八年级分式方程-课件
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八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第2课时分式的基本性质pptx课件鲁教版五四制
x
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
华东师大版数学八年级下册16.分式方程及其解法课件(共22张)
视察这个方程与我们学过的一 元一次方程有什么不同？
新课推动
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和 逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析 设轮船在静水中的速度为x千米/时，
根据题意，得
80 60 x3 x3
（*）
概 括 方程（*）中含有分式，并且分母中含 有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
概括
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
思考：x=1是不是原分式方 程的解（或根）呢？
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
概括 在解分式方程时，产生不合适原分式方
程的解（或根），这种根通常称为增根.因此， 在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程 的根呢？分式方程如何检验呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得 的整式方程的根是否使原分式方程中的分式 的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代 入所乘的整式（即最简公分母），看它的值 是否为零.如果为零，即为增根.
例2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.
新课推动
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和 逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析 设轮船在静水中的速度为x千米/时，
根据题意，得
80 60 x3 x3
（*）
概 括 方程（*）中含有分式，并且分母中含 有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
概括
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
思考：x=1是不是原分式方 程的解（或根）呢？
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
概括 在解分式方程时，产生不合适原分式方
程的解（或根），这种根通常称为增根.因此， 在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程 的根呢？分式方程如何检验呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得 的整式方程的根是否使原分式方程中的分式 的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代 入所乘的整式（即最简公分母），看它的值 是否为零.如果为零，即为增根.
例2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.
苏科版八年级数学下册10.5分式方程课件
4
5
1
（3）
2 ； （4） 2
2
0.
x 1 x 1
x x x x
检测反馈
检测反馈
检测反馈
检测反馈
有增根？
x3
3 x
解：原方程可变形为
x2
m
2
x 3
x 3
方程两边同乘以（x 3），得 x 2 2( x 3) m
m=4-x
①
当 x 3 0 时,即 x 3时原分式方程会产生增根
把 x 3 代入①中,则 m 1
合作学习
随堂练习
3
6
x+m
当m=_____时，— + —— = ——有增根.
10.5 分式方程（2）
八年级下册
复习回顾
1.分式方程的概念: 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2.解分式方程的基本思想:
乘最简公分母
分式方程
转化
3.解分式方程的关键:找最简公分母.
4.解分式方程的步骤:一化二解三检验.
整式方程
学 习 目 标
1．了解分式方程产生增根的原因；
2．学会检验根的合理性；
1
随堂练习（2）
x 2 3x 6
解：两边同乘以3(x-2),得：
3(5x-4)＝4x+10-3(x-2)
x=2
检验：把x＝2代入3(x-2)＝0
∴x＝2不是原方程的根 ∴原方程无解
检测反馈
1、解下列方程：
1
2
x
2x
（1）
； （2）
1；
2x x 3
x 1 3x 3
2
−
5
1
（3）
2 ； （4） 2
2
0.
x 1 x 1
x x x x
检测反馈
检测反馈
检测反馈
检测反馈
有增根？
x3
3 x
解：原方程可变形为
x2
m
2
x 3
x 3
方程两边同乘以（x 3），得 x 2 2( x 3) m
m=4-x
①
当 x 3 0 时,即 x 3时原分式方程会产生增根
把 x 3 代入①中,则 m 1
合作学习
随堂练习
3
6
x+m
当m=_____时，— + —— = ——有增根.
10.5 分式方程（2）
八年级下册
复习回顾
1.分式方程的概念: 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2.解分式方程的基本思想:
乘最简公分母
分式方程
转化
3.解分式方程的关键:找最简公分母.
4.解分式方程的步骤:一化二解三检验.
整式方程
学 习 目 标
1．了解分式方程产生增根的原因；
2．学会检验根的合理性；
1
随堂练习（2）
x 2 3x 6
解：两边同乘以3(x-2),得：
3(5x-4)＝4x+10-3(x-2)
x=2
检验：把x＝2代入3(x-2)＝0
∴x＝2不是原方程的根 ∴原方程无解
检测反馈
1、解下列方程：
1
2
x
2x
（1）
； （2）
1；
2x x 3
x 1 3x 3
2
−
八年级数学上册第二章分式与分式方程复习课件(30张PPT)
解这个方程得：x＝30
经检验:x＝30 是原方程的解, 所以 1.5x＝45 答：实际有 45 人参加了植树活动。
评注：1、分式方程解应用题应相应地增加检验的过程。 2、要注意灵活设未知数。
列方程解应用题：
例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出 发到1千米时发现有一物品遗忘在A地 ，立即返回，取过物品后又立即从A地 向B地行进，这样两人恰好在A、B两 地中点处相遇，又知甲比乙每小时多 走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
一、分式的概念：
x2 4 1. 若分式 (x 1)(x 2)
若有意义，则x应满足（ B ）
A、x≠-1 C、x≠2
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2
B、x =-2
C、 x 2 D、x =-1或x =2
二、分式的基本性质
1.若把分式 2x 的yx 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
7.通分
(1) x 与 y
6a2b
9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
计算： 8 9
10
算一算
11、解方程
(1) 2 1 x2 x
(2) x 1 1 3 x2 2x
12、列方程，解应用题： 甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技
术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增 加20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超 过140千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条 铁路的现有的条件下列车还可以提速.
经检验:x＝30 是原方程的解, 所以 1.5x＝45 答：实际有 45 人参加了植树活动。
评注：1、分式方程解应用题应相应地增加检验的过程。 2、要注意灵活设未知数。
列方程解应用题：
例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出 发到1千米时发现有一物品遗忘在A地 ，立即返回，取过物品后又立即从A地 向B地行进，这样两人恰好在A、B两 地中点处相遇，又知甲比乙每小时多 走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
一、分式的概念：
x2 4 1. 若分式 (x 1)(x 2)
若有意义，则x应满足（ B ）
A、x≠-1 C、x≠2
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2
B、x =-2
C、 x 2 D、x =-1或x =2
二、分式的基本性质
1.若把分式 2x 的yx 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
7.通分
(1) x 与 y
6a2b
9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
计算： 8 9
10
算一算
11、解方程
(1) 2 1 x2 x
(2) x 1 1 3 x2 2x
12、列方程，解应用题： 甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技
术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增 加20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超 过140千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条 铁路的现有的条件下列车还可以提速.
人教版八年级上册数学精品教学课件 第1课时 分式方程及其解法3
8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
y 1 y 2y01yy12y1,y2102yyy1121y,y220 20
下面的过程请同学们自己完成 相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法
北师大版八年级数学下册：分式方程课件
所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.
四、随堂练习
1.勤洗手，戴口罩.小明第一次用120元买了若干包口罩,第二次用240元 在同一商家买同样的口罩,这次商家每包优惠4元,结果比上次多买了20包, 求第一次买了多少包口罩?若设第一次买了x包口罩,列方程正确的是( D.).
A. 240 120 4 x 20 x
3
x
11x 3
15
30 15 5. 11x x
3
30
三、典例分析
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3， 则今年居民
用水的价格为
1
1 3
x 元/m3.
30
根据题意，得：
1
1
x
15 x
5.
3
解得：
x3 2
经检验， x 3 是原方程的根.
2
整理
45 15 5.
2x x
3 1 1 2 元 / m3 23
所有房屋出租的租金第一年为9.6万元， 第二年为10.2万元.
第一年所有房屋出租的租金=9.6万元 第二年所有房屋出租的租金=10.2万元
1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
找等量 关系
第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金+ 500.
第一年出租的房屋间数 = 第二年出租的房屋间数.
发掘隐含条件！
在“火神山”医院的建造过程中，有两个工程队共同参其中一项搬运工程，
甲队单独施工1天完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工 作了半天天，总工程全部完成. 乙单独干这项工程需要多长时间？
解:设小亮每小时各加工x个，则小明每小时各加工(x+10)个.
根据题意，得：
150 120 . x 10 x
新人教版初中八年级数学上册《分式方程》教学课件
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
最新人教版初中数学八年级上册《15.3 分式方程(第2课时)》精品教学课件
解：方程两边都乘以最简公分母 ( x 1)( x 1)
得： （x–1）+2（x+1）=4
∴x=1
检验：当x=1时，（x+1）（x–1）=0，
所以x=1不是原方程的根.
∴原方程无解.
课堂检测
能力提升题
某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯
片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与
当x= –3时,(k+1)(–3)=4k,
所以当k=3或
时,原分式方程无解.
巩固练习
如果关于x的方程
A. –3
无解,则m的值等于（ B ）
B. –2
C. –1
D. 3
解析:方程的两边都乘x–3,得2=x–3–m,移项并合并同类项
得,x=5+m，由于方程无解,此时x=3,即5+m=3,
∴m = –2.
用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，
求购买了多少条A型芯片？
课堂检测
解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x–9）元/条，根
据题意得：
−
=
，
解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解，
具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解
情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工
完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的
1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多
八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第1课时认识分式pptx课件鲁教版五四制
求解．
3.易错警示：当分母出现含字母的式子是平方形式时，容
易出现考虑不周的错误．
2
例2 分式 x 1 有意义，则x的取值范围是 ( A )
A．x≠1
B．x＝1
C．x≠－1
D．x＝－1
导引：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解.
根据题意得：x－1≠0，解得：x≠1.
归纳
求分式有意义时字母的取值
范围，一般是根据分母不等于0
构造不等式，求使分式的分母不
等于0的字母的取值范围．
例3 当x取何值时，下列分式无意义？
2 x－1
(1) 3 x ；
5 x＋1
(2) 3 x 2－27 .
导引：由分式无意义可得分母的值为0，从而利用方程求解．
2 x－1
解：(1)当3x＝0，即x＝0时，分式
无意义；
3x
(2)当3x2－27＝0，即x＝±3时，
b
和
,
a x 它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同?
相同点
都具有分数的形式
不同点 （观察分母）分母中有字母
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中
定义
A
A
含有字母，那么式子 B 叫做分式. 分式
B
中，A叫做分子，B叫做分母.
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，它的分子是被
除式，分母是除式，分数线相当于除号，分
数线还具有括号作用.
2. 判断一个式子是否是分式，不能将原式子进
行变形后再判断，而必须按照本来“面目”
2
3a
进行判断. 如： 是分式.
a
x＋2 2 x a＋2b
2x
3，
例1 下列各式：－3a ， 2 ，x ，π＋2 ，
初中数学人教版八年级上册《15.分式方程》课件(1)
谢谢大家
解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n),
可得(x+m)(x-m)+(x+n)(x-n)=2(x-m)(x-n),
即是 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2m,n 整理得：2(m n)x (m n)2 ，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得：x m n ，
5k
解得k≠-3.
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
3 k ≠，1 5k
含字母的 分式方程
含字母的分式方程的概念
解含字母的分式方程的 一般步骤
若关于x的分式方程 2 - 1- kx 1 无解，求k的值. x-2 2-x
解析：分式方程无解分为两种情况： ①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可.
分式方程
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
解析：原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，m、n表示已 知数，将字母m、n看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 注意：原分式方程含有常数项，在去分母的时候要将常数项也乘 以最简公分母.
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
x
2
3
.
解：方程两边同时乘以2x(x+3)，得x+3=4x， 解得：x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3)=8≠0， 所以原分式方程的解是 x=1.
解分式方程： 2 x -1
4 x2 -1
.
解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得：x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解.
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解:
1 3 x2 x
x( x–2) ,得:
方程两边都乘以
x = 3( x – 2 )
解这个方程, 得:
x = 3
检验:将 x = 3 代入原方程,得: 左边 = 1 = 右边. 所以:x=3是原方程的根.
解分式的关键：把分式方程化为整式方程。
例题欣赏
【例2】解方程 480 600 45. x 2x 解 : 方程的两边乘以 x, 得 2
1 x 1 2
解这个方程，得
x 4
x 2 注意：给方程
想想：x = 2
是否原方程的根？
两边各项都乘 以最简公分母。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根. ········· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程 ···· ···· 的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简 公分母检验
母为０
a是分式
a不是分式 方程的解
方程的解
例：k为何值时，方程
k 1 x 3 产生增根？ x2 2 x
解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得 k+3（x-2)=x-1
解这个整式方程，得
5k x 2
当x=2时，原分式方程产生增根，即 2 5 k
2
解这个方程，得 所以当k=1时，方程
x 8 1 解方程 8. x7 7 x
释疑解难
解 : 方程的两边同乘以 x 7), 得 ( 你认为x=7是方程
议一议
x 8 1 8x 7.
解这个方程, 得 x7
的根吗？
与同伴交流你的看 法或做法.
•在上面的方程中,x=7不是原方程的根, 因为它使得原分式方程的分母为零,我 们称它为原方程的 增根.
1 x 1 解方程 2. x2 2 x
完 : 方程的两边同乘以 x 2), 得 解 ( 一化二解三 整 1 x 1 2 x 2 . 检验四结论 的 解这个程, 得 解 x 2. 法
尝试练习
检验：当 x 2 时，最简公分母 x 2 0
所以 x 2 是原方程的增根.
B.x+3=2
3.下列选项，（ B
A.x = 2
3 x 1 ）x 4 4 x 1
C.x = 4
的根
B.x = 3
D.x = 5
3 6 xm 1、当m=______时, 有增根. x x 1 x( x 1)
m= -3或m=5
解:在方程两边都乘以x(x-1)得 3(x-1)+6x=x+m 所以8x-m-3=0.
回顾 & 思考
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 1、当 x =3 时，分式 无意义。 x3
2、下列方程是分式方程的是（ B ）
x 3x 2 A. 3 4 5
x 1 x 3 5 7 C. B. 5 2 x x7
1 D. ( x 1) 2 3
3 1 3、分式 与 的最简公分母是（ x( x –2) ） x2 x
因为解分式方程时可能会产生增根，所
以解分式方程必需检验。
怎样进行检验呢？
方法一：把整式方程的根代入原分式方程，看它
是否能使原分式方程中左右两边的值相等。若相等则是根， 反之则是增根，需舍去。(直接验根法)
方法二：把整式方程的根代入最简公分母，如果最
简公分母的值等于0，则产生了增根，如果最简公分母的值不 等于0，则原方程没有产生增根。（公分母验根法）
说一说分
960 600 90 x.
解这个方程, 得 x 4. 检验 : 将x 4代入原方程 得 ,
左边 45 右边.
式方程 的 解法步骤 有哪几步
所以, x 4是原方程的根 .
一化二解三 检验四结论
你还有不同于例题的解法吗？
2.主动探究
合作学习 小组合作议一议：下面哪种解法正确？
2.若关于X的方程
3 6 xm 有增根，则m的值为 x x 1 x( x 1)
(
c)
A.1
B.0
C.1或0
D.2
1、①解分式方程的思路是：
分式方程 去分母 整式方程
一化二解三检验四结果
2、解分式方程的一般步骤：
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
目标
X=a
检验 最简公分 最简公分 母不为０
因为方程的增根是x=0或x=1 所以m= -3或m=5.
一定要 仔细哦
x 1 2x 1 1. 解方程 x 3x 1时
(1)去分母时， 原方程的整式 部分不要漏 乘． (2)约去分母 后，分子是多 项式时， 要 注意添括 号．
下列变形正确的是（ C ）
Ａ 3x 3 2 x 1 1 . Ｂ 3x 3 2 x 1 1 . Ｃ 3x 3 2 x 1 3x . Ｄ 3x 3 2 x 1 3x .
2x-1 -1= 2x+3 解方程: 2 6
解:去分母,方程两边都乘以6得: 3(2x-1)-6=2x+3 去括号,得: 移项,得: 6x-3-6=2x+3 6x-2x=3+3+6
合并同类项,得: 4x=12 系数化为1,得: x=3
解一元一次方程的一般步骤是什么?
范例学习 理解领会
例1 解方程
解方程 解法一：
1 x 1 2 x2 2 x
解法二：将原方程变形为
将原方程变形为
1 1 x 2 x2 x2
方程两边都乘以(x－2),得
1 1 x 2 x 2 x2
方程两边都乘以(x－2),得 （正确） 1 x 1 2( x 2 ) 解这个方程，得
K=1
k 1 x 3 产生增根。 x2 2 x
（1）作业本 （2）课本： P90习题3.7 知识技能 第 1题中的 （1）~（2）
结果是不是为零，使最简公分母为零的 根是原方程的增根，必须舍去.
4. 写出原方程的根.
x 2a 1、关于x的方程 x 3 x 3 2 有 增根，则增根是 （ ）
X=3
2.若分式
A.x-3=2 A 。
x 3 2 x3 x3
化为整式方程，正确（ C ）
C.x-3=2(x+3) D.x-3=2(x+3)
原方程无解.
2010 中考 试题
相信你是最棒的！
注意 解题
3 4 1 x 1 x
1 1 x 3 x2 2 x
格式 哦！
(2)
解分式方程的一般步骤：
1. 在方程的两边都 乘以最简公分母，约 去分母，化成整式方程.
2. 解这个整式方程. 3. 把整式方程的根代入最简公分母，每
1 3 x2 x
x( x–2) ,得:
方程两边都乘以
x = 3( x – 2 )
解这个方程, 得:
x = 3
检验:将 x = 3 代入原方程,得: 左边 = 1 = 右边. 所以:x=3是原方程的根.
解分式的关键：把分式方程化为整式方程。
例题欣赏
【例2】解方程 480 600 45. x 2x 解 : 方程的两边乘以 x, 得 2
1 x 1 2
解这个方程，得
x 4
x 2 注意：给方程
想想：x = 2
是否原方程的根？
两边各项都乘 以最简公分母。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根. ········· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程 ···· ···· 的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简 公分母检验
母为０
a是分式
a不是分式 方程的解
方程的解
例：k为何值时，方程
k 1 x 3 产生增根？ x2 2 x
解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得 k+3（x-2)=x-1
解这个整式方程，得
5k x 2
当x=2时，原分式方程产生增根，即 2 5 k
2
解这个方程，得 所以当k=1时，方程
x 8 1 解方程 8. x7 7 x
释疑解难
解 : 方程的两边同乘以 x 7), 得 ( 你认为x=7是方程
议一议
x 8 1 8x 7.
解这个方程, 得 x7
的根吗？
与同伴交流你的看 法或做法.
•在上面的方程中,x=7不是原方程的根, 因为它使得原分式方程的分母为零,我 们称它为原方程的 增根.
1 x 1 解方程 2. x2 2 x
完 : 方程的两边同乘以 x 2), 得 解 ( 一化二解三 整 1 x 1 2 x 2 . 检验四结论 的 解这个程, 得 解 x 2. 法
尝试练习
检验：当 x 2 时，最简公分母 x 2 0
所以 x 2 是原方程的增根.
B.x+3=2
3.下列选项，（ B
A.x = 2
3 x 1 ）x 4 4 x 1
C.x = 4
的根
B.x = 3
D.x = 5
3 6 xm 1、当m=______时, 有增根. x x 1 x( x 1)
m= -3或m=5
解:在方程两边都乘以x(x-1)得 3(x-1)+6x=x+m 所以8x-m-3=0.
回顾 & 思考
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 1、当 x =3 时，分式 无意义。 x3
2、下列方程是分式方程的是（ B ）
x 3x 2 A. 3 4 5
x 1 x 3 5 7 C. B. 5 2 x x7
1 D. ( x 1) 2 3
3 1 3、分式 与 的最简公分母是（ x( x –2) ） x2 x
因为解分式方程时可能会产生增根，所
以解分式方程必需检验。
怎样进行检验呢？
方法一：把整式方程的根代入原分式方程，看它
是否能使原分式方程中左右两边的值相等。若相等则是根， 反之则是增根，需舍去。(直接验根法)
方法二：把整式方程的根代入最简公分母，如果最
简公分母的值等于0，则产生了增根，如果最简公分母的值不 等于0，则原方程没有产生增根。（公分母验根法）
说一说分
960 600 90 x.
解这个方程, 得 x 4. 检验 : 将x 4代入原方程 得 ,
左边 45 右边.
式方程 的 解法步骤 有哪几步
所以, x 4是原方程的根 .
一化二解三 检验四结论
你还有不同于例题的解法吗？
2.主动探究
合作学习 小组合作议一议：下面哪种解法正确？
2.若关于X的方程
3 6 xm 有增根，则m的值为 x x 1 x( x 1)
(
c)
A.1
B.0
C.1或0
D.2
1、①解分式方程的思路是：
分式方程 去分母 整式方程
一化二解三检验四结果
2、解分式方程的一般步骤：
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
目标
X=a
检验 最简公分 最简公分 母不为０
因为方程的增根是x=0或x=1 所以m= -3或m=5.
一定要 仔细哦
x 1 2x 1 1. 解方程 x 3x 1时
(1)去分母时， 原方程的整式 部分不要漏 乘． (2)约去分母 后，分子是多 项式时， 要 注意添括 号．
下列变形正确的是（ C ）
Ａ 3x 3 2 x 1 1 . Ｂ 3x 3 2 x 1 1 . Ｃ 3x 3 2 x 1 3x . Ｄ 3x 3 2 x 1 3x .
2x-1 -1= 2x+3 解方程: 2 6
解:去分母,方程两边都乘以6得: 3(2x-1)-6=2x+3 去括号,得: 移项,得: 6x-3-6=2x+3 6x-2x=3+3+6
合并同类项,得: 4x=12 系数化为1,得: x=3
解一元一次方程的一般步骤是什么?
范例学习 理解领会
例1 解方程
解方程 解法一：
1 x 1 2 x2 2 x
解法二：将原方程变形为
将原方程变形为
1 1 x 2 x2 x2
方程两边都乘以(x－2),得
1 1 x 2 x 2 x2
方程两边都乘以(x－2),得 （正确） 1 x 1 2( x 2 ) 解这个方程，得
K=1
k 1 x 3 产生增根。 x2 2 x
（1）作业本 （2）课本： P90习题3.7 知识技能 第 1题中的 （1）~（2）
结果是不是为零，使最简公分母为零的 根是原方程的增根，必须舍去.
4. 写出原方程的根.
x 2a 1、关于x的方程 x 3 x 3 2 有 增根，则增根是 （ ）
X=3
2.若分式
A.x-3=2 A 。
x 3 2 x3 x3
化为整式方程，正确（ C ）
C.x-3=2(x+3) D.x-3=2(x+3)
原方程无解.
2010 中考 试题
相信你是最棒的！
注意 解题
3 4 1 x 1 x
1 1 x 3 x2 2 x
格式 哦！
(2)
解分式方程的一般步骤：
1. 在方程的两边都 乘以最简公分母，约 去分母，化成整式方程.
2. 解这个整式方程. 3. 把整式方程的根代入最简公分母，每