第二讲 随机向量

8 第二 随机向量

请先选择题目,然后再选择正确答案.(每小题3分,30题4分,共100分)

1. X,Y相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ).

A. (X,Y) B. XY C. X+Y D. X－Y

答案：（A）

2. 设X,Y独立同分布,,21}1{}1{,21}1{}1{YPXPYPXP则（ ）.

A. X=Y B. 0}{YXP C. 21}{YXP D. 1}{YXP

答案：（B）

3. 设)(1xF与)(2xF分别是随机变量X与Y的分布函数,为使)()(21xbFxaF是某个随机变量的分布函数,则ba,的值可取为( ).

A.52,53ba B. 32,32ba C. 23,21ba D. 23,21ba

答案：（A）

4. 设随机变量的分布,1}0{)2,1(412141101~21XXiXi且则}{21XXP=( ).

A. 0 B. 41 C. 21 D. 1

答案：（A）

5. 下列叙述中错误的是( ).

A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布

C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同

D.边缘分布之积即为联合分布

答案：（D）

6. 设随机变量(X,Y)的联合分布为:

则ba,应满足( ).

A．1ba B. 1ba C. 32ba D.23,21ba

答案：（D）

7．接上题，若X，Y相互独立，则（ ）.

A. 91,92ba B. 92,91ba C. 31,31ba D. 31,32ba

答案：（A） 1 2 3

1 1/6 1/9 1/18

1

专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列

1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( )

A.112 B.16 C.15 D.13

2.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( )

A.14 B.13 C.49 D.316

3.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )

A.110 B.15 C.310 D.25

4.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( )

A.0.23 B.0.2 C.0.16 D.0.1

5.设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为19，则A与B都发生的概率的取值范围是( )

A.80,9 B.15,99 C.28,39 D.40,9

6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( )

A.23 B.13 C.49 D.19

2

7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )

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第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法

[考情考向分析] 1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用，B级要求.

2.考查n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差，B级要求.3.考查数学归纳法的简单应用，B级要求．

热点一 计数原理与二项式定理

例1 (2018·苏州调研)已知fn(x)＝x2＋3ax3n，n∈N*.

(1)当a＝1时，求f5(x)展开式中的常数项；

(2)若二项式fn(x)的展开式中含有x7的项，当n取最小值时，展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a的值．

解 二项式x2＋3ax3n的展开式通项为

Tr＋1＝Crn()x2n－r3ax3r＝Crn(3a)rx2n－5r (r＝0,1,2，…，n)，

(1)当n＝5，a＝1时，f(x)的展开式的常数项为T3＝9C25＝90.

(2)令2n－5r＝7，则r＝2n－75∈N，所以n的最小值为6，

当n＝6时，二项式x2＋3ax36的展开式通项为

Tr＋1＝Cr6(3a)rx12－5r (r＝0,1,2，…，6)，

则展开式中含x的正整数次幂的项为T1，T2，T3，它们的系数之和为

C06＋C16(3a)＋C26(3a)2＝135a2＋18a＋1＝10，

即15a2＋2a－1＝0，解得a＝－13或15.

思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面：

(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别．

(2)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质．

(3)关于x的二项式(a＋bx)n(a，b为常数)的展开式可以看成是关于x的函数，且当x给予金戈铁骑 某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决．

1 第二讲 随机变量及其分布

【考试要求】

1.理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()FxPXxx=−+的概

念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.

2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布

(,)Bnp、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布()

P

及其应用.

3.（数一了解，数三掌握）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表

示二项分布.

4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)Uab、正态分

布2(,)N

、指数分布及其应用，其中参数为

的指数分布()

E的概率密度为

()e,0

0,0xx

fx

x−

=





.

5.会求随机变量函数的分布.

考点：随机变量与分布函数

1.随机变量：设试验E的样本空间为，如果对于每一个样本点，都有

一个实数)(X

与之对应，则称定义在上的单值实值函数)(X

为随机变量，简

记为X. 通常用,,XYZ

等表示随机变量.

【注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件.

2.分布函数

（1）定义：设X是一个随机变量，x

是任意实数，称

()()

FxPXxx=−+

为X的分布函数.

（2）基本性质

①单调不减，即若

12xx

，则

12()()FxFx

； 2

②lim()0

xFx

→−=

，lim()1

xFx

→+=

；

③()

Fx

是右连续，即(0)()FxFx+=.

【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件.

（3）其他性质（用分布函数()

Fx

求概率）

①)()(}{aFbFbXaP−=

； ②)0(}{−=aFaXP

；

③)0()(}{−−==aFaFaXP

； ④)0()0(}{−−−=aFbFbXaP

；

⑤)()0(}{aFbFbXaP−−=

； ⑥{}()(0)PaXbFbFa=−−

.

【注】分布函数在处连续.

【例1】 下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ）