高中数学人教版必修四课时达标检测(五) 同角三角函数的基本关系 Word版含答案

课时达标检测（五） 同角三角函数的基本关系一、选择题1．已知角α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( ) A.513B ．－513 C.512D ．－512 答案：B2．下列结论中成立的是( )A ．sin α＝12且cos α＝12B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝±22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝1答案：C3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34B ．±310 C.310D ．－310 答案：C4．化简(1＋tan 2α)·cos 2α等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案：C5．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13 答案：C二、填空题6．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 答案：－357．已知0<α<π，sin α＋cos α＝13，则sin α－cos α的值是________． 答案：1738．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________． 答案：2三、解答题9．已知π2<θ<π且sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，求tan θ的值． 解：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 整理得m 2－8m ＝0，∴m ＝0或m ＝8.当m ＝0时，sin θ＝－35，不符合π2<θ<π，舍去， 当m ＝8时，sin θ＝513，cos θ＝－1213，满足题意． ∴tan θ＝sin θcos θ＝－51210．已知α是第二象限角，tan α＝－12，求cos α. 解：∵α是第二象限角，∴cos α<0.由tan α＝sin αcos α＝－12，得sin α＝－12cos α. 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得14cos 2α＋cos 2α＝1，cos 2α＝45. ∴cos α＝－255.11．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．解：因为已知方程有两根，所以⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θcos θ＝m 2， ②Δ＝4＋23－8m ≥0. ③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32， 所以sin θcos θ＝34. 由②，得m 2＝34，所以m ＝32. 由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32. (3)因为m ＝32， 所以原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0. 解得x 1＝32，x 2＝12， 所以⎩⎨⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧ cos θ＝32，sin θ＝12. 又因为x ∈(0,2π)，所以θ＝π3或θ＝π6.。

第5课时同角三角函数的基本关系(1)1.2．能够利用同角三角函数的基本关系进行简单的化简、求值与恒等证明．1．同角三角函数的基本关系式包括：①平方关系：sin2α＋cos2α＝1②商数关系：tanα＝sinαcosα.2．商数关系tanα＝sinαcosα成立的角α的范围是α≠kπ＋π2(k∈Z)．3．sin2α＋cos2α＝1的变形有sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα＝sinαcosα的变形有sinα＝tanα·cosα，cosα＝sinαtanα等．一、选择题1．已知sinα＝45，且α是第二象限角，那么tanα的值是( )A．－43B．－34C.34D.43 答案：A解析：cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43.2.11＋tan23π5化简结果为( )A ．cos 3π5B ．－cos 3π5C ．±cos 3π5D ．－cos 2π5答案：B3．已知sin θ＋cos θ＝1，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．0 答案：C解析：将sin θ＋cos θ＝1两边平方得sin θcos θ＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝0cos θ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0sin θ＝1， 故sin θ－cos θ＝±1.4．已知α、β均为锐角，2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，则sin α的值是( ) A.3 55 B.377C.31010D.13答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.∴sin αcos α＝3，又sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝31010.故选C.5．如果sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是( ) A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1，∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时，sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1才能成立．sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角．6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值为( )A．－2 B．2C．－2或2 D．0答案：D解析：∵角α的终边在x＋y＝0上，∴当α在第二象限时，sinα＝－cosα＝2 2；当α在第四象限时，sinα＝－cosα＝－2 2，∴原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝0.二、填空题7．若sinα＋cosααα＝1，则tanα＝________.答案：－3解析：sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝12，∴tanα＝－3.8．化简：1－2sin20°cos20°＝________. 答案：cos20°－sin20°解析：原式＝sin 220°＋cos 220°－2sin20°cos20° ＝－2＝|cos20°－sin20°|＝cos20°－sin20°.9．如果tan α＝13，π＜α＜32π，则sin αcos α＝________.答案：310解析：sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan α1＋tan 2α＝131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝310. 三、解答题10．已知sin α＝45，求cos α，tan α的值．解：因为sin α>0，sin α≠1，所以α是第一或第二象限角． 由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1－sin 2α＝925.若α是第一象限角，那么cos α>0， 于是cos α＝35，从而tan α＝sin αcos α＝43；若α是第二象限角，那么cos α＝－35，tan α＝－43.11．已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15两边平方，得sin αcos α＝－1225<0，由0<α<π可知：sin α>0，cos α<0，故π2<α<π，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.由π2<α<π知：sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75，联立⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75得sin α＝45，cos α＝－35，所以，tan α＝sin αcos α＝－43.12．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 答案：D解析：等式sin α＋cos α＝23，两边平方得：1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518，而α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，即α是钝角．13．已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k 的值；(2)求tan θ的值(其中sin θ＞cos θ)． 解：(1)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－k ＋， ①sin θ＋cos θ＝－3k 4， ②sin θ·cos θ＝2k ＋18. ③∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1.∴将②、③代入后，得9k 216－2k ＋14＝1，即9k 2－8k －20＝0，解之，得k ＝－10或k ＝2.∵k ＝2不满足①式，故舍去，∴k ＝－109.(2)把k ＝－109，代入②、③得⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝56，sin θ·cos θ＝－1172，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝5＋4712，cos θ＝5－4712，(sin θ＞cos θ)∴tan θ＝sin θcos θ＝5＋475－47＝－72＋104722＝－36＋54711.。

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课时提升作业(五)同角三角函数的基本关系(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.sin α=√55，则sin 2α-cos 2α的值为( )A.-15B.-35C.15D.35【解析】选B.由于sin α=√55，所以cos 2α=1-sin 2α=45，则原式=15-45=-35.【延长探究】本题条件下，求sin 4α-cos 4α的值. 【解析】由sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)(sin 2α-cos 2α)=sin 2α-cos 2α =-35.2.(2021·福建高考)若sin α=-513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B.-125C.512D.-512【解题指南】利用同角三角函数关系，“知一求二”.【解析】选D.由sin α=-513，且α为第四象限角可知cos α=1213，故tan α=sinαcosα=-512.3.(2021·葫芦岛高一检测)已知α是其次象限角，cos α=-13，则3sin α+tan α=( )A.-√2B.√2C.-1D.0 【解析】选D.由于cos α=-13，α是其次象限角，所以sin α=√1−cos 2α=√1−(−13)2=2√23. 所以tan α=sinαcosα=2√23−13=-2√2.所以3sin α+tan α=3×2√23-2√2=0. 4.(2021·重庆高一检测)已知角θ为第四象限角，且tan θ=-34，则sin θ- cos θ=( )A.15B.75C.-15D.-75【解析】选D.由已知得{sinθcosθ=−34,sin 2θ+cos 2θ=1,所以(−34cosθ)2+cos 2θ=1，cos 2θ=1625，又角θ为第四象限角，所以cos θ=45.所以sin θ=-34cos θ=-34×45=-35. 所以sin θ-cos θ=-35-45=-75.5.已知sin α-cos α=-√52，则tan α+1tanα的值为( )A.-4B.4C.-8D.8【解析】选C.tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα.由于sin αcos α=1−(sinα−cosα)22=-18，所以tan α+1tanα=-8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2021·北京高一检测)已知α是其次象限的角，且sin α=513，则cos α=________.【解析】由于α是其次象限的角，且sin α=513，所以cos α=-√1−sin 2α=-√1−(513)2=-1213.答案：-12137.若sin θ=k+1k−3，cos θ=k−1k−3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________.【解析】由于sin 2θ+cos 2θ=(k+1k−3)2+(k−1k−3)2=1，所以k 2+6k-7=0，所以k 1=1或k 2=-7.当k=1时，cos θ不符合，舍去. 当k=-7时，sin θ=35，cos θ=45，tan θ=34.答案：348.已知sinx=3cosx ，则sinxcosx 的值是________. 【解析】将sinx=3cosx 代入sin 2x+cos 2x=1中得9cos 2x+cos 2x=1，即cos 2x=110， 所以sin 2x=1-cos 2x=910， 由于sinx 与cosx 同号，所以sinxcosx>0， 则sinxcosx=√sin 2xcos 2x =310.答案：310三、解答题(每小题10分，共20分) 9.(2021·武汉高一检测)已知tan 2α1+2tanα=13，α∈(π2,π). (1)求tan α的值. (2)求sinα+2cosα5cosα−sinα的值.【解析】(1)由tan 2α1+2tanα=13，得3tan 2α-2tan α-1=0，即(3tan α+1)(tan α-1)=0，解得tan α=-13或tan α=1.由于α∈(π2,π)，所以tan α<0，所以tan α=-13.(2)由(1)，得tan α=-13，所以sinα+2cosα5cosα−sinα=tanα+25−tanα=−13+25−(−13)=516.【延长探究】本例条件下，计算sin 2α+sin αcos α的值.【解析】sin 2α+sin αcos α=sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=(−13)2+(−13)(−13)2+1=-15.10.求证：3-2cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1.【证明】右边=3(tan 2α+1)−2tan 2α+1=3-2tan 2α+1=3-2sin 2αcos 2α+1=3-2cos 2αsin 2α+cos 2α=3-2cos 2α=左边，所以原式得证. 【一题多解】左边=3(sin 2α+cos 2α)−2cos 2αsin 2α+cos 2α=3sin 2α+cos 2αsin 2α+cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1=右边，所以原式得证.(20分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.化简sin 2α+cos 4α+sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14B.12C.1D.32【解析】选C.原式=sin 2α+cos 2α(cos 2α+sin 2α)=sin 2α+cos 2α=1.【补偿训练】若sin α+sin 2α=1，则cos 2α+cos 4α等于________.【解析】由于sin α+sin 2α=1，sin 2α+cos 2α=1，所以sin α=cos 2α，所以cos 2α+cos 4α=sin α+sin 2α=1. 答案：12.(2021·宣城高一检测)已知sin θ=2cos θ，则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于( )A.-43B.54C.-34D.45【解题指南】关于sin θ，cos θ的齐次式，可用1的代换、化弦为切求值. 【解析】选D.由于sin θ=2cos θ，所以tan θ=sinθcosθ=2， sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ =sin 2θ+sinθcosθ−2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ−2tan 2θ+1=22+2−222+1=45.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2021·龙岩高一检测)化简：α为其次象限角，则cosα√1+tan 2α+√1+sinα1−sinα-√1−sinα1+sinα=__________.【解析】原式=cosα√1+2cos 2α+√(1+sinα)21−sin 2α-√(1−sinα)21−sin 2α=cosα·√1cos 2α+|1+sinαcosα|-|1−sinαcosα|.又由于α为其次象限角，所以cos α<0，1+sin α>0，1-sin α>0， 所以原式=1cosα·1−cosα-1+sinαcosα-(−1−sinαcosα)=-1-1+sinαcosα+1−sinαcosα=-1+−2sinαcosα=-1-2tan α.答案：-1-2tan α 【补偿训练】√1−2sin70°cos70°sin70°−√1−sin 270°=________.【解析】原式=√sin 270°+cos 270°−2sin70°cos70°sin70°−√cos 270°=√(sin70°−cos70°)2sin70°−|cos70°|=|sin70°−cos70°|sin70°−|cos70°|由于sin 70°>cos 70°>0， 所以原式=sin70°−cos70°sin70°−cos70°=1.答案：14.已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，则实数m 的值为________. 【解析】设直角三角形中的该锐角为β， 由于方程4x 2-2(m+1)x+m=0中， Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0， 所以当m ∈R 时，方程恒有两实根. 又由于sin β+cos β=m+12，sin βcos β=m4，所以由以上两式及sin 2β+cos 2β=1， 得1+2·m4=(m+12)2，解得m=±√3.当m=√3时，sin β+cos β=√3+12>0，sin β·cos β=√34>0，满足题意， 当m=-√3时，sin β+cos β=1−√32<0，这与β是锐角冲突，舍去. 综上，m=√3. 答案：√3三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2021·盐城高一检测)已知sin α+cos α=12(0<α<π)，(1)求sin αcos α.(2)求sin α-cos α.【解析】(1)平方得1+2sin αcos α=14，所以sin αcos α=-38.(2)由(1)式知sin αcos α<0，0<α<π，所以π2<α<π，所以sin α-cos α>0，由于(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=74，所以sin α-cos α=√72.【补偿训练】在△ABC 中，sinA+cosA=15，求(1)sinA ·cosA. (2)tanA. 【解析】(1)由于sinA+cosA=15，所以(sinA+cosA)2=125，即1+2sinAcosA=125，所以sinAcosA=-1225.(2)由于sinA+cosA=15，①A ∈(0，π)，所以A ∈(π2,π)，所以sinA-cosA>0，又由于(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA =1-2×(−1225)=4925，所以sinA-cosA=75②联立①②解得，sinA=45，cosA=-35，所以tanA=sinAcosA=45−35=-43.6.已知sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，其中θ为锐角，求证：cos θ=√a 2−1b 2−1.【证明】由sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，得sinθtanθ=asinφbtanφ，即acos φ=bcos θ，而asin φ=sin θ，得a 2=b 2cos 2θ+sin 2θ，即a 2=b 2cos 2θ+1-cos 2θ， 得cos 2θ=a 2−1b 2−1，而θ为锐角，所以cos θ=√a 2−1b 2−1.关闭Word 文档返回原板块。

课时作业5.同角三角函数的基本关系时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝(..)A.45B.35C.25D.15解析：由4x 2＋x －3＝0得x ＝－1或x ＝34 又α是锐角，∴tan α>0，sin α>0. ∴tan α＝34，又tan α＝sin αcos α＝34， 且sin 2α＋cos 2α＝1∴sin 2α＋(43sin α)2＝1，解得sin α＝35. 答案：B2．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为(..)A.103B.53C.23D ．－2解析：由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13， ∴1cos 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103. 答案：A3．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值等于(..) A ．0 B ．1 C ．－1D.5－12解析：由sin θ＋sin 2θ＝1， 得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ ＝sin θ＋sin 2θ(sinθ＋sin 2θ) ＝sin θ＋sin 2θ＝1. 答案：B4．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为(..)A.153 B ．－153 C.53D ．－53 解析：由sin A cos A ＝13，得1＋2sin A cos A ＝53 ∴(sin A ＋cos A )2＝53，又A 为三角形的一内角．则由sin A cos A ＝13得sin A >0，cos A >0. ∴sin A ＋cos A ＝53＝153.答案：A5．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝(..) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1解析：将等式sin α－cos α＝2两边平方， 得到2sin αcos α＝－1， 整理得1＋2sin αcos α＝0， 即sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0， 由sin α－cos α＝2和sin α＋cos α＝0， 解得sin α＝22，cos α＝－22， ∴tan α＝sin αcos α＝－1.故选A. 答案：A6．已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin x cos x 等于(..)A.12 B ．－12 C ．2D ．－2解析：由1－sin 2x ＝cos 2x ，可得 1＋sin x cos x ＝－cos x sin x －1＝－12. 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________. 解析：在△ABC 中，tan A ＝23，则sin A cos A ＝23， ∴sin 2A cos 2A ＝29，① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，②由①、②得sin 2A ＝211，即sin A ＝2211.答案：22118．已知f (tan x )＝1cos 2x ，则f (－3)＝________. 解析：f (tan x )＝1cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋1.∴f (－3)＝4. 答案：49．化简1－2sin10°·cos10°sin10°－1－sin 210°的值为________． 解析：原式＝(cos10°－sin10°)2sin10°－cos10°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1. 答案：－1三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．证明：(1)1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x 1－tan x .(2)sin αcos 2α－2sin α＋cos 2αsin α＝sin 5αcos 2α.证明：(1)左边＝cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos xcos 2x －sin 2x＝(cos x ＋sin x )2(cos x －sin x )(cos x ＋sin x ) ＝cos x ＋sin x cos x －sin x＝1＋sin x cos x1－sin x cos x ＝1＋tan α1－tan α＝右边， ∴原等式成立．(2)等式左边＝sin αcos 2α－2sin α＋cos 2αsin α ＝1cos 2α(sin α－2sin αcos 2α＋cos 4αsin α) ＝1cos 2αsin α(1－2cos 2α＋cos 4α) ＝sin α(1－cos 2α)2cos 2α＝sin α·(sin 2α)2cos 2α ＝sin 5αcos 2α＝等式右边， 则原等式成立． 11．已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的角α的集合．解：因为 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α|＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|. 又因为1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，所以2sin α|cos α|＋2sin αcos α＝0，即得sin α＝0或|cos α|＝－cos α≠0， 则α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋32π，k ∈Z ， 所以，角α的集合为：{α|α＝2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．12．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．(1)求sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ的值；(2)求m 的值．解：(1)由根与系数的关系可知sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θcos θ＝m2，则sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①式平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，∴sinθcosθ＝34，∴m＝32.经检验，m＝32满足题意．。

同角三角函數的基本關係教學目標：1．進一步提高學生對三角函數定義的認識，通過本節課的學習，學生能夠利用定義探究同角三角函數的基本關係式．2．鼓勵學生發展實驗觀察、分析聯想等技能，深化數形結合、分類討論和等價轉化的思想，提高學生從特殊到一般的意識，完成此課後學生能夠初步應用同角三角函數基本關係式處理求值、證明和化簡這三類問題．3．培養學生對數學學科的興趣，體驗成果發現的愉悅，完成此課後學生能夠對具體問題開展合作交流、探究學習．教學重點：利用定義、數形結合思想探究發現同角三角函數基本關係式，應用公式解決問題． 教學難點：求值過程中角度範圍問題、恒等式證明的不同角度、化簡最終結果，以及在恒等變形過程中公式的靈活應用．教學方法：探究式、講解法教學用具：常規授課類型：新知課授課時數：1教學過程：一、復習引入：1．在角α的終邊上任取一點(,)P x y ，它與原點的距離為1，請分別寫出角α的正弦、余弦和正切值．2．若角α在第二象限，請分別畫出它的正弦線、余弦線和正切線．3．請分別計算下列各式：（1）22(cos30)(sin 30)_______.︒+︒=（2）22(sin 30)(cos60)______.︒+︒=（3）tan 60_______.︒=（4）sin 60______.cos 60︒=︒二、探究新知：探究1、三角函數是以單位圓上點的座標來定義的.你能從圓的幾何性質出發，討論一下同一個角的三角函數之間的關係？問題1．觀察第3題的結論，你有何發現？問題2．以上結論對任一個角α都成立嗎？你能夠說明嗎？（1）22(sin )(cos )1αα+=對任一個角α都成立； sin tan cos ααα=對任何一個不等於()2k k Z ππ+∈的角α都成立． （2）說明方法1：用三角函數的定義說明（利用定義）說明方法2：用三角函數線說明（數形結合）（3）體會從特殊到一般的認知規律，瞭解同角三角函數關係的幾何意義. 結論：同角三角函數的基本關係：文字語言：同一個角α的正弦、余弦的平方和等於1，商等於角α的正切． 符號語言：平方關係——22sin cos 1αα+=（注意2sin α與2sin α的區別） 商數關係——sin tan (,)cos 2k k Z απααπα=≠+∈ 說明：“同角”有兩層含義：一、“角相同”（22sin 2cos 21αα+=也成立），二、對“任意角”（在使得函數有意義的前提下）關係式都成立．三、新知應用：例1．已知3sin ,5α=-若α是第三象限角，求cos ,tan αα的值．解：變化1、已知3sin ,5α=-求cos ,tan αα的值．變化2、tan ϕ=sin ,cos ϕϕ的值.變化3、已知tan 3α=，求2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+的值．例2．求證：cos 1sin 1sin cos αααα+=- 證法1、由cos 0,sin 1,1sin 0x x x ≠≠-+≠知所以22cos (1sin )cos (1sin )cos (1sin )(1sin )(1sin )(1sin )1sin cos s x x x x x x x x x x x co x ++++=====-+-左右 所以原等式成立.證法2、22(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==1sin 0cos 0cos 1sin 1sin cos x x x x x x-≠≠+∴=-且，點評：證明恒等式常用方法：例3．化簡下列各式：（1）cos tan θθ （2）2(1tan )cos αα+ （3） 100sin 12-點評：（1）公式的“變用”與“逆用”（2）化簡實際上是一種不指定答案的恒等變形，化簡題一定要儘量化成最簡形式，本題不是特殊角，一般無須求出其餘弦值，結果應最簡（最好是常數）． 變化1、已知1sin cos 2αα-=，試求下列各式的值： （1）sin cos αα⋅ （2）44sin cos αα+四、課堂總結：同角三角函數基本關係五、課後作業：六、板書設計：課題----同角三角函數的基本關係 例1 例2 例3七、課後反思：。

1.2.2同角三角函数的基本关系 基础知识和技能训练(四)1．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有( ) A ．sin1>sin1.2>sin1.5 B ．sin1>sin1.5>sin1.2 C ．sin1.5>sin1.2>sin 1 D ．sin1.2>sin 1>sin 1.5解析 π4<1<1.2<1.5<π2，画图易知． 答案 C2．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( ) A ．sin α＋cos α B ．tan α＋sin α C ．cos α－tan αD ．sin α－tan α解析 由α为第二象限角知，sin α>0，tan α<0，由三角函数线知|tan α|>sin α. ∴－tan α>sin α，即sin α＋tan α<0. 答案 B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4 答案 D4．依据三角函数线，作出如下判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8>tan 3π5；④sin 3π5>sin 4π5.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C5．已知角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．x 轴的非正半轴上C ．x 轴上D ．y 轴上 解析 由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cos α＝±1，故角α的终边在x 轴上．答案 C6．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β解析 方法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝60°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．方法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2.若α，β是第一象限角，又sin α>sin β，则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2.∵y 1>y 2，∴α>β.∴cos α<cos β.∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P ′1(x ′1，y ′1)，P ′2(x ′2，y ′2)，其中sin α＝y ′1，sin β＝y ′2，则tan α－tan β＝y ′1x ′1－y ′2x ′2＝x ′2y ′1－x ′1y ′2x ′1x ′2.而y ′1>y ′2>0，x ′2<x ′1<0， ∴－x ′2>－x ′1>0，∴x ′1x ′2>0，x ′2y ′1－x ′1y ′2<0， 即tan α<tan β.∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D. 答案 D7．若角α的正弦线的长度为34，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案 －348．比较大小：sin1155°________sin(－1654°)(填“<”或“>”)． 答案 >9．已知α∈(0,4π)，且sin α＝12，则α的值为________． 解析 作出满足sin α＝12的角的终边，如图：直线y ＝12交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则终边在OA ，OB 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .又α∈(0,4π)，所以α＝π6或5π6或13π6或17π6 答案 π6或5π6或13π6或17π610．在(0,2π)内，使sin α>cos α成立的α的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π11．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线、正切线． 解 如图：α＝7π6的余弦线、正弦线、正切线分别为OM ，MP ，AT . 12．利用三角函数线比较下列各组数的大小． (1)sin 2π3与sin 4π5； (2)tan 2π3与tan 4π5. 解如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan 2π3＝AT ；角4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin 4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′，由图可见，MP >M ′P ′，AT <AT ′，所以(1)sin 2π3>sin 4π5. (2)tan 2π3<tan 4π5.13．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1；(2)sin α＜－12.解 (1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P ′，则OP 和OP ′就是角α的终边，∴∠xOP ＝3π4＝π－π4，∠xOP ′＝－π4，∴满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－π4＋k π，k ∈Z }．①②(2)如图②所示，过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线，交单位圆于点P和P ′，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∴∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， ∴满足条件的所有角α的集合是 {α|7π6＋2k π＜α＜11π6＋2k π，k ∈Z }．。

1．2.3同角三角函数的基本关系式(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？[新知初探]同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan_α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .[点睛] (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)sin 2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π(k ∈Z)成立． [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin 2α3＋cos 2α3＝1都成立．( )(2)对任意角α，sin 2αcos 2α＝tan 2α都成立．( ) (3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，则cos α＝( ) A.45 B ．－45C ．－17D.35答案：A3．已知α是第二象限角，且cos α＝－817，则tan α的值是( )A.817 B ．－817 C.158 D ．－158 答案：D4．已知sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝________. 答案：－512[典例] (1)已知tan α＝2，则 ①sin α＋cos αsin α－cos α＝________；②2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝________； ③4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. (2)已知sin α＝15，求cos α，tan α的值．[解析] (1)①注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的一次齐次式，可将分子分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值．则sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. ②注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的二次齐次式，分子分母同除以cos 2α(∵cos 2α≠0)，则2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9＝2×4－34×4－9＝57. ③似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到sin 2α＋cos 2α＝1，则有4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α1＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α， 这样便使得分子分母均为二次齐次式．同②有4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.答案：①3 ②57③1(2)∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612； 当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612.1．求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子、分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．[活学活用](1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.(2)已知tan α＝2，试求2sin α－3cos αcos α＋sin α的值．解：(1)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352， 因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)由tan α＝2可得sin α＝2cos α，故2sin α－3cos αcos α＋sin α＝4cos α－3cos αcos α＋2cos α＝cos α3cos α＝13.三角函数式的化简[典例](1)化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin2130°.(2)若角α是第二象限角，化简：tan α1sin2α－1.[解](1)原式＝sin2130°－2sin 130°cos 130°＋cos2130°sin 130°＋cos2130°＝|sin 130°－cos 130°| sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.(2)原式＝tan α1－sin2αsin2α＝tan αcos2αsin2α＝sin αcos α×|cos α||sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos αsin α＝－1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．[活学活用]化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)(1－tan θ)·cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ·sin 2θ. 解：(1)原式＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1. (2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.证明简单的三角恒等式[典例] 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] [法一 直接法] 左边＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2α－sin 2α＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2α－tan 2αcos 2α＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2α(1－cos 2α)＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2αsin 2α＝tan α＋sin αtan αsin α＝右边， ∴原等式成立． [法二 左右归一法]左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立． [法三 比较法]∵tan αsin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan αsin α ＝tan 2αsin 2α－(tan 2α－sin 2α)tan αsin α(tan α－sin α)＝tan 2αsin 2α－tan 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α) ＝tan 2α(sin 2α－1)＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α)＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α)＝－sin 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α)＝0，∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. [法四 综合法]∵(tan α－sin α)(tan α＋sin α) ＝tan 2α－sin 2α＝tan 2α－tan 2α·cos 2α ＝tan 2α(1－cos 2α) ＝tan 2α·sin 2α，∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(4)比较法：即证左边－右边＝0或证左边右边＝1.[活学活用]求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 证明：法一：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α) ＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2 ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．法二：∵左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，右边＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α， ∴左边＝右边.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[典例] 已知sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值．[解] 因为sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝14，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝14，所以sin θcos θ＝－38.由上知，θ为第二象限的角， 所以sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ ＝ (sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ＝⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－38＝72.已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； ②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.上述三角恒等式告诉我们，已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．[活学活用]1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．解：∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125.解得sin θcos θ＝1225. ∵0<θ<π，且sin θ·cos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0. ∴sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－60169，求sin θ－cos θ. 解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－60169<0，∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0. ∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫－60169＝ 289169＝1713.层级一 学业水平达标1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( )A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15 C.15 D.35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22. 答案：－22 7．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________.解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝ (sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________. 解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)sin θ－cos θtan θ－1. 解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36° ＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1. (2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ. 10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53， ∴sin α－cos α＝±153. 层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55 B.55C.255 D ．－255 解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1， 得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( ) A.23 B ．－23C.13 D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得 (sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. ∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角， ∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34B ．±310 C.310 D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________. 解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32. 答案：－32 6．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． 解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13， 得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．证明：(1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α ＝sin α＋cos α＝右边，∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α， 右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α， ∴左边＝右边，∴原式成立．。

同角三角函数的基本关系教学目标：1．进一步提高学生对三角函数定义的认识，通过本节课的学习，学生能够利用定义探究同角三角函数的基本关系式．2．鼓励学生发展实验观察、分析联想等技能，深化数形结合、分类讨论和等价转化的思想，提高学生从特殊到一般的意识，完成此课后学生能够初步应用同角三角函数基本关系式处理求值、证明和化简这三类问题．3．培养学生对数学学科的兴趣，体验成果发现的愉悦，完成此课后学生能够对具体问题开展合作交流、探究学习．教学重点：利用定义、数形结合思想探究发现同角三角函数基本关系式，应用公式解决问题． 教学难点：求值过程中角度范围问题、恒等式证明的不同角度、化简最终结果，以及在恒等变形过程中公式的灵活应用．教学方法：探究式、讲解法教学用具：常规授课类型：新知课授课时数：1教学过程：一、复习引入：1．在角α的终边上任取一点(,)P x y ，它与原点的距离为1，请分别写出角α的正弦、余弦和正切值．2．若角α在第二象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线．3．请分别计算下列各式：（1）22(cos30)(sin 30)_______.︒+︒=（2）22(sin 30)(cos60)______.︒+︒=（3）tan 60_______.︒=（4）sin 60______.cos 60︒=︒二、探究新知：探究1、三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的.你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的三角函数之间的关系？问题1．观察第3题的结论，你有何发现？问题2．以上结论对任一个角α都成立吗？你能够说明吗？（1）22(sin )(cos )1αα+=对任一个角α都成立； sin tan cos ααα=对任何一个不等于()2k k Z ππ+∈的角α都成立． （2）说明方法1：用三角函数的定义说明（利用定义）说明方法2：用三角函数线说明（数形结合）（3）体会从特殊到一般的认知规律，了解同角三角函数关系的几何意义.结论：同角三角函数的基本关系：文字语言：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．符号语言：平方关系——22sin cos 1αα+=（注意2sin α与2sin α的区别） 商数关系——sin tan (,)cos 2k k Z απααπα=≠+∈ 说明：“同角”有两层含义：一、“角相同”（22sin 2cos 21αα+=也成立），二、对“任意角”（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立．三、新知应用：例1．已知3sin ,5α=-若α是第三象限角，求cos ,tan αα的值．解：变化1、已知3sin ,5α=-求cos ,tan αα的值．变化2、tan ϕ=sin ,cos ϕϕ的值.变化3、已知tan 3α=，求2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+的值．例2．求证：cos 1sin 1sin cos αααα+=- 证法1、由cos 0,sin 1,1sin 0x x x ≠≠-+≠知所以22cos (1sin )cos (1sin )cos (1sin )(1sin )(1sin )(1sin )1sin cos s x x x x x x x x x x x co x++++=====-+-左右 所以原等式成立.证法2、22(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==1sin 0cos 0cos 1sin 1sin cos x x x x x x-≠≠+∴=-且，点评：证明恒等式常用方法：例3．化简下列各式：（1）cos tan θθ （2）2(1tan )cos αα+ （3） 100sin 12-点评：（1）公式的“变用”与“逆用”（2）化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，化简题一定要尽量化成最简形式，本题不是特殊角，一般无须求出其余弦值，结果应最简（最好是常数）．变化1、已知1sin cos 2αα-=，试求下列各式的值： （1）sin cos αα⋅ （2）44sin cos αα+四、课堂总结：同角三角函数基本关系五、课后作业：六、板书设计：课题----同角三角函数的基本关系 例1 例2 例3七、课后反思：〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。

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1.2.2同角三角函数的基本关系班级：__________姓名：__________设计人：__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了.——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导,会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系：。

商的关系：。

tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝。

2．化简: = .3．已知3sinα+cosα=0,则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角,点P（x，y）为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0）,那么：,请根据三角函数的定义思考下面问题:（1）从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ，t a n 之间的关系式.（2）同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1。

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课时跟踪检测（五) 同角三角函数的基本关系层级一学业水平达标1．（福建高考)若sin α＝－错误!，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A．125B．－错误!C．错误!D．－错误!解析：选D 因为sin α＝－错误!，且α为第四象限角，所以cos α＝错误!，所以tan α＝－错误!,故选D.2．若α为第三象限角，则错误!＋错误!的值为( )A．3 B．－3C．1 D．－1解析:选B ∵α为第三象限角,∴原式＝错误!＋错误!＝－3。

3．下列四个结论中可能成立的是（)A．sin α＝错误!且cos α＝错误!B．sin α＝0且cos α＝－1C．tan α＝1且cos α＝－1D．α是第二象限角时,tan α＝－错误!解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时,sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．4．已知sin α＝错误!，则sin4α－cos4α的值为( ）A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误!解析:选A sin4α－cos4α＝（sin2α＋cos2α）(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×错误!2－1＝－错误!.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝错误!，则三角形是( )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形解析:选B 将sin α－cos α＝错误!两边平方，得1－2sin αcos α＝错误!,即2sin αcosα＝错误!。