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拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换

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拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换

1.表A-1 拉氏变换的基本性质

1

线性定理 齐次性 )()]([saFtafL

叠加性 )()()]()([2121sFsFtftfL

2

微分定理

一般形式

11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([kkkknkknnnndttfdtffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（

初始条件为0时 )(])([sFsdttfdLnnn

3

积分定理

一般形式

nktnnknnnntttdttfsssFdttfLsdttfsdttfssFdttfLsdttfssFdttfL1010220220]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共

初始条件为0时 nnnssFdttfL)(]))(([个共

4 延迟定理（或称t域平移定理） )()](1)([sFeTtTtfLTs

5 衰减定理（或称s域平移定理） )(])([asFetfLat

6 终值定理 )(lim)(lim0ssFtfst

7 初值定理 )(lim)(lim0ssFtfst 8 卷积定理 )()(])()([])()([21021021sFsFdtftfLdftfLtt

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z变换E(z)

1 1 δ(t) 1

2 Tse11 0)()(nTnTtt

1zz

3 s1 )(1t 1zz

4 21s t 2)1(zTz

5 31s 22t

32)1(2)1(zzzT

6 11ns !ntn )(!)1(lim0aTnnnaezzan

7 as1 ate aTezz

8 2)(1as atte 2)(aTaTezTze

9 )(assa ate1 ))(1()1(aTaTezzze

10 ))((bsasab btatee bTaTezzezz

11 22s tsin 1cos2sin2TzzTz

12 22ss tcos 1cos2)cos(2TzzTzz

13 22)(as teatsin aTaTaTeTzezTze22cos2sin

14 22)(asas teatcos aTaTaTeTzezTzez222cos2cos 15 aTsln)/1(1 Tta/ azz

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(sF是s的有理真分式

01110111)()()(asasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm （mn）

式中系数nnaaaa,,...,,110，mmbbbb,,,110都是实常数；nm,是正整数。按代数定理可将)(sF展开为部分分式。分以下两种情况讨论。

① 0)(sA无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

niiinniisscsscsscsscsscsF12211)( （F-1）

式中，nsss,,,21是特征方程A(s)＝0的根。ic为待定常数，称为F(s)在is处的留数，可按下式计算：

)()(limsFsscissii

（F-2）

或

issisAsBc)()(

（F-3）

式中，)(sA为)(sA对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

niiisscLsFLtf111)()(＝tsniiiec1 (F-4)

② 0)(sA有重根

设0)(sA有r重根1s，F(s)可写为

)()()()(11nrrsssssssBsF =nniirrrrrrsscsscsscsscsscssc11111111)()()(

式中，1s为F(s)的r重根，1rs，…, ns为F(s)的n-r个单根；

其中，1rc，…, nc仍按式(F-2)或(F-3)计算，rc，1rc，…, 1c则按下式计算：

)()(lim11sFsscrssr

)]()([lim111sFssdsdcrssr

)()(lim!11)()(1sFssdsdjcrjjssjr (F-5)

)()(lim)!1(11)1()1(11sFssdsdrcrrrss

原函数)(tf为

)()(1sFLtf

nniirrrrrrsscsscsscsscsscsscL111111111)()()(

tsnriitsrrrriecectctrctrc1122111)!2()!1(

（F-6）

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拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

第十一章 拉普拉斯变换

在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。

拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。

本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。

第一节 变拉普拉斯换的概念

定义 设函数)(tf当0t时有定义，且广义积分

0)(dtetfst

在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s的函数

dtetfsFst0)()(

叫做函数)(tf的变拉普拉斯换，记作

)]([)(tfLsF

函数F（s） 也可叫做)(tf的像函数。

若F（s）是)(tf的拉)(tf是F（s）的拉氏逆变换（或叫做sF的像原函数），记作

)]([)(1sfLtf

在拉氏变换中，只要求)(tf在),0[内有定义即可。为了研究方便，以后总假定在)0,(内，)(tf≡0。另外，拉氏变换中的参数s是在复数域中取值的，但我们只讨论s是实数的情况，所得结论也适用于s是复数的情况。

