第八、九章 向量代数与空间解析几何总结
向量代数
定义 定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=
,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===
模
向量a 的模记作a
a 222x y z a a a =++
和差
c a b =+ c a b =－
=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b
单位向量
0a ≠，则a a
e a
=
a e 2
2
2
(,,)=
++x y z x y z a a a a a a
方向余弦
设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos
cos y x z a a a a
a
a
αβγ==
=
，cos ，cos
cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）
θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹
角
z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a
叉乘（向量积）
b a
c ⨯=
θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直
z
y x
z y x
b b b a a a k j i
b a =⨯ 定理与公式
垂直 0a b a b ⊥⇔⋅=
0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=
平行
//0a b a b ⇔⨯=
//y z
x x y z
a a a a
b b b b ⇔
== 交角余弦
两向量夹角余弦b
a b
a ⋅=θcos
2
2
2
2
2
2
cos x x y y z z
x y z x y z
a b a b a b a a a b b b θ++=
++⋅++
投影
向量a 在非零向量b 上的投影
cos()b a b
prj a a a b b
∧⋅==
2
2
2
x x y y z z
b x y z
a b a b a b prj a b b b ++=
++
平面
直线
法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M
方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M
方程名称 方程形式及特征
方程名称 方程形式及特征
一般式 0=+++D Cz By Ax 一般式 ⎩⎨
⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A 点法式
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
点向式
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-
法向量
000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--或
00(((,x y n f x f x =
第十章 总结
重积分 积分类型
计算方法
典型例题
二重积分
()σ
d ,⎰⎰=D
y x f I
平面薄片的质量
质量=面密度
⨯面积
（1） 利用直角坐标系
X —型 ⎰⎰⎰⎰=D
b
a
x x dy y x f dx dxdy y x f )
()
(21),(),(φφ
Y —型
⎰
⎰
⎰⎰=d
c
y y D
dx y x f dy dxdy y x f )
()
(21),(),(ϕϕ
P141—例1、例3
（2）利用极坐标系 使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α
+, α为实数 )
21()()
(cos ,sin )(cos ,sin )D
f d d d f d β
ϕθα
ϕθρθρθρρθ
θρθρθρρ
=⎰⎰⎰⎰
02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤
P147—例5
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）
110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy
f x y x f x y f x y D D ⎧
⎪⎪-=-⎪⎪
=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩
⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分
P141—例2
应用该性质更方便
计算步骤及注意事项
1． 画出积分区域
2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性
