第六章差错控制

第六章差错控制

第六章 差错控制

1 差错控制的基本概念

1.1 差错的特点

由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有⽤信息中的结果，就会出现差错。

噪声可分为两类，⼀类是热噪声，另⼀类是冲击噪声，热噪声引起的差错是⼀种随机差错， 亦即某个码元的出错具有独⽴性，与前后码元⽆

关。

冲击噪声是由短暂原因造成的，例如电机的启动、停⽌，电器设备的放弧等，冲击噪声引起 的差错是成群的，其差错持续时间称为突发错的

长度。

衡量信道传输性能的指标之⼀是误码率po。po=错误接收的码元数/接收的总码元数⽬前普通电话线路中，当传输速率在600~2400bit/s时，po在 之间，对于⼤多数通信系统，po在之间，⽽计算机之间的

数据传输则要求误码率低于。 1.2 差错控制的基本⽅式

差错控制⽅式基本上分为两类，⼀类称为“反馈纠错”，另⼀类称为“前向纠错”。在这 两类基础上⼜派⽣出⼀种称为“混合纠错”。(1)反馈纠错

这种⽅式在是发信端采⽤某种能发现⼀定程度传输差错的简单编码⽅法对所传信息进⾏编码 ，加⼊少量监督码元，在接收端则根据编码规则

收到的编码信号进⾏检查，⼀量检测出(发 现)有错码时，即向发信端发出询问的信号，要求重发。发信端收到询问信号时，⽴即重发 已发⽣

传输差错的那部分发信息，直到正确收到为⽌。所谓发现差错是指在若⼲接收码元中 知道有⼀个或⼀些是错的，但不⼀定知道错误的准确位

置。图6－1给出了“差错控制”的 ⽰意⽅框图。オ (2)前向纠错

这种⽅式是发信端采⽤某种在解码时能纠正⼀定程度传输差错的较复杂的编码⽅法，使接收 端在收到信码中不仅能发现错码，还能够纠正错

码。在图6－1中，除去虚线所框部分就是前 向纠错的⽅框⽰意图。采⽤前向纠错⽅式时，不需要反馈信道，也⽆需反复重发⽽延误传输 时

间，对实时传输有利，但是纠错设备⽐较复杂。(3)混合纠错

混合纠错的⽅式是：少量纠错在接收端⾃动纠正，差错较严重，超出⾃⾏纠正能⼒时，就向 发信端发出询问信号，要求重发。因此，“混合

纠错”是“前向纠错”及“反馈纠错”两种 ⽅式的混合。

对于不同类型的信道，应采⽤不同的差错控制技术，否则就将事倍功半。

反馈纠错可⽤于双向数据通信，前向纠错则⽤于单向数字信号的传输，例如⼴播数字电视系统，因为这种系统没有反馈通道。1.3 误码控制基本原理

我们先举⼀个⽇常⽣活中的实例。如果你发出⼀个通知：“明天14：00~16：00开会”，但在通知过程中由于某种原因产⽣了错误，变成“明天10：00~16：00开会”。别⼈收到这个错误通知后由于⽆法判断其正确与否，就会按这个错误时间去⾏动。为了使收者能判断正误，可以在

