高中数学人教A版选修1-1教案3-3-1函数的单调性与导数2

导数与函数的单调性 (教案)

教学目标：

(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。

(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。

教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。

教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。

教学方法：“诱思探究”法

教学手段：多媒体课件等辅助手段

教学过程：一、回顾与思考

提问：

1．到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？

（引导学生回答“定义法”，“图象法”。）

2．比如，要判断23,yx2yx的单调性，如

何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。）

3．还有没有其它方法？

那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。）

4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的另外一种判断函数单调性的方法——导数法。这时，老师板书课题——导数与函数的单调性。

以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：像上述这种三次函数，判断它的单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。

二、观察与表达

借助多媒体，出示表格1（见下页），所给函数都是学生特别熟悉的一次函数（初中已经32()233616fxxxx学过）。让学生自己填写表格中的相关内容，目的是让学生探索函数的单调性和导数正负的关系。老师问：通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？学生很自然的就回答出：当导数为正时，函数在整个定义域上是增加的，当导数为负时，函数在整个定义域上是减少的。（该回答很切入本节课的教学重点）。

填表（表格1）

紧接着，利用多媒体出示表格2，所给函数比较表格1中的稍微复杂，是学生高一所学的指数函数和对数函数，客观原因：由于我们的大多数学生对高一所学内容印象已经模糊，所以在上本节课之前老师引导学生已经复习了相关知识点。估计学生也很容易地填写出表格中的相关内容。出示该表格的目的同表格1中的一样。通过这些函数再次让学生总结出函数的单调性与导数正负之间的关系，很自然地又切入本节课的教学重点。

填表（表格2）

最后，借助多媒体又出示一个与前两个表格中单调区间所不同的函数2xy，前两个表格中的函数单调区间都是在整个定义域上，而这个函数的单调区间是定义域内的某个区间，通过所给问题，让学生自己发现，结合前两个表格的总结，顺势总结出本节课的教学重点：（老师板书）

如果在某个区间内，函数()yfx的导数'()0fx，则在这个区间上，函数()yfx是增加的。

如果在某个区间内，函数()yfx的导数'()0fx，则在这个区间上，函数()yfx函数解析式 定义域 图像(草) 单调性 导数 导数的正负

函数解析式 定义域 图像(草) 单调性 导数 导数的正负

()yfxx()25yfxx()34yfxx()2xyfx1()()2xyfx3()logyfxx12()logyfxx是减少的。

得出结论后，老师要特别强调结论中的“某个区间”的含义，它必须是定义域的一个子集。

通过结论，学生明白了用导数也可以判断一个函数的单调性。

下面出示一个例题，目的是在应用结论的同时，让学生也体验一下用导数法求函数单调区间的步骤。

例1：求函数 的递增区间与递减区间。

解： 由导数公式表和求导法则可得

2'()66366(2)(3).fxxxxx

令6(2)(3)0xx 得：2x或3x

令6(2)(3)0xx 得：23x

所以，函数 的递增区间为(,2)和(3,)；递减区间为(2,3)。

由例题的书写再结合本节课的教学重点，在老师的引导下让学生总结出用导数法求函数单调区间的一般步骤：(多媒体出示)

（1） 求导数'();fx

（2） 在函数()fx的定义域内解不等式'()0fx或'()0;fx

（3） 根据（2）的结果确定函数()fx的单调区间。

练习（见课本59p页，叫学生板演，目的是检测本节课学生理解情况）

求下列函数的单调区间：

（1）2254yxx （2） 33yxx

由本节课的教学重点我们知道了函数的单调性与导数的正负有密切关系，而函数的单调性决定了函数图像的大致形状，所以如果我们知道了一个函数它在某个区间的导数的正负时，我们能否把这个函数的大致图像画出来呢？下面我们看一个例题（多媒体出示）

该例题的目的：是利用导数信息确定函数图像的大致形状

例2 已知导函数的下列信息：

32()233616fxxxx32()233616fxxxx23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，

试画出函数()fx的大致形状

该问题的解决方法是：老师引导，学生借助于本节课的教学重点很容易回答出函数图像在32x这个范围内是减少的，在x>3或x<2这两个范围内增加的；至于第三条信息，估计学生心里明白但就是语言上不好表达，为了让学生能表达清楚第三条信息所说明的问题，老师在上本节课之前专门给学生补充了图像“拐点“的含义，只要确定了图像的拐点，学生就很容易地画出这个函数的大致图像。分析完毕后，叫学生自画自评，目的有两点：一是让学生学会利用导数信息绘制函数的大致图像；二是让学生了解满足这些信息的图像并不唯一。最后，老师利用多媒体出示老师自己所画的满足此三条信息的函数的大致图像。

练习：（多媒体出示，该题是一道前几年外省市高考出的选择题）其目的主要是考查学生能否通过导数的正负绘画出函数的大致图像。

设'()fx是函数()fx的导函数，'()yfx的图象如右图所示,则

()yfx的图象最有可能的是( )

三． 小结：

练习完毕，让学生自己总结本节课所学的主要内容。最后老师提问学生：通常对于哪些函数我们用“导数法”来判断它们的单调性比较简便？

四． 作业设计

必做题 课本62p页 A组 1 ， 2

选做题

已知函数cbxaxxxf23)(，其中cba,,为常数，当032ba时，)(xf在R上（ ）

A 增函数 B 减函数

C 常数 D 既不是增函数也不是减函数 板书设计

效果分析

现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从函数单调性与导数关系的发现到应用都有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能主动地去观察、猜测、发现、验证，积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法。

整个教学过程突出了三个注重： 1. 注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单问题的乐趣。2. 注重师生间、同学间的互动协作、共同提高。 3.注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用。

通过本节课的学习，学生当堂能够掌握利用导数求函数的单调性，并了解其优越性。

教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：

函数及图象 单调性 切线斜率k的正负 导数的正负

问：有何发现？（学生回答）

问：这个结果是否具有一般性呢？

我们来考察两个一般性的例子：

（教师指导学生动手实验：把准备的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。）

问：能否得出什么规律？

让学生归纳总结，教师简单板书：

在某个区间(a，b)内，

若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数； 课 题

投 影

结 论 板

演 若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。

教师说明：

要正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。

1．这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明是不现实的，因此，只要求学生能借助几何直观得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的。

2．教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。

3．得出结论后，教师强调正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。这一点将在例1的变式3具体体现。

4．考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在后续课程中给学生补充。

三、知识应用

1．应用导数求函数的单调区间

基础训练

1．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。（学生口答）

2．函数y=x2－3x在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为______函数，在[1,2]上为______函数(填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。 为加强学生对结论的理解与记忆，设计了两个基础训练题。由于思维定势，学生可能仍用以前的方法，这里教师要引导学生用导数法求解。

理解训练

例1．求函数y=3x2－3x的单调区间。

（引导学生得出解题思路：求导 →

令f ' (x)>0，得函数单调递增区间，令f ' (x)<0，得函数单调递减区间 → 下结论）

变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。

（竞赛活动：将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义，和用求导数的方法解答，每组各推荐一位同学的答案进行投影。）

求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点，为此，设计了例1及三个变式：

设计例1可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