mp广义逆矩阵的秩

2020年4月第41卷第2期湘南学院学报Journal of Xiangnan UniversityApr.,2020Vol.41No.2广义逆矩阵及其计算方法欧阳光（湘南学院数学与金融学院，湖南郴州423000）摘要：本文讨论广义逆矩阵的一般概念，并给出加号逆矩阵的一种计算方法.关键词：关键词：矩阵，逆矩阵，广义逆矩阵，满秩分解，计算方法中图分类号：0157文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-8173.2020.02.001本文用通俗的方法讨论广义逆矩阵及其性质，并给出加号逆矩阵的一种切实可用的计算方法.以下的讨论限定在实数范围内，文中所涉及的线性空间是欧氏空间⑴.1预备定理引理1（矩阵的等价分解）设A为任意的mxn矩阵，如果rk（A）=r,那么存在肌级可逆矩阵卩和〃级可逆矩阵Q使得A=,其中厶为厂级单位阵.证明由皿（A）=r，则存在m级可逆矩阵珂和〃级可逆矩阵Q o使得盼Q就鳥或心冷加,令P二二Qo",便有A二卩f证毕.下面介绍可逆矩阵卩和Q的计算方法[i].（\1-n例1设A=21f[，首先将A拼成形于F药〕的矩阵，对4进行一系列矩阵的初等行变换, -111包*丿11-1-1丿同时，对妇也进行一系列相应矩阵的初等行变换;对川进行一系列矩阵的初等列变换，同时，对也进行一系列相应矩阵的初等列变换.把A变换成阶梯矩阵（其中r=rk（A））的同时，兀就变换成了卩。

