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《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如y ＝x^α（α 为常数）的函数，叫做幂函数。
其中x 是自变量，α 是常数。
需要注意的是，幂函数的底数 x 前面的系数必须是 1，指数α 是常数。
例如，y ＝ x^2、y ＝ x^（－1)、y ＝ x^（1/2) 等都是幂函数，而 y＝ 2x^2、y ＝ 3^x 等则不是幂函数。
二、幂函数的图像1、当α ＞ 0 时（1）α 为整数当α 为偶数时，幂函数的图像关于 y 轴对称，在区间0, ＋∞）上单调递增，在区间(∞， 0上单调递减。
当α 为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，在区间(∞，＋∞）上单调递增。
（2）α 为分数当α ＝ 1/2 时，幂函数 y ＝ x^（1/2) 的定义域为0, ＋∞），图像在第一象限，是一条上升的曲线。
当α ＝－1/2 时，幂函数 y ＝ x^（－1/2) 的定义域为(0, ＋∞），图像在第一象限，是一条下降的曲线。
2、当α ＜ 0 时幂函数的图像在第一象限内，当 x 趋近于 0 时，函数值趋近于正无穷；当 x 趋近于正无穷时，函数值趋近于 0。
例如，y ＝ x^（－2) 的图像在第一象限内是一条下降的曲线。
三、幂函数的性质1、定义域幂函数的定义域与指数α的值有关。
当α 为正整数时，定义域为 R；当α 为负整数时，定义域为{x ｜ x ≠ 0}；当α 为正分数时，定义域取决于分母的奇偶性；当α 为负分数时，定义域为{x ｜ x ＞ 0}。
2、值域幂函数的值域也与α的值有关。
当α ＞ 0 时，值域为0, ＋∞）；当α ＜ 0 时，值域为(0, ＋∞）。
3、奇偶性根据幂函数的指数α的奇偶性来判断奇偶性。
当α 为奇数时，幂函数为奇函数；当α 为偶数时，幂函数为偶函数。
4、单调性当α ＞ 0 时，幂函数在0, ＋∞）上单调递增；当α ＜ 0 时，幂函数在(0, ＋∞）上单调递减。
四、幂函数的应用1、比较大小在比较幂函数值的大小时，可以根据幂函数的单调性以及指数的大小来进行判断。
《幂函数》讲义一、幂函数的定义一般地，形如\（y ＝x^α\）（＼（α\）为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
其中\（x\）是自变量，＼（α\）是常数。
需要注意的是，在幂函数中，系数必须为\（1\）。
例如，＼（y ＝3x^2\）不是幂函数，而\（y ＝ x^2\）是幂函数。
二、幂函数的图像1、当\（α ＞ 0\）时（1）＼（α ＝ 1\）此时幂函数\（y ＝ x\）的图像是一条经过原点和点\（（1,1)＼）的直线，斜率为\（1\）。
（2）＼（α ＝ 2\）幂函数\（y ＝ x^2\）的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为\（y\）轴，顶点为原点。
（3）＼（α ＝ 3\）幂函数\（y ＝ x^3\）的图像是一条经过原点，在第一、三象限单调递增的曲线。
2、当\（α ＜ 0\）时（1）＼（α ＝－1\）幂函数\（y ＝ x^｛－1} ＝＼frac{1}｛x}＼）的图像是位于第一、三象限的双曲线。
（2）＼（α ＝－2\）幂函数\（y ＝x^｛－2} ＝＼frac{1}｛x^2}＼）的图像是位于第一、二象限，开口向上的抛物线。
通过对不同幂函数图像的研究，我们可以发现幂函数的图像具有多样性，但也存在一些共性特征。
三、幂函数的性质1、定义域幂函数的定义域与指数\（α\）的取值有关。
当\（α\）为正整数时，定义域为\（R\）。
当\（α\）为负整数时，定义域是\（x ≠ 0\）。
当\（α\）为正分数时，可将\（α\）表示为\（＼frac{m}｛n}＼）（＼（m\）、＼（n\）为正整数且互质），若\（n\）为奇数，定义域为\（R\）；若\（n\）为偶数，定义域为\（0, ＋∞）＼）。
2、值域同样，值域也与\（α\）的取值相关。
当\（α ＞ 0\）时，值域为\（0, ＋∞）＼）。
当\（α ＜ 0\）时，值域为\（（0, ＋∞）＼）。
3、单调性当\（α ＞ 0\）时，幂函数在\（0, ＋∞）＼）上单调递增。
高一同步 数学幂函数讲义编号：幂函数一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中 是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 (0,0) ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 增 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 减 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 偶函数 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 奇函数 ．例1：（★☆☆☆☆）写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -= （4）22y x x -=+（5）1122y x x -=+ （6）1124()3()f x x x =+- 解：（1）定义域是R,为奇函数（2）定义域是[0，+∞）,为非奇非偶函数（3）定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）,为偶函数 （4）定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）,为偶函数 （5）定义域是（0，+∞）,为非奇非偶函数 （6）定义域是{0}，既是奇函数又是偶函数分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；1.幂函数的性质： （1）都过点 原点 ；（2）任何幂函数都不过 第四象限； （3）当0α>时，幂函数的图象过（1,1）． 