计算机算法分析与设计(第四版)习题算法分析部分详解(实验六)

《算法分析与设计》实验问题详解1．算法实验（1）算法与程序（2）实验中应考虑的问题a)算法：多种方案b)程序：核心程序与相关程序（包括主控程序）c)数据：数据特征、数据量、数据获取方式结果数据文件操作d)运行时间e)多方案对比：数据与比较（3）实验正确性与完备性（4）实验方案设计（5）程序设计（6）实验实例：百钱买百鸡问题基本算法实验设计与实验方案PROGRAM 百钱买百鸡（）Integer M=100Integer x, y, z, n, kInteger t1, t2t1←gettime()For k←1 to M do //控制重复次数//n←0For x←0 to 100 doFor y←0 to 100 doFor z←0 to 100 doIf 5*x + 3*y + z/3 = 100 and x + y + z = 100Thenn←n+1print(n, x, y, z)endifrepeatrepeatrepeatrepeatt2←gettime()print((t2 - t1)/M) //取计算平均值，消除噪声//END.实验程序2．文件操作（1）文件类型：文本文件与二进制文件（2）写文件（3）查看文件内容（4）读数据与读文件（5）文件操作程序例写文件程序例/*写文件.cpp*/#include <stdio.h>#include <process.h>FILE *stream;int i = 10 ;double fp = 1.5 ;char *s = "this is a string" ;char c = '\n' ;void main(){stream = fopen( "test1.txt" , "w" ) ;fprintf( stream, "%s%c" , s , c ) ;fprintf( stream, "%d\n" , i ) ;fprintf( stream, "%f\n" , fp ) ;fclose( stream );}写随机数据到文件/*写随机数据到文件.cpp*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <process.h>#include <time.h>#define maxline 1000FILE *stream;void main(){int i , j ;int rd;printf( "请输入一个随机种子：" );i = scanf("%d", &rd ) ;srand( rd );stream = fopen( "test2.txt" , "w" ) ;for ( i=1; i<=maxline; i++ ) {for ( j=1; j<=10; j++)fprintf( stream, "%6d " , rand() ) ;fprintf( stream, "\n " ) ;}fclose( stream );}读文件/*读文件数据.cpp*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <process.h>FILE *stream;void main(){int i , j ;int a ;stream = fopen( "test2.txt" , "r" ) ;for ( i=1; i<=10; i++ ) {for ( j=1; j<=10; j++) {fscanf( stream, "%d " , &a ) ;printf( "%d ",a);}printf( "\n " ) ;}fclose( stream );}3．实验数据设计与准备（2）实验数据设计：正常数据，边界数据，异常数据（3）实验数据准备：人工设计随机函数与随机生成（4）数据准备程序和数据文件4．实验数据的输入与输出（1）数据输入从键盘输入从文件输入（2）数据输出输出到屏幕输出到文件5．机器时钟与运行时间获取（1）机器时钟（2）计算时间（3）误差和精度（4）计算时间获取（5）噪声消除6．实验报告（1）报告基本样式（2）报告内容（3）实验报告要求（4）写作技巧附录一实验报告样式《算法分析与设计》实验报告实验X XXXXXX姓名XXX 学号1234567890 班级xxxx班时间地点同组人指导教师实验目的1、2、3、实验内容1、2、3、实验环境硬件：软件：实验前准备1、算法设计2、程序设计3、数据准备实验步骤1、2、……….实验结果及其分析1、程序运行现象观察2、实验中的问题及解决方法3、程序运行结果4、时空分布图5、运行结果分析6、实际结果与预测对比分析……….。

4.1：在我们所了解的早期排序算法之中有一种叫做Maxsort 的算法。

它的工作流程如下：首先在未排序序列（初始时为整个序列）中选择其中最大的元素max ，然后将该元素同未排序序列中的最后一个元素交换。

这时，max 元素就包含在由每次的最大元素组成的已排序序列之中了，也就说这时的max 已经不在未排序序列之中了。

重复上述过程直到完成整个序列的排序。

(a) 写出Maxsort 算法。

其中待排序序列为E ，含有n 个元素，脚标为范围为0,,1n -K 。

void Maxsort(Element[] E) { int maxID = 0;for (int i=E.length; i>1; i--) { for (int j=0; j<i; j++) {if (E[j] > E[maxID]) maxID = k; E[i] <--> E[maxID];(b) 说明在最坏情况下和平均情况下上述算法的比较次数。

最坏情况同平均情况是相同的都是11(1)()2n i n n C n i -=-==∑。

4.2：在以下的几个练习中我们研究一种叫做“冒泡排序”的排序算法。

该算法通过连续几遍浏览序列实现。

排序策略是顺序比较相邻元素，如果这两个元素未排序则交换这两个元素的位置。

也就说，首先比较第一个元素和第二个元素，如果第一个元素大于第二个元素，这交换这两个元素的位置；然后比较第二个元素与第三个元素，按照需要交换两个元素的位置；以此类推。

(a)起泡排序的最坏情况为逆序输入，比较次数为11(1)()2n i n n C n i -=-==∑。

(b) 最好情况为已排序，需要(n-1)次比较。

4.3： (a)归纳法：当n=1时显然成立，当n=2时经过一次起泡后，也显然最大元素位于末尾；现假设当n=k-1是，命题也成立，则当n=k 时，对前k-1个元素经过一次起泡后，根据假设显然第k-1个元素是前k-1个元素中最大的，现在根据起泡定义它要同第k 个元素进行比较，当k 元素大于k-1元素时，它为k 个元素中最大的，命题成立；当k 元素小于k-1元素时，它要同k-1交换，这时处于队列末尾的显然时队列中最大的元素。

第一章作业1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质1）f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f)证明：充分性。

若f=Ο(g)，则必然存在常数c1>0和n0，使得∀n≥n0，有f≤c1*g(n)。

由于c1≠0，故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。

必要性。

同理，若g=Ω(f)，则必然存在c2>0和n0，使得∀n≥n0，有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0，故f(n) ≤ 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。

2）若f=Θ(g)则g=Θ(f)证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c1>0，c2>0和n0，使得∀n≥n0，有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。

由于c1≠0，c2≠0，f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n)，同时，f(n) ≤c2*g(n)，有g(n) ≥ 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。

3）Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。

证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c1>0，和n1，使得∀n≥n1，有F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n))= c1 f(n) + c1g(n)≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g}=2 c1*max{f,g}所以，F(n)=Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g))对于Ω和Θ同理证明可以成立。

4）log(n!)= Θ(nlogn)证明：∙由于log(n!)=∑=n i i 1log ≤∑=ni n 1log =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。

∙由于对所有的偶数n 有，log(n!)= ∑=n i i 1log ≥∑=n n i i 2/log ≥∑=nn i n 2/2/log ≥(n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。

当n ≥4，(nlogn)/2-n/2≥(nlogn)/4，故可得∀n ≥4，log(n!) ≥(nlogn)/4，即log(n!)= Ω(nlogn)。

算法设计与分析+习题参考答案5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每⼀对正整数m,n都成⽴.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d⼀定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意⼀对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d⼀定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也⼀定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限⾮空集，其中也包括了最⼤公约数。

故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第⼀个数⼩于第⼆个数的⼀对数字,欧⼏⾥得算法将会如何处理?该算法在处理这种输⼊的过程中,上述情况最多会发⽣⼏次?Hint:对于任何形如0<=m并且这种交换处理只发⽣⼀次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输⼊, Euclid算法最少要做⼏次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输⼊, Euclid算法最多要做⼏次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—⼭⽺C—⽩菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个⼈, f—⼿电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求⽅程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平⽅根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求⽅程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输⼊:实系数a,b,c//输出:实根或者⽆解信息D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将⼗进制整数表达为⼆进制整数的标准算法a.⽤⽂字描述b.⽤伪代码描述解答：a.将⼗进制整数转换为⼆进制整数的算法输⼊：⼀个正整数n输出：正整数n相应的⼆进制数第⼀步：⽤n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第⼆步：如果n=0，则到第三步，否则重复第⼀步第三步：将Ki按照i从⾼到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将⼗进制整数n转换为⼆进制整数的算法//输⼊：正整数n//输出：该正整数相应的⼆进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下⾯这个算法,它求的是数组中⼤⼩相差最⼩的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输⼊:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样⼀个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每⼀个元素,计算⽐它⼩的元素个数,然后利⽤这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应⽤该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所⽰:b.该算法不稳定.⽐如对列表‖2,2*‖排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[]4.(古⽼的七桥问题)习题1.41.请分别描述⼀下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (―lazy deletion ‖)第2章习题2.17.对下列断⾔进⾏证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断⾔是正确的。

算法第四版习题答案1.2/** 1.2.1 编写一个Point2D的用例，从命令行接受一个整数N。

在单位正方形内生成N个随机点，然后计算两点之间的最近距离*/public class testPoint2D {public testPoint2D() {// TODO Auto-generated constructor stub}public static void drawbox(double bw, double bh){StdDraw.setPenRadius(0.005);StdDraw.setPenColor(StdDraw.RED);Interval1D xinterval = new Interval1D(0, bw);Interval1D yinterval = new Interval1D(0, bh);Interval2D box = new Interval2D(xinterval, yinterval);box.draw();}public static Point2D[] drawpoint(int N){Point2D[] p=new Point2D[N];for(int i=0;i<N;i++){double x=Math.random();double y=Math.random();p[i]=new Point2D(x, y) ;p[i].draw();}return p;}public static double findmindist(Point2D[] p){Point2D p1=p[0];Point2D p2=p[1];double mindist =p[0].distanceTo(p[1]);StdDraw.setPenRadius(0.002);StdDraw.setPenColor(StdDraw.RED);int n=p.length ;for(int i=1;i<n-1;i++)for(int j=i+1;j<n;j++){double temp=p[i].distanceTo(p[j]);if(temp<mindist){ mindist=temp;p1=p[i];p2=p[j];}}p1.drawTo(p2);StdOut.print("min dist="+mindist +p1.toString()+p2.toString());return mindist;}public static void main(String[] args) {int N=StdIn.readInt();//读取画点的数量//StdDraw.setXscale(0,1 );//StdDraw.setYscale(0,1);drawbox(1,1);//画出一个单位大小的正方形StdDraw.setPenRadius(0.01);StdDraw.setPenColor(StdDraw.BLACK);//drawpoint(N);//画出N个点double min=findmindist(drawpoint(N));}}/** 编写一个Interval1D的用例，从命令行接受一个整数N。

计算机算法设计与分析第四版课后答案【篇一：计算机算法分析与设计(第四版)习题算法分析部分详解(实验六)】//6-1、6-6项目vc++6.0测试通过//6-15项目vc2005测试通过//6-1 最小长度电路板排列问题//头文件stdafx.h// stdafx.h : include file for standard system include files,// or project specific include files that are used frequently, but // are changed infrequently//#pragma once#define win32_lean_and_mean // exclude rarely-used stuff from windows headers #include stdio.h#include tchar.h// todo: reference additional headers your program requires here// sy61.cpp : defines the entry point for the console application.////description://分支限界法 6_1 最小长度电路板排列问题//#include my.h#include stdafx.h#include iostream#include queueusing namespace std;int n,m;//#include outofbounds.h//定义节点类class boardnode{friend int fifoboards(int **,int ,int,int *);//非类成员，可以访问私有成员的函数，最优序列查找public:operator int() const{return cd;}//返回常数 cdint len();public:int *x,s,cd,*low,*high;//x表示当前节点的电路板排列，s表示当前节点排列好的电路板的数//表示当前节点的最大长度，low，high分别表当前节点表示每一个连接块的第一个，和最后一个电路板//的位置};//编写类的len()函数,求出当前节点的连接块长度的最大值int boardnode::len(){int tmp=0;for(int k=1;k=m;k++)if(low[k]=n high[k]0 tmphigh[k]-low[k])tmp=high[k]-low[k];return tmp;}int fifioboards(int **b,int n,int m,int *bestx)//n为电路板的数量，m为连接块的数量 {// int bestd;queueboardnode q;//声明boardnode类的节点队列qboardnode e;e.x=new int[n+1];//为数组指针x分配n+1个动态空间，存储当前的排列e.s=0;//最初时，排列好的电路板的数目为0e.cd=0;e.low=new int[m+1];//存储每个连接块的第一个电路板的位置e.high=new int[m+1];//存储每个连接块的最后一个电路板的位置 for(int i=1;i=m;i++){e.high[i]=0;//初始化开始时的每个连接块的最后一个电路板的位置为0，表示连接块i还没有电路板放入e.x的排列中e.low[i]=n+1;//初始化开始时的每个连接块的第一个电路板的位置为n+1，表示连接块i还没有电路板放入e.x的排列中}for(i=1;i=n;i++)e.x[i]=i;//初始化e.x的排列为1，2,3.....nint bestd=n+1;//最优距离bestx=0;//记录当前最优排列do{if(e.s==n-1)//当已排列了n-1个时{//判断是否改变每个连接块的最后一个电路板的位置for(int j=1;j=m;j++)if(b[e.x[n]][j] ne.high[j])e.high[j]=n;int ld=e.len();//存储当前节点的各连接块长度中的最大长度//如果当前的最大长度小于了n+1if(ldbestd){delete[] bestx;bestx=e.x;bestd=ld;//最优距离}else delete[] e.x;//删除分配给e.x的数组空间delete[] e.low;//删除分配给e.low的数组空间delete[] e.high;//删除分配给e.high的数组空间}else{int curr=e.s+1;//rr记录现在应该排列第几个电路板for(int i=e.s+1;i=n;i++)//处理扩展节点下一层所有子节点{boardnode n;n.low=new int[m+1];//与if中的意思相同n.high=new int[m+1];for(int j=1;j=m;j++){n.low[j]=e.low[j];//将e.low[]中的值赋给n.low[]n.high[j]=e.high[j];if(b[e.x[i]][j]){if(currn.low[j])n.low[j]=curr;//若当前节点连接块j的第一个电路板的位置比现在正在排列的电路板的位置还小if(currn.high[j])n.high[j]=curr;}}n.cd=n.len();//如果，当前节点的最大长度小于了最优长度则：if(n.cdbestd){n.x=new int[n+1];n.s=e.s+1;for(int j=1;j=n;j++)n.x[j]=e.x[j];n.x[n.s]=e.x[i];//交换位置n.x[i]=e.x[n.s];//交换位置q.push(n);//将节点n加入队列中}else{delete[] n.low;delete[] n.high;}//printf(%d,bestd);}delete[] e.x;//当前扩展节点所有子节点均考虑，变成死结点} //try{if(!q.empty()){e=q.front(); //取队列首节点作为扩展节点q.pop();}else return bestd;//}//catch(outofbounds)//{//return bestd;//}//printf(finish);}while(!q.empty());return bestd;return 1;}//测试void main(){//scanf(%d%d,n,m);cinnm;int **b=new int*[n+1];for (int t=0; t=n; t++)b[t] = new int[m+1];for(int i=1;i=n;i++)for(int j=1;j=m;j++)cinb[i][j];//scanf(%d,b[i][j]);int *bestx=new int[n+1];int bestd=0;bestd=fifioboards(b,n,m,bestx);printf(%d\n,bestd);for(i=1;i=n;i++){coutbestx[i] ;}coutendl;}//6-6 经典n皇后问题//description:经典n皇后问题广度优先建议n=14解空间为子集树 //参考答案说排列树是不正确的，本例打印n*n棋盘的所有解，即放置方法 #include iostream#include fstream#include algorithm#include functional#include queueusing namespace std;//本例子直接输入棋盘大小，不用文件//ifstream in(input.txt); //请在项目文件夹下新建一个input.txt//ofstream out(output.txt);class node{public:node(int n){t = 0;this-n = n;loc = new int[n + 1];for (int i = 0; i= n; ++i){loc[i] = 0;}}node(const node other){this-t = other.t;this-n = other.n;this-loc = new int [n + 1];for (int i = 0; i = n; ++i){this-loc[i] = other.loc[i];}}int t;//已放置t个皇后【篇二：计算机算法分析与设计(第四版)习题算法分析部分详解(实验二)】>实验内容：算法实现问题2-1、2-5、2-7//2-1 众数问题思路1：先排序，然后再统计，时间复杂度较高。

【关键字】分析《算法分析与设计》作业参考答案作业一一、名词解释：1.递归算法：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。

2.程序：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。

2、简答题：1.算法需要满足哪些性质？简述之。

算法是若干指令的有穷序列，满足性质：1）输入：有零个或多个外部量作为算法的输入。

2）输出：算法产生至少一个量作为输出。

3）确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。

4）有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行每条指令的时间也有限。

2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。

分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

3.简要分析在递归算法中消除递归调用，将递归算法转化为非递归算法的方法。

将递归算法转化为非递归算法的方法主要有：1）采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。

该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。

2）用递推来实现递归函数。

3）通过Cooper变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。

后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。

三、算法编写及算法应用分析题：1.冒泡排序算法的基本运算如下：for i ←1 to n-1 dofor j ←1 to n-i doif a[j]<a[j+1] then交换a[j]、a[j+1]；分析该算法的时间复杂性。

解答：排序算法的基本运算步为元素比较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求比较次数与n的关系。

1）设比较一次花时间1；2）内循环次数为：n-i次,（i=1,…n），花时间为：3）外循环次数为：n-1，花时间为：2.设计一个分治算法计算一棵二叉树的高度。