4就变换成了Qo.(11-11000、20-20100 -1010010 1-1-10001 100010<001丿<1001000、11010TT000-1110一卩2珂] 0000011k J 1-11010<001丿收稿日期：2019-06-30作者简介：欧阳光（1948—）,男，湖南宜章人，教授，本科，研究方向：线性统计模型，EV模型.湘南学院学报(自然科学版)2020年4月(第41卷)第2期(1000)/、(11_1)令P=Po1=2J,Q=Qo1=010便有A=pp2J q.-1200〔001丿1°°丿11-201丿'7引理2(矩阵的正交分解)设4为任意的mxn矩阵，如果rk(A)=r,那么存在矶级正交矩阵H和〃级正交矩阵K,使得A=HRK，其中尺二0］，Ri为厂级可逆矩阵.引理3(矩阵的满秩分解)设4为任意的mxn矩阵，如果皿(A)=r，那么存在m x r级矩阵F^rXn 矩阵G,且渔(F)二渔(G)二厂，使得川二FG,称为矩阵4的满秩分解.证明由于rk(A)=厂，由引理1则存在m级可逆矩阵P和〃级可逆矩阵Q使得A二P^r=(I r0)Q,令F二彳；I,G二(厶0)Q,易见F为mxr矩阵，渔(F)二厂，G为厂x〃矩阵，渔(G)二厂，便有A=FG.证毕.上面的证明中令卩二(巧,匕)其中巧为mxr矩阵，则F二彳；|二(巧,卩2)］；|二巧•因此4二FG中的满列秩矩阵F就是矩阵A的等价分解式中矩阵P的前厂.同理A=FG中的满行秩矩阵G就是矩阵A的等价分解式中矩阵Q的前厂行.例2(续例1)矩阵4如例1所给，且rk(A)=2,由上面的说明可令厂10、2-2<11-1^F=4n,G=I1n.那么，矩阵占的满秩分解为A=FG.-12(010丿d-2丿2广义逆矩阵对行列式不等于零的卩级方阵A我们定义了它的逆矩阵,然后对于线性方程组Ax=b(其中A是〃级方阵，丨A I00,x二(％1,%2,…,Q=(b\,b2,…,bj)的解，可用4“来表示为％=A~r b.对于一般线性方程Ax=b，其中A是mxn矩阵，肌不一定等于〃，即^m=n,I Al也可能等于零，在这种情况下方程组的解是否可用类似于这样的矩阵来表示呢？这就要对一般的mxn矩阵定义它的逆矩阵.1935年和1955年Moore和Penrose给出了以下定义⑸切.定义1nxm矩阵X称为mxn矩阵A的广义逆矩阵,如果X满足以下四个条件:(1)AXA=A,(2)X4X二X,(3)(4X)‘二4X,(4)(X4)‘二X4中的一部分或全部.对于mxn矩阵A，我们将满足定义1中条件(1)的所有的或其中一个A的广义逆矩阵记为如1}，简记作4一，称为4的减号逆矩阵或减号逆;将满足定义1中条件(1)和(2)的所有的或其中一个A的广义逆矩阵记为；等等;而将满足定义1中全部条件的矩阵A的广义逆矩阵1,2,3,4}简记作，称为4的加号逆矩阵或加号逆.设A是矶X孔矩阵，皿(A)二r,如果川的等价分解A=P X000Q,其中P,Q是可逆矩阵，则有A'=卩“，其中E,C,D分别为适当阶数的任意矩阵.可见，对任意的mxn矩阵A,A~存在且有无穷多个称为自反广义逆，且有以下结论:设A是X0 00Q,其中P,Q是可逆矩阵，则A{1,2}=Q1m X n矩阵，皿(A)=r,如果A的等价分解A=BC CB卩二其中E,C分别为适当阶数的任意矩阵P欧阳光:广义逆矩阵及其计算方法以下假定4+,B+存在，称A{1,3}为最小二乘广义逆，且有A{1,3}=A+P a+(I-A+A)U^中P为任意适当阶数的矩阵，巧=A(AN)+4；称A{1,4}为最小范数广义逆，且有A{1,4}=P a.A++U(I-AA+),其中U为任意适当阶数的矩阵.可见它们均可用加号逆表示，因此下面我们着重讨论加号逆矩阵.首先我们有(1)<=A{1,2,3,4}U4{1}=▲「.(2)3)+=4(3)(T=0.(4)如果I A\M0则4十■"•⑸设R=f骨，则珂蔦)定理1设A=巧6卩2，其中巧,卩2都是正交矩阵，如果少存在侧=P2BP；.定理2(存在唯一性)设▲为mx n矩阵，则A+存在且唯一.证明当4=0时，由上面(3)可知0+存在，当AM0时，不妨设泌(A)=r,(rM0)由引理2,存在正交矩阵H,K使得4=彳“°]k,其中I RJ M0,而卜.(00丿(00丿(00丿由定理1A+=k(R1H'=k(R1°]h‘.这就证明了0的存在性下面证明其唯一性30丿{00丿设£,X2为A的加号逆矩阵，那么X]=X1AX1=X1AX2AX1=X^AX^XAXJ'=X^'AXiA=X^'^AX^)'=X x X2A=X i(AX2)'=X1AX2=X1AX2AX2=(X.A)"(x2a)X-ax\ax2x2-(ax.a Y x.'x,=ax2x2=(x2a)x2=x2ax2=x2.唯一性得证，证毕.由广义逆矩阵定义容易验证.定理3对于mXn矩阵A,(A)+=(A+Y引理4设4为mx n矩阵，X]和X2分别为n x s矩阵.那么A AX,=AAX2成立的充分必要条件是=ax2证明注意到对于任意的X e R",AAX=0成立的充分必要条件是AX=0.从而往证4%(禺-X?)=0 成立的充分必要条件是A(X|-X?)=0,只要令X]=(5,012…,a,)e R n,i=l,2,---,s,X2=(仗屆…©),0；w R”,「=1,2,…,s.则AA(X,-X2)=(AA(ai-j SJ,AA(a2-/32),AA(a s-j85)),易见引理4成立.定理4设▲为m x n矩阵，那么(AA)+A=少又(必‘)+A=(A)+.证明H AA(A'A)+AA=A A=A A Z由弓A(AA)+AA=A,由定义可证定理4.定理5设A为mx n矩阵,那么，(AA)+=A\AY又(AA)+=(A)+A+.证明由定理3、定理4有(AA)+=(A'A)+AA(AA)+=A+A(AA)+=A+[(A(AA)+)']'=A+[((AA)+)'A]'=A+((AA)+A')'=A+(A+)'=A+(A)+.由4与4的对称性易得(44)+=(A)+A+.定理6rk(A+)=rk(AA+)=rk(A+A)=rk(A).定理7设▲为mxn矩阵，那么AA+,A+A,I n-A+A,I m-AA+均为無等阵.引理5设A?=▲则”(A)=承(A),其中"(A)表示矩阵A的迹.定理8设A为mxn矩阵,那么図(Z”-A+A)=n-r,中r=図(4).证明因为Z”-A+A,A+A均为幕等阵，由引理5及定理6可得，rk(I n-A+A)=tr(I n-A+A)=tr(I n)-tr(A+A)=n-rk(A+A)=n-rk(A)=n-r,证毕.定理9设A为m X7i矩阵，那么(1)rk(A)=“的充分必要条件是©A=I n；(2)rk(A)=m的充分必要条件是44*=1”.证明仅证(1)即可.充分性:由=Z”及定理6有n=rk(I n)=rk(A+A)=rk(A)泌要性:由定理8及rk{A)-n可知rk{I n-A+A)-n-rk(A)-n-n-0,从而Z”-A+A=0,故A+A-I n.证毕.定理10设A为m X n矩阵，如果rk(A')=zn,那么A*=A(AA)_1.如果rk(A)-n,那么A*=湘南学院学报（自然科学版）2020年4月（第41卷）第2期(XX)_1X3加号逆矩阵的计算方法定理11设mxn矩阵A有满秩分解A=FG，其中F为mXr矩阵，G为rXn矩阵且rk（F）=rk（G）=rk（A）=r么A+=G+F+.证明因为F为mxr矩阵，且rk（F）=r,又G为rXn矩阵，且渔（G）二厂，由定理9有FF二厶，GG*二厶.令X二G F+，我们有AXA=FGG F FG=FG=A,XAX=GFFGGF+=GF+=X,AX=FGGF+=I r.因而(AX)'=AX.又XA=G F FG=G G=(G+G)^二(&4)‘，因此A*二G F+.证毕.定理12设mxn矩阵A有满秩分解A=FG，其中F为mXr矩阵，G为rXn矩阵且rk（F）=rk（G）二皿（A）=r那么A+=G\GG）_1（FF）_1F为任意m x n矩阵加号逆矩阵的计算方法.例3矩阵4如例1所给，由例2有A满秩分解A=FG,其中FG如例2所给,因此,A+厂10、G《GG")T(RF)TF二11J-10丿1~21~2(3_720?0-22-2)1311)lo20~20202133y lo10"10i31110202020J322八52、5参考文献：[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社,198&[2]钱吉林.矩阵及其广义逆[M].武汉:华中师范大学出版社.1990.[3]王松桂，杨振海.广义逆矩阵及其应用[M].北京：北京工业大学出版社,1996.[4]杨桂元.广义逆矩阵的应用[M].北京：高等教育出版社,2007.[5]高珍珍.广义逆矩阵及其应用[J].伊犁师范学院学报（自然科学版）,2011,5（4）：1-7[6]周玉兴，涂火年.几类广义逆矩阵的关系及其应用[J].吉首大学学报（自然科学版）,2015,36（1）：11-13.The Generalized Inverse Matrix and Its Calculation MethodOuyang Guang(School of Mathematics and Finance,Xiangnan University,Chenzhou423000,China)Abstract:In this paper,the general concept of generalized inverse matrix is discussed,and a method for calculating the plus sign inverse matrix is given.Key words:matrix；inverse matrix；generalized inverse matrix；calculation。

