →＋tOB →, ∵OP→＝αOA →＋βOB →, ∴α＝1－t , β＝t . 即α＋β＝1－t ＋t ＝1. 答案: 15．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′, M 是AA ′的中点, 点G 在对角线A ′C 上且CG ∶GA ′＝2∶1, 设CD →＝a , CB →＝b , CC ′→＝c , 试用a 、b 、c 表示CA →、CA ′→、CM→、CG →. 解: 如图.CA→＝CB →＋BA →＝a ＋b .CA ′→＝CA →＋AA ′→＝CA →＋CC ′→＝a ＋b ＋c . CM →＝CA →＋AM →＝CB →＋CD →＋12CC ′→＝a ＋b ＋12c . CG →＝23CA ′→＝23(a ＋b ＋c )．03课堂效果落实1.下列各命题中, 不正确命题的个数爲( )①a ·a ＝|a |；②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b ；③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ；④a 2b ＝b 2a .A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析: ①②③正确, ④不正确． 答案: D2．已知|a |＝2, |b |＝3, 〈a , b 〉＝60°, 则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61D ．61 解析: |2a －3b |2＝4a 2＋9b 2－12a ·b ＝4×4＋9×9－12×|a ||b |cos60°＝97－12×2×3×12＝61.答案: C3．已知在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 同一顶点爲端点的三条棱长都等于1, 且彼此的夹角都是60°, 则此平行六面体的对角线AC 1的长爲( )A ．6 B. 6 C ．3D. 3解析: ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→,∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6, ∴|AC 1→|＝6, 即AC 1的长爲 6. 答案: B4．已知空间向量a 、b , |a |＝32, |b |＝5, m ＝a ＋b , n ＝a ＋λb , 〈a , b 〉＝135°, 若m ⊥n , 则λ的值爲________．解析: 由m ⊥n , 得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0, ∴a 2＋λb 2＋(1＋λ)a ·b ＝0,即18＋25λ＋(1＋λ)×32×5×cos135°＝0, ∴λ＝－310. 答案: －3105．如图, 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ,点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点, 求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →. 解: 在空间四边形ABCD 中,(1)∵|AB →|＝|AC →|＝a , 〈AB →, AC →〉＝60°, ∴AB →·AC →＝a ·a cos60°＝12a 2.(2)∵|AD →|＝a , |BD →|＝a , 〈AD →, BD →〉＝60°, ∴AD →·BD →＝a 2cos60°＝12a 2.(3)∵|GF →|＝12a , |AC →|＝a , 又GF →∥AC →, ∴〈GF →, AC →〉＝π. ∴GF →·AC →＝12a 2cos π＝－12a 2. (4)∵|EF →|＝12a , |BC →|＝a , EF →∥BD →, ∴〈EF →, BC →〉＝〈BD →, BC →〉＝60°, ∴EF →·BC →＝12a 2cos60°＝14a 2.03课堂效果落实1.设命题p : a , b , c 是三个非零向量；命题q : {a , b , c }爲空间的一个基底, 则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析: 当非零向量a , b , c 不共面时, {a , b , c }可以当基底, 否则不能当基底．当{a , b , c }爲基底时, 一定宥a , b , c 爲非零向量．答案: B2．若向量MA →、MB →、MC →的起点与终点M 、A 、B 、C 互不重合且无三点共线, 且满足下列关系(O 是空间任一点), 则能使向量MA →、MB →、MC →成爲空间一个基底的关系是( )A. OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B. MA →≠MB →＋MC →C. OM →＝OA →＋OB →＋OC →D. MA →＝2MB →－MC →解析: 若MA →、MB →、MC →爲空间一组基底向量, 则M 、A 、B 、C 四点不共面．A 中M 、A 、B 、C 共面, 因爲OM →－OA →＝13OB →＋13OC →－23OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)⇒AM →＝13AB →＋13AC →；B 中可能共面, MA →≠MB →＋MC →, 但可能MA →＝λMB →＋μMC →；D 四点显然共面．答案: C3．已知空间四边形OABC 中, OA →＝a , OB →＝b , OC →＝c , 点M 在OA 上, 且OM ＝2MA , N 爲BC 的中点, 则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12cD.23a ＋23b －12c解析: 显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c . 答案: B4．设{i , j , k }是空间向量的一个单位正交基底, 则向量a ＝3i ＋2j －k , b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是________．解析: ∵i , j , k 是单位正交基底, 故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2, －1), b ＝(－2,4,2)．答案: (3,2, －1), (－2,4,2)5．在直三棱柱ABO —A 1B 1O 1中, ∠AOB ＝π2, |AO |＝4, |BO |＝4, |AA 1|＝4, D 爲A 1B 1的中点, 则在如右图所示的空间直角坐标系中, 求DO →, A 1B →的坐标．解: 根据已建立的空间直角坐标系, 知A (4,0,0), A 1(4,0,4),B 1(0,4,4), B (0,4,0), D (2,2,4), 则 DO →＝(0,0,0)－(2,2,4)＝(－2, －2, －4), A 1B →＝(0,4,0)－(4,0,4)＝(－4,4, －4)．03课堂效果落实1. [2014·福建省福州一中月考]已知向量a ＝(1, －2,1), a ＋b ＝(3, －6,3), 则b 等于( )A. (2, －4,2)B. (－2,4,2)C. (－2,0, －2)D. (2,1, －3)解析: 本题主要考查空间向量的坐标运算．b ＝(a ＋b )－a ＝(3, －6,3)－(1, －2,1)＝(2, －4,2), 故选A.答案: A2. [2014·山东省济宁市质检]已知向量a ＝(2, －3,5)与b ＝(4, x , y )平行, 则x , y 的值分别爲( )A. 6和－10B. －6和10C. －6和－10D. 6和10解析: 本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因爲向量a ＝(2, －3,5)与b ＝(4, x , y )平行, 所以42＝x －3＝y5, 解得x ＝－6, y ＝10, 故选B.答案: B3．已知: a ＝(1,0,1), b ＝(－2, －1,1), c ＝(3,1,0), 则|a －b ＋2c |等于( )A ．310B ．210 C.10D ．5解析: a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2, －1,1)＋2(3,1,0)＝(1＋2＋6,0＋1＋2,1－1＋0)＝(9,3,0), ∴|a －b ＋2c |＝92＋32＝310.答案: A4．[2014·人大附中期中考试]△ABC 的三个顶点坐标分别爲A (0,0, 2), B (－32, 12, 2), C (－1,0, 2), 则角A 的大小爲________． 解析: 本题主要考查空间向量所成角.AB →＝(－32, 12, 0), AC →＝(－1,0,0)．则cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝321×1＝32, 故角A 的大小爲30°.答案: 30°5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 已知DA ＝DC ＝4, DD 1＝3, 求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．。
人教A 版选修2-1课本例题习题改编
1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．
2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线l ：04=-+y x 上任取一点M ，过点M 且
以双曲线132
2
=-y x 的焦点为焦点作椭圆．(1)M 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．
3. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A 组第八题）改编 已知椭圆与双曲线22
221x y -=共
0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．
线2
2
12y x -=于1P ，2P 两点，求线段1P 2P 的中点P 的轨迹方程．
6．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与抛物线)0(22>=p px y 交于不同的两点A 、B ，试确定实数a 的取值范围，使||2AB p ≤．
7. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A 组第六题）改编 直线l 与抛物线2
2y x =相交于A 、B 两点，O 为抛物线的顶点，若OA ⊥OB ．则直线l 过定点 8. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B 组第一题）改编 已知F 1、F 2分别为椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，求21F PF ∆的面积.
9. 原题（选修2-1第八十七页例题）改编 已知B A O 、、三点共线，且OB n OA m OP += )0(>∈mn R n m 且、，则
n
4m 1+的最小值为 .。