发通知内容中增加“下午”两个字，即改为：“明天下午14：00~16：00开会”， 这时，如果仍错为：“明天下午10：00~16：00开会”，则收到此

通知后根据“下午”两字即 可 判断出其中“10：00”发⽣了错误。但仍不能纠正其错误，因为⽆法判断“10：00”错在何处，即⽆法判断原来到底

是⼏点钟。这时，收者可以告诉发端再发⼀次通知，这就是检错重发。为了实现不但能判断正误(检错)，同时还能改正错误(纠错)，可以把发

的通知内容再增 加“两个⼩时”四个字，即改为：“明天下14：00~16：00两个⼩时开会”。这样，如果其 中“14：00”错为“10：00”，不但能判

断出错误，同时还能纠正错误，因为其中增加的“ 两个⼩时”四个字可以判断出正确的时间为14：00~16：00”。

通过上例可以说明，为了能判断传送的信息是否有误，可以在传送时增加必要的附加判断数 据；如果⼜能纠正错误，则需要增加更多的附加

判断数据。这些附加数据 在不发⽣误码的情况之下是完全多余的，但如果发⽣误码，即可利⽤被传信息数据与附加数 据之间的特定关系来

实现检出错误和纠正错误，这就是误码控制编码的基本原理。具体地说 就是：为了使信源代码具有检错和纠错能⼒，应当按⼀定的规则在信

源编码的基础上增加 ⼀些冗余码元(⼜称监督码)，使这些冗余码元与被传送信息码元之间建⽴⼀定的关系，发信 端完成这个任务的过程就称

为误码控制编码；在收信端，根据信息码元与监督码元的特定关 系，实现检错或纠错，输出原信息码元，完成这个任务的过程就称误码控制

译码(或解码)。 另外，⽆论检错和纠错，都有⼀定的误别范围，如上例中，若开会时间错为“16：00~18：0 0”，则⽆法实现检错与纠错，因

为这个时间也同样满⾜附加数据的约束条件，这就应当增 加更多的附加数据(即冗余)。我们已知，信源编码的中⼼任务是消去冗余，实现码

率压缩， 可是为了检错与纠错，⼜不得不增加冗余，这⼜必然导致码率增加，传输效率降低；显然这 是个⽭盾。我们分析误码控制编码的

⽬的，正是为了寻求较好的编码⽅式，能在增加冗余不 太多的前提下来实现检错和纠错。 再者，经过信源编码，如果传送信道容量与信源

码率相匹配，⽽且 信道内引⼊的噪声较⼩，则误码率⼀般是很低的。例如，当信道的信杂⽐超过20db时，⼆元 单极性码的误码率低于

，即误码率只分之⼀，故通过信道编码实现检错 和纠错是可以做到的。1.4 误码控制编码的分类

随着数字通信技术的发展，研究开发了各种误码控制编码⽅案，各⾃建⽴在不同的数学模型 基础上，并具有不同的检错与纠错特性，可以从

不同的⾓度对误码控制编码进⾏分类。

按照误码控制的不同功能，可分为检错码、纠错码和纠删码等。检错码仅具备识别错码功能 ⽽⽆纠正错码功能；纠错码不仅具备识别错码功

能，同时具备纠正错码功能；纠删码则不仅 具备识别错码和纠正错码的功能，⽽且当错码超过纠正范围时可把⽆法纠错的信息删除。

按照误码产⽣的原因不同，可分为纠正随机错误的码与纠正突发性错误的码。前者主要⽤于 产⽣独⽴的局部误码的信道，⽽后者主要⽤于产

⽣⼤⾯积的连续误码的情况，例如磁带数码 记录中磁粉脱落⽽发⽣的信息丢失。 按照信息码元与附加的监督码元之间的检验关系可分为线

性码与⾮线性码。如果两者呈线性 关系，即满⾜⼀组线性⽅程式，就称为线性码；否则，两者关系不能⽤线性⽅程式来描述， 就称为⾮线

性码。

按照信息码元与监督附加码元之间的约束⽅式之不同，可以分为分组码与卷积码。在分组码 中，编码后的码元序列每n位分为⼀组，其中包

括k位信息码元和r位附加监督码元，即n=k+r ，每组的监督码元仅与本组的信息码元有关，⽽与其他组的信息码元⽆关。卷积码则不同， 虽

然编码后码元序列也划分为码组，但每组的监督码元不但与本组的信息码元有关，⽽且与前 ⾯码组的信息码元也有约束关系。

按照信息码元在编码之后是否保持原来的形式不变，⼜可分为系统码与⾮系统码。在系统码中，编码后的信息码元序列保持原样不变，⽽在

⾮系统码中，信息码元会改变其原有的信号序列。由于原有码位发⽣了变化，使译码电路更为复杂，故较少选⽤。根据编码过程中所选⽤的数字函数式或信息码元特性的不同，⼜包括多种编码⽅式。对 于某种具体的数字设备，为了提⾼检错、纠错能⼒，

通常同时选⽤⼏种误码控制编码⽅式。 在表6－1中，列出了常见的⼏种误码控制编码⽅式。以下，以线性分组码为例，对⼏种简单 的编码

⽅式进⾏介绍。

1.5 有关误码控制编码的⼏个基本概念

(1)信息码元与监督码元信息码元⼜称信息序列或信息位，这是发端由信源编码后得到的被传送的信息数据⽐特，通 常以k表⽰。由信息码元组成的信息组为：

在⼆元码情况下，每个信息码元m的取值只有0或1，故总的信息码组数共有个，即不同信息码元取值的组合共有

组。

监督码元⼜称监督位或附加数据⽐特，这是为了检纠错码⽽在信道编码时加⼊的判断数据位 。通常以r表⽰，即为：n=k+r或r=n－k

经过分组编码后的码⼜称为(n,k)码，即表⽰总码长为n位，其中信息码长(码元数)为k位， 监督码长(码元数)为r=n－k。通常称其为长为n的码

字(或码组、码⽮)。(2)许⽤码组与禁⽤码组信道编码后的总码长为n，总的码组数应为，即为。其中被传送的信息码组 有个，通常称为许⽤码组；其余的码组共有()