§2 矩阵的广义逆一、广义逆矩阵的概念定义1 设任意一个矩阵n m R A ⨯∈，若存在矩阵m n R X ⨯∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。

由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中之多。

本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。

定义2 对矩阵n m R A ⨯∈，一切满足方程组A AXA =的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。

记为-A 。

例如，，都是的减号逆。

下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。

定理1(秩分解) 设A 为n m ⨯矩阵，()rank A r =，若， 或这里P ,Q 分别为n n m m ⨯⨯,的可逆阵，则12221121---⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。

证明 设X 为A 的广义逆，则有Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记则上式，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔00000011r I G r I G =⇔11 于是， 12221121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕.定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。

推论：若A 右逆，则；若A 左逆，则()1112n A Q I G P ---=。

例 1 设, 求-A 。

解 经过初等变换可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00100002100050110010210010010000010000011021001121032I I A 于是，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---21121121121121212241251025110211001100210501t t t t t t t t t t t P G I Q A 其中21,t t 是任意数。

第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。

第六章广义逆矩阵§6.1 投影矩阵一、投影算子与投影矩阵v设L和M都是C n的子空间，且LÅM=C n．于是任意xÎC n都可唯一分解为x=y+z，yÎL，zÎM，称y是x沿着M到L的投影．v定义将任意xÎC n变为沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M ，即PL,Mx=y。

v显然，R(P L,M)=L，N(P L,M)=M．v投影算子P L,M是一个线性算子。

v定义投影算子P L,M在C n的基e1,…,e n下的矩阵称为投影矩阵．记为P。

L,Mv幂等矩阵：A2=Av引理设AÎC n×n是幂等矩阵，则N(A)=R(I-A)。

证明：A2=AÞA(I-A)=OÞ对任意xÎR(I-A),存在yÎC n,x=(I-A)y，必有Ax=0。

故R(I-A)ÌN(A)Þdim R(I-A)£dim N(A)=n-dim R(A)即rank(I-A)£n-rank A。

考虑到I=A+(I-A)Þn£rank A+rank(I-A)有rank(I-A)=n-rank A，使得dim R(I-A)=n-dim R(A)=dim N(A)，即得N(A)=R(I-A)。

v定理：P为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵为投影矩阵，则对任意xÎC n有证明：设P=PL,MP2L,M x = P L,M (P L,M x) = P L,M y = y = P L,M x故P为幂等矩阵。

反之，设P为幂等矩阵n则对任意xÎC有x=x-Px+Px=(I-P)x+Px，其中(I-P)xÎN(P)，PxÎR(P)，使得C n=N(P)+R(P)。

设zÎN(P)∩R(P)，由于N(P)=R(I-P)故存在u，vÎC n使得z=Pu=P2u=P(I-P)v Þz=Pu=(I-P)v=0故N(P)∩R(P)={0}。

广义逆矩阵（Pseudoinverse）在神经网络学习算法中的应用早在20世纪20年代初期，E.H.Moor 就提出了广义逆矩阵的概念，但长期以来广义逆矩阵的研究却没有受到人们的注意。

直到1955年，随着科学技术的迅猛发展，特别是电子计算机的出现，推动了计算科学的进步。

R.Penrose又独立提出广义逆矩阵的概念后，情况才开始发生了变化。

由于广义逆矩阵在测量学，统计学等多领域中得到了广泛应用，产生了巨大的推动力量，使其在之后的近四十年的时间得到了迅猛发展，形成了完整的理论体系。

一．广义逆矩阵若A为非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b的解为x=A1-b，其中A的逆矩阵A1-满足A1-A=A A1-=I(I为单位矩阵)。

若A是奇异阵或长方阵，Ax=b可能无解或有很多解。

若有解，则解为x=Xb+(I-XA)у，其中у是维数与A 的列数相同的任意向量，X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵，用A g-、A-或A1-等符号表示，有时简称广义逆或伪逆。

当A 非奇异时，A1-也满足A A1-A=A，且x= A1-b+(I- A1-A)у= A1-b。

故非异阵的伪逆矩阵就是它的逆矩阵，说明伪逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广。

1955年R.彭罗斯证明了对每个m×n阶矩阵A，都存在唯一的n×m阶矩阵X，满足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)H＝AX；④(XA)H＝XA。

通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵，简称M-P逆，记作A1-。

当A非奇异时，A1-也满足①～④，因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。

在矛盾线性方程组Ax＝b的最小二乘解中，x＝A1-b是范数最小的一个解。

若A是n阶方阵，k为满足（图1）的最小正整数（rank为矩阵秩的符号），记作k=Ind(A)，则存在唯一的n阶方阵X，满足：(1) AkXA=Ak；(2) XAX=X；(3) AX=XA。

通常称X为A的德雷津广义逆矩阵，简称D逆，记作Ad，A(d)或AD等。

广义逆矩阵（Pseudoinverse）在神经网络学习算法中的应用早在20世纪20年代初期，E.H.Moor就提出了广义逆矩阵的概念，但长期以来广义逆矩阵的研究却没有受到人们的注意。

直到1955年，随着科学技术的迅猛发展，特别是电子计算机的出现，推动了计算科学的进步。

R.Penrose又独立提出广义逆矩阵的概念后，情况才开始发生了变化。

由于广义逆矩阵在测量学，统计学等多领域中得到了广泛应用，产生了巨大的推动力量，使其在之后的近四十年的时间得到了迅猛发展，形成了完整的理论体系。

一．广义逆矩阵若A为非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b的解为x=A1-b，其中A的逆矩阵A1-满足A1-A=A A1-=I(I为单位矩阵)。

若A是奇异阵或长方阵，Ax=b可能无解或有很多解。

若有解，则解为x=Xb+(I-XA)у，其中у是维数与A的列数相同的任意向量，X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵，用A g-、A-或A1-等符号表示，有时简称广义逆或伪逆。

当A非奇异时，A1-也满足A A1-A=A，且x=A1-b+(I-A1-A)у=A1-b。

故非异阵的伪逆矩阵就是它的逆矩阵，说明伪逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广。

1955年R.彭罗斯证明了对每个m×n阶矩阵A，都存在唯一的n×m阶矩阵X，满足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)H＝AX；④(XA)H＝XA。

通常称X 为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵，简称M-P逆，记作A1-。

当A非奇异时，A1-也满足①～④，因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。

在矛盾线性方程组Ax＝b的最小二乘解中，x＝A1-b是范数最小的一个解。

若A是n阶方阵，k为满足（图1）的最小正整数（rank为矩阵秩的符号），记作k=Ind(A)，则存在唯一的n阶方阵X，满足：(1)AkXA=Ak；(2)XAX=X；(3)AX=XA。

通常称X为A的德雷津广义逆矩阵，简称D逆，记作Ad，A(d)或AD等。