热学试题(1)

大学物理竞赛训练题 热学(1)一、选择题(每题3分)1. 在标准状态下，任何理想气体在1 m 3中含有的分子数都等于 ［ ］(A) ×1023． (B)×1021．(C) ×1025． (D)×1023．(玻尔兹曼常量k ＝×1023 J ·K 1) 2. 若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻尔兹曼常量，R 为普适气体常量，则该理想气体的分子数为： ［ ］(A) pV / m ． (B) pV / (kT )．(C) pV / (RT )． (D) pV / (mT )．3. 若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了 ［ ］ (A)00． (B) 400．(C) 900． (D) 2100．4. 两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内的气体质量，分别有如下关系： ［ ］(A) n 不同，(E K /V )不同，不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，相同． (C) n 相同，(E K /V )相同，不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，相同．5. 在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来的2倍，则(A) 温度和压强都提高为原来的2倍． ［ ］(B) 温度为原来的2倍，压强为原来的4倍．(C) 温度为原来的4倍，压强为原来的2倍．(D)温度和压强都为原来的4倍．6. 关于温度的意义，有下列几种说法：(1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度．(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义．(3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同．(4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度．这些说法中正确的是 ［ ］(A) (1)、(2) 、(4)． (B) (1)、(2) 、(3)．(C) (2)、(3) 、(4)． (D) (1)、(3) 、(4)．7. 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们 ［ ］(A) 温度相同、压强相同．(B) 温度、压强都不相同．(C) 温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强．(D) 温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强．8. 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比为()()()2/122/122/12::C B A v v v ＝1∶2∶4，则其压强之比A p ∶B p ∶C p 为： ［ ］(A) 1∶2∶4． (B) 1∶4∶8．(C) 1∶4∶16． (D) 4∶2∶1．9. 水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度和化学能)(A) ％． (B) 50％． ［ ］(C) 25％． (D) 0．10. 有容积不同的A 、B 两个容器，A 中装有单原子分子理想气体，B 中装有双原子分子理想气体，若两种气体的压强相同，那么，这两种气体的单位体积的内能(E / V )A 和(E / V )B的关系 ［ ］(A) 为(E / V )A ＜(E / V )B ．(B) 为(E / V )A ＞(E / V )B ．(C) 为(E / V )A ＝(E / V )B ．(D) 不能确定．11． 有N 个分子，其速率分布如图所示，v > 5v 0时分子数为0，则： ［ ］ (A) a = N / (2 v 0)． (B) a = N / (3 v 0)． (C) a = N / (4 v 0)． (D) a = N / (5 v 0)． 12. 设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令()2O p v 和()2H p v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则 ［ ］(A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；()2O p v /()2H p v =4． (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；()2O p v /()2H p v ＝1/4． (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；()2O p v /()2H p v ＝1/4． (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；()2O p v /()2H p v ＝ 4． 13. 下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线 ［ ］2a/a/ 00000f (v )14. 若氧分子[O 2]气体离解为氧原子[O]气后，其热力学温度提高一倍，则氧原子的平均速率是氧分子的平均速率的 ［ ］(A) 1 /2倍． (B) 2倍． (C) 2倍． (D) 4倍．15. 已知分子总数为N ，它们的速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率为 ［ ］(A)⎰21d )(v v v v v f ． (B) ⎰21d )(v v v v v f /⎰21d )(v v v v f ． (C) ⎰21d )(v v v v v f N ． (D) ⎰21d )(v v v v v f /N ． 16. 气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是： ［ ］ (A) Z 和λ都增大一倍． (B) Z 和λ都减为原来的一半． (C) Z 增大一倍而λ减为原来的一半． (D) Z 减为原来的一半而λ增大一倍．17. 一固定容器内，储有一定量的理想气体，温度为T ，分子的平均碰撞次数为 1Z ，若温度升高为2T ，则分子的平均碰撞次数2Z 为 ［ ］ (A) 21Z ． (B) 12Z ． (C) 1Z ． (D) 121Z ．18. 在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率Z 与气体的热力学温度T 的关系为 (A) Z 与T 无关． (B) Z 与T 成正比． [ ］ (C) Z 与T 成反比． (D) Z 与T 成正比．19. 容积恒定的容器内盛有一定量某种理想气体，其分子热运动的平均自由程为0λ，平均碰撞频率为0Z ，若气体的热力学温度降低为原来的1/4倍，则此时分子平均自由程λ和平均碰撞频率Z 分别为 ［ ］ (A) λ＝0λ，Z ＝0Z ． (B) λ＝0λ，Z ＝210Z ．v v(C) λ＝20λ，Z ＝20Z ