8.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线方程

时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由
增大到π(α≠π)时，
k由－∞趋近于0(k≠0)，当然解决此类问题时，也可采用数形结合思想，
借助图形直观地作出判断．
1．直线的斜率与倾斜角 (1)直线的斜率


已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率
k＝
不存在
2．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在
具体求
直线方程时，由于所给的条件和采用的直线形式所限，可能会产
【知识拓展】
求直线的斜率及倾斜角的范围
(1)斜率k是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条
直线都
(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α是单 存在斜率．倾斜角为90°的直线无斜率． 调函数，当α∈ 由0增大到 时，k由0增大到＋∞；当α∈
＝
(x1≠x2 )。
(2)直线的倾斜角 ． 斜率
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕 着
逆时针
交点按 的倾斜角．
方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线
0°
2．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 方 程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
单调函数，因此当k的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断
开的，如本题就是．
【答题模板】
解：由题意，得直线2xsin α＋2y－5＝0的斜率为k＝－sin α.
又－1≤sin α≤1，

平面直角坐标系与直线的方程与性质平面直角坐标系是用来描述平面中点的位置的一种数学工具。

它由两条相互垂直的直线组成，其中一条被称为x轴，另一条被称为y轴。

这两条直线的交点被定义为原点，用O表示。

我们可以根据坐标轴上的点与原点的距离和方向来描述平面中的点。

直线是平面上最基本的几何图形之一，它由无限多个点组成，且任意两点都能确定一条直线。

在平面直角坐标系中，直线可以用方程来表示。

下面我们将详细介绍直线的方程及其性质。

一、直线的方程形式在平面直角坐标系中，直线的方程有几种常见的形式，包括点斜式、斜截式和一般式等。

1. 点斜式方程点斜式方程是直线方程中最常见的一种形式，它利用直线上的一个已知点和直线的斜率来表示。

设已知点为P(x1, y1)，直线的斜率为k，则点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)2. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中另一常见的形式，它利用直线在y轴上的截距和直线的斜率来表示。

设直线在y轴上的截距为b，直线的斜率为k，则斜截式方程可以表示为：y = kx + b3. 一般式方程一般式方程是直线方程的一种标准形式，它可以表示为：Ax + By +C = 0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0。

二、直线的性质直线在平面直角坐标系中有许多重要的性质，下面我们将介绍其中几个常见的性质。

1. 斜率直线的斜率是直线性质中最重要的一个概念，它描述了直线在坐标轴上上升或下降的速度。

斜率可以通过直线上两点的坐标计算得出，对于点(x1, y1)和点(x2, y2)来说，其斜率可以表示为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

斜率可以用来判断直线的倾斜方向和陡峭程度。

2. 与坐标轴的交点直线与坐标轴的交点可以通过直线的方程求解。

对于点斜式方程，直线与x轴的交点可以通过将y=0代入方程求解；直线与y轴的交点则是直线在y轴上的截距。

对于斜截式方程，直线与x轴的交点是直线在x轴上的截距；直线与y轴的交点则可以通过将x=0代入方程求解。

平面直角坐标系规律
在平面直角坐标系中，规律主要体现在点的坐标表示、距离
计算、直线方程和图形变换等方面。

1.坐标表示：
平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x,y)表示，
其中x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影
长度。

根据坐标的正负，可以判断点在哪个象限。

2.距离计算：
两点之间的距离可以通过勾股定理计算，即
$d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}$。

这个公式可以用来
计算两点之间的直线距离。

3.直线方程：
在平面直角坐标系中，直线可以用一般式、斜截式、点斜式
和截距式等多种形式表示。

例如，一般式表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数；斜截式表示为y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距；点斜式表示为yy_1=k(xx_1)，其中(x_1,y_1)
为直线上一点的坐标；截距式表示为x/a+y/b=1，其中a、b
为x和y轴的截距。

4.图形变换：
平面直角坐标系中，常见的图形变换包括平移、旋转、缩放和对称等。

平移是通过给坐标加上一个平移向量实现，旋转是通过坐标旋转变换矩阵实现，缩放是通过给坐标乘上一个缩放因子实现，对称是通过以某一直线或点为中心实现。

总结一下，平面直角坐标系中的规律主要体现在坐标表示、距离计算、直线方程和图形变换等方面。

这些规律在几何学、图像处理、物理学等领域中都有广泛应用。

《平面直角坐标系中的基本公式》【学习目标】（1）理解两点间距离和中点的概念，并会求两点距离及其中点坐标。

（2）理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题。

【学习重点】用勾股定理和轴上向量的计算公式推导平面上两点间的距离公式和中点坐标公式。

【学习难点】应用坐标方法研究几何问题。

知识点一：两点间的距离公式探究：在直角坐标平面内如何求A ，B 两点间的距离。

探究一：点A （0,0），点B （x 1,y 1）在任意位置，求AB 的距离？探究二：点11(,)A x y 、点22(,)B x y 都在任意位置，求AB 的距离？趁热打铁：1、 求下列两点间的距离： （1）A （6，2），B （-2，5）（2）C （2，-4），D （7，2）2、已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，判断三角形ABC 的形状。

变式：已知：A （1，1）B （5，3）C （0，3）求证：三角形ABC 是直角三角形。

知识点二：中点公式探究三：在直角坐标系中，如何计算任意两点1122(,),(,)A x y B x y 的中点M （x , y )的坐标？趁热打铁：1、求线段AB 中点M 的坐标： （1）A （3，4）,B(-3,2) （2）A(-8,-3),B(5,-3)2、已知点A （1,4），B （x,y ），AB 中点坐标为M （2,3），求点B 的坐标。

解题方法小结：应用、已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标， A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D 的坐标。

【典例剖析】例1、 已知矩形ABCD ，求证22222()AC BD AB AD +=+。

变式：已知平行四边形ABCD ，求证22222()AC BD AB AD +=+。

思考：什么是坐标法？用坐标法证题的基本步骤？【小结】本节课你学到了什么？检测1、 已知)10,0(),0,(B a A 两点的距离等于17，求a 的值。

2、 求下列各点关于M （-2,1）的中心对称点，A(2,-3), B(1,3), C(-1,-3), D(-3,5).3、 已知△ABC 的顶点坐标为A(3,2),B(1,0),C(2,4),求AB 边上的中线的长。