微分方程特征根公式

安徽农业大学学报，２００２，２９（２）：２∞～２０６　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　

特征理论在偏微分方程中的应用　

摘要：本文从几何的观点　浩，并给出了应用实倒　美键词：特征方程；特征巍　中围分类号：Ｏ１７５．２　汪光辉　

（合肥工业大学理学院，合肥２３０００９）　

辅用特枉巍法讨论了一价巍性齐班、拟践性越蕊奎非线性倍微分方程解的求　

文献标识码：Ａ　文章编号：１０００　２１９７（２００２）０２—０２０３—０４　

ｌ一阶非线性方程　

考察一阶非线性方程Ｆ（Ｄｕ，ｕ，ｘ）一０。　∈ｎ［　，其中Ｆ一　×砥×面一噩为已知函数．下史记　

Ｆ一（Ｐ，　，　），ｐ－－（Ｐｌ，Ｐ２，…，Ｐ　），　一（　１．　？，…，　），ＤｖＦ一（Ｆｖ　．…，ＦＰ　），Ｄ　Ｆ－－（，　ｌ・　

…，Ｆ　）　ｆＦ（Ｄｕ，“，　）一０　求解问题：｛Ｕｌ　ｒ￣ｇ　ｒ一砷　

其中ｒ为边界的一部分。　

１．１完全积分、包络　Ｆ（Ｄ“，“，　）一０　（１）　设　∈ｎ［　，ｄ∈Ａ　监”，ｎ，Ａ为翌　中开集．对函数　（　，口），（　∈ｎ，ｄ∈Ａ）　

定义矩阵：　

（Ｄ　，Ｄ　“）　“ａｌ　“　＾　…　“　ａｌ　

２　ｌ　２　…　Ｉ甘　２　

“　ｌａｎ…“　。　Ｊ．｜×（　＋　定义：称　，ｄ）∈Ｃ。是（１）的完全积分，若　

１　满足（１）。　２。（　“，Ｄ　）秩为　。　

例１　Ｃｌａｉｒａｎｔ方程　

・Ｄｕ＋ｆ（Ｄ“）一　

其中：ｌ厂：监　—＋　，　∈ｎ。　

完全积分为“（　，＆）－－ａ・　十ｌ厂　

例２　Ｅｉｋｏｎａｌ方程ＩＤ“Ｉ一１。　完全积分，“　，ｄ）一　・口＋６，　倒３　Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｊａｃｏｂｉ方程　（口），Ⅱ∈　。　

ｂ∈琏，ｄ∈ＯＢ（ｏ，１）。　

“　＋Ｈ（Ｄ“）一０，　ｆ∈　，　∈卫　Ｈ：　一】瞳为非线性函数。　

完全积分：“（　，６／；ｂ）一　・ｄ　ｆＨ（口）＋ｂ．　ｂ６璃，ａ６　。　

收藕日期：２００１—０９—２１　作者简介：汪光辉（１９６４

微分方程公式运用表

一、 一阶微分方程

判断特征：(,)dyfxydx

类型一：()()dygxhydx（可分离变量的方程）

解法（分离变量法）：()()dygxdxhy，然后两边同时积分。

类型二：()()dyPxyQxdx（一阶线性方程）

解法（常数变易法）：()()(())PxdxPxdxyeCQxedx

类型三：(,)(,)dyfxyftxtydx（一阶齐次性方程）

解法（换元法）：yux令类型一

类型四：P()y=Q(x)yndyxdx（伯努利方程）

解法（同除法）：1()()nndyyPxyQxdx类型二

二、 可降阶的高阶微分方程

类型一：()()nyfx

解法（多次积分法）：(1)()()nduuyfxfxdx令多次积分求

类型二：''(,')yfxy

解法：'(,)dppyfxpdx令一阶微分方程

类型三：''(,')yfyy

解法：'(,)dpdpdydppypfypdxdydxdy令类型二

三、线性微分方程

类型一：''()'()0yPxyQxy（二阶线性齐次微分方程）

解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()yxyx 则：1122()()()yxcyxcyx

类型二：''()'()()yPxyQxyfx（二阶线性非齐次微分方程）

解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()yxcyxcyx

再找出非齐次方程的任意特解()pyx，则：1122()()()()pyxyxcyxcyx

类型三：'''0ypyq（二阶线性常系数齐次微分方程）

解法（特征方程法）：221,2402ppqpq

（一）122121240xxpqycece

（二）12120()xyccxe

应用数学　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ　ＡＰＰＬＩＣＡＴＡ　２００２。１５（２）：４８～５１　

Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　

ＮＦＤＥ　ｗｉｔｈ　Ｄｅｌａｙ　

ＺＨＯＵ　Ｘｉａｎ—ｆｅｎｇ（周先锋），ＪＩＡＮＧ　Ｗｅｉ（蒋威）　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａ，　“　，２３００３９，Ｃｈｉ￣ｍ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ａｉｍ８　ｔｏ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ａ　ｓｕｆｆｉｅｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｅｇｅｎ—　ｅｒａｔｅ　ＮＦＤＥ　ｗｉｔｈ　ｄｅｌａｙ．Ｏｕｒ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ｏｆ［ａ３．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｅｇｅｒａｔ￣ＮＦＤＥ　ｗｉｔｈ　ｄｅｌａｙ；Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ｝Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ＣＬＣ　Ｎｕｍｂｅｒ：Ｏ１７５．９　ＡＭＳ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：３４Ｋ２０　Ｄｏｅｕｍｅｎｔ　ｃｏｄｅ：Ａ　Ａｒｔｉｃｌｅ　ＩＤ：１００１—９８４７（２００２）０２—００４８—０４　

Ｎｏｗａｄａｙｓ，ｔｈｅ　ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ　ｏｆ　ｔｉｍｅ　ｄｅｌａｙ　ａｎｄ　ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　ｉｎ　ｍａｎｙ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｈａｖｅ　ｃａｕｓｅｄ　

ｍａｎｙ　ｓｃｈｏｌａｒｓ＂ｍｕｃｈ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ，ｍａｎｙ　ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　

主一∑Ａ　ｚ（　），　（１）　ｉ；０　ｉｔｓ　ｐｒｏｐｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　

Ｈ（　）一ｄｅｔ　ｌ　Ｊ一∑Ａ　ｅ＿　ｌ一０，　（２）　

ｗｈｅｒｅ　一０，０≥０，（　一１，…，ｍ），Ａ∈Ｒ　”（　＝０，１，…，ｍ）．Ｉｎ　Ｅ４］，ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒ　ｈａｓ　ｉｎ　

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考研数学高数公式：微分方程

第七章：微分方程

考研要求

1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握可分离变量的微分方程，会用简单变量代换，解某些微分方程

3.会解奇次微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程

4.掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程

5.会用降阶法解下列微分方程 y"=f(x,y')

6.y"=f(y,y')

7.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次微分方程

8.会解自由项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及他们和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

9.会解欧拉方程。

微分方程的基本公式和定理

1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！