平面几何一题多解问题的探究

问题导入式学生活动探究模式　在数学教学设计中的应用　—　《平面与平面垂直的判定——二面角》为例　口广西师大附中　唐夏玫　【摘　要】以“平面与平面垂直的判定——二面角”内容为　例，详细讲解问题导入式学生活动探究模式在教学设计中的　应用。　【关键词】高中数学平面与平面垂直二面角问题导入教　学设计　【中图分类号】Ｇ【文献标识码】Ａ　【文章编号】０４５０—９８８９（２０１５）０７Ｂ一００６６—０２　本课是高中数学人教版必修二第二章第三节第二课的内　容。二面角及其平面角是立体几何重要的概念。．二面角是继学　习异面直线所成的角，直线与平面所成的角之后的又一空间角，　它完善了空间角的概念。二面角的平面角不但定量描述了两相　交平面的相对位置，而且是空间中线线、线面、面面垂直关系的　一个汇集点。它是为了后面研究面面垂直而提出的，起着承上　启下的作用。本课对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于　创新能力的培养都具有十分重要的意义。　就学情分析来看，之前学生已经学习了线与线、线与面、面　与面平行的相关内容，对线面有了比较深入的了解，之后又学习　了异面直线所成的角、直线与平面所成的角，所以，学生已经对　线面有了一定的知识基础。二面角与线线角、线面角一样，都需　要把空间问题平面化，但与前者相比，它更抽象，学生理解更困　难。对学生来说，二面角的平面角是一个难点，特别是作二面　角的平面角更是难点。我们需要细分析，多引导，让学生自己去　发现并解决。　【教学目标】　１．知识与技能　使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运　用他们解决实际问题；进一步培养学生空间问题平面化的化　归思想。　２．过程与方法　以培养学生的创新能力和动手能力为重点。突出对类比、　直觉、发散等探索性思维的培养；通过对图形的观察、分析、比　较和操作来强化学生的动手操作能力。　３．情感态度与价值观　。　使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增　强学生应用数学的意识；通过揭示线线、线面、面面之间的内　在联系，进一步领会联系与发展的辩证唯物主义观。　【重点难点】　１．教学重点　“二面角”和“二面角的平面角”的概念。　２．教学难点　“二面角的平面角”概念形成的过程。　【教法学法】　１．教法　引入课题时，采用多媒体、实物演示法，新课探究中采用　问题启导、活动探究和类比发现法，培养技能时以训练法、探　究研讨法为主。这样的教学方式是一种问题导入式学生活动探　究模式，引导学生积极思考，尽可能地提供给学生交流的机会，　帮助学生清楚准确地表达数学思想。此外，为加强直观，教学　时应尽量应用手边的实物作示范。　２．学法　观察分析、猜想证明及类比联想是学法指导的重点。让学　生观察、思考后，总结、概括、归纳的知识更有利于学生掌握；　运用类比联想去主动地发现问题解决问题从而更系统地掌握　所学知识，形成新的认知结构，让学生真正地体会到在问题解　决中学习，在交流中学习。这样可以增进其热爱数学的情感，应　用数学的自信心和形成新的学习动力。　【教学设备】　多媒体，日常生活中的实物。　【教学基本流程】　１．预习反馈。提出问题．引出主题。　儿　２．形成知识。类比、建构二面角的概念及二面角碗法、表示法。　ＪＬ　３．拓展探究。探究二面角的度量，建构形成二面角的平面角的概念、作法。　儿　４．成果展示。二面角平面角的作法。　Ｊｌ　５．综合应用。计算二面角的大小。　儿　６．

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探究“平面镜成像”中两个不容忽视的问题

作者：王明喜

来源：《中学教学参考·理科版》2011年第02期

在课堂教学中，学生进行科学探究的效果与他们所经历的探究过程密切相关，在这一过程中，教师的作用虽然不是学生顺利探究的内因，但教师能够为学生的有效探究创设条件，并对探究活动进行指导和帮助，从而提高探究的效益。

教师应根据学生的探究过程，创设必要的问题情景，并且始终组织、指导学生的探究活动，在探究“平面镜成像”中，教师引导学生要发现或创设问题，例如，小聪与小明用玻璃板代替平面镜验证猜想：像到平面镜的距离和物体到平面镜的距离可能相等时，发生了争论。小聪得出的结论是：像到平面镜的距离和物体到平面镜的距离相等。而小明得出的结论是：像到平面镜的距离小于物体到平面镜的距离，且小的值是一个恒定不变的值。小聪拿出了自己的实验数据试图说服小明，小聪的实验数据如下：