例1 求指数函数atetf)(（aa,0是常数）的拉氏变换。

解 由拉氏变换定义有 ：dtedteeeLtasstatat0)(0][

此积分在sa时收敛，有0)(1asdtetas

所以)(1][asaseLat

例2 求单位阶梯函数

0,100)(tttu　　　，　　

的拉氏变换。

解 0dtetuLst

此积分在0s时收敛，且有

0)0(1ssdtest　　　

所以 )01sstuL　　　　（

例3 求attf)(（a为常数）的拉氏变换。

解 00ststtdesadtateatL

常用拉普拉斯变换总结

常用拉普拉斯变换总结

常用拉普拉斯变换总结

1、指数函数

000)(ttAetft，其中，A和a为常数。

sAteAteAeAeLtssttt0)(0dd][

2、阶跃函数

000)(ttAtf，其中，A为常数。

sAtAeALst0d][

3、单位阶跃函数

4、斜坡函数

，其中，A为常数。

000dd][tsAeseAttAteAtLststst

A＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t0时刻的单位斜坡函数写成r（t-t0）

5、单位斜坡函数

000)(ttttf 0010)(tttustetuLst1d)]([0000)(ttAttf20dsAtesAst000dd][tsesetttetLststst

201d1stesst

6、正弦函数

00sin0)(tttAtf，其中A为常数。

根据欧拉公式：

拉式变换为：

2201212d)(2]sin[sAjsjAjsjAteeejAtALsttjtj

同理余弦函数的拉式变换为：22]cos[sAstAL

7、脉动函数

ttttttAtf000,000)(，其中，A和t0为常数。

脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的阶跃函数，与另一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠加而成。

)()()(000ttutAtutAtf

)1()()()]([00000000ststestAestAstAttutALtutALtfL )(tft图2.3正弦函数和余弦函数)(tft(a)(b)00)(21sintjtjeejt8、脉冲函数

拉普拉斯变换和反变换

拉普拉斯变换和反变换

419 拉普拉斯变换及反变换

1.表A-1 拉氏变换的基本性质

1

线性定理 齐次性 )()]([saFtafL

叠加性 )()()]()([2121sFsFtftfL

2

微分定理

一般形式

11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([kkkknkknnnndttfdtffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（

初始条件为0时 )(])([sFsdttfdLnnn

3

积分定理

一般形式

nktnnknnnntttdttfsssFdttfLsdttfsdttfssFdttfLsdttfssFdttfL1010220220]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共

初始条件为0时 nnnssFdttfL)(]))(([个共

4 延迟定理（或称t域平移定理） )()](1)([sFeTtTtfLTs

5 衰减定理（或称s域平移定理） )(])([asFetfLat

6 终值定理 )(lim)(lim0ssFtfst

7 初值定理 )(lim)(lim0ssFtfst

8 卷积定理 )()(])()([])()([21021021sFsFdtftfLdftfLtt

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z变换E(z)

1 1 δ(t) 1

420 2 Tse11 0)()(nTnTtt

1zz

3 s1 )(1t 1zz

4 21s t 2)1(zTz

拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换

拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换

拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换

1.表A-1拉氏变换的基本性质

1

线性定理 齐次性 L[af(t)] =aF(s)

叠加性 L[ fi (t)±f2(t)]=Fi(s)±F2(s)

2 微分定理 一般形式 L[df (t)] =sF(s) f(0)

dt

2

d f(t) 2 */、 L[——]=S2F(S) sf (0) f( 0) dt a

L 叮(t)]=snF(s) fsl(j(0) dt k丄

fg(t)4f)-

dt 一

初始条件为0时 L[df(t)]"F(s)

dtn

3 积分定理 一般形式 r F(s) [jf(t)dt]t2

L[ff (t)dt]=亠+ -----------

' s s

F(s)丄[”(t)dt]yjHf(t)(dt)2]y

Ljf f(t)(dt) ]- 2 + 2 +

s s s

共n个 共』个

L[ f-杠(t)(dt)n]=卑 召[(…! f(t)(dt)n]y

s k二s —

初始条件为0时 共n个

4『屮（以町］=卑

* * s

4 延迟定理（或称t域平移定理） L[f(t —T)1(t —T)]=e^F(s)

5 衰减定理（或称s域平移定理） L[f (t)e」t] = F(s + a)

6 终值定理 limf ⑴=lim SF(S)

7 初值定理 lim f (t)=limsF(S) t t

8 卷积定理 L[ [fi(t—l)f2&)dE] =L[ [fi(t)f2(t—l)dl] = Fi(s)F2(s)

2 .表A-2常用函数的拉氏变换和 z变换表

序

号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z变换E(z)

1 1 3 (t) 1

2 1 崭⑴=迟软t— nT)

n -0 z

彳 」s

1 —e Z_1

3 1 s 1(t) z

Z_1

4 1 t Tz

~~2" s (Z-1)2

5 1 t2 T2Z(Z+1)

3 s ~2 2(z—1)3