2．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到 上 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 第一 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于y 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 原点 对称． 例2（★☆☆☆☆）：已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1例3：（★★☆☆☆）下图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．解析：法一：由幂函数的图象与性质，n <0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知n (c 1)>n (c 2)>n (c 3)>n (c 4)．故C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.法二：作直线x ＝2分别交C 1，C 2，C 3，C 4于点A 1，A 2，A 3，A 4，则其对应点的纵坐标显然为22,212，2－12，2－2，故n 值分别为2，12，－12，－2.答案：2，12，－12，－2例4：（★★☆☆☆）已知12(21)2(),()a a f x xg x x--==，且11()()22f g >，则实数a 的取值范围是解：根据性质可知12122a a -<-，解得23a <-，答案是：2(,)3-∞-1.幂函数与图像平移函数()a y x m =+的图象可由幂函数ay x =的图象平移得到。
《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如\（y ＝x^α\）（＼（α\）为常数）的函数，称为幂函数。
其中\（x\）是自变量，＼（α\）是常数。
需要注意的是，幂函数的底数是自变量\（x\），指数是常数\（α\），这是幂函数的核心特征。
例如，＼（y ＝ x^2\），＼（y ＝ x^｛1/2}＼），＼（y ＝ x^｛－1}＼）等都是幂函数。
二、幂函数的图像与性质1、当\（α ＞ 0\）时（1）＼（α\）为正整数＼（y ＝ x\）：这是一条过原点和点\（（1,1)＼），斜率为\（1\）的直线。
＼（y ＝ x^2\）：图像是一个开口向上，对称轴为\（y\）轴，顶点在原点的抛物线。
＼（y ＝ x^3\）：图像是经过原点，在\（R\）上单调递增的曲线。
（2）＼（0 ＜α ＜ 1\）＼（y ＝ x^｛1/2}＼）：定义域为\（0, ＋＼infty)＼），图像是在第一象限内单调递增的曲线，类似于抛物线的一部分。
（3）＼（α ＞ 1\）＼（y ＝ x^5\）：图像在\（R\）上单调递增，增长速度比\（y ＝x^3\）更快。
2、当\（α ＜ 0\）时（1）＼（y ＝ x^｛－1}＼）：即\（y ＝＼frac{1}｛x}＼），图像是位于第一、三象限的双曲线，在\（（＼infty, 0)＼）和\（（0, ＋＼infty)＼）上分别单调递减。
（2）＼（y ＝ x^｛－2}＼）：即\（y ＝＼frac{1}｛x^2}＼），图像是位于第一、二象限，关于\（y\）轴对称的曲线，在\（（＼infty, 0)＼）上单调递增，在\（（0, ＋＼infty)＼）上单调递减。
3、当\（α ＝ 0\）时＼（y ＝ x^0 ＝ 1\）（＼（x ＼neq 0\）），图像是除去点\（（0, 0)＼）的\（x\）轴。
三、幂函数的性质总结1、定义域对于\（α\）为正整数，定义域为\（R\）。
对于\（α\）为正分数，分母为偶数时，定义域为\（0, ＋＼infty)＼）；分母为奇数时，定义域为\（R\）。
幂函数含答案知识梳理1、幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. 2、常见的5种幂函数的图象函数特征性质x y =2x y =3x y =21x y =1-=x y定义域 RRR),0[+∞ }0,|{≠∈x R x x 且 值域 R),0[+∞R),0[+∞}0,|{≠∈y R y y 且奇偶性 奇 偶奇非奇非偶奇3、幂函数的性质（1）幂函数在(0，＋∞)上都有定义；（2）当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； （3）当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.（4）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.知识典例题型一 基本定义例 1 若函数2231()(69)m m f x m m x -+=-+是幂函数且为奇函数，则m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．2或4【详解】由题意，函数2231()(69)m m f x m m x -+=-+是幂函数，可得2691m m -+=，解得2m =或4m =， 当2m =时，函数11()f x xx-==，此时函数()f x 为奇函数，满足题意； 当4m =时，函数5()f x x =，此时函数()f x 为奇函数，满足题意，故选D.题型二 大小比较例 2 已知幂函数()()()25mf x m m xm Z =--∈在()0,∞+上单调递减，若622m a -⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，122mb -⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，12mc -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a << 【详解】由于函数()()()25mf x m m xm Z =--∈为幂函数，且在()0,∞+上单调递减，则2510m m m m Z ⎧--=⎪<⎨⎪∈⎩，解得2m =-，11163622222ma ---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11112242222mb ---⎛⎫== ⎪⎛⎫= ⎪ ⎝⎪⎝⎭⎭，()2121222mc ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由于指数函数2xy =在R 上为增函数，因此，c b a <<，故选：B. 题型三 性质应用例 3 已知幂函数f （x ）=)()(2812131m m xm m --+-的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式； （2）解不等式f （x +1）>f （x –2） 【详解】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}， 又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点， 经检验，只有当m=1时符合题意， 所以m=1，此时f （x ）=x –4；（2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x≠0}． 题型四 定点问题例 4 已知幂函数的图象过函数)()(1021≠>-=-m m mx f bx 且的图象所经过的定点，则的值等于（ ） A.B.C.2D.【答案】B 【详解】由于为幂函数，则，解得：，函数，且，当时，，故的图像所经过的定点为，所以，即，解得：,故答案选B题型五 恒成立问题例 5 已知幂函数()()223mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且在区间()0,∞+内是单调递增函数．（1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数()()2g x f x x λ=-，若()0g x <对任意[]1,1x ∈-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）()4f x x =；（2）()3,+∞ 【详解】（1）∵幂函数f （x ）223mm x -++=（m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．∴﹣m 2+2m +3＞0，且﹣m 2+2m +3为偶数， 解得m ＝1， ∴f （x ）＝x 4． （2）函数g （x ）()f x =2x +c ＝x 2+2x λ-，g （x ）<0，化为λ＞x 2+2x ＝（x +1）2-1． ∵g （x ）<0对[]1,1x ∈-恒成立，∴λ＞[（x +1）2-1]max ＝3，当且仅当x ＝1时取等号． ∴实数c 的取值范围是λ＞3．巩固提升1、幂函数222(22)m y m m x -=--在(0,)+∞上增函数，则m =________.【答案】3由于函数为幂函数，所以2221m m --=，解得3m =或1m =-，当1m =-时，函数为1y x =，不满足在(0,)+∞上递增，故舍去.当3m =时，7y x =符合题意.综上所述，m 的值为3.2、幂函数y =x α中α的取值集合C 是{–1，0，12，1，2，3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为 A.{–1，0，12} B.{12，1，2} C.{–1，12，1，3} D.{12，1，2，3} 【详解】根据幂函数y =x –1，y =x 0，y =12x ，y =x ，y =x 2，y =x 3的图象和解析式可知，当α=–1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为{|,0}x x R x ∈≠；当α=12时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为{|,0}x x R x ∈≥；当α=1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R ；当α=3时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R ，故选C ．3、已知α为常数，幂函数f （x ）=x α满足123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f （3）= A.2 B.12C.12-D.–2法二：∵α 为常数，幂函数()f x x α= 满足123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴11233f α⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴132α=∴()1332f α== 故选B ．4、函数2225()(1)m m f x m m x+-=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b ∈R ，且0a b +>，则()()f a f b +的值A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】A 【详解】由已知函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）225mm x +-是幂函数，可得m 2﹣m ﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，当m=2时，f （x ）=x 3；当m=﹣1时，f （x ）=x ﹣6．对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足()()1212f x f x x x -->0，函数是单调增函数，∴m=2，f （x ）=x 3． 又a+b ＞0，∴f （a ）>f （-b ）=-f （b ） 则f （a ）+f （b ）恒大于0． 故选：A ．5、已知幂函数f （x ）=x a 的图象过点则函数g （x ）=（x ﹣1）f （x ）在区间上的最小值是__．【答案】﹣1． 【详解】由幂函数f （x ）=x a 的图象过点（2，），可得2α=，解得α=﹣1，即有f（x）=，函数g（x）=（x﹣1）f（x）=1﹣在区间[，2]上单调递增，则g（x）的最小值为g（）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．6、已知幂函数在上单调递增，函数．（1）求的值；（2）当时，记，的值域分别为集合，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）依题意得：，解得或．当时，在上单调递减，与题设矛盾，故舍去，；（2）由（1）知，，当时，、单调递增，，，，，，故实数的范围．。
高一寒假数学讲义“幂函数的图像与性质（应用）”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。
知识梳理一、幂函数的定义一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。
特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。
二、幂函数的图像α取值范围不同，图像也不相同，α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。
比如幂函数11234,,y x y x y x -===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。
三、 幂函数的性质（1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 （3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数;(3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近.四、 幂函数的运算（一）两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
（二）有理数指数幂 （1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m na a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11(0,,1)mn m nmnaa m n N n a a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质n 为奇数 n 为偶数①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 五、 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．3. 当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当α=pq （其中,pq 互质，p 和q ∈Z ），若p 为奇数q 为奇数时，则y=x pq 是奇函数，若 p 为奇数,q 为偶数时，则y=x pq是偶函数，若 p 为偶数q 为奇数时，则y=x pq 是非奇非偶函数．4. 幂函数的图象特征：幂函数y ＝αx ,x ∈（0，+∞），当α>1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 下方，若 x>1，其图象在直线y=x 上方，当α<1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 上方，若x>1， 其图象在直线 y=x 下方．例题精讲【试题来源】【题目】已知函数f(x)＝(2m 2+m)xm m 12-+为幂函数且是奇函数，则实数m 的值是（ ）【答案】-1【解析】 ∵ 函数f(x)＝(2m 2+m)xm m 12-+为幂函数 ∴2m 2+m=1 m=-1或m=21 当m=-1时，f （x ）=x -1是奇函数，满足题意；当m ＝21时，f (x )＝x 41-不是奇函数，不满足题意；故答案为：-1【知识点】幂函数的图像与性质(应用)；【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】 给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数y=|x+2|-2x在R 上有3个零点；③ 1-x (x −2)≥0的解集为[2，+∞）；④当n ≤0时，幂函数y=x n的图象与两坐标轴不相交；其中正 确的命题是（ ） 【答案】②④【解析】①y=1与幂函数y=x 0的定义域不同，故y=1不是幂函数；②在同一平面坐标系中画出y=2x与函数y=|x+2|的图象，易得两函数的图象共有3个交点，故③函数y=|x+2|-2x在R 上有3个零点正确；③1-x (x−2)≥0的解集为[2，+∞）∪{1}，故不正确；④根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0时，幂函数y=x n的图象与两坐标轴不相交，正确．故为②④． 【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】下列函数在定义域上既是奇函数，又是单调递增函数的是（ ）A. y=x|x| B ．y=e x +e -xC.D.y=x25【答案】A【解析】f （x ）=x|x|的定义域为R ，f （-x ）=-x|-x|=-f （x ）∴函数在定义域上是奇函数，当x ≥0时，y=x 2为增函数，当x ＜0时，y=-x 2为增函数，且函数为连续函数，∴此函数为单调递增函数．故A 正确；B ．f （x ）=e x+e -x的定义域为R ，f （-x ）=e -x+e x即f （x ）=f （-x ），∴此函数是偶函数不是奇函数，故B 错误；C ．当x=0时，f （0）=0，f （-x ）=-f （x ），∵x ＞0，f （x ）=x-1；x ＜0时，f （x ）=x+1．若x ＜0则-x ＞0，f （-x ）=-x-1=-f （x ），若x ＞0则-x ＜0，f （-x ）=-x+1=-f （x ），故对x ∈R ，f （-x ）=-f （x ），即f （x ）奇函数，可举x 1=-1，x 2=21，f （x 1）=0，f （x 2）=-21 ，即x 1＜x 2，f （x 1）＞f （x 2），故C 项错误； D.定义域为x ≥0，所以是非奇非偶函数，错误。
【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】 已知幂函数f(x )＝xm m 42-（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数。
（1）求m 的值和函数f （x ）的解析式（2）解关于x 的不等式f （x+2）＜f （1-2x ）． 【答案】（1）m=2，f （x ）=x -4（2）x ∈(−31，21）∪（21，3） 【解析】（1）幂函数f(x )＝xm m 42-（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数。
所以，m 2-4m ＜0，解得0＜m ＜4，因为m ∈Z ，所以m=2；所以函数的解析式为：f （x ）=x -4．（2）不等式f （x+2）＜f （1-2x ），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数， 所以|1-2x|＜|x+2|，解得x ∈(−31，3） 又因为1-2x ≠0，x+2≠0所以x ∈(−31，21）∪（21，3） 【知识点】幂函数的图像与性质(应用)； 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】若f （x ）是幂函数，且满足)2()4(f f =3，则f （21）=（）A.3B.-3C. 31D.-31 【答案】C【解析】∵f （x ）为幂函数，∴设f （x ）=x a；∴)2()4(f f =24a a=2a =3，而f （21）=2a-=21a =31∴选择C 选项【适用场合】当堂练习 【难度系数】2【试题来源】【题目】对于幂函数f(x)=x 54，若0＜x1＜x2，则(221x x +),2)2()1(x f x f +的大小关系是 （ ）A.(221x x +)>2)2()1(x f x f +B.(221x x +)<2)2()1(x f x f + C.(221x x +)=2)2()1(x f x f + D.无法确定【答案】A【解析】可以根据幂函数f(x)＝x 54在（0，+∞）上是增函数，函数的图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有(221x x +)>2)2()1(x f x f + 由此可得结论． 【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3【试题来源】（2014•漳州一模） 【题目】当α∈{-1，21，1，3}时，幂函数y=x α的图象不可能经过的象限是（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二、四象限【答案】D【解析】画出α=-1，21，1，3时幂函数y=x α的图象， 如图所示，由图象知，上述函数的图象不可能经过的象限是第二、四象限．故选：D ．【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂练习【难度系数】2【试题来源】 【题目】幂函数为减函数，则实数（ ）A ．m=2B ．m= 1C ．m=2或m=1D ．【答案】A【解析】试题分析：幂函数，当时，若，为增函数；当时，为减函数．由题知且，解得．【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂练习 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知幂函数f(x)＝x m 3-(m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足)1(99+-a m<)23(99a m --的a 的取值范围．【答案】a 的取值范围为｛a|a<1或32<a<23｝ 【解析】∵函数f(x)＝x m 3-在(0，＋∞)上递减 ∴m －3<0，解得m<3． ∵m ∈N ＋ 又∵函数的图象关于y 轴对称，∴m －3是偶数 而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m ＝1 而f(x)＝x 991-在（-∞，0），（0，+∞）上均为减函数， ∴)1(99--a m<)23(99a m --等价于:a+1>3-2a>0,或3-2a<a+1<0，或a+1<0<3-2a解得．a<1或32<a<23故a 的取值范围为｛a|a<1或32<a<23｝【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】设a ∈｛-1,1,2,3｝，则使函数的值域为且为奇函数的所值为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，，【答案】A.【解析】从奇函数角度可得的可能值为-1,1,3.又因为值域为R.由于的值域为.所以不符合条件.另外函数的值域都为R.所以选A.【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2【试题来源】【题目】幂函数y ＝x m m 322--（m ∈Z ）的图象如右图所示，则m的值为（ ）A. -1＜m ＜3 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C【解析】 因为幂函数在y ＝xm m 322--(0，＋∞)是减函数，所以m 2-2m-3<0，解得-1<m<3，又m ∈Z ，且函数为偶函数，所以m=1，选C 。
