图形的平移和旋转知识点总结

图形的平移和旋转

【图形的平移】

(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样

的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．

注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指

平面图形在同一平面内的变换．

②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的

距离，这两个要素是图形平移 的依据．

③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形

相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图

形平移的基本性质的依据．

（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个

点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，

因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，

对应线段平行且相等，对应角相等．

注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的

特征．

②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移

图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．

（3）简单的平移作图

平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位

置；②平移的方向；③平移的距离．

【典型例题】

例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，

试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．

分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就

是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，

即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即

CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．

解：（1）连结CD

（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD

（3）在射线CE上截取CB′=CB

则B′即为所求的B的对应点．

（4）连结DB′

则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．

例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=14，

△ABF是△ADE的旋转图形．

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转了多少度？

（3）AF的长度是多少？

（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？

分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求

AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容

易得到．•△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．

解：（1）旋转中心是A点．

（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的

∴B是D的对应点

∴∠DAB=90°就是旋转角

（3）∵AD=1，DE=14

∴AE=2211()4=174

∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点

∴AF=174

（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形．

【图形的旋转】

（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一

固定点叫做旋转中心。理解旋转这一概念应注意以下两点：①旋转和

平移一样是图形的一种基本变换；②图形旋转的决定因素是旋转中心

和旋转的角度．

（2）旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的

角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图

形的形状、大小都不发生变化．

（3）简单图形的旋转作图

两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；

②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．

作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；

②顺次连接各点得到旋转后的图形．

（4）图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称

等图形的变换而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种

特例。

常见的旋转模型

1、手拉手数学模型

思路：两个等边三角形或正方形共顶点会有三角形全等

1、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）

等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置

的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来

2、旋转秘籍

（1）图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶

角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．

（1）图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶

点旋转60角后与另一边重合．

（2）图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转

90角后与另一边重合．

3、等边三角形手拉手共线的结论（ABC△和BDE△均为等边三角形，ABD、、三

点共线）

（1）ABECBD≌△△

（2）=CDAE

（3）ABFCBG≌△△

（4）DBGEBF≌△△

（5）BFBG

（6）AFCG，EFDG

（7）FBG△为等边三角形

（8）HB平分AHD

（9）60CHA

4、正方形等面积结论

（1）=ABCCDESS△△

（2）G为AB中点，则12CGDE

（3）G为AB中点，CGDE ABC

DE

FH

G

E

DGAB

C

2、半角模型

思路：大角含半角+有相等的边，通过旋转使相等的边重合，拼出特殊角

ECF45,DFBEAHABC2ABFAEEF

若可证

3、构造旋转模型

思路：等线段，共端点+特殊角，通过旋转使相等的边重合，得出图形。

已知等腰直角三角形ABC，可证∠D’AD=90°,BD2+AD2=2CD2

【典型例题】

1.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作

0○～90o的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的

变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（ ）

（图1） （图2） 解：B

0°到45°与45°到90°的变化趋势是相反对称的，且在45°时取到最大值。

2.平移不改变图形的________，只改变图形的位置。故此若将线段AB向右平移

3cm，得到线段CD，如果AB=5㎝，则 CD=___________

解：形状；5cm

3.下列关于旋转和平移的说法正确的是（ ）

A．旋转使图形的形状发生改变

B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到

C．平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小

D．对应点到旋转中心距离相等

解：D

A:旋转不改变形状；B：如果三角形旋转180°，则不能通过平移得到；

C:平移和旋转都是对位置的作用，而对图形的本身大小无影响。

4.如图，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，

其旋转中心为______点，旋转角度依次为________，________，________.

解：A0B（符合题意的其他三角形均可）；O点；90°；180°；270°

5.如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时

针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度为（ ）

A．3 B．32 C．52 D．4

解：B。

∵△ABP 旋转到△ACP'，对应边相等，对应角度相等。∠PAP'=∠BAC=90°，

且AP=AP'，

∴根据勾股定理得，PP'=32

6.△ABC是等腰直角三角形，如图，AB=AC，∠BAC＝90°，

D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则

其旋转角的度数为（ ）

A．90° B．120° C．60° D．45°

解：A，

7.如图，已知∠AOB，要求把其往正东方向平移3cm，要求留画痕，写作法

解：以A（或O或B）为坐标系原点建立直角坐标系，以南北方向为y轴，以东

西方向为x

轴，以1cm为单位长度画图。

8. 如图，在ABC中，75CAB，在同一平面内，将ABC绕点A旋转到''ABC

的位置，使得'//CCAB，则'BAB

A.30 B.35 C.40 D.50

解：∵CC′∥AB，

∴∠ACC′=∠CAB=75°，

∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，

∴AC=AC′，

∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°，

∴∠CAC′=∠BAB′=30°．

故选A．

【特殊的旋转-中心对称】

一、中心对称图形与两个图形成中心对称

同学们已经看到有一些图形绕某一定点（旋转中心）旋转一定角度后，可以

与自身重合，如等边三角形、圆、国旗上的五角星等，这样的图形叫做旋转对称

图形。如果旋转角度为180°，即若某个图形绕着中心点旋转180°后能与自身

重合，我们就把这样的旋转对称图形叫做中心对称图形。

这个中心点叫做对称中