2003年高考.广东卷.数学试题及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数 学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

1．在同一坐标系中，表示直线axy与axy正确的是（ ）

2． 已知xxx2tan,54cos),0,2(则 （ ）

A．247 B．－247 C．724 D．－724

3．圆锥曲线的准线方程是2cossin8 （ ）

A．2cos B．2cos C．2sin D．2sin

4．等差数列}{na中，已知33,4,31521naaaa，则n为 （ ）

A．48 B．49 C．50 D．51

5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为

（ ）

A．3 B．26 C．36 D．33

5．设函数0,0,12)(,21xxxxfx若1)(0xf，则x0的取值范围是 （ ）

A．（－1，1） B．（－1，+∞）

C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

7．函数)cos(sinsin2xxxy的最大值为 （ ） A．21 B．12 C．2 D．2

8．已知圆截得被当直线及直线ClyxlayaxC.03:)0(4)2()(:22的弦长为32时，则a= （ ）

A．2 B．22 C．12 D．12

9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

A．22R B．249R C．238R D．223r

10．函数)(]23,2[,sin)(1xfxxxf的反函数 （ ）

A．]1,1[,arcsinxx B．]1,1[,arcsinxx

C．]1,1[,arcsinxx D．]1,1[,arcsinxx

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）. 设P4的坐标为（x4，0），若214x，

则tan的取值范围是 （ ）

A．（31，1） B．）32,31( C．)21,52( D．)32,52(

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．3π B．4π C．33 D．6π

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上

13．不等式xxx24的解集是

14．9)12(2xx展开式中9x的系数是

15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可

以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂

直，则

16．如图，一个地区分为5个行政区域，

现给地图着色，要求相邻区域不得

使用同一颜色，现有4种颜色可

供选择，则不同的着色方法共有

种.（以数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.

（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；

（2）求点D1到面BDE的距离.

18．（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60°，且|1|z是||z和|2|z的等比中项. 求||z.

19．（本小题满分12分）

已知c>0，设P：函数xcy在R上单调递减Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围

20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南)102arccos(方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21．（本小题满分14分）

已知常数,0a在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且DADGCDCFBCBE，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）

设0a为常数，且)(2311Nnaannn

（1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1aannnnnnn；

（2）假设对任意1n有1nnaa，求0a的取值范围.

2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学试题参考答案

一、选择题：

1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A

二、填空题：

13．]4,2( 14． 221 15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S△BCD 16．72

三、解答题：

（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，

∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=21D1D

又EC=21CC1，且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1

又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1

∵BD1面DBD1，

∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.

（II）解：连结ED1，有DBEDDBDEVV11

由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的

距离为d，

则S△DBC·d=S△DBD1·EF.………………9分

∵AA1=2·AB=1.

22,2EFEDBEBD

23)2(2321,2222121DBCDBDSS 33223222d

故点D1到平面BDE的距离为332.

18． 解：设)60sin60cosrrz，则复数.2rz的实部为2,rzzrzz由题设

.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222zrrrrrrrrrzzzzzzzz即舍去解得整理得即

19．函数xcy在R上单调递减.10c

不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为RcxxyRcxx 22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,,1.(0,][1,).2xcxcxxccxcyxxcRcxxcRccPQcPQcc函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为

20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：（1）台风中心P（yx,）的坐标为.22201027300,2220102300tytx

此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22tryyxx

其中,6010)(ttr若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

.)6010()0()0(222tyx即22)22201027300()2220102300(tt

2412,028836,)6010(22tttt解得即

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设)10(kDADCCDCFBCBE

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：0)12(2ykax① 直线GE的方程为：02)12(ayxka②

从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程022222ayyxa

整理得1)(21222aayx 当212a时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当212a时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长

当212a时，点P到椭圆两个焦点（),21(),,2122aaaa的距离之和为定值2

当212a时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122aaaa 的距离之和为定值2a.

22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.

（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；

（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101aakkkkk

那么01112)1(]2)1(3[52323aaakkkkkkkkk

.2)1(]2)1(3[5101111akkkkk

也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.

证法二：如果设),3(23111nnnnaaa 用1123nnnaa代入，可解出51a.

所以53nna是公比为－2，首项为531a的等比数列.

).()2)(5321(5310Nnaannn 即.2)1(52)1(301aannnnnn

（2）解法一：由na通项公式 .23)1(523)1(32011111aaannnnnnn

)(1Nnaann等价于 ).()23()15()1(201Nnann……①

（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(kka

即为 .51)23(51320ka……②