小明看了数据后，给小聪提出了问题：你的数据记录有问题，我们用的是最小分度值1毫米的刻度尺，因此，实验数据因改写成探究要遵守科学的严密性，在刚刚学习长度的测量中要求记录的数据中因包括准确数与估计数及单位。小聪接受了小明的意见把记录的数据都改写过来。

小明拿出自己的实验数据及测量的方法与小聪交流。小明按照如图1所示,分别测出物距和像距,改变物距再分别测出物、像距的数据如下表:

小聪看了小明的实验过程和数据后给小明指出问题所在,小明测量的像距是错误的,像距应是像到平面镜(镜面)的距离,小明少测量了镜子的厚度。如果原来测量的像距加上镜子的厚度(2毫米)就会得到正确的结果，因为我们看到的像是由于光在左面的玻璃面的反射成的虚像，像距应是反射面到像的距离，如图2所示。

小明明白了错误所在重新测量改正后的数据如下：

小明与小聪通过合作探究，分析与论证得出一致的实验结论：像到平面镜的距离等于物体到平面镜的距离。

放飞思维，培养学生的数学学习力--一题多解带来的启示

“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。”这句诗蕴含的哲理是同一事物从不同角度审视可以得到不同感觉。同样,对于一道数学试题而言,“一题多解”是从不同角度、通过不同方法去思考问题、分析问题和解决问题，把数学知识的“联”与思维方式的“变”有机结合起来,培养学生的创造性思维。

郝老师点评：方法一至方法四通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“三线八角”模型，灵活运用平行线的性质与判定，对于所学的知识融会贯通，重视建构知识间的纵横联系，形成了系统的数学知识网络。

郝老师点评：方法五通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“拐点”模型，抓住了数学问题的个性特征，寻找它与其他熟悉知识的联系,找到出人意料的新奇解法,视野更加开阔，思维更加活跃，思维多元化逐渐形成，而这常常是创新能力的起点。

郝老师点评：方法七与方法八，灵活运用知识，灵活转换角度，综合运用平行线的性质与判定和三角形的内角和为180°的知识解题，敞开思维的翅膀，在知识的空间尽情地翱翔，这大大体现了学生的创造性思维，它是数学解题的魅力所在。

同学们通过用多种方法解决一道题,感受颇多!

初中数学，特别是几何部分，往往不只有一种解法。一题多解，也就由此产生。有人会说，一道题能解出来就好了，为什么还要研究其他的解法呢？这不是浪费时间吗？是的，从不同的思维角度探索一道题其他的解法，确实会消耗我们的时间。但我们在思考一题多解的过程中，可以获得新的解题思路，锻炼自己的思维，是自己的思维具有开拓性，也有助于理解与运用多个知识点，达到了复习与巩固的目的。

七年级1班崔宸豪，七年级3班张文皓，孟凡博

“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，自从学习了平面几何证明，我更加体会到了这句诗的真正意义。一题多解，顾名思义，就是一道题可以有好几种做出答案的方法。这样做有什么好处呢？最直观的，如果用两种以上方法解出同一个答案，那证明这道题你一定百分之百正确率了，增强了自信心。一题多解，还能让我更牢固的掌握和运用所学知识，而且，通过两种方法的分析比较，找到最佳解题方法，尤其是现在学习的平面几何，每道题应该都有多种解法。这让我更加愿意挑战自己。

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用代数方法解决平面几何问题

作者：王东英

来源：《中学生数理化·教与学》2018年第10期

数形结合思想是整个初中数学中一个非常重要的数学思想方法，它给人以直观、简捷、易接受的感觉.学生在遇到几何难题时，往往无从下手，某些几何难题涉及的知识点较多，而且通常需要做一些难以想到的辅助线，这样就造成了比较大的困难，也因此造成很多学生对几何题目产生畏难情绪.有没有更好的方法解决几何问题呢？我们想到，可以通过代数方法，一种是通过计算边与角的关系，另一种是通过建立平面直角坐标系，将几何条件转化为坐标的数量关系式，然后再利用我们学过的一次函数和三角函数等代数方面的知识来解决.这种方法，不但迅速快捷，还使代数解法别开生面，从而培养了学生的解题能力.下面仅就通过建立平面直角坐标系的代数方法解决几何问题举例说明数形结合思想在解题中的具体运用.

通过上述三个案例不难看出，这种代数方法的关键在于通过建立适当的坐标系，将几何条件转化为坐标的数量关系式，也就是借助于坐标系，在点、线与数组（方程）之间建立起对应关系，以此来实现几何问题代数化.这样既可以避免添加不易想到的辅助线，又为解题提供了更为灵活的思路与途径.