九年级数学上册 第二十四章 圆周周练(24.1)习题 (新版)新人教版
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人教版九年级数学上册第24章圆单元测试题(含答案)一.选择题(共10小题)1.下列说法,正确的是()A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径2.如图,在半径为5cm的⊙O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=()A.3cm B.4cm C. 5cm D.6cm(2题图)(3题图)(4题图) (5题图)(8题图)3.一个隧道的横截面如图所示,它的形状是以点O为圆心,5为半径的圆的一部分,M是⊙O 中弦CD的中点,EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD=6,则隧道的高(ME的长)为() A.4 B. 6 C.8 D.94.如图,AB是⊙O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是() A.51°B.56°C.68°D.78°5.如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为() A.25°B.50°C.60°D.30°6.⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm,则点A与圆O的位置关系为( ) A.点A在圆上B.点A在圆内C.点A在圆外D.无法确定7.已知⊙O的直径是10,圆心O到直线l的距离是5,则直线l和⊙O的位置关系是() A.相离B.相交C.相切D.外切8.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和的长分别为()A.2,B.2,πC.,D.2,9.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O的半径为2,∠B=135°,则的长() A.2πB.π C.D.10.如图,直径AB为12的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是()A.12πB.24πC.6πD.36π二.填空题(共10小题)11.如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为.(9题图) (10题图)(11题图) (12题图)12.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为.13.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为的中点.若∠A=40°,则∠B=度.(13题图) (14题图) (15题图) (17题图)14.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(﹣3,0),将⊙P 沿x轴正方向平移,使⊙P与y轴相切,则平移的距离为.15.如图,点O是正五边形ABCDE的中心,则∠BAO的度数为.16.已知一条圆弧所在圆半径为9,弧长为π,则这条弧所对的圆心角是.17.如图,在边长为4的正方形ABCD中,先以点A为圆心,AD的长为半径画弧,再以AB边的中点为圆心,AB长的一半为半径画弧,则两弧之间的阴影部分面积是(结果保留π).18.已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为5,则圆锥的全面积是.19.如果圆柱的母线长为5cm,底面半径为2cm,那么这个圆柱的侧面积是.20.半径为R的圆中,有一弦恰好等于半径,则弦所对的圆心角为.三.解答题(共5小题)21.如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.(1)请证明:E是OB的中点;(2)若AB=8,求CD的长.22.已知:如图,C,D是以AB为直径的⊙O上的两点,且OD∥BC.求证:AD=DC.23.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O 的切线DF,交AC于点F.(1)求证:DF⊥AC;(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22。
第二十四章二次函数周周测1一、选择题〔共16小题〕1.如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为⊙O的直径,AD=6,那么AB 的值为〔〕A.3 B.2C.3D.22.如图,OA是⊙O的半径,弦BC⊥OA,D是⊙O上一点,假设∠ADB=28°,那么∠AOC 的度数为〔〕A.14°B.28°C.56°D.84°3.如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠DCF=20°,那么∠EOD等于〔〕A.10°B.20°C.40°D.80°4.如图,点C,D是半圆上的三等分点,连接AC,BC,CD,OD,BC和OD相交于点E.那么以下结论:①∠CBA=30°,②OD⊥BC,③OE=AC,④四边形AODC是菱形.正确的个数是〔〕A.1 B.2 C.3 D.45.如图,圆心角∠BOC=78°,那么圆周角∠BAC的度数是〔〕A.156°B.78°C.39°D.12°6.如图,点A,B,C,在⊙O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,那么∠BOC等于〔〕A.60°B.70°C.120°D.140°7.如图,▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,∠ADC=54°,连接AE,那么∠AEB的度数为〔〕A.36°B.46°C.27°D.63°8.如图,A、B、C是⊙O上的三点,且∠ABC=70°,那么∠AOC的度数是〔〕A.35°B.140°C.70°D.70°或140°9.以下四个图中,∠x是圆周角的是〔〕A.B.C.D.10.〔2021•龙岩〕如图,A、B、P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,那么弦AB 的长为〔〕A.B.2 C.2D.411.如图,在⊙O中,∠OAB=22.5°,那么∠C的度数为〔〕A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°12.如图,⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,那么∠BCD等于〔〕A.116°B.32°C.58°D.64°13.如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,那么以下结论中正确的选项是〔〕A.AD=AB B.∠BOC=2∠D C.∠D+∠BOC=90°D.∠D=∠B14.如图,在⊙O中,∠CBO=45°,∠CAO=15°,那么∠AOB的度数是〔〕A.75°B.60°C.45°D.30°15.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,那么∠A的度数是〔〕A.40°B.50°C.60°D.100°16.如图,AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,∠BOC=70°,那么∠ABD=〔〕A.20°B.46°C.55°D.70°二、填空题〔共13小题〕17.如图,点A、B、C、D在⊙O上,OB⊥AC,假设∠BOC=56°,那么∠ADB=______度.18.如图,点A、B、C在⊙O上,假设∠C=30°,那么∠AOB的度数为______°.19.如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,那么∠BOD=______.20.〔2021•盘锦〕如图,⊙O直径AB=8,∠CBD=30°,那么CD=______.21.在圆中,30°的圆周角所对的弦的长度为2,那么这个圆的半径是______.22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,假设∠BOC=100°,那么∠BAC=______.23.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点P在线段OA上运动.设∠BCP=α,那么α的最大值是______.24.如图,P是⊙O外一点,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOB=60°,PA、PB分别交于M、N两点,那么∠APB的范围是______.25.如下图⊙O中,∠BAC=∠CDA=20°,那么∠ABO的度数为______.26.点O是△ABC外接圆的圆心,假设∠BOC=110°,那么∠A的度数是______.27.如图,点A、B、C、D都在⊙O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,那么⊙O的直径的长是______.28.如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,那么∠BOC=______度.29.如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O的圆心在格点上,那么∠AED的余弦值是______.三、解答题〔共1小题〕30.〔1〕甲市共有三个郊县,各郊县的人数及人均耕地面积如表所示:人均耕地面积/公郊县人数/万顷A 20B 5C 10求甲市郊县所有人口的人均耕地面积〔精确到0.01公顷〕;〔2〕先化简下式,再求值:,其中,;〔3〕如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E,假设BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.答案一、选择题〔共16小题〕1.A;2.C;3.C;4.D;5.C;6.D;7.A;8.B;9.C;10.C;11.D;12.B;13.B;14.B;15.B;16.C;二、填空题〔共13小题〕17.28;18.60;19.80°;20.4;21.2;22.50°;23.90°;24.0°<∠APB<30°;25.50°;26.55°或125°;27.;28.52;29.;三、解答题〔共1小题〕30.第二十四章二次函数周周测1一、选择题〔共16小题〕1.如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为⊙O的直径,AD=6,那么AB 的值为〔〕A.3 B.2C.3D.22.如图,OA是⊙O的半径,弦BC⊥OA,D是⊙O上一点,假设∠ADB=28°,那么∠AOC 的度数为〔〕A.14°B.28°C.56°D.84°3.如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠DCF=20°,那么∠EOD等于〔〕A.10°B.20°C.40°D.80°4.如图,点C,D是半圆上的三等分点,连接AC,BC,CD,OD,BC和OD相交于点E.那么以下结论:①∠CBA=30°,②OD⊥BC,③OE=AC,④四边形AODC是菱形.正确的个数是〔〕A.1 B.2 C.3 D.45.如图,圆心角∠BOC=78°,那么圆周角∠BAC的度数是〔〕A.156°B.78°C.39°D.12°6.如图,点A,B,C,在⊙O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,那么∠BOC等于〔〕A.60°B.70°C.120°D.140°7.如图,▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,∠ADC=54°,连接AE,那么∠AEB的度数为〔〕A.36°B.46°C.27°D.63°8.如图,A、B、C是⊙O上的三点,且∠ABC=70°,那么∠AOC的度数是〔〕A.35°B.140°C.70°D.70°或140°9.以下四个图中,∠x是圆周角的是〔〕A.B.C.D.10.〔2021•龙岩〕如图,A、B、P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,那么弦AB 的长为〔〕A.B.2 C.2D.411.如图,在⊙O中,∠OAB=22.5°,那么∠C的度数为〔〕A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°12.如图,⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,那么∠BCD等于〔〕A.116°B.32°C.58°D.64°13.如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,那么以下结论中正确的选项是〔〕A.AD=AB B.∠BOC=2∠D C.∠D+∠BOC=90°D.∠D=∠B14.如图,在⊙O中,∠CBO=45°,∠CAO=15°,那么∠AOB的度数是〔〕A.75°B.60°C.45°D.30°15.