个，不传送，称为禁⽤码组。 发端误码控制编码的任务正是寻求某种规则从总码组()中选出许⽤码组；⽽收端译码的 任务则是利⽤相应

的规则来判断及校正收到的码字符合许⽤码组。通常⼜把信息码元数⽬k 与编码后的总码元数⽬(码组长度)n之⽐称为信道编码的编码效率或

编码速率，表⽰为：r=k/n=k/k+r

这是衡量纠错码性能的⼀个重要指标，⼀般情况下，监督位越多(即r越⼤)，检纠错能⼒越 强，但相应的编码效率也随之降低了。(3)码重与码距

在分组编码后，每个码组中码元为“1”的数⽬称为码的重量，简称码重。两个码组对应位置上取值不同(1或0)的位数，称为码组的距离，简称

码距，⼜称汉明距离，通常⽤d表⽰。 例如：000与101之间码距d=2；000与111之间码距d=3。对于(n,k)码，许⽤码组为个， 各码组之间距离最⼩值称为最⼩码距，通常⽤表⽰。码距⼜称汉明距。

最⼩码距的⼤⼩与信道编码的检纠错能⼒密切相关。以下举例说明分组编码的最⼩码距 与检纠错能⼒的关系。

设有两个信息a和b，可⽤1⽐特表⽰，即0表⽰a，1表⽰b，码距=1。如果直接传送信息 码，就没有检纠错能⼒，⽆论由1错为0，或由0错

为1，收端都⽆法判断其错否，更不能纠正 ，因为它们都是合法的信息码(许⽤码)。这可⽤图6－2来说明。由图中看出，a与b之间最⼩ 码距

为1，只要发⽣⼀位误码就会变成另⼀个许⽤码，⽆法检纠其错误。

如果对这两个信息a和b经过信道编码，增加1⽐特监督码元，得到(2，1)码组，即：n=2、k= 1、r=n-k=1，就具有检错能⼒，由图6－3来说

明。

由于n=2，故总码组数为， 以由于k=1，故许⽤码组数，其余为禁⽤码组。由图中看出，许⽤码组有两种选 择⽅式，即00与11，或01与10，其结果是相同的，只是信息码元与监督码元之间的约束规律 不同。现采⽤信息码元重复⼀次得到许⽤码组的编码⽅式，故

许⽤码组为00表⽰a，11表 ⽰b。这时a和b都具有1位检错能⼒，因为⽆论a(00)或b(11)如果发⽣⼀位错码，必将变成01 或10，这都是禁⽤

码组，故收端完全可以按不符合信息码重复⼀次的准则来判断为误码。但 却不能纠正其错误，因为⽆法判断误码(01或10)是a(00)错误造成

还是b(11)错误造成，即⽆ 法 判定原信息是a或b，或说a与b形成误码(01或10)的可能性(或概率)是相同的。由图6－3中 ⼜可看出，如果产⽣

⼆位错码，即00错为11，或11错为00，结果将从⼀个许⽤码组变成另 ⼀个许⽤码组，收端就⽆法判断其错否。通常⽤e表⽰检错能⼒(位

数)，⽤t表⽰纠错能⼒( 位数)。由上述分析可知，当=2的情况下，码组的检错能⼒e=1，纠错能⼒t=0。

为了提⾼检纠错能⼒，可对上述⼆个信息a和b经过信道编码增加2⽐特监督码元，得到(3，1 )码组，即n=3、k=1、r=n－k=2，总的码组数为

，由图6－4来说明其检 纠错能⼒。

信道编码后，许⽤码组之间的最⼩码距d0越⼤，检纠错的能⼒就越⾼。此例中由于k=1,=2，故只有2个许⽤码组，其余6个为禁⽤

码组。由图中可以看出，满⾜ 最 ⼩码距为最⼤的条件共有4种选择⽅式，即为(000与111)、(001与110)、(010和101)、(011 与100)，这四