1.2.2分层抽样与系统抽样教案（高中数学北师大版必修3）

1.2.2分层抽样与系统抽样教案（⾼中数学北师⼤版必修3）

2.2 分层抽样与系统抽样

[读教材·填要点]

1．分层抽样的概念 将总体按其属性特征分成若⼲类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占⽐例随机抽取⼀定的样本．这种抽样⽅法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．

2．系统抽样的概念

系统抽样是将总体的个体进⾏编号，按照简单随机抽样抽取第⼀个样本，然后按相同的间隔(称为抽样距)抽取其他样本． 系统抽样⼜叫等距抽样或机械抽样．

[⼩问题·⼤思维]

1．分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？

提⽰：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理，更具有代表性，所以将总体分成互不重叠的层，⽽后独⽴地抽取⼀定数量的个体．

2．系统抽样的第⼆步中，当N n

不是整数时，从总体中剔除⼀些个体采⽤的⽅法是什么？影响系统抽样的公平性吗？提⽰：剔除⼀些个体可以⽤简单随机抽样抽取，不影响系统抽样的公平性．

[研⼀题]

[例1] 某企业共有3 200名职⼯，其中青、中、⽼年职⼯的⽐例为3∶5∶2.若从所有职⼯中抽取⼀个容量为400的样本，则采⽤哪种抽样⽅法更合理？青、中、⽼年职⼯应分别抽取多少⼈？每⼈被抽到的可能性相同吗？

[⾃主解答] 因为总体由差异明显的三部分(青、中、⽼年)组成，所以采⽤分层抽样的⽅法更合理．

因为青、中、⽼年职⼯的⽐例是3∶5∶2，所以应分别抽取：

青年职⼯400×310＝120(⼈)；中年职⼯400×510

＝200(⼈)； ⽼年职⼯400×210

＝80(⼈)． 由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样⽐是4003 200＝18

，所以每⼈被抽到的可

能性相同，均为18

. [悟⼀法]

分层抽样的步骤：

(1)根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层；

(2)根据总体中的个体数N 和样本容量n 计算抽样⽐ k ＝n N

； (3)确定第i 层应该抽取的个体数⽬n i ＝N i ×k (N i 为第i 层所包含的个体数)，使得各n i 之和为n ；

(4)在各层中，按步骤(3)中确定的数⽬在各层中随机地抽取个体，合在⼀起得到容量为n 的样本．

[通⼀类]

1．某城市有210家百货商店，其中⼤型商店20家，中型商店40家，⼩型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取⼀个容量为21的样本，按照分层抽样⽅法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．

解：第⼀步：样本容量与总体容量的⽐为21210＝110

；第⼆步：确定各种商店要抽取的数⽬：⼤型商店：20×110＝2(家)，中型商店：40×110＝4(家)，⼩型商店：150×110

＝15(家)；第三步：采⽤简单随机抽样在各层中分别抽取⼤型商店2家，中型商店4家，⼩型商店15家，综合每层抽样即得样本.

[研⼀题]

[例2] 相关部门对某⾷品⼚⽣产的303盒⽉饼进⾏质量检验，需要从中抽取10盒，请⽤系统抽样法完成对此样本的抽取．[⾃主解答] 第⼀步 将303盒⽉饼⽤随机的⽅式编号．

第⼆步 从总体中剔除3盒⽉饼，将剩下的300盒⽉饼重新编号(分别为000,001，…，299)，并分成10段．

第三步 在第⼀段中⽤简单随机抽样抽取起始号码l .

第四步 将编号为l ，l ＋30，l ＋2×30，…，l ＋9×30的个体取出，组成样本．

[悟⼀法]

1．当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k ＝N n

；当⽤系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s 加上间隔k 得到第2个个体编号(s ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(s ＋2k )，依次进⾏下去，直到获得整个样本．

2．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除⼏个个体，但要注意

的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除⼏个个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除，然后再按系统抽样⽅法抽取样本．

[通⼀类]

2．为了了解某地区今年⾼⼀学⽣期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学⽣的数学成绩中抽取容量为150的样本．请⽤系统抽样写出抽取过程．

解析：(1)对全体学⽣的数学成绩进⾏编号：1,2,3，…，15 000.

(2)分段：由于样本容量与总体容量的⽐是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每⼀部分包含100个个体．

(3)在第⼀部分即1号到100号⽤简单随机抽样抽取⼀个号码，⽐如是56.

(4)以56作为起始数，然后依次抽取156,256, 356，…，14 956，这样就得到容量为150的⼀个样本.

