第七章 第七节 用向量解决平行、垂直及夹角的计算(理)

第七章 第七节用向量解决平行、垂直及夹角的计算（理）1.在正方体ABCD 111111 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A解析：如图所示，易证BD ⊥平面AA 1C 1C ，又CE 平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CE .答案：B2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 ( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 解析：∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a 3， ∴MB ＝231A B ，CN＝23CA ，∴MN ＝MB ＋BC＋CN ＝231A B ＋BC ＋23CA＝23(11A B ＋1B B)＋BC ＋23(CD ＋DA ) ＝231B B＋1311B C . 又∵CD是平面B 1BCC 1的法向量，且MN ·CD＝(231B B ＋1311B C )·CD ＝0， ∴MN ⊥CD，∴MN ∥平面B 1BCC 1. 答案 B3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N〉的值为 ( ) A.19 B.495 C.29 5 D.23解析：设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，可知CM ＝(2，－2,1)，1D N＝(2,2，－1)，cos 〈CM ，1D N 〉＝－19，sin 〈CM ，1D N 〉＝459.答案：B4．(2009·上海高考)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C —C 1的大小．解：如图，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)， 设AC 的中点为M ， ∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1. ∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )．1A C ＝(－2,2，－2)，1A B＝(－2,0,0)，∴11120,2220,n A B x n A C x y z ⎧=-=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ∴n ＝(0,1,1)，设法向量n 与BM的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cos θ＝|cos φ|＝n BM n BM＝12，解得θ＝π3.∴二面角B 1－A 1C －C1的大小为π3.5.111111＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则 ( ) A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直 B ．EF 与A 1D 、AC 都垂直 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面解析：建立坐标系如图，设A (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(1,0,1)，则E (13，0，13)，F (23，13，0)，由于1DA ＝(1,0,1)，AC ＝(－1,1,0)，EF ＝(13，13，－13)，EF ·1DA ＝0，EF ·AC ＝0，EF 与A 1D ，AC 都垂直． 答案：B6．如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B＝λ.当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．解：由题设可知，以DA 、DC 、1DD为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)．由1D B＝(1,1，－1)， 得1D P ＝λ1D B＝(λ，λ，－λ)，所以PA ＝1PD―→＋1D A ＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC ＝1PD ＋1D C＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＝cos 〈PA ，PC 〉＝PA PCPA PC<0，这等价于PA ·PC<0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2 ＝(λ－1)(3λ－1)<0，得13<λ<1.因此，λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.7．如图，P －ABCD 是正四棱锥，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB＝2，PA ＝ 6. (1)求证：PA ⊥B 1D 1；(2)求平面PAD 与平面BDD 1B 1所成锐二面角的余弦值． 解：以D 1为原点，D 1A 1所在直线为x 轴，D 1C 1所在直 线为y 轴，D 1D 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则D 1(0,0,0)，A 1(2,0,0)，B 1(2,2,0)，C 1(0,2,0)， D (0,0,2)，A (2,0,2)，B (2,2,2)，C (0,2,2)， P (1,1,4)．(1)证明：∵AP ＝(－1,1,2)，11D B＝(2,2,0)， ∴AP ·11D B ＝－2＋2＋0＝0，∴PA ⊥B 1D 1.(2)平面BDD 1B 1的法向量为AC＝(－2,2,0)． DA＝(2,0,0)， OP＝(1,1,2)．设平面PAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DA ，n ⊥DP.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0，x ＋y ＋2z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2z ，取n ＝(0，－2,1)， 设所求锐二面角为θ，则cos θ＝n AC n AC＝|0－4＋0|22×5＝105. 8．(2010·广州调研)如图，已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC ＝90°，RB ＝BC ＝2.点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC . (1)求证：BC ⊥PB ；(2)求二面角A －CD －P 的平面角的余弦值． 解：(1)证明：点A 、D 分别是RB 、RC 的中点， ∴AD ∥BC ，AD ＝12BC ，∴∠PAD ＝∠RAD ＝∠RBC ＝90°， ∴PA ⊥AD ，∴PA ⊥BC ，∵BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB .∵PB Ü平面PAB ，∴BC ⊥PB .(2)法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF . ∵RA ＝AD ＝1， ∴AF ⊥RC .∵AP ⊥AR ，AP ⊥AD ， ∴AP ⊥平面RBC . ∵RC Ü平面RBC ， ∴RC ⊥AP . ∵AF ∩AP ＝A ， ∴RC ⊥平面PAF . ∵PF Ü平面PAF ， ∴RC ⊥PF .∴∠AFP 是二面角A －CD －P 的平面角． 在Rt △RAD 中，AF ＝12RD ＝12RA 2＋AD 2＝22，在Rt △PAF 中，PF ＝PA 2＋AF 2＝62， cos ∠AFP ＝AF PF ＝2262＝33.∴二面角A －CD －P 的平面角的余弦值是33. 法二：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 则D (－1,0,0)，C (－2,1,0)， P (0,0,1)．∴DC ＝(－1,1,0)，DP＝(1,0,1)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则：⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC ―→＝－x ＋y ＝0，n ·DP ―→＝x ＋z ＝0，令x ＝1，得y ＝1，z ＝－1， ∴n ＝(1,1，－1)．显然，PA 是平面ACD 的一个法向量，PA＝(0,0，－1)．∴cos 〈n ，PA 〉＝n PA n PA＝13×1＝33.∴二面角A －CD －P 的平面角的余弦值是33. 9．(2009·江西高考改编)如图在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， PA ＝AD ＝4，AB ＝2.以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N . (1)求证：平面ABM ⊥平面PCD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； 解：法一：(1)证明：依题设知，AC 是所作球面的直径， 则AM ⊥MC .又因为PA ⊥平面ABCD ，CD Ü平面ABCD ， ∴PA ⊥CD .又CD ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD ，∵AM Ü平面PAD ，∴CD ⊥AM ， 又CD ∩CM ＝C ，所以AM ⊥平面PCD ， ∵AM Ü平面ABM ， 所以平面ABM ⊥平面PCD .(2)由(1)知，AM ⊥PD ，又PA ＝AD ，则M 是PD 的中点，可得AM ＝22且M 到平面ABCD 的距离为2， MC ＝MD 2＋CD 2＝23，则S △ACM ＝12AM ·MC ＝26，S △ACD ＝4.设D 到平面ACM 的距离为h ， 由V D －ACM ＝V M －ACD ，即26h ＝8， 可求得h ＝263. 设所求角为θ，则sin θ＝h CD ＝63， 即直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值为63. 法二：(1)同法一；(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,4)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，D (0,4,0)，∴CD ＝(－2,0,0)，AC＝(2,4,0)．由(1)知，AM ⊥PD ，又PA ＝AD ，则M 是PD 的中点，故M (0,2,2)，所以AM＝(0,2,2)．设平面ACM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC ，n ⊥AM ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝0，2y ＋2z ＝0，令z ＝1，则n ＝(2，－1,1)． 设所求角为α，则sin α＝CD n CD n＝63，所求角的正弦值为63.。