中考数学一轮复习——讲图形变换(含答案)

第十讲图形变换

知识梳理

知识点1、平移变换

重点：掌握平移的概念及性质

难点：平移性质的运用

1. 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移．

注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离．

2. 平移变换的性质

（1）平移前后的图形全等．即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小：

（2）对应线段平行（或共线）且相等；

（3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等．

如图所示，，且共线，且

3. 用坐标表示平移：

（1）在平面直角坐标系中，将点：

①向右或向左平移a个单位点或

②向上或向下平移b个单位点或

（2）对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按（1）中的方式作出改变

例1. 下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）

A. B. C. D.

解题思路：根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置．选项B的两个图形不是全等形；选项C、D中两个图形的方向发生了改变．

解答：选A 例2．如图1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为540M2，则道路的宽应是M？

解题思路：尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图形，问题就迎刃而解了．

解答：将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方，

设道路宽为xM，则有32(20)3220540xxx，

整理，得0100522xx，∴0)2)(50(xx，

∴501x（不合题意，舍去），22x．

∴道路宽应为2M．

练习：如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是1，则图中阴影部分的面积是 [答案为5]

知识点2、轴对称变换

重点：掌握轴对称的概念及性质

难点：轴对称的性质的运用

1. 轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点．

如图所示，关于直线l对称，l为对称轴．

32m 20m

图1 20-x

32 2. 轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．

一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条．

3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：

区别 联系

轴对称 轴对称是指两个图形的对称关系

把轴对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为轴对称图形；把轴对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成轴对称 轴对称图形

轴对称图形是指具有某种对称特性的一个图形

4.

轴对称的性质：

（1）关于某条直线对称的两个图形全等；

（2）对称点的连线段被对称轴垂直平分；

（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；

（4）轴对称图形的重心在对称轴上．

如图被直线l垂直平分．

5. 轴对称变换的作图：

举例说明：

已知四边形ABCD和直线l，求作四边形ABCD关于直线l的对称图形．

作法：

（1）过点A作l于E，延长AE到A’，使，则得到点A的对称点；（2）同理作B、C、D的对称点；

（3）顺次连结．则四边形为四边形ABCD关于直线l的对称图形．

6. 用坐标表示轴对称：

点关于x轴对称的点为； 点关于y轴对称的点为；

点关于直线的对称点为；

点关于直线的对称点为；

点关于直线的对称点为

点关于直线的对称点为．

例1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ）

A. B. C. D.

解题思路：根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后两部分应该能完全重合；或者根据轴对称的性质，对称点的连线段应该被对称轴垂直平分．所以解决此题的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴．

解答：选D．

例2.如图所示，关于直线l对称，将向右平移得到．由此得出下列判断：①；②；③．其中正确的是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

解题思路：由于是从平移得来的，故，但与关于l成轴对称，不一定有，故①不一定正确；平移和轴对称变换都是全等变换，故②和③正确．

解答：选B．

练习

1. 如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是__________． - 5 - / 23

2. 已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，与P关于OB对称，与P关于OA对称，则∠等于（ ）

A. 45° B. 50° C. 60° D. 70°

答案：1. 2. 60°

知识点3、旋转变换

重点：掌握旋转的概念及性质

难点：旋转的性质的运用

1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角．

注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角

2. 旋转变换的性质：

（1）旋转前、后的图形全等

（2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上）

（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角

3. 旋转变换的作图：

（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；

（2）找出能确定图形的关键点；

（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点；

（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形．

5. 旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于360°）后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形．

6. 中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称．这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点． 7. 中心对称的性质：

中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，另外，还有自己特殊的性质．

（1）关于中心对称的两个图形全等；

（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（即：对称中心是两个对称点连线的中点）；

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）；

（4）中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线平分该图形的面积．

如图所示，若关于点O中心对称，则对称中心O是线段共同的中点，且，且；反过来，若线段都经过点O且O是它们的中点，那么关于点O中心对称．

8. 中心对称的作图：

以上图为例，作关于点O的对称图形：

（1）找出能确定原图形的关键点，如顶点A、B、C；

（2）分别作出原图形的关键点的对称点．如：连结AO，并在AO的延长线上截取，则点A’为点A关于点O的对称点；

（3）按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点．所得的图形即为求作的对称图形．

9. 中心对称图形：一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形．这个定点叫做该图形的对称中心．

中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于180°）

10. 中心对称与中心对称图形的区别与联系

区别 联系

中心对称 中心对称是指两个图形的对称关系 把中心对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为中心对中心对称图形 中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形

称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成中心对称

11. 关于原点对称的点的坐标．

点关于原点对称的点的坐标为．

例1. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，构成的图形是中心对称图形．

（1）画出此中心对称图形的对称中心；

（2）画出将沿直线DE方向向上平移5格得到的；

（3）要使重合，则绕点顺时针方向旋转；至少要旋转多少度？（不要求证明）

解题思路：（1）在中心对称的问题中，可根据“对称中心为对称点连线段的中点”来确定对称中心；（3）可根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”来确定旋转角的大小．画出图形后，可以看出，点与点是旋转变换的一组对应点，则等于旋转角

解答

（1）如图，画出对称中心点O．

（2）画出．

（3）至少需要旋转90°． 例2如图所示，是绕某点逆时针旋转后得到的图形，请确定旋转中心，并测量出旋转角的大小

解题思路：可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心．

解答：如图，连结、，分别作和的垂直平分线，交于点O．则点O即为旋转中心．连结、，测量得，故旋转角等于．

练习

1. 如图所示，均为等腰直角三角形，∠BAF＝∠EAC＝90°，那么以点A为旋转中心逆时针旋转90°之后与__________重合，其中点F与点__________对应，点C与点__________对应．

2. 如图两个全等的正六边形ABCDEF，PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的面积均为3，那么阴影部分的面积是（ ）

答案：1.，B，E 2.1

知识点4、位似变换

重点：掌握位似的概念及性质