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数学选修2-2导数及其应用知识点1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ————————n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -=11n nx x dx n +=+⎰x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x xa a dx a =⎰x y e = 'x y e = x xe dx e =⎰log a y x=()0,1,0a a x >≠>1'ln y x a = ————————ln y x = 1'y x=1ln dx x x =⎰ sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =⎰cos y x ='sin y x =-sin cos xdx x =-⎰6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算 []'''()()()()f x g x f x g x ±=±积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰ （其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bbaakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？ 答：①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
数学选修2-3知识点总结
计数原理：这部分主要讲解分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
分类加法计数原理指的是，如果完成一件事情有N类方法，每类方法中有不同的方法数，那么完成这件事情的总方法数就是各类方法数之和。
而分步乘法计数原理则是说，如果完成一件事情需要分成N 个步骤，每个步骤中有不同的方法数，那么完成这件事情的总方法数就是各步骤方法数之积。
二项式定理：这部分主要讲解二项式定理及其通项公式，以及二项式系数的性质。
二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，而二项式通项公式则给出了展开式中每一项的具体形式。
二项式系数的性质包括对称性、增减性与最大值以及各二项式系数和等。
概率论初步：这部分主要讲解随机事件、概率等基本概念，以及概率的基本性质。
随机事件是指在一次试验中可能出现的结果，而概率则是衡量随机事件发生的可能性的数值。
随机变量及其分布：这部分主要讲解随机变量的概念及其分布。
随机变量是随机试验可能出现的结果的数值表示，常见的随机变量分布有离散型分布和连续型分布。
以上就是数学选修2-3的主要知识点，通过学习这些内容，学生可以掌握基本的计数原理、二项式定理、概率论以及随机变量及其分布等数学知识，为进一步学习数学或其他相关学科打下基础。
高中数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点：一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：无 知识点：1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） ° ° ° ° ★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点：1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用★3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）★53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3πD.π43二、题型二：导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性． 三、导数在最值、极值中的运用：★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.5★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
数学选修2-2第一章导数及其应用知识点必记1、函数的平均变化率:=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 3、平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4、导数的背景:切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：7、用导数求函数单调区间的步骤: (注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域)。
①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围就是递减区间； 8、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 9、求可导函数f (x )的极值的步骤(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值； 如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。
数学选修2-2导数及其应用知识点1.函数的平均变化率是什么？yf f(x 2) f(x 1) f(x 1 x) f(x 1)答:平均变化率为 — ———— ----- -- -xx x 2 x i x注1 :其中x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平也要。
2、导函数的概念是什么？答：函数y f(x)在x x 0处的瞬时变化率是lim 」lim fx —x) f(x0) ,则称函数y x 0 x x 0 x 可导，并把这个极限叫做y f(x)在x 0处的导数，记作f '(x °)或 J y .. f(x o x) f(x o )f (x 0) = lim — lim --------------- .x 0 x x 0 x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。
6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若f x , g x 均可导(可积)，则有:f(x)在点x 0处y|x x 0,即性质5若f (x) 0, xb①推广：a [f 1(x)b②推广：f(x)dxba,b ,则 f(x)dx 0 ， a f 2(x) L f m (x)]dxc1c 2f (x)dx f (x)dxb bf 1(x)dxf z (x)dxaabL f (x)dxc k11定积分的取值情况有哪几种?答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.特别地：，‘当地 g x g x复合函数的导数 y x y u U x微积分基本定理bf x dx(其中 F' x f x )a 和差的积分运算bbb[f [(x) f z (x)]dxf 〔(x)dxf z (x)dxaaabb蚌口 wakf(x)dx ka"x)dx(k 为常数)积分的区间可加性bcbaf(x)dx a f(x)dx c f(x)dx (其中a c b)6.用导数求函数单调区间的步骤是什么?答：①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f '(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间; 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
高中数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点：一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：无 知识点： 二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'= 2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f = ★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（）° ° ° °★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =三.导数在研究函数中的应用 知识点：1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用★1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ）A.（－2，－8）B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）★2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ）A.6πB.4πC.3πD.π43二、题型二：导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a =-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．三、导数在最值、极值中的运用：★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）A ．2 B. 3 C. 4★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） , - 15 , 4 4 , - 15 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
数学选修2-2导数及其应用知识点1 •函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为丄丄f（X2） f（X i） fix―X）f（X i）X X X2 X! x注1：其中X是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数y f（x）在X X o处的瞬时变化率是lim y lim —X）f（Xo），贝U称函数y f（x）在点x。
处xX 0 X X 0可导，并把这个极限叫做y f（x）在x o处的导数，记作f'（x。
）或y'—，即' y f （x0x） f （x0）f （X o）= lim lim 0 0 .x 0 x x 0 x3. 平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若f x，g x均可导（可积），则有:微积分基本定理bf x dx(其中 F' x f x )a和差的积分运算bbb[h(x) f 2(x)]dxh(x)dxf 2(x)dxaaabb特别地：akf(x)dxk a f(x)dX (k 为常数)积分的区间可加性b c b r r.f (x)dx f (x)dxf(x)dx (其中a c b)aac6.用导数求函数单调区间的步骤是什么? 答：①求函数f(x)的导数f'(x)② 令f'(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③ 令f '(x) <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7•求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。
(2)求函数f(x)的导数f'(x)⑶求方程f '(x) =0的根 ⑷ 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 并列成表格，检查『(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值8•利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求f (x)在a, b 上的极值； ⑵将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9•求曲边梯形的思想和步骤是什么？ _ 答：分割 近似代替| 求和 取极限|(以直代曲”的思想)10•定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：…十b性质1 1dx b aa性质 5 若 f (x)0, x a,b ，贝U b f(x)dx 0abqC 2b②推广：f (x)dx f(x)dx f (x)dx L f (x)dxaaqq11定积分的取值情况有哪几种？ 答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是 0.(l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且 等于X 轴上方的图形面积;(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且 等于X 轴上方图形面积的相反数；3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯 形面积时，定积分的值为 Q ,且等于x 轴上方图形的面积减去下方 的图形的面积. 12•物理中常用的微积分知识有哪些？答：(1)位移的导数为速度，速度的导数为加速度。