[研⼀题]

[例3] 选择恰当的抽样⽅法，并写出抽样过程．

(1)有30个篮球，其中，甲⼚⽣产的有21个，⼄⼚⽣产的有9个，现抽取10个作样品；

(2)有甲⼚⽣产的30个篮球，其中⼀箱21个，另⼀箱9个，现取出3个作样品；

(3)有甲⼚⽣产的300个篮球，抽取10个作样品；

(4)有甲⼚⽣产的300个篮球，从中抽取30个作样品．

[⾃主解答] (1)因总体是由差异明显的⼏部分构成，可采⽤分层抽样的⽅法抽取．

第⼀步 确定抽取个数．因为1030＝13，所以甲⼚⽣产的应抽取21×13

＝7(个)，⼄⼚⽣产的应抽取9×13

＝3(个)； 第⼆步 ⽤抽签法分别抽取甲⼚⽣产的篮球7个，⼄⼚⽣产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．

(2)总体容量较⼩，⽤抽签法．

第⼀步 将30个篮球编号，编号为00,01， (29)

第⼆步 将以上30个编号分别写在⼀张⼩纸条上，揉成⼩球，制成号签；

第三步 把号签放⼊⼀个不透明的袋⼦中，充分搅匀；

第四步 从袋⼦中逐个抽取3个号签，并记录上⾯的号码；

第五步 找出与所得号码对应的篮球．

(3)总体容量较⼤，样本容量较⼩，适宜⽤随机数法．

第⼀步 将300个篮球⽤随机⽅式编号，编号为001,002， (300)

第⼆步 在随机数表中随机的确定⼀个数作为开始，如第3⾏第5列的数“3”开始．任选⼀个⽅向作为读数⽅向，⽐如向右读；

第三步从数“3”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到241,242,232,283,039,101,158,272,266,166这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．

(4)总体容量较⼤，样本容量也较⼤，适宜⽤系统抽样法．

第⼀步将300个篮球⽤随机⽅式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段；

第⼆步在第⼀段000,001,002，…，009这⼗个编号中⽤简单随机抽样抽出⼀个(如002)作为起始号码；

第三步将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．

[悟⼀法]

1．三种抽样的适⽤范围不同，各⾃的特点也不同，但各种⽅法间⼜有密切联系．在应⽤时要根据实际情况选取合适的⽅法．

2．三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．

[通⼀类]3．某社区有700户家庭，其中⾼收⼊家庭225户，中等收⼊家庭400户，低收⼊家庭75户．为了调查社会购买⼒的某项指标，要从中抽取⼀个容量为100户的样本，记作①；某中学⾼⼆年级有12名篮球运动员，要从中选出3⼈调查投篮命中率情况，记作②；从某⼚⽣产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③.为完成上述三项抽样，则应采取的抽样⽅法是()

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B．①分层抽样，②简单随机抽样，③系统抽样

C．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

解析：对于①，总体由⾼收⼊家庭、中等收⼊家庭和低收⼊家庭差异明显的三部分组成，⽽所调查的指标与收⼊情况密切相关，所以应采⽤分层抽样；

对于②，总体中的个体数较少，⽽且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采⽤简单随机抽样；

对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采⽤系统抽样．

答案：B

⼀个单位有职⼯160⼈，其中有业务⼈员112⼈，管理⼈员16⼈，后勤服务⼈员32⼈，为了了解职⼯的某种情况，要从中抽取⼀个容量为20的样本，试确定业务⼈员、管理⼈员、后勤服务⼈员各抽取的⼈数是多少？

[解]法⼀：三部分所含个体数之⽐为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为

7x ，x,2x ，则由7x ＋x ＋2x ＝20得x ＝2.故业务⼈员、管理⼈员、后勤服务⼈员抽取的个体数分别为14,2和4.

法⼆：由160÷20＝8，所以可在各层⼈员中按8∶1的⽐例抽取，⼜因为112÷8＝14,16÷8＝2,32÷8＝4，所以业务⼈员14⼈，管理⼈员2⼈，后勤服务⼈员4⼈．

法三：因为共有职⼯160⼈，所抽取的⼈数为20，所以样本容量与总体容量之⽐为20160

＝18

， 则业务⼈员应抽取112×18＝14⼈，管理⼈员应抽16×18＝2⼈，后勤服务⼈员应抽32×18

＝4⼈．

1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是( )

A ．都是从总体中逐个抽取

B ．将总体分成⼏部分，按事先确定的规则在各部分中抽取

C ．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同

D ．将总体分成⼏层，分层进⾏抽取

解析：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的．

答案：C

2．某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每⽉的销量总额．采取如下⽅法：从某本发票的存根中随机抽⼀张，如15号，然后按顺序往后将65号， 115号，165号，…抽出，发票上的销售额组成⼀个调查样本．这种抽取样本的⽅法是( )

A ．抽签法

B ．随机数法

C ．系统抽样法

D ．其他的抽样⽅法

解析：上述抽样⽅法是将发票平均分成若⼲组，每组50张．从第⼀组中抽取15号，以后各组抽取15＋50n (n ∈N *)号，符合系统抽样的特点．

答案：C

3．某校⾼三年级有男⽣500⼈，⼥⽣400⼈．为了解该年级学⽣的健康情况，从男⽣中任意抽取25⼈，从⼥⽣中任意抽取20⼈进⾏调查，这种抽样⽅法是( )

A ．简单随机抽样法

B ．抽签法

C ．随机数表法

D ．分层抽样法

解析：样本由差异明显的⼏部分组成，抽取的⽐例由每层个体占总体的⽐例确定，即为