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,那么∠A的度数是〔〕A.40°B.50°C.60°D.100°16.如图,AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,∠BOC=70°,那么∠ABD=〔〕A.20°B.46°C.55°D.70°二、填空题〔共13小题〕17.如图,点A、B、C、D在⊙O上,OB⊥AC,假设∠BOC=56°,那么∠ADB=______度.18.如图,点A、B、C在⊙O上,假设∠C=30°,那么∠AOB的度数为______°.19.如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,那么∠BOD=______.20.〔2021•盘锦〕如图,⊙O直径AB=8,∠CBD=30°,那么CD=______.21.在圆中,30°的圆周角所对的弦的长度为2,那么这个圆的半径是______.22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,假设∠BOC=100°,那么∠BAC=______.23.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点P在线段OA上运动.设∠BCP=α,那么α的最大值是______.24.如图,P是⊙O外一点,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOB=60°,PA、PB分别交于M、N两点,那么∠APB的范围是______.25.如下图⊙O中,∠BAC=∠CDA=20°,那么∠ABO的度数为______.26.点O是△ABC外接圆的圆心,假设∠BOC=110°,那么∠A的度数是______.27.如图,点A、B、C、D都在⊙O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,那么⊙O的直径的长是______.28.如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,那么∠BOC=______度.29.如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O的圆心在格点上,那么∠AED的余弦值是______.三、解答题〔共1小题〕30.〔1〕甲市共有三个郊县,各郊县的人数及人均耕地面积如表所示:人均耕地面积/公郊县人数/万顷A 20B 5C 10求甲市郊县所有人口的人均耕地面积〔精确到0.01公顷〕;〔2〕先化简下式,再求值:,其中,;〔3〕如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E,假设BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.答案一、选择题〔共16小题〕1.A;2.C;3.C;4.D;5.C;6.D;7.A;8.B;9.C;10.C;11.D;12.B;13.B;14.B;15.B;16.C;二、填空题〔共13小题〕17.28;18.60;19.80°;20.4;21.2;22.50°;23.90°;24.0°<∠APB<30°;25.50°;26.55°或125°;27.;28.52;29.;三、解答题〔共1小题〕30.。
24・1.1 圖01 基础题知识点1圆的有关概念1. 下列条件中,能确定唯一一个圆的是(C)A. 以点O 为圆心B. 以2 cm 长为半径C. 以点O 为圆心,5 cm 长为半径D. 经过点A2. 下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分;②半径是弦:③直径是最长的弦:④弧是半圆,半圆是弧.A ・1个B ・2个 C. 3个 D ・4个3. 过圆上一点可以作出圆的最长眩的条数为(A)A ・1条B ・2条 C. 3条 D.无数条的半径K 为5・知识点2圆中的半径相等6. 如图,MN 为0O 的弦,ZN = 52%则ZMON 的度数为(C)A. 38°D. 104°4. 如图,在<30中,弦有AC, AB.直径是优弧rj ABC, CAB,劣弧有员阮 5.如图,在0O 中,点B 在OO±, 四边形AOCB 是矩形,对角线AC 的氏为5,则OOB. 52°C. 76°7. (朔州月考)如图,在AABC 中,ZACB = 90°, ZA=40°,以C 为圆心,CB 为半径的圆 交 AB T 点 D,连接 CD,则ZACD = (A)A. 10°C. 20°=40°. = ZC.求证:CE=BF.证明:TOB, OC 是。
O 的半径,・・・OB=OC.又・・・ZB=ZC, ZBOE=ZCOF, /. AEOB^AFOC(ASA).・・・OE=OF.・・・OE+OC=OF+OB,即 CE=BF.10. 如图,CE 是。
O 的直径,AD 的延长线与CE 的延长线交于点B,若BD = OD, ZAOC = 114。
,求ZAOD 的度数.B. 15° D. 25°8.如图,AB 为00的直径,点C,9.如图,AB, AC 为。
O 的弦,分别交弦AB, AC 于点E, F, ZB则 ZAOD解:设ZB = x.VBD=OD,:、ZDOB = ZB=x.・•・ ZADO= ZDOB+ ZB = 2x.VOA = OD,/. ZA= ZAD0=2x.VZAOC=ZA+ZB,・・・2x+x=114。
人教版九年级数学上册第24章《圆》测试卷1(附答案)时间:100分钟总分:120分一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知⊙O与点P在同一平面内,如果⊙O的半径为5,线段OP的长为4,则点P( )A.在⊙O上B.在⊙O内C.在⊙O外D.以上答案都不正确2.若半径为5c m的一段弧长等于半径为2c m的圆的周长,则这段弧所对的圆心角为( )A.144°B.132°C.126°D.108°3.如图,一个直角三角尺的30°角的顶点P落在⊙O上,两边分别交⊙O于A,B两点,若⊙O的直径为4,则弦AB长为( )A.2B.3C.√2D.√3第3题图第4题图第5题图第6题图4.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是( )A.AG=BGB.AD//BCC.AB//EFD. ∠ABC= ∠ADC5.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的高AO=8m,底面半径OB=6m,则圆锥的侧面积是( )A.60πm²B.50π m²C.47.5π m²D.45.5π m²6. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为( )A.45°B.50°C.60°D.75°7. 已知⊙A与⊙B外切,⊙C与⊙A,⊙B都内切,且AB=5,AC=6,BC=7,那么⊙C的半径长是( )A.11B.10C.9D.88.如图,⊙P与x轴交于点A(-5,0),B(1,0),与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB=60°,则点P的坐标为( )A.(-3, √3)B.(-2, √3,)C.(-3, 3√3)D.(-2, 3√3)第8题图第9题图第10题图9.如图,用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为2),设经过图中M,P,H三点的圆弧与AH交于点R,则图中阴影部分的面积为( )A.3π-2B.2π-5C.5π2--5 D. 5π4-5210. 如图,⊙O的半径为5,点A是⊙O上一定点,点B在⊙O上运动,且∠ABM =30°,AC⊥BM于点C,连接OC,则OC的最小值是( )A. 3−√32B.√32C. √33D.5√32−52二、填空题(每小题3分,共15分)11.已知某个正六边形的周长为6,则这个正六边形的边心距是__________.12.如图所示,在“世界杯”足球比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他带球冲到点A时,同伴乙已经成功冲到点B,现在有两种射门方式:第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门.仅从射门角度大小考虑,应选择第______种射门方式.第12题图第13题图第14题图第15题图13.用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若OA = 2,则四叶幸运草的周长是________.14. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧AB,点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40m,C是弧AB的中点,且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为_________ m.15. 如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,OA = 4,射线AM⊥OA,E为弧AB上的一个动点,过点E作EF⊥AM于点F,连接AE,当AE-EF的值最大时,图中阴影部分的面积为______.三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)16.(8分)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且CO=CD,求∠PCA的度数.17.(9分)如图,矩形ABCD中,AB=2BC,以AB为直径作⊙O.(1)求证CD是OO的切线.(2)若BC=3,连接BD,求阴影部分的面积.(结果保留π)18.(9分)下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程..已知:⊙O及⊙O外一点P.求作:直线P A和直线PB,使P A切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.作法:如图.OP的长为半径作弧,两弧分别交于点M,N;①连接OP.分别以点O和点P为圆心,大于12②连接MN,交OP于点Q,再以点Q为圆心,OQ的长为半径作弧,交⊙O于点A和点B;③作直线P A和直线PB.所以直线P A和PB就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程解答下列问题:(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明:连接OA,OB . ∵OP是⊙Q的直径,∴∠OAP=∠OBP =______°( ) (填推理的依据).∴P A⊥OA , PB⊥OB .∵OA,OB为⊙O的半径,∴P A,PB是⊙O的切线.̂上,连19.(9分)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BCD=120°,点E在AD接AE,DE.(1)求∠AED的度数;(2)连接OA,OD,OE,当∠DOE=90°时,AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边,求n的值.̂=BĈ= AĈ,点E是BC上的一点,20.(9分)如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB连接AE,过点B作BD//AE交⊙O于点D,连接CD交AB于点F.(1)求证:AF=BE.(2)若∠CAE=15°,请仅用无刻度的直尺在图中作出一个⊙O的内接等腰直角三角形(保留作图痕迹,不写作法).̂的中点,N是AĈ的中点,弦MN分别交21.(10分)如图,AB,AC是⊙O的两条弦,M是ABAB,AC于点P,D.(1)求证AP=AD.(2)连接PO,若AP=3,OP=√10,⊙O的半径为5,求MP的长.22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点(点C不与A,B重合),连接CA,CB,∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D.(1)求∠ACD的度数;(2)探究CA,CB,CD三者之间的等量关系,并证明;(3)E为⊙O外一点,满足ED=BD,AB=5,AE =3,若P为AE中点,求PO的长.23.(11分)如图,AB是⊙O的直径,PC切⊙O于点P,过点A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D,连接P A,PB,PO.(1)求证:AP平分∠CAB;(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点。
人教版初中数学重点知识精选掌握知识点,多做练习题,基础知识很重要!人教版初中数学和你一起共同进步学业有成!第二十四章二次函数周周测2一、选择题(每小题3分.共30分)1.如图.AB是⊙O的弦,∠AOB= 90°.若OA = 4,则AB的长为( )4√22√33√2A.4B.C.D.第1题图第2题图第3题图2.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm.M是AB上任意一点,且OM的最小值为3.则⊙O的半径为( )A. 4cmB. 5cmC.6cmD. 8crn 3.如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠AOB+∠ACB=90°.则∠ACB的大小是( )A.20°B. 25°C. 30°D. 40°4.如图,四边形ABCD是国内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是( )A. 115°B. 105°C. 100°D. 95°第4题图第5题图第6题图5.如图.⊙O的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=4.∠AP0=30°.则弦AB的长为( )2√5√52√13√13A. B. C. D.6.如图.⊙O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且AB= CD,已知CE=2,ED=8.则⊙O的半径是( )A.3B.4C.5D.√347.如图,一个圆形人工湖如图所示,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m,测得圆周角∠ACB= 45°,则这个人工湖的直径AD长为( ) m B. m C. m D. mA.50√2100√2150√2200√2第7题图第8题图第9题图8.如同.AB是⊙O的直径,AB=10,弦AC=8,O⊥AC于E,交⊙O于D,许诺BE,则BE的长为( )√132√2A. B. C.5 D.69-如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB,AC于D,E,若∠DOE=60°,AD=~ ,则AC的长为( )√32√22√3A. B. 2 C. D.10.如图,△ABC中,∠BAC=90°.AB=AC=2.D为AC上—动点,以AD为直径的⊙O 变BD于E.则线段CE的最小值为( )√55+1 2√5√5‒1A.B.C.D.二、填空题(每小题3分,共18分)11.⊙O上一点C,且∠BOC=44°,则∠A的度数为.第11题图第12题图第13题图12.如图.AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB.ON⊥AC.垂足分别为M、N,如果MN =3.那么BC= .13.如图.AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,∠AOD=130°,BC∥OD交⊙O于C.则∠A的度数是.14.如图所示,在⊙O中,已知∠BAC=∠CDA=25°。
人教版 九年级数学 第24章 圆 培优训练一、选择题1. 如图,BC 是半圆O 的直径,D ,E 是上两点,连接BD ,CE 并延长交于点A ,连接OD ,OE ,如果∠A=70°,那么∠DOE 的度数为( )A .35°B .38°C .40°D .42°2. 如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ABD =59°,则∠C 等于( )A .29°B .31°C .59°D .62°3. 如图,在⊙O 中,AB ︵=CD ︵,∠1=45°,则∠2等于( )A .60°B .30°C .45°D .40°4. 2019·唐山乐亭期末如图,圆锥的底面半径OB =6 cm ,高OC =8 cm ,则这个圆锥的侧面积是( )A .30 cm 2B .60π cm 2C .30π cm 2D .48π cm 25. 已知⊙O的面积为9π cm2,若点O 到直线l 的距离为π cm ,则直线l 与⊙O的位置关系是( ) A .相交B .相切C .相离D .无法确定6. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成,在从正面看到的形状图中(如图②),∠A =90°,∠ABC =105°.若上面圆锥的侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为( )A .2 B. 3C.32D.27. 已知正六边形的半径为r ,则它的边长、边心距、面积分别为( ) A.233r ,r ,3r 2 B .r ,r2,23r 2 C.33r ,r ,3r 2D .r ,3r 2,332r 2二、填空题8. 【题目】(2020·营口)一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为 .9. 如图,AB 为⊙O的直径,CD ⊥AB.若AB =10,CD =8,则圆心O 到弦CD 的距离为________.10.若若若若若若若若若若若若3 cm 若若若若若若若若若若若若120°若若若若若若若若若________cm .11. 如图所示,有一直径是2 米的圆形铁皮,现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC ,则: (1)AB 的长为________米;(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥,所得圆锥的底面圆的半径为________米.12.(2019•河池)如图,PA 、PB 是的切线,A、B 为切点,∠OAB=38°,则∠P=__________.13. (2020·福建)一个扇形的圆心角是90︒,半径为4,则这个扇形的面积为______.(结果保留π)14. (2019•十堰)如图,为半圆的直径,且,将半圆绕点顺时针旋转,点旋转到点的位置,则图中阴影部分的面积为__________.三、解答题15. 当汽车在雨天行驶时,司机为了看清楚道路,要启动前方挡风玻璃上的雨刷.如图是某汽车的一个雨刷的转动示意图,雨刷杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接(不能转动),当杆AB 绕点A 转动90°时,雨刷CD 扫过的面积是图中阴影部分的面积,现量得CD =90 cm ,∠DBA =20°,AC =115 cm ,DA =35 cm ,试从以上信息中选择所需要的数据,求出雨刷扫过的面积.O ︒AB 6AB =A 60︒B C16. (2020·临沂)若若1O若若若若1r若2O若若若若2r.若1O若若若若若12r r+若若若若若若若若若若若若12O O若若若P若若若若若1212O O若若若若若若若若若若若若若A若若若1O A若2O A若1O A若1O若若B若若若B若2O A若若若若BC若12O O若若C.若1若若若若BC若2O若若若若若2若若12r=若21r=若126O O=若若若若若若若若若.17. (2019•辽阳)如图,是⊙的直径,点和点是⊙上的两点,连接,,,过点作射线交的延长线于点,使.(1)求证:是⊙的切线;(2)若,求阴影部分的面积.BE O A D OAE AD DE A BE C EAC EDA∠=∠AC OCE AE==人教版九年级数学第24章圆培优训练-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]∵∠A=70°,∴∠B+∠C=110°,∴∠BOE+∠COD=220°,∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°,故选C.2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】B5. 【答案】C[解析] 由题意可知,圆的半径为3 cm.∵圆心到直线l的距离为π cm>圆的半径3 cm,∴直线l与⊙O相离.故选C.6. 【答案】D[解析] ∵∠A=90°,∠ABC=105°,∴∠ABD=45°,∠CBD=60°,∴△ABD是等腰直角三角形,若CBD是等边三角形.设AB的长为R,则BD的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1,即1=12lR,∴l=2R,∴下面圆锥的侧面积为1 2·2R·2R= 2.故选D.7. 【答案】D二、填空题8. 【答案】15【解析】在圆锥中,底面半径r,高h,母线长l满足r2+h2=l2,因为r=3,h=4,可求得l=5(负值舍去).而圆锥的侧面积公式是S侧=rl,所以上述圆锥侧面积为×3×5=15.9. 【答案】310. 【答案】9若若若若若n若360rl若120若360×3l若若若l若9.11. 【答案】(1)1(2)14 [解析] (1)如图,连接BC.∵∠BAC =90°,∴BC 为⊙O 的直径,即BC = 2. ∵AB =AC ,AB2+AC2=BC2=2, ∴AB =1(米).(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米. 根据题意,得2πr =90·π·1180,解得r =14.12. 【答案】76【解析】∵是的切线,∴, ∴,∴, ∴,故答案为:76.13. 【答案】π4【解析】本题考查了扇形面积的计算,S=2904360π⨯=π4.14. 【答案】【解析】由图可得,图中阴影部分的面积为:,故答案为:.三、解答题15. 【答案】解:由题意可知若ACD ≌△AC′D′,所以可将若AC′D′旋转到若ACD 处,使阴影部PA PB 、O PA PB PA OA =⊥,90PAB PBA OAP ∠=∠∠=︒,90903852PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒180525276P ∠=︒-︒-︒=︒6π22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=6π分面积成为一部分环形面积,可通过两扇形面积之差求得, 即雨刷CD 扫过的面积S 阴影=S 扇形ACC′-S 扇形ADD′=90π×1152360-90π×352360=π4(115+35)×(115-35)=3000π(cm2). 答:雨刷扫过的面积为3000π cm2.16. 【答案】证明:(1)连接AP ,过点2O 作直线BC 的垂线,垂足为点M ,如下图:∵线段12O O 的中点是点P ,以1212O O 的长为半径画弧∴121212O P O P AP O O ===∴∠PAO1=∠PO1A ,∠PAO2=∠PO2A ,∴∠O1A O2=∠PAO1+∠PAO2=90°∴△O1A O2是直角三角形∵2O A BC ∴∠O1A O2=∠ABC =90°又∵∠O2MB=90°∴四边形ABM O2是平行四边形∴O2M =AB= O1A -O1B=2r ∴BC 是2O 的切线;(2)∵12r =,21r =,126O O =, ∴O1A =123r r +=又∵∠O1A O2=90°∴cos ∠A O1 O2=1123162O A O O ==∴∠A O1 O2=60° 在Rt △B O1 C中:1tan602BC BO =⨯==设O1 O2与1O 的交点为点N ,则阴影部分的面积为:11216022==223603BO CBO N S SS ππ⨯-⨯⨯=阴影扇形.【解析】(1)证切线常用的方法有“作垂线证半径”和“作半径证垂直” ,考虑到题目中的已知条件,用“作垂线证半径”更简便一些,为此我们可以过点2O 作直线BC 的垂线,垂足为点M ;同时考虑到∠O1A O2可能是直角,可以连接AP 用等腰三角形的等角对等边和三角形内角和定理进行证明;条件中还给出了平行线,因此可以证明∠ABC =90°,则四边形ABM O2是平行四边形,最后证明O2M =AB= O1A -O1B=2r ,问题得以解决.MNM(2)求阴影部分的面积,可以根据割补法来求.解决问题的关键是分别求出△BO1C 和扇形BO1N 的面积,根据已知条件,可以先求出O1A =123r r +=,然后根据三角函数求出∠A O1 O2的度数,需要的数据再通过三角函数求出,问题得解.17. 【答案】(1)如图,连接,过作于,∴, ∴, ∵,∴,∵,∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴是⊙的切线. (2)∵, ∴, ∵, ∴, ∵,,OAO OF AE ⊥F 90AFO ∠=︒90EAO AOF ∠+∠=︒OA OE =12EOF AOF AOE ∠=∠=∠12EDA AOE ∠=∠EDA AOF ∠=∠EAC EDA ∠=∠EAC AOF ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒EAC EAO CAO ∠+∠=∠90CAO ∠=︒OA AC ⊥ACO CE AE ==C EAC ∠=∠EAC C AEO ∠+∠=∠2AEO EAC ∠=∠OA OE =AEO EAO ∠=∠∴, ∵, ∴,, ∴是等边三角形, ∴,, ∴,∴,在中,, ∴, ∴阴影部分的面积.2EAO EAC ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒30EAC ∠=︒60EAO ∠=︒OAE △OA AE =60EOA ∠=︒OA=2πAOE S =扇形Rt OAE△sin 3OF OA EAO =⋅∠==11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△=2π-。
