当前位置：文档之家 › 第八章弹性力学

第八章弹性力学

  • 格式：ppt
  • 大小：4.02 MB
  • 文档页数：139

下载文档原格式

  / 139

合集下载

弹性力学徐芝纶版第8章

弹性力学徐芝纶版第8章

移项缩写为：

2
ij
ij l j 0
2 2
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1. 或 li li 1
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。




(7 12)


⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
E E x ( x ), yz yz 1 1 2 2(1 ) E E y ( y ), zx zx 1 1 2 2(1 ) E E z ( z ), xy xy 1 1 2 2(1 )
斜面应力
§8-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐线为 n ）上的应力。
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量:
p (σ n , n ).
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出： 现仅考虑只有xy平面内的位移 u , v 时的 情况进行推导： 通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段 PA dx, PB dy,
定义
变形前位置： P, A, B,
变形后位置： P, A, B －－各点的位置如图。
几何方程
u x , x
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得

第八章弹性力学优秀课件

第八章弹性力学优秀课件

相容方程说明
对于相容方程说明如下：
（1）物体满足连续性条件 导出形变和位 移之间的几何方程 导 出相容方程。
（2）形变满足相容方程 对应的位移存在 且连续 物 体保持连续；形变不满足 相容方程 对 应的位移不存在 物 体不保持连续。
所以相容方程是位移的连续性条件。
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可
zx
Φ y
,
zy
Φ 。 x
(d )
相容方程
2. 将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式为
2zx0,
代入（d），得
2 zy
0。
2Φ 0, x
2Φ 0, y
由此得出扭转应力函数Φ应满足的方程：
2ΦC,
( e)
C为待定常数。
边界条件
3. 考察侧面边界条件(n 0 ,fx fy fz 0 ) 前两式自然满足，第三式成为
zx 0,
x
zy 0,
y
zx zy 0。( a )
x y
由式(a)前两式，得 zx ,仅 z为y （x,y）的
函数；第三式成为
xzx yzy。 (b)
又由偏导数的相容性，存在一个应力函数 Φ ,
x yΦ y xΦ,
( c)
对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭 转应力函数 Φ(x,表y)示为
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界 条件。
考虑对称性：本题的任何x面和y面均 为对称面，∴可设
u0, v0, wwz。(a)
求解方程
（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，
21E 11 2d d2zw 2d d2zw 2g0。

弹性力学绪论课件

弹性力学绪论课件

课程安排
第三部分：弹性力学问题求解方法
01
02
弹性力学问题的分类和特点
弹性力学问题的求解方法及其应用
03
课程安排
第四部分：弹性力学在 工程中的应用
弹性力学在材料科学中 的应用
01
02
03
弹性力学在结构分析中 的应用
04
弹性力学在其他领域中 的应用
学习建议
01
建立清晰的学习目标和方法，明 确学习内容和重点
总结词
多物理场耦合下的弹性性质研究是当前弹性 力学领域的另一个研究前沿，主要涉及多个 物理场之间的相互作用对弹性性质的影响。
详细描述
多物理场耦合下的弹性性质研究主要关注多 个物理场之间的相互作用对弹性性质的影响，
例如：热-力耦合、电磁-力耦合、化学-力 耦合等。这些研究通常需要使用多物理场耦 合理论和数值模拟方法来分析不同物理场之 间的相互作用对弹性性质的影响，为多物理 场耦合问题的解决提供理论支持和实践指导。
材料实例
介绍了一些具体的材料实例，如高 强度轻质合金、纳米复合材料等， 说明弹性力学在其中的应用和重要性。
弹性力学在生物医学工程中的应用
总结词
弹性力学在生物医学工程中应用 日益广泛，为生物组织和器官的
力学特性研究提供有力工具。
详细描述
弹性力学的原理和公式可以用于 研究生物组织和器官的力学特性，
如肌肉、骨骼、血管、心脏等组 织的弹性、韧性和疲劳特性等。
弹性力学在工程中的应用
REPORTING
弹性力学在结构分析中的应用
01
总结词
02
详细描述
03
工程实例
弹性力学在结构分析中应用广泛，为 复杂结构分析提供理论支持。

弹性力学课件

弹性力学课件
研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。

弹性力学课件：第八章复变函数解

弹性力学课件：第八章复变函数解

第六章平面问题——的复变函数解弹性力学解法的限制边界条件的描述和表达多连域变形单值连续条件应用复变函数数学基础目录§6.10应力函数的复变函数形式§6.11应力与位移的K-M函数表示§6.12多连域应力与位移单值条件§6.13保角变换§6.14孔口问题应力函数可以用两个解析函数表示§6.10应力函数的复变函数形式古尔萨（Goursat ）公式应力解法)()()()(),(2f f z z z z z z z z U χχϕϕ+++=或者)]()(Re[),(f z z z z z U χϕ+=ϕf (z)和χ(z)均为单值解析函数。

克罗索夫－穆斯赫利什维利函数简称K-M 函数——应力函数——复变函数描述§6.11应力与位移的K-M 函数表示罗克索夫公式应力分量的复变函数表达——ϕf (z)和y (z)表示的应力分量)('Re 4])(')('[2f f f z z z y x ϕϕϕσσ=+=+)]()('[2z Ψz Φz +=])()([2z Φz Φ+=)](')(''[22f z z z i xy x y y ϕτσσ+=+-)('d )(d )(f f z z z z Φϕϕ==z z z Ψd )(d )(y =引入•位移的复变函数表达)()(')(13)i (2f f z z z z vv v u G y ϕϕ--+-=+•已知ϕf (z)和y (z), 可以确定位移分量。

•对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比作对应的替换则可。

K-M 函数ϕf (z)和y (z)描述的面力边界条件。

sF F z z z z sy sx AB d )i (i )()(')(f f +=++⎰y ϕϕ边界点的确定函数K-M 函数由内向边界趋近值•求解弹性力学平面问题•——给定边界条件下求解双调和方程•变换为在给定的边界条件下寻找解析函数•确定K-M 函数ϕf (z)和y (z)，则应力、位移和应变就可以完全确定。

弹性力学-第八章 平面问题的极坐标解答

弹性力学-第八章 平面问题的极坐标解答

(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
dr dr 0 dr （f）
径向线段PA的转角：
2
u
u dr r
dr
u
y
u r
d
B
B
rP
2
P
dr
u
2 A
x
A
u
（g） u
u
d
u r
dr
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB PB
BB PP PB
u
u d rd
xy
sin
2
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
r
x
y
2
sin
2
xy
cos 2
第八章 平面问题的极坐标解答 §8.2 平面轴对称应力问题
§8.2 平面轴对称应力问题
A. 轴对称问题应力分量与协调方程
无体积力,且与θ无关.求解方法：
（1）应力分量
r
1 r
d
dr
d 2
dr 2
r 0
主 要内容
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9
基本方程 平面轴对称应力问题 内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板 匀速转动的圆盘 曲梁的纯弯曲 曲梁一端受径向集中力作用 圆孔对应力分布的影响 集中力作用于全平面 在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
1 r
)
e2 (sin
r
cos

弹性力学


即:σ x
3) 平衡方程 因为平面应变问题独立分量只有σx ,σy ,τxy,而
σ z = (σ x + σ y ) ,它们都是x,y的函数与z无关,
且体力Z=0,故有:
σ x τ yx + +X =0 x y τ xy σ y + +Y = 0 x y
返回
Байду номын сангаас
二,平面应力问题 1. 特点: 特点: 1) 长,宽尺寸远大于厚度 2) 沿板面受有平行板面的面力,且沿厚度均布,体力 沿板面受有平行板面的面力,且沿厚度均布, 平行于板面且不沿厚度变化, 平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后表面上 无外力作用. 无外力作用. 例如: 例如: y x
注意:平面应力问题σz =0,但 ε z ≠ 0 ,这恰与平面应变 问题相反.
返回
由于σz =0,平面应力问题的物理方程为:
εx =
1 σ x σ y E 1 ε y = σ y σ x E 2(1 + ) γ xy = τ xy E 或写成: σ x 1 0 0 ε x E {σ } = σ y = 1 ε y = [D ] {ε } (1 2 ) τ 1 γ 0 0 xy xy 2 0 1 0 [D] = E 2 1 ——平面应力的弹性矩阵 其中 (1 ) 1 0 0 2
弹性力学基本理论回顾
1 弹性力学的几个基本假定 2 弹性力学中的基本力学量和方程 3 弹性力学的平面问题
返回
第一节
弹性力学的几个基本假定
大量的工程问题都涉及到应力,应变及位移的分 大量的工程问题都涉及到应力,应变及位移的分 应力 析计算,弹性力学(又称弹性理论)就是研究物体在 析计算,弹性力学(又称弹性理论) 外部因素(如外力,温度变化等)作用下产生的应力, 外部因素(如外力,温度变化等)作用下产生的应力, 应变及其位移规律的一门科学,它是固体力学的一个 应变及其位移规律的一门科学, 分支.弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况, 分支.弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况, 确定弹性体内应力与应变的分布规律.也就是说,当 确定弹性体内应力与应变的分布规律.也就是说, 已知弹性体的形状,物理性质, 已知弹性体的形状,物理性质,受力情况和边界条件 时,确定其任一点的应力,应变状态和位移.弹性力 确定其任一点的应力,应变状态和位移. 学所研究的对象是理想弹性体, 学所研究的对象是理想弹性体,其应力与应变之间的 关系为线性关系,即符合虎克定律.所谓理想弹性体, 关系为线性关系,即符合虎克定律.所谓理想弹性体, 理想弹性体 是指符合下述四个假定的物体, 是指符合下述四个假定的物体,即 :

弹性力学的概念


经典弹性力学建立
17世纪末到18世纪初，R·胡克、C·惠更斯 、L·欧拉和J·伯努利等人建立了经典的弹性 力学理论，奠定了弹性力学的基础。
弹性力学应用领域
工程领域
材料科学
弹性力学广泛应用于各种工程领域，如建 筑、桥梁、道路、隧道、航空航天等，用 于分析和设计各种结构物。
弹性力学对于研究材料的力学性能和变形 行为具有重要意义，为材料科学的发展提 供了理论基础。
组分、结构等因素变化。
智能材料
03
如压电材料、形状记忆合金等，其力学行为与电场、磁场、温
度等外部条件密切相关，对弹性力学提出新的挑战。
复杂环境下弹性力学问题
极端环境
如高温、低温、高压、 真空等极端环境下，材 料的弹性力学行为可能 发生变化，需要研究相 应的理论和实验方法。
多场耦合
在力、热、电、磁等多 场耦合作用下，材料的 弹性力学响应更加复杂 ，需要建立多场耦合的 弹性力学模型。
泊松比
又称横向变形系数，是反映材料在受到纵向压缩或拉伸时，横向应变与纵向应变 比值的物理量。泊松比越大，说明材料在受到纵向力时横向收缩或膨胀越明显。
应力集中与应力分布
应力集中
在物体内部，由于形状、尺寸或材料性质等原因，某些部位 的应力可能显著高于其他部位，这种现象称为应力集中。应 力集中容易导致物体在局部范围内发生破坏。
地震学
生物力学
弹性力学在地震学中也有重要应用，用于 研究地震波在地球内部的传播规律和地震 引起的地面振动等问题。
生物力学是研究生物体运动和变形的学科， 弹性力学为其提供了基本的理论和方法。
02
弹性力学基本概念
CHAPTER
应力与应变概念
应力
物体内部单位面积上所承受的力，表示物体内部某一点的受力状态。应力分为 正应力和切应力，正应力与截面垂直，切应力与截面平行。

弹性力学初步优秀课件


密度r
微元不是
力作用在微元的表面
应力：F/S 离散的质点
弹性形变——当物体所受外力撤除后，在外力作用下所发 生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原状的形变. 弹性体——在外力作用下，物体内部各点的相对位置发生 改变；宏观上，表现为物体的大小和形状发生变化。 自然界中并没有完全弹性体，一般变形体，既有弹性，还 有撤去外力后不能完全复原的塑性。 假设： (1)变形体材料均匀连续，忽略实际物体中的微粒间的不 连续性。认为物体的性质处处相同。
✓纯正应力相对应的体应变 ✓纯剪切应力相对应的剪切应变
赵州桥
如果设计得好，楔型石 料将主要承受压应力
线应变
取一根长、宽、高分别为l，w，h的等截面杆形材料。如果两端 在拉力F作用下，其长度伸长为l，并满足小变形假设。
胡克定律：力与伸长成正比，即F∝l。
杆伸长l不仅取决于外力F，也取决于杆的长度。 F∝l/l 相对伸长l/l就是单位长度的伸长，一般称为应变。
whvl
wh
l
常数 v 称为泊松比，它是表征材料性质的另一个参数。 泊松比是一个无量纲的正数，小于1/2
8.2.2 叠加原理
在力和位移上都是线性的，而且均满足小位移假设， 所以叠加原理成立。
由此，一维情况下成立的应力-应变关系与泊松比关 系在多维情况下也成立
8.2.3 体应变与剪切应变
1）体积形变·体应力与体应变
若只有p1单独作用，棱边a为纵向边，
棱边b和c为横向边，三个应变分别为：
a1
a b
b
1
p1
Y v a1
a
v
p1 Y
c1 c
v
a1 a
v
p1 Y
在p2单独作用下，以及p3单独作用下，棱边a，b，c的

弹性力学


弹性力学－问题的建立
在弹性力学问题分析中，为了研究弹性体在外界因素影响下（包括外 力、温度）其内部所生成的位移和应力分布，就需要建立一套相关未知量 （如位移）所满足的微分方程，并提取适当的定解条件以保证可以求得关 心的未知量。 一般而言，需要从四个方面来考虑：静力学，几何学，物理学，边界 条件。
静力学－平衡微分方程
计算机辅助几何建模技术进展
模型的几何表达： 1973年Braid提出体素表达几何结构的方法，在随后的20多年时间 实体建模技术快速发展，80年代至90年代初，Requicha对实体建模技术 进行了较为全面的论述。现在，实体建模技术已经趋于成熟，成为目前 几何建模中使用的的主流工具。从软件应用情况看，1976年美国罗切斯 特大学在实体表达的基础上推出PADL软件，实体建模开始进入实用。目
讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为探讨各个截 面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。 分解的方法通常有沿三个坐标轴分解，或沿微分面的法线和切线方向分解。
力的方 向。切应力不仅需要确定截面方位，还需要指明方向，为了表达弹性体内 部任意一点的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过点截 取一个平行六面体单元。
位移：由于外载荷作用或温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间 的位置将发生变化，即产生位移。在这个移动过程中，弹性体将可能同时 发生两种位移变化。第一种位移是由于位置的改变，但物体内各个点仍然 保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的， 因此称为刚体位移。第二种是由于弹性体形状的变化，位移发生时不仅改 变物体的决定位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形 状变化引起的位移，称为变形。 在弹性力学中，主要研究变形。因为变形和弹性体的应力有着直接的 关系。根据连续性假设，弹性体在变形前后仍保持为连续体。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2 yz zx xy x yz , x x y z 2 yz , yz 2 xy yz 2 y zx zx 2 , , y y z x zx zx 2 z 2 xy xy yz zx 2 . ; z z x y xy xy
( S S )
第八章
空间问题的解答
V内方程
3. 在V内导出求应力的方程 :
（1）平衡微分方程（三个）。
（2）相容方程（六个）: 从几何方程消去位移，导出六个相容方程：
y
2
z 2
2 z 2 y
2 z 2 x 2 2 x z 2 2 y x 2 y x 2
。
(e)
其中
R z
2
2

1
2
。
第八章
空间问题的解答
应力特征： （1）当R , 应力 0; 当R 0, 应力 。 （2）水平截面上的应力 σ z 和 z 与弹性常 数无关。 （3）水平截面上的全应力，指向F作用点
o。
边界面上任一点的沉陷， F 2 1 u z z0 。 E
(b)
第八章
空间问题的解答
求解方程
相应的应力为
σx σ y
1

g z A,
σ z g z A,
yz zx xy 0。

(c)
第八章
空间问题的解答
边界条件
（2）在z=0的负z面，应力边界条件为
, zy z0 0, ( z ) z0 q。
第八章
空间问题的解答
轴对称问题
其中体积应变
u u u z ; z
轴对称的拉普拉斯算子为
2 1 2 。 2
（2） σ 上的应力边界条件。 S （3）Su 上的位移边界条件。
第八章
空间问题的解答
思考题
1、试导出空间问题中 Sσ上的应力边界条件 （8-4）。 2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程（书中式（8-4）），并将 sσ 上的应力边界条件 (σ s ) f 用位移 来表示。
其中拉普拉斯算子
(b)
2 2 2。 x y z
2 2 2 2
第八章
空间问题的解答
边界条件
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件：
E μ u m v u n w u l 1 2 μ x 2 x y 2 x z f x。 1 μ s
( x, y, z; u, v, w) (在sσ 上) (c)
位移边界条件仍为:
u s u。 (在su上)
(d )
第八章
空间问题的解答
按位移求解
归结：按位移求解空间问题，位移
u,v,w 必须满足：
（1）V内的平衡微分方程(b), （2）sσ 上的应力边界条件(c), （3）su上的位移边界条件(d)。
第八章
空间问题的解答
问题
§8-3
半空间体在边界上受 法向集中力
设有半空间体，在o点受有法向集中力F。 本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解， 而位移 u 0, ,而 u ρ 和 u z 应满足:
第八章
空间问题的解答
求解条件
（1）平衡微分方程（书中（8-4））
1 1 2 1 1 2 uρ 2 u 2 0, 2u z 0, z
第八章
空间问题的解答
2. 若将空间问题的伽辽金位移函数向平面 应变问题简化，将得到什么形式的表达 式？再转向平面应力问题，又将得到什 么形式的表达式？并与平面问题的位移 函数相比较（参见“弹性力学简明教程学 习指导”和第二章教学参考资料）。
3. 试用伽辽金位移函数的表达式(8-9),导 出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学 习 指导”）。
第八章
空间问题的解答
求解方程
（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，
E 1 d 2 w d 2 w g 0。 21 1 2 d z 2 d z 2
积分两次, 得
1 12 z A2 B。 w 2E 1
第八章
空间问题的解答
第一节 第二节 第三节
按位移求解空间问题 半空间体受重力及均布压力 半空间体在边界上受法向集中力
第四节
第五节 第六节 第七节 第八节
按应力求解空间问题
等截面直杆的扭转 扭转问题的薄膜比拟 椭圆截面杆的扭转 矩形截面杆的扭转 习题的提示和答案 教学参考资料
例题
第八章
空间问题的解答
(a)
其中
u u u z 。 z
第八章
空间问题的解答
（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力 边界条件为
σ z z 0, 0 0,
z
z 0, 0
0。
(b)
（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用， 取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣 维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：
2
, Rz
(d )
第八章
空间问题的解答
1 2 R 3 2 z F σ 3 , 2 2R R z R
σ
1 2 F z
2R
3
R R R z ,
2
3Fz 3Fz σz , z 5 2R 5 2R
第八章
空间问题的解答
按应力求解
§8－4 按应力求解空间问题
按应力求解空间问题的方法：
1. 取σx … τyz…为基本未知函数。
2. 其他未知函数用应力表示: 形变可以通过物理方程用应力表示。 位移要通过对几何方程的积分，才能用形变 或应力表示，其中会出现待定的积分函 数。
第八章
空间问题的解答
因此,位移边界条件等用应力表示时， 既复杂又难以求解。所以按应力求解通常 只解全部为 应力边界条件 的问题。
u E 1 2 1 2 u 2 f 0, 21 (e) E 1 2 u z f z 0, 2(1 ) 1 2 z
第八章
空间问题的解答
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可 参见有关书籍。 （4）相容方程必须为六个。相容方程和平 衡微分方程的数目大于未知函数的数
这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。
第八章
空间问题的解答
优点
在空间问题中，按位移求解方法尤为 要：
1.能适用于各种边界条件。
2.未知函数及方程的数目少。而按应力求
解时，没有普遍性的应力函数存在。
3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的
应用。
第八章
空间问题的解答
轴对称问题
按位移求解空间轴对称问题 在柱坐标 ( , , z )中，可以相似地导出： 位移 uρ , u z 应满足： （1）V内的平衡微分方程，
2
B。 ( f )
其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。 若为半无限大空间体，则没有约束条
件可以确定B；
若z=h为刚性层，则由 ( w) z h 0可以确 定B。
第八章
空间问题的解答
侧压力系数
侧面压力与铅直压力之比，称为侧压
力系数。即
σx σy 。 σz σz 1
(g )
其中体积应变 u v w。
x y z
3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在 V内求解位移的基本方程：
第八章
空间问题的解答
V内基本方程
E 1 2 1 2 μ x u f x 0, 21 μ
( x, y, z;u,v,w)
第八章
空间问题的解答
讨论：
1 当 μ 时，侧向变形最大，侧向压力 2
也最大， σ x σ y σ z。 说明物体的刚度极小，
接近于流体。
当 0时，正应力不引起侧向变形。
说明物体的刚度极大，接近于刚体。
第八章
空间问题的解答
思考题 1、如果图中的问题改为平面应力问题， 或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解？
按位移求解
§8－1 按位移求解空间问题
在直角坐标系中，按位移求解空间问 题，与平面问题相似，即 1. 取u,v,w为基本未知函数。 2. 将应变用位移来表示，可以引用 几何方程。 将应力先用应变表示（应用物理方 程），再代入几何方程，也用位移来表示：
第八章
空间问题的解答
按位移求解
E μ u , σx 1 μ 1 2 μ x ( x, y, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ;u,v,w) (a ) E w v , τ yz 21 μ y z
F
z
0,
0 σ z z z 2 d F 0;

(c)
第八章
空间问题的解答
由于轴对称，其余的5个平衡条件均为 自然满足。 布西内斯克得出满足上述全部条件的 解答为
u
1 F z 1 2
2ER R
2

1 F z uz 21 R 2 ; 2ER
第八章
空间问题的解答
相容方程说明
对于相容方程说明如下：
（1）物体满足连续性条件 导出形变和位 移之间的几何方程 导出相容方程。 （2）形变满足相容方程 对应的位移存在 且连续 物体保持连续；形变不满足 相容方程 对应的位移不存在 物 体不保持连续。 所以相容方程是位移的连续性条件。