最新人教版九年级数学上册第24章同步测试题及答案第二十四章圆24.1.1圆的有关性质1. 下列说法中,正确的是()A. 弦是直径B. 半圆是弧C. 过圆心的线段是直径D. 圆心相同半径相同的两个圆是同心圆2. 如图,在⊙O中,点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上,则图中有()条弦。
A. 2B. 3C. 4D. 53. 过圆内一点可以做圆的最长弦()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4. 顺次连接圆内两条相交直径的4个端点,围成的四边形一定是( )A. 梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形5. 如图,AB是☉O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,则BC=_____.6. 已知:如图,OA,OB为☉O的半径,C,D分别为OA,OB的中点,求证:AD=BC.7. 如图所示,BD,CE是△ABC的高,求证:E,B,C,D四点在同一个圆上.8. 下列说法中,正确的是( )A. 两个半圆是等弧B. 同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C. 长度相等的弧是等弧D. 同圆中优弧与劣弧的差必是优弧9. 等于圆周的弧为( )A. 劣弧B. 半圆C. 优弧D. 圆10. 如图,☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为_____.11. 如图,圆中以A为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条.12. 如图,在☉O中,线段AB为其直径,为什么直径AB是☉O中最长的弦?13. 若☉O的半径是12cm,OP=8cm,求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.14. 【错在哪?】作业错例课堂实拍若☉O的半径为4,点P到☉O上一点的最短距离为2,求点P到☉O上一点的最长距离.(1)错因: .(2)纠错: .答案1. 【答案】D【解析】过圆心的弦是直径,不是所有的弦都是直径,故A选项错误;圆上任意两点间的部分是弧,故半圆是弧,故B正确;过圆心的弦是直径,故C选项错误;圆心相同,半径不等的两个圆是同心圆,故D错误,所以本题选B.考点:圆的有关定义.2. 【答案】B【解析】根据弦的概念,AB、BC、EC为圆的弦,共有3条弦.故选:B.3.【答案】A【解析】圆的最长的弦是直径,直径经过圆心,过圆上一点和圆心可以确定一条直线,所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条.故选:A.4.【答案】C【解析】根据直径所对的圆周角是直角,可知所围成的四边形四个角都是直角,根据有三个角是直角的四边形是矩形,可判断此四边形是矩形,所以选C.考点:特殊四边形的判定.5. 【答案】8【解析】∵AB是⊙O的直径,AC是弦,D是AC的中点,∴AD=CD,OA=OB,即OD是△ABC的中位线,∴BC=2OD=2×4=8.故答案为:8.6. 【答案】证明见解析.【解析】已知OA,OB为⊙O的半径.且有公共角∠O,则可以利用SAS证明△AOD≌△BOC,根据全等三角形的对应边相等得到AD=BC .证明:∵OA,OB 为⊙O 的半径,C ,D 分别为OA ,OB 的中点,∴OA=OB,OC=OD .在△AOD 与△BOC 中,{OA =OB∠O =∠O OD =OC,∴△AOD≌△BOC(SAS ).∴AD=BC.考点: 全乖三角形的判定与性质.7. 【答案】证明见解析.【解析】求证E ,B ,C ,D 四点在同一个圆上,△BCD 是直角三角形,则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上,因而只要再证明F 到BC 得中点的距离等于BC 的一半就可以.证明:取BC 的中点F,连接DF,EF.∵BD,CE 是△ABC 的高,∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形.∴DF,EF 分别为Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线,∴DF=EF=BF=CF.∴E,B,C,D 四点在以点F 为圆心,12BC 为半径的圆上.8. 【答案】B【解析】A.两个半圆的半径不一定相等,故错误;B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧,正确;C.长度相等的弧是等弧,错误;D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧,故错误,故选:B.9. 【答案】C【解析】大于半圆的弧叫优弧,小于半圆的弧叫劣弧,直径所对的两条弧是半圆,等于圆周的弧叫做圆.故选:D.10. 【答案】2【解析】弦是连接圆上任意两点的线段,由图可知,点A. B. E. C 是⊙O 上的点,图中的弦有AB 、BC 、CE ,一共3条.故答案为:2.11. 【答案】 (1). 3 (2). 3【解析】根据优弧、劣弧的概念,优弧有:AEC 、AEB 、ABC ,共3条;劣弧有:AB 、AC 、AE ,共3条. 故答案为:3;3.12. 【答案】理由见解析.【解析】根据圆的有关概念辨析可得,如图,CD 为⊙O 中非直径的任意一条弦,连接OC ,OD ,则OC+OD>CD,而OC,OD为⊙O的半径,所以直径>CD,即直径AB为⊙O中最长的弦.解:如图,CD为⊙O中非直径的任意一条弦,连接OC,OD,则OC+OD>CD,而OC,OD为⊙O的半径,∴直径>CD,即直径AB为⊙O中最长的弦.13.【答案】4cm,20cm.【解析】依据题意画出图形,则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定.解:如图,点P到圆上各点的距离中最短距离为:12-8=4(cm);最长距离为:12+8=20(cm).点睛:本题考查了点与圆的位置关系,正确进行讨论是关键.14. 【答案】(1)漏掉了点在圆外的情况;(2)当点在☉O的外部时,点P到圆上一点的最长距离为4×2+2=10【解析】(1)本题是有关点与圆的位置关系的问题,牢记点与圆的位置关系是解题关(2)根据点P在圆内,和圆外,分两种情况画出图形,进行计算即可.解:(1)漏掉了点在圆外的情况;(2)①点P在圆内;如图1,∵AP=2,∴AB=4×2=8,∴BP=6.②点P在圆外;如图2,∵AP=2,∴AB=4×2=8,∴BP=10.∴点P到⊙O的最长距离是6或10.24.1.2垂直于弦的直径一、选择题1. 如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是().A. CE=DEB.C. ∠BAC=∠BADD. AC>AD2. ⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是()A. 4B. 6C. 7D. 83. 在⊙O中,P是弦AB的中点,CD是过点P的直径,则下列结论中不正确的是()A. AB⊥CDB. ∠AOB=4∠ACDC. AD=BDD. PO=PD4. 下面四个判断中正确的是().A. 过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,有最长的弦,没有最短的弦B. 过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,有最短的弦,没有最长的弦C. 过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,有且只有一条最长的弦,也有且只有一条最短的弦D. 过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,既没有最长的弦,也没有最短的弦5. 下列命题中,不正确的命题是()A. 平分一条弧的直径,垂直平分这条弧所对的弦B. 平分弦的直径垂直于弦,并平分弦所对的弧C. 在⊙O中,AB、CD是弦,则AB CDD. 圆是轴对称图形,对称轴是圆的每一条直径.6. 下列说法正确的是()A. 直径是弦,弦是直径B. 半圆是弧C. 无论过圆内哪一点,只能作一条直径D. 在同圆中直径的长度是半径的2倍7. 如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段OM长的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 58. 过⊙O内一点M的最长弦为10cm,最短弦长为8cm,则OM的长为()A. 9cmB. 6cmC. 3cmD. √41cm9. 将半径为4cm的圆折叠后圆弧正好经过圆心,问折痕长()A. 4√3cmB. 2√3cmC. √3cmD. √2cm10. 如图,的直径垂直弦于,且是半径的中点,,则直径的长是().A. 2√3cmB. 3√2cmC. 4√2cmD. 4√3cm11. 下列命题中,正确的是().A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径.B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦.C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心.D. 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.12. 如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为( )A. 5米B. 8米C. 7米D. 5√3米13. ⊙O的半径为5cm,弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A. 1 cmB. 7cmC. 3 cm或4 cmD. 1cm 或7cm14. 已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上,如果底边BC的长为8,那么BC边上的高为( )A. 2B. 8C. 2或8D. 3二、填空题15. 已知AB是⊙O的弦,AB=8cm,OC⊥AB与C,OC=3cm,则⊙O的半径为________cm16. 在直径为10cm的圆中,弦 AB的长为8cm,则它的弦心距为________cm.17. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦,那么这条弦的弦心距等于 ________.18. 已知AB是⊙O的弦,AB=8cm,OC⊥AB与C,OC=3cm,则⊙O的直径________cm.19. 如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD ,垂足为E ,若∠COD=120°,OE=3厘米,则CD=________厘米.20. 半径为6cm的圆中,垂直平分半径OA的弦长为________cm.三、解答题21. 已知⊙O的弦AB长为10,半径长R为7,OC是弦AB的弦心距,求OC的长22. 已知⊙O的半径长为50cm,弦AB长50cm.求:点O到AB的距离23. 如图,直径是50cm圆柱形油槽装入油后,油深CD为15cm,求油面宽度AB。
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24.1.4 圆周角测试时间:30分钟一、选择题1。
(2017黑龙江哈尔滨中考)如图,☉O中,弦AB、CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是()A.43°B。
35°C。
34° D.44°2。
(2017贵州黔东南州中考)如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为()A。
2 B.—1 C。
D。
43.(2017山东潍坊中考)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.90°4。
如图,AB是☉O的直径,弦BC=2 cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B方向运动(到点B终止运动),设运动时间为t(s),连接EF,当△BEF是直角三角形时,t=( )A。
1 s B。
第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆01 基础题知识点1 圆的有关概念圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径);到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.如图,在圆O 中,弦有AC ,AB ,半径有OA ,OB ,OC ,直径是AB ,ABC ︵,CAB ︵是优弧,劣弧有AC ︵,BC ︵,半圆是AB ︵,OA =OB =OC .1.下列条件中,能确定一个圆的是(C )A .以点O 为圆心B .以2 cm 长为半径C .以点O 为圆心,以5 cm 长为半径D .经过点A2.下列命题中正确的有(B )①弦是连接圆上任意两点的线段;②半径是弦;③直径是圆中最长的弦;④弧是半圆,半圆是弧. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.如图所示,在⊙O 中,弦有AC ,AB ,直径是AB ,优弧有ABC ︵,CAB ︵,劣弧有AC ︵,BC ︵.第3题图 第4题图4.如图,在⊙O 中,点B 在⊙O 上,四边形AOCB 是矩形,对角线AC 的长为5,则⊙O 的半径长为5.知识点2 圆中的半径相等5.如图,AB 是⊙O 的直径,∠C=20°,则∠BOC 的度数是(A )A .40°B .30°C .20°D .10°第5题图 第6题图6.如图,已知AB ,CD 是⊙O 的两条直径,∠A BC =30°,那么∠BAD 等于(D )A .45°B .60°C .90°D .30°7.如图,在△ABC 中,BD ,CE 是两条高,点O 为BC 的中点,连接OD ,OE ,求证:B ,C ,D ,E 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.证明:∵BD,CE 是两条高, ∴∠BDC =∠BEC =90°.∵△BEC 为直角三角形,点O 为BC 的中点, ∴OE =OB =OC =12BC.同理:OD =OB =OC =12BC.∴OB =OC =OD =OE.∴B,C ,D ,E 在以O 为圆心的同一个圆上.8.如图,AB ,AC 为⊙O 的弦,连接CO ,BO 并延长,分别交弦AB ,AC 于点E ,F ,∠B=∠C.求证:CE =BF.证明:∵OB,OC 是⊙O 的半径, ∴OB =OC.又∵∠B =∠C,∠BOE =∠COF, ∴△EOB≌△FOC (ASA ). ∴OE =OF.∵CE =CO +OE ,BF =BO +OF , ∴CE =BF.02中档题9.如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为(C)A.50°B.60°C.70°D.80°10.下列四边形:①平行四边形;②菱形;③矩形;④正方形.其中四个顶点在同一个圆上的有(B) A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图,A,B是⊙O上两点,若四边形ACBO是菱形,⊙O的半径为r,则点A与点B之间的距离为(B)A.2rB.3rC.rD.2r12.已知A,B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点,则弦长AB的取值范围是0<AB≤12cm.13.如图,CE是⊙O的直径,AD的延长线与CE的延长线交于点B,若BD=OD,∠AOC=114°,求∠AOD的度数.解:设∠B=x.∵BD=OD,∴∠DOB=∠B=x.∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x.∵OA=OD,∴∠A=∠ADO=2x.∵∠AOC=∠A+∠B,∴2x+x=114°.解得x=38°.∴∠AOD=180°-∠A-∠ADO=180°-4x=180°-4×38°=28°.14.如图所示,AB是⊙O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且AE=BF,请你找出线段OE与OF的数量关系,并给予证明.解:OE=OF.证明:∵OA,OB是⊙O的半径,∴OA=OB.∴∠OBA=∠OAB.又∵AE=BF,∴△OAE≌△OBF(SAS).∴OE=OF.15.如图所示,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB,CD的延长线交于E点,已知AB=2DE,∠E=18°,求∠AOC的度数.解:连接OD.∵AB为⊙O的直径,OC,OD为半径,AB=2DE,∴OC=OD=DE.∴∠DOE=∠E,∠OCE=∠ODC.又∵∠ODC=∠DOE+∠E,∴∠OCE=∠ODC=2∠E.∵∠E=18°,∴∠OCE=36°.∴∠AOC=∠OCE+∠E=36°+18°=54°.03综合题16.如图,AB,CD是⊙O的直径,且AB⊥CD,点P,Q为弧CB上的任意两点,作PE⊥CD,PF⊥AB,QM⊥CD,QN⊥AB,则线段EF,MN的大小关系为EF=MN.(填“<”“>”或“=”)24.1.2 垂直于弦的直径01 基础题知识点1 认识垂径定理(1)圆是轴对称图形,它的对称轴有无数条;(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.图1如图1,在⊙O 中,点A 是圆上一点,OA⊥弦CD 于点B ,则BC =BD ,AC ︵=AD ︵.1.(黔西南中考)如图,在⊙O 中,半径OC 与弦AB 垂直于点D ,且AB =8,OC =5,则CD 的长是(C )A .3B .2.5C .2D .1第1题图 第2题图2.(遵义仁怀市期末)如图,⊙O 的直径CD 垂直于弦AB 于点E ,且CE =2,OB =4,则AB 的长为(D )A .2 3B .4C .6D .433.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB,垂足为M ,下列结论不一定成立的是(D )A .CM =DM B.CB ︵=DB ︵C .∠ACD =∠ADC D .OM =MB第3题图 第4题图4.(黔西南中考)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD⊥AB 于点E ,已知CD =4,AE =1,则⊙O 的半径为52.知识点2 垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图1,在⊙O 中,点A 是圆上一点,OA 与弦CD 交于点B ,且BC =BD ,则∠OBD=90°,AC ︵=AD ︵. 5.如图,⊙O 的弦AB =8,M 是AB 的中点,且OM =3,则⊙O 的半径等于(D )A.8 B.2 C.10 D.5第5题图第6题图6.如图,⊙O的弦AB=8,P是劣弧AB的中点,连接OP交AB于C,且PC=2,则⊙O的半径为5.知识点3垂径定理的应用7.(南宁中考)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图.若油面的宽AB=160 cm,则油的最大深度为(A)A.40 cmB.60 cmC.80 cmD.100 cm8.(茂名中考)如图,小丽荡秋千,秋千链子的长OA为2.5米,秋千向两边摆动的角度相同,摆动的水平距离AB 为3米,则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米.易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”9.下列说法正确的是(D)A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧,但不一定过圆心C.过弦的中点的直径垂直于弦D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦02 中档题10.(黔东南中考)如图,已知⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为点E,∠ACD=22.5°,若CD=6 cm,则AB的长为(B)A.4 cm B.3 2 cmC.2 3 cm D.2 6 cm第10题图第11题图11.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=16 cm,则球的半径为(B)A .10 3 cmB .10 cmC .10 2 cmD .8 3 cm12.如图,在⊙O 中,AB ,AC 是互相垂直的两条弦,OD⊥AB 于点D ,OE⊥AC 于点E ,且AB =8 cm ,AC =6 cm ,那么⊙O 的半径OA 长为5__cm .第12题图 第13题图13.如图,AB 是⊙O 的弦,AB 长为8,P 是⊙O 上一个动点(不与A ,B 重合),过点O 作OC⊥AP 于点C ,OD⊥PB 于点D ,则CD 的长为4.14.(遵义中考)如图,AB 是⊙O 的直径,AB =4,点M 是OA 的中点,过点M 的直线与⊙O 交于C ,D 两点.若∠CMA=45°,则弦CD 的长为14.15.(佛山中考)如图,⊙O 的直径为10 cm ,弦AB =8 cm ,P 是弦AB 上的一个动点,求OP 的长度范围.解:作直径MN⊥弦AB ,交AB 于点D ,由垂径定理,得AD =DB =12AB =4 cm.又∵⊙O 的直径为10 cm ,连接OA ,则OA =5 cm. 由勾股定理,得OD =OA 2-AD 2=3 cm. ∴OP 的长度范围是3 cm≤OP≤5 cm.03 综合题16.(湖州中考)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于点C ,D(如图所示).(1)求证:AC =BD ;(2)若大圆的半径R =10,小圆的半径r =8,且圆心O 到直线AB 的距离为6,求AC 的长.解:(1)证明:过点O 作OE⊥AB 于点E. 则CE =DE ,AE =BE. ∴AE -CE =BE -DE ,即AC=BD.(2)连接OA,OC.由(1)可知,OE⊥AB且O E⊥CD,∴CE=OC2-OE2=82-62=27. AE=OA2-OE2=102-62=8.∴AC=AE-CE=8-27.24.1.3 弧、弦、圆心角01 基础题知识点1 认识圆心角圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心.顶点在圆心的角叫做圆心角. 如图,在⊙O 中,∠AOC 与∠ABC 中,是圆心角的是∠AOC .1.如图所示,图中的圆心角(小于平角的)有(B )A .1个B .2个C .3个D .4个2.已知圆O 的半径为5 cm ,弦AB 的长为5 cm ,则弦AB 所对的圆心角∠AOB=60°.知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中,相等的圆心角⇔所对的弧相等⇔所对的弦也相等. 如图,∠AOB=∠COD ⇔AB ︵=CD ︵⇔AB =CD.3.如图,已知AB 为⊙O 的直径,点D 为半圆周上的一点,且AD ︵所对圆心角的度数是BD ︵所对圆心角度数的两倍,则圆心角∠BOD 的度数为60°.第3题图 第4题图4.(兰州中考)如图,在⊙O 中,点C 是AB ︵的中点,∠A=50°,则∠BOC=(A )A .40°B .45°C .50°D .60°5.(贵港中考)如图,AB 是⊙O 的直径,BC ︵=CD ︵=DE ︵,∠COD=34°,则∠AEO 的度数是(A )A .51°B .56°C .68°D .78°第5题图 第6题图6.如图所示,在⊙O 中,AB ︵=AC ︵,∠A=30°,则∠B=(B )A .150°B .75°C .60°D .15°7.如图,AB ,DE 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上的一点,且AD ︵=CE ︵,求证:BE =CE.证明:∵∠BOE =∠AOD, ∴BE ︵=AD ︵. 又∵AD ︵=CE ︵, ∴BE ︵=CE ︵. ∴BE =CE.易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错8.如图,A ,B ,C ,D 是⊙O 上的四点,且AD =BC ,则AB 与CD 的大小关系为(B )A .AB >CD B .AB =CDC .AB <CD D .不能确定02 中档题9.如图,在⊙O 中,已知弦AB =DE ,OC⊥AB,OF⊥DE,垂足分别为C ,F ,则下列说法中正确的个数为(D )①∠DOE =∠AOB ;②AB ︵=DE ︵;③OF =OC ;④AC =EF .A .1个B .2个C .3个D .4个10.已知⊙O 中,M 为AB ︵的中点,则下列结论正确的是(C )A .AB >2AM B .AB =2AMC .AB <2AMD .AB 与2AM 的大小不能确定11.如图,AB 是半圆O 的直径,E 是OA 的中点,F 是OB 的中点,ME⊥AB 于点E ,NF⊥AB 于点F.下列结论:①AM ︵=MN ︵=BN ︵;②ME=NF ;③AE=BF ;④ME=2AE.其中正确结论的序号是①②③.12.如图所示,以▱ABCD 的顶点A 为圆心,AB 为半径作圆,交AD ,BC 于E ,F ,延长BA 交⊙A 于G ,求证:GE ︵=EF ︵.证明:连接AF.∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD∥BC.∴∠GAE =∠B, ∠EAF =∠AFB.又∵AB,AF 为⊙A 的半径,AB =AF , ∴∠B =∠AFB. ∴∠GAE =∠EAF. ∴GE ︵=EF ︵.13.(教材9上P84例3变式)如图,AB 是⊙O 的直径,AC ︵=CD ︵,∠COD =60°.(1)△AOC 是等边三角形吗?请说明理由; (2)求证:OC ∥BD .解:(1)△AOC 是等边三角形. ∵AC ︵=CD ︵,∴∠AOC =∠COD =60°. 又∵OA =OC ,∴△AOC 是等边三角形. (2)证明:∵AC ︵=CD ︵,∴OC⊥AD.∵∠AOC =∠COD =60°,∴∠BOD =180°-(∠AOC +∠COD )=60°. ∵OD =OB ,∴△ODB 为等边三角形. ∴∠ODB =60°.∴∠ODB =∠COD =60°. ∴OC∥BD.03 综合题14.如图,∠AOB=90°,C ,D 是AB ︵的三等分点,连接AB 分别交OC ,OD 于点E ,F ,求证:AE =BF =CD.证明:连接AC ,BD.∵AC ︵=CD ︵=DB ︵,∠AOB =90°,∴∠AOC =∠COD =∠DOB =13∠AOB =13×90°=30°,AC =CD =BD.∵OA =OB ,∴∠OAB =∠ABO =45°.∴∠AEC =∠AOC +∠OAB =75°. ∵在△AOC 中,OA =OC ,∴∠ACO =180°-∠AOC 2=180°-30°2=75°.∴∠AEC =∠ACO.∴AE =AC. 同理BF =BD. ∴AE =BF =CD.24.1.4 圆周角第1课时 圆周角定理及其推论01 基础题知识点1 圆周角定理(1)顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角,图中是圆周角的是∠ABC ;(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图,在⊙O 中,∠ABC=12∠AOC.1.(遵义桐梓县期末)如图,已知点A ,B ,C 在⊙O 上,∠ACB=50°,则∠AOB 的度数为(B )A .50°B .100°C .25°D .70°第1题图 第2题图2.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,连接OA ,OB ,∠OBA=50°,则∠C 的度数为(B )A .30°B .40°C .50°D .80°3.(柳州中考)如图,在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A )A .∠2B .∠3C .∠4D .∠5第3题图 第4题图4.(娄底中考)如图,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 上,斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A 、B 两点,P 是优弧AB 上任意一点(与A ,B 不重合),则∠APB=30°.知识点2 圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等;半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.如图,在⊙O 中,若AB =CD ,则∠ACB=∠DAC ;若AD 是直径,则∠ACD=90°;若∠ACD=90°,则AD 是直径.5.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∠A=35°,则∠B 的度数是(C )A .35°B .45°C .55°D .65°第5题图 第6题图6.(绍兴中考)如图,BD 是⊙O 的直径,点A ,C 在⊙O 上,AB ︵=BC ︵,∠AOB=60°,则∠BD C 的度数是(D )A .60°B .45°C .35°D .30°7.(黔西南中考)如图,在⊙O 中,AB ︵=AC ︵,∠BAC=50°,则∠AEC 的度数为(A )A .65°B .75°C .50°D .55°第7题图 第8题图8.如图,已知AB 是⊙O 的直径,∠D=40°,则∠CAB 的度数为50°.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错9.已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径,则此弦AB 所对的圆周角的度数为30°或150°.02 中档题10.(广州中考)如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB⊥CD,垂足为E ,连接CO ,AD ,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是(D )A .AD =2OB B .CE =EOC .∠OCE =40°D .∠BOC =2∠BAD第10题图 第11题图11.(遵义仁怀市期末)如图,AB ︵是半圆,连接AB ,点O 为AB 的中点,点C ,D 在AB ︵上,连接AD ,CO ,BC ,BD ,OD.若∠COD=62°,且AD∥OC,则∠ABD 的大小是(B )A .26°B .28°C .30°D .32°12.(南昌中考)如图,A ,B ,C ,D 四个点均在⊙O 上,∠AOD=70°,AO∥DC,则∠B 的度数为(D )A .40°B .45°C .50°D .55°第12题图 第13题图13.(贵阳中考)如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在⊙O 上,∠BOD=130°,AC∥OD 交⊙O 于点C ,连接BC ,则∠B=40度.14.如图,⊙C 经过原点,并与两坐标轴分别交于A ,D 两点,已知∠OBA=30°,点A 的坐标为(2,0),则点D 的坐标为(0,23).第14题图 第15题图15.(遵义道真县月考改编)如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,AP⊥BC 于点P ,AM 为⊙O 的直径.若∠BAM=15°,则∠CAP=15°.16.如图,在△ABC 中,AB =BC =2,以AB 为直径的⊙O 分别交BC ,AC 于点D ,E ,且点D 为边BC 的中点.(1)求证:△ABC 为等边三角形; (2)求DE 的长.解:(1)证明:连接AD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB =90°.∵点D 是BC 的中点,∴AD 是BC 的垂直平分线.∴AB =AC. 又∵AB =BC ,∴AB =AC =BC. ∴△ABC 为等边三角形. (2)连接BE.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB =90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC 是等边三角形,∴AE =EC ,即E 为AC 的中点. 又∵D 是BC 的中点, ∴DE 是△ABC 的中位线.∴DE =12AB =12×2=1.03 综合题17.(东营中考)如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB =8 cm ,AC ︵=CD ︵=BD ︵,M 是AB 上一动点,CM +DM 的最小值为8__cm.第2课时圆内接四边形01 基础题知识点圆内接四边形的性质如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆,圆内接四边形的对角互补.如图,四边形ABCD内接于⊙O,则∠A+∠BCD=180°.1.如图所示,图中∠A+∠C=(B)A.90° B.180°C.270° D.360°第1题图第2题图2.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点.若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是(B) A.115° B.105° C.100° D.95°3.圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(D)A.1∶2∶3∶4 B.1∶3∶2∶4C.4∶2∶3∶1 D.4∶2∶1∶34.(娄底中考)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠C=∠D,则AB与CD的位置关系是AB∥CD.第4题图第5题图5.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=30°,D是弧AC的中点,则∠DAC的度数是30度.6.圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7,求这个四边形各内角的度数.解:根据圆内接四边形的对角互补可知,其对角和相等,所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x°,x°,7x°,8x°,则2x+x+7x+8x=360.解得x=20.2x=40,7x=140,8x=160.答:这个四边形各内角的度数分别为40°,20°,140°,160°.7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.求证:(1)AD=CD;(2)AB是⊙O的直径.证明:(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O, ∴∠ADC =180°-∠B =130°. ∵∠ACD =25°,∴∠DAC =180°-∠ACD -∠D =180°-25°-130°=25°. ∴∠DAC =∠ACD. ∴AD =CD.(2)∵∠BAC =∠BAD -∠D AC =65°-25°=40°,∠B =50°, ∴∠ACB =180°-∠B -∠BAC =180°-50°-40°=90°. ∴AB 是⊙O 的直径.易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误8.(来宾中考)如图,在⊙O 中,点A 、B 、C 在⊙O 上,且∠ACB=110°,则∠α=140°.02 中档题9.(广东中考)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,DA =DC ,∠CBE=50°,则∠DAC 的大小为(C )A .130°B .100°C .65°D .50°10.(聊城中考)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,F 是CD ︵上一点,且DF ︵=BC ︵,连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E 的度数为(B )A .45°B .50°C .55°D .60°第10题图 第11题图11.(南京中考)如图,在⊙O 的内接五边形ABCDE 中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=215°.12.如图,⊙C 经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A 与点B ,点A 的坐标为(0,4),M 是圆上一点,∠BMO =120°.求⊙C 的半径.解:∵四边形ABMO内接于⊙C,∴∠BAO+∠BMO=180°.∵∠BMO=120°,∴∠BAO=60°.在Rt△ABO中,AO=4,∠BAO=60°,∴AB=8.∵∠AOB=90°,∴AB为⊙C的直径.∴⊙C的半径为4.13.(苏州中考)如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD =BD.连接AC交圆O于点F,连接AE,DE,DF.(1)求证:∠E=∠C;(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数.解:(1)证明:连接AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.∵CD=BD,∴AD垂直平分BC.∴AB=AC.∴∠B=∠C.又∵∠B=∠E,∴∠E=∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形,∴∠AFD=180°-∠E.又∵∠CFD=180°-∠AFD,∴∠CFD=∠E=55°.∵∠E=∠C=55°,∴∠BDF=∠C +∠CFD=110°.03 综合题14.(佛山中考)如图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F.(1)若∠E=∠F时,求证:∠ADC=∠ABC;(2)若∠E=∠F=42°时,求∠A的度数;(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β.请你用含有α,β的代数式表示∠A的大小.解:(1)证明:∵∠DCE =∠BCF,∠E =∠F,又∵∠ADC =∠E +∠DCE,∠ABC =∠F +∠BCF, ∴∠ADC =∠ABC.(2)由(1)知∠ADC =∠ABC, ∵四边形ABCD 内接于⊙O, ∴∠ADC +∠ABC =180°. ∴∠ADC =90°.在Rt△ADF 中,∠A =90°-∠F =90°-42°=48°. (3)连接EF.∵四边形ABCD 为圆的内接四边形, ∴∠ECD =∠A.∵∠ECD =∠CEF +∠CFE, ∴∠A =∠CEF +∠CFE.∵∠A +∠CEF +∠CFE +∠DEC +∠BFC =180°, ∴2∠A +α+β=180°. ∴∠A =90°-α+β2.小专题7 圆周角定理——教材P90T14的变式与应用【教材母题】 如图,A ,P ,B ,C 是⊙O 上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.判断△ABC 的形状,并证明你的结论.解:△ABC 为等边三角形.证明:∵∠APC =∠ABC,∠CPB =∠BAC, 又∵∠APC =∠CPB =60°, ∴∠ABC =∠BAC =60°. ∴∠ACB =60°.∴△ABC 为等边三角形.【问题延伸1】 求证:PA +PB =PC.证明:在PC 上截取PD =AP ,连接AD ,如图, ∵∠APC =60°,∴△APD 是等边三角形.∴AD =AP =PD ,∠ADP =60°,∠ADC =120°. ∵∠APB =∠APC +∠BPC =120°, ∴∠ADC =∠APB.在△APB 和△ADC 中,⎩⎨⎧∠ABP =∠ACD,∠APB =∠ADC,AP =AD ,∴△APB≌△ADC (AAS ). ∴BP =CD.又∵PD =AP ,∴PA +PB =PC.证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短”法,具体做法是:在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等,或将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.【问题延伸2】 若BC =23,点P 是AB ︵上一动点(异于点A ,B),求PA +PB 的最大值.解:由上题知PA +PB =PC ,要使PA +PB 最大,则PC 为直径,作直径BG ,连接CG.∴∠G =∠BAC =60°,∠BCG =90°.∵BC =23,∴BG =4.即PA +PB 的最大值为4.直径是圆中最长的一条弦,在求最值的问题中经常用到这一结论.1.如图,四边形APBC 是圆内接四边形,延长BP 至E ,若∠EPA=∠CPA,判断△ABC 的形状,并证明你的结论.解:△ABC 是等腰三角形,理由:∵四边形APBC 是圆内接四边形, ∴∠EPA =∠ACB.∵∠EPA =∠CPA,∠CPA =∠ABC, ∴∠ACB =∠ABC. ∴AB =AC.∴△ABC 是等腰三角形.2.如图,A ,P ,B ,C 是半径为8的⊙O 上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°.(1)求证:△ABC 是等边三角形; (2)求圆心O 到BC 的距离OD.解:(1)证明:∵∠ABC =∠APC =60°,∠BAC =∠APC =60°, ∴∠ABC =∠BAC =60°. ∴△ABC 是等边三角形. (2)连接OB ,OC.可得∠BOC =2∠BAC =2×60°=120°. ∵OB =OC ,∴∠OBD =∠OCD =12×(180°-120°)=30°.∵∠ODB =90°,∴OD =12OB =4.3.(广州中考改编)如图,点A ,B ,C ,D 在同一个圆上,且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵上,且不与点B ,D 重合),∠ACB=∠ABD=45°.(1)求证:BD 是该圆的直径;(2)连接CD ,求证:2AC =BC +CD.证明:(1)∵AB ︵=AB ︵,∴∠ACB =∠ADB =45°. ∵∠ABD =45°, ∴∠BAD =90°.∴BD 是该圆的直径.(2)在CD 的延长线上截取DE =BC ,连接EA , ∵∠ABD =∠ADB,∴AB =AD.∵∠ADE +∠ADC =180°,∠ABC +∠ADC =180°,∴∠ABC =∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中,⎩⎨⎧AB =AD ,∠ABC =∠ADE,BC =DE ,∴△ABC≌△ADE (SAS ). ∴∠BAC =∠DAE.∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD. ∴∠BAD =∠CAE =90°.∵AD ︵=AD ︵,∴∠ACD =∠ABD =45°. ∴△CAE 是等腰直角三角形. ∴2AC =CE.∴2AC =DE +CD =BC +CD.小专题8 与圆的性质有关的计算与证明类型1 求角度1.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,BA ,DC 的延长线交于点E ,AB =2CE ,∠E=25°,则∠BOD=75°.2.(南京中考)如图,A ,B 是⊙O 上的两个定点,P 是⊙O 上的动点(P 不与A ,B 重合),我们称∠APB 是⊙O 上关于点A ,B 的滑动角.已知∠APB 是⊙O 上关于点A ,B 的滑动角.(1)若AB 是⊙O 的直径,则∠APB 的度数是90°;(2)若⊙O 的半径是1,AB =2,则∠APB 的度数是45°或135°__.3.如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,∠ACD=60°,∠ADC=50°,则∠CEB 的度数为100°.第3题图 第4题图4.(永州中考)如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,点D 是AC ︵的中点,点E 是BC ︵上的一点.若∠CED=40°,则∠ADC=100度.5.(南京中考)如图,四边形ABCD 是菱形,⊙O 经过点A ,C ,D ,与BC 相交于点E ,连接AC ,AE.若∠D=78°,则∠EAC=27°.类型2 求长度6.(黔东南中考)如图,⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足为E ,∠A=15°,半径为2,则弦CD 的长为(A )A .2B .-1C. 2D .4第6题图第7题图7.如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为213__.8.如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为2 3 cm.第8题图第9题图9.如图,AB,AC,AD为⊙O的弦,∠BAC=60°,∠DAC=30°,AB=4,AD=6,则CD的长为13.10.(十堰中考)如图,△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC=6,BD=52,则BC的长为8.24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系01 基础题知识点1点与圆的位置关系设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:(1)点P在圆外⇨d>r;(2)点P在圆上⇨d=r;(3)点P在圆内⇨d<r.1.若⊙O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为4 cm,那么点A与⊙O的位置关系是(C) A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定2.(遵义中考模拟)已知⊙O半径为6,点P在⊙O内,则OP长可能是(A)A.5 B.6 C.7 D.83.已知⊙O半径为3 cm,点P到圆心O的距离为3 cm,则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上.4.已知⊙O的半径为6 cm,点P在圆外,则线段OP的长度的取值范围是OP>6__cm.5.已知⊙O的半径为7 cm,点A为线段OP的中点,当OP满足下列条件时,分别指出点A与⊙O的位置关系.(1)OP=8 cm;(2)OP=14 cm;(3)OP=16 cm.解:(1)在圆内.(2)在圆上.(3)在圆外.知识点2三角形的外接圆与外心不在同一条直线上的三个点确定一个圆,三角形外接圆的圆心叫外心,它是三角形三条边垂直平分线的交点;一个三角形的外接圆有1个,一个圆的内接三角形有无数个.6.下列关于三角形的外心的说法中,正确的是(C)A.三角形的外心在三角形外B.三角形的外心到三边的距离相等C.三角形的外心到三个顶点的距离相等D.等腰三角形的外心在三角形内7.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心.第7题图第8题图8.如图,△ABC的外接圆圆心的坐标是(-2,-1).知识点3反证法反证法不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.9.用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时,先假设平行于同一条直线的两条直线相交成立,然后经过推理与平行公理相矛盾.10.用反证法证明:若∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角,则其中至少有一个角不大于60°.证明:假设∠A,∠B,∠C都大于60°.则有∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和等于180°相矛盾.因此假设不成立,即∠A,∠B,∠C中至少有一个角不大于60°.易错点概念不清11.下列说法:①三点确定一个圆;②三角形有且只有一个外接圆;③三角形的外心到三角形三边的距离相等;④圆有且只有一个内接三角形.其中正确的是②(填序号).02 中档题12.已知⊙O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,若关于x的方程x2-2x+d=0有实数根,则点P(D) A.在⊙O的内部B.在⊙O的外部C.在⊙O上D.在⊙O上或⊙O的内部13.用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”应该先假设(A)A.两条直线相交至少有两个交点B.两条直线相交没有两个交点C.两条直线平行时也有一个交点D.两条直线平行没有交点14.如图,在△ABC中,BC=3 cm,∠BAC=60°,那么△ABC能被半径至少为3cm的圆形纸片所覆盖.15.若O为△ABC的外心,且∠BOC=60°,则∠BAC=30°或150°.16.已知,如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,斜边AB边上的高为CD,若以点C为圆心,分别以R1=2,R2=2.4,R3=3为半径作⊙C1,⊙C2,⊙C3,试判断点D与这三个圆的位置关系.解:由勾股定理,得AB=AC2+BC2=5,由面积公式,得CD=2.4,∴d=CD=2.4.∴d>R1,d=R2,d<R3.∴点D在⊙C1的外部,在⊙C2上,在⊙C3的内部.17.如图,已知,△ABC中,∠A=25°,∠B=40°.(1)求作:⊙O,使得⊙O是△ABC的外接圆;(要求尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法)(2)综合应用:在你所作的圆中,求∠AOB的度数.解:(1)如图.作法:分别作边AB,AC的垂直平分线GH,EF,交于点O,以O为圆心,以OA为半径的圆就是△ABC的外接圆.(2)在优弧AB上取一点D,连接DA,DB.∵∠CAB=25°,∠CBA=40°,∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=115°.∵四边形CADB是圆的内接四边形,∴∠ADB=180°-∠C=180°-115°=65°.∴∠AOB=2∠ADB=130°.24.2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系01 基础题知识点1 直线与圆的位置关系的判定如图,直线l 与⊙O 有三种位置关系:(1)图1中直线l 与⊙O 相交,有两个公共点,这条直线叫做圆的割线.图1 图2 图3(2)图2中直线l 与⊙O 相切,有1个公共点,这条直线叫做圆的切线. (3)图3中直线l 与⊙O 相离,无公共点.1.(梧州中考)已知半径为5的圆,其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为(C )A .相离B .相切C .相交D .无法确定2.已知一条直线与圆有公共点,则这条直线与圆的位置关系是(D )A .相离B .相切C .相交D .相切或相交3.(张家界中考)如图,∠O=30°,C 为OB 上一点,且OC =6,以点C 为圆心,半径为3的圆与OA 的位置关系是(C )A .相离B .相交C .相切D .以上三种情况均有可能4.⊙O 的半径为6,一条弦长63,以3为半径的同心圆与这条弦的关系是(A )A .相切B .相交C .相离D .相切或相交5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB =4 cm ,BC =2 cm ,以C 为圆心,r 为半径的圆与AB 有何种位置关系?请你写出判断过程.(1)r =1.5 cm ;(2)r = 3 cm ;(3)r =2 cm . 解:过点C 作CD⊥AB,垂足为D. ∵AB =4,BC =2,∴AC =2 3. 又∵S △ABC =12AB·CD =12BC·AC,∴CD =BC·ACAB = 3.(1)r =1.5 cm 时,相离. (2)r = 3 cm 时,相切. (3)r =2 cm 时,相交.知识点2 直线与圆的位置关系的性质已知⊙O 的半径为r ,圆心到直线l 的距离为d ,根据直线和圆相交,相切,相离的定义,可以得到: (1)直线l 与⊙O 相交⇔d <r ;(2)直线l 与⊙O 相切⇔d =r ;(3)直线l 与⊙O 相离⇔d >r.6.设⊙O 的半径为4,点O 到直线a 的距离为d ,若⊙O 与直线a 至多只有一个公共点,则d 的取值范围为(C )A .d ≤4B .d <4C .d ≥4D .d =47.(益阳中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(-3,0),将⊙P 沿x 轴正方向平移,使⊙P 与y 轴相切,则平移的距离为(B )A .1B .1或5C .3D .58.(西宁中考)⊙O 的半径为R ,点O 到直线l 的距离为d ,R ,d 是方程x 2-4x +m =0的两根,当直线l 与⊙O 相切时,m 的值为4.9.如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,∠C=60°,BO =x ,⊙O 的半径为2,求当x 在什么范围内取值时,AB 所在的直线与⊙O 相交,相切,相离?解:过点O 作OD⊥AB,垂足为D.∵∠A =90°,∠C =60°,∴∠B =30°. ∴OD =12OB =12x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时,OD =r =2.∴BO =4.∴0<x<4时,相交;x =4时,相切;x>4时,相离.易错点 题意理解不清10.已知⊙O 的半径为2,直线l 上有一点P 满足PO =2,则直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交.02 中档题11.(遵义汇川月考)如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠A=60°,BC =4 cm ,以B 为圆心,2 cm 长为半径作圆,则⊙B与AC的位置关系是(B)A.相离B.相切C.相交D.外切12.(百色中考)以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b与⊙O相交,则b的取值范围是(D) A.0≤b<2 2 B.-22≤b≤2 2C.-23<b<2 3 D.-22<b<2213.(铜仁模拟)已知如图,∠BOA=30°,M是OB上一点,以M为圆心、2 cm为半径作⊙M,点M在射线OB上运动,当OM=5 cm时,⊙M与直线OA的位置关系是相离.第13题图第14题图14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC≠BC,点M是边AC上的动点.过点M作MN∥AB交BC于点N,现将△MNC沿MN折叠,得到△MNP.若点P在AB上.则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是相交.15.如图所示,半径为2的⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动.(1)当⊙P和x轴相切时,写出点P的坐标;并判断此时y轴与⊙P的位置关系;(2)当⊙P和y轴相切时,写出点P的坐标;并判断此时x轴与⊙P的位置关系;(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切?若能,写出点P的坐标;若不能,说明理由.解:(1)∵⊙P的圆心在直线y=2x-1上,∴圆心坐标可设为(x,2x-1).当⊙P和x轴相切时,2x-1=2或2x-1=-2,解得x1=1.5,x2=-0.5.∴P1(1.5,2),P2(-0.5,-2).∵1.5<2,|-0.5|<2,∴y轴与⊙P相交.(2)当⊙P和y轴相切时,x=2或-2.得2x-1=3或2x-1=-5.∵|-5|>2,3>2,∴x轴与⊙P相离.(3)不能.∵当x=2时,y=3,当x=-2时,y=-5,|-5|≠2,3≠2,∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切.03 综合题16.(永州中考)如图,给定一个半径长为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4,由此可知:(1)当d=3时,m=1;(2)当m=2时,d的取值范围是1<d<3.第2课时切线的判定与性质01 基础题知识点1切线的判定经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图,△ABC的一边AB是⊙O的直径,∵AB⊥BC,∴BC为⊙O的切线.1.下列说法中,正确的是(D)A.AB垂直于⊙O的半径,则AB是⊙O的切线B.经过半径外端的直线是圆的切线C.经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线2.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD,BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由.解:PD是⊙O的切线.理由如下:∵AB为直径,∴∠ADB=90°.∴∠ADO+∠ODB=90°.∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB.∵∠PDA=∠PBD,∴∠ADO+∠PDA=90°,即∠PDO=90°.又∵直线PD经过⊙O半径的外端,∴PD是⊙O的切线.知识点2切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径.3.如图,直线AB 与⊙O 相切于点A ,⊙O 的半径为2,若∠OBA=30°,则OB 的长为(B )A .4 3B .4C .2 3D .2第3题图 第4题图4.(黔南中考)如图,已知直线AD 是⊙O 的切线,点A 为切点,OD 交⊙O 于点B ,点C 在⊙O 上,且∠ODA=36°,则∠ACB 的度数为(D )A .54°B .36°C .30°D .27°5.如图,PA 切⊙O 于A ,PO 交⊙O 于B ,若PA =6,PB =3,则⊙O 的半径是(C )A .5B .4C .4.5D .3.5第5题图 第6题图6.如图,AB 是⊙O 的弦,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,BC 经过圆心,若∠B=25°,则∠C 等于40°. 7.(济南中考)如图,AB 与⊙O 相切于点C ,∠A=∠B,⊙O 的半径为6,AB =16.求OA 的长.解:连接OC.∵AB 与⊙O 相切于点C , ∴OC⊥AB.∵∠A =∠B,∴OA =OB. ∴AC =BC =12AB =8.∵OC =6,∴OA =62+82=10.易错点 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解8.如图,在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC ,B(4,2),现有一圆同时和这个矩形的三边都相切,则此圆的圆心P 的坐标为(1,1)或(3,1)或(2,0)或(2,2).02 中档题9.(教材9上P 101习题T 5变式)如图,两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ,大圆的一条弦AB 与小圆相切,则弦AB 的长为(C )。
周周练(24.1)
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共40分) 1.下列说法正确的是(B)
A .平分弦的直径垂直于弦
B .半圆(或直径)所对的圆周角是直角
C .相等的圆心角所对的弧相等
D .相等的弦所对的圆心角相等
2.如图,在⊙O 中,AB ︵=AC ︵
,∠ADC =20°,则∠AOB 的度数是(A)
A .40°
B .30°
C .20°
D .15°
3.如图,在⊙O 中,弦的条数是(C)
A .2
B .3
C .4
D .以上均不正确
4.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,且点C 、D 在AB 的异侧,连接AD 、OD 、OC.若∠AOC =70°,且AD ∥OC ,则∠AOD 的度数为(D)
A .70°
B .60°
C .50°
D .40°
5.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =56°.以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D.E 是⊙O 上一点,且CE ︵=CD ︵
,连接OE.过点E 作EF ⊥OE ,交AC 的延长线于点F ,则∠F 的度数为(C)
A .92°
B .108°
C .112°
D .124°
6.在⊙O 中,∠AOB =84°,则弦AB 所对的圆周角的度数为(D)
A .42°
B .138°
C .69°
D .42°或138°
7.数学课上,老师让测量三角形纸板中∠ACB 的度数,小周把三角形纸板按如图所示的方式放置在一个破损的量角器上,使点C 落在半圆上,点A ,B 处的读数分别为65°,20°,则∠ACB 的度数为(C)
A .45°
B .32.5°
C .22.5°
D .20°
8.如图,在⊙O 中,AB ︵=BC ︵,直径CD ⊥AB 于点N ,P 是AC ︵
上一点,则∠BPD 的度数是(A)
A .30°
B .45°
C .60°
D .15°
9.如图,点A ,B ,C 是⊙O 上的三点,且四边形ABCO 是平行四边形,OF ⊥AB 交⊙O 于点F ,则∠BAF 等于(B)
A .12.5°
B .15°
C .20°
D .22.5°
10.(山西期末)如图,AB 是⊙O 的直径,AB =8,点M 在⊙O 上,∠MAB =20°,N 是MB ︵
的中点,P 是直径AB 上的一动点.若MN =1,则△PMN 周长的最小值为(B)
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题(每小题4分,共20分)
11.如图,在⊙O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则⊙O的半径长为13.
12.如图,AB是⊙O的直径,AB垂直弦CD于点E,在不添加辅助线的情况下,图中与∠CDB 相等的角是∠DAB或∠BCD或∠BAC(写出一个即可).
13.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的一点.若BC=6,AB=10,OD⊥BC于点D,则OD的长为4.
14.(山西一模改编)如图,四边形ABCD为圆O的内接四边形,E是BC延长线上的一点,已知∠BOD=100°,则∠DCE的度数为50°.
15.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=16厘米,则球的半径为10厘米.
三、解答题(共40分)
16.(8分)如图,AB 是⊙O 的直径,点C ,D 是⊙O 上的两点,且AC =CD.求证:OC ∥BD.
证明:∵AC =CD , ∴AC ︵=DC ︵. ∴∠ABC =∠DBC. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠OBC. ∴∠OCB =∠DBC. ∴OC ∥BD.
17.(10分)如图,将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O ,另一边所在直线与半圆相交于点D ,E ,量出半径OC =5 cm ,弦DE =8 cm ,求直尺的宽.
解:过点O 作OM ⊥DE 于点M ,连接OD. ∴DM =12
DE.
∵DE =8 cm ,∴DM =4 cm. 在Rt △ODM 中,∵OD =OC =5 cm , ∴OM =OD 2
-DM 2
=52
-42
=3(cm). ∴直尺的宽度为3 cm.
18.(10分)如图,圆内接四边形ABDC 中,AB 是⊙O 的直径,BE =CE. (1)请写出四个不同类型的正确结论; (2)若BE =4,AC =6,求DE 的长.
解:(1)不同类型的正确结论为:BE =1
2BC ,BD ︵=CD ︵,∠BED =90°,BD =CD ,OD ⊥BC ,△BOD
是等腰三角形,△BDE ≌△CDE ,OB 2
=OE 2
+BE 2
等等. (2)∵AB 是⊙O 的直径,∴OA =OB.
∵BE =CE ,∴OD ⊥BC ,OE 为△ABC 的中位线. ∴OE =12AC =1
2
×6=3.
在Rt △OBE 中,由勾股定理,得OB =OE 2
+BE 2
=32
+42
=5. ∵OD =OB =5.
∴DE =OD -OE =5-3=2.
19.(12分)如图所示,正方形ABCD 内接于⊙O ,在劣弧AB ︵
上取一点E ,连接DE ,BE ,过点D 作DF ∥BE 交⊙O 于点F ,连接BF ,AF ,且AF 与DE 相交于点G ,求证: (1)四边形EBFD 是矩形; (2)DG =BE.
证明:(1)∵正方形ABCD 内接于⊙O , ∴∠BED =∠BAD =90°,∠BFD =∠BCD =90°. ∵DF ∥BE ,∴∠EDF +∠BED =180°.∴∠EDF =90°. ∴四边形EBFD 是矩形. (2)连接AC.
∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ACD =45°. ∴∠AFD =∠ACD =45°.
又∵∠GDF =90°,∴∠DGF =∠DFG =45°. ∴DG =DF.
又∵在矩形EBFD 中,BE =DF , ∴DG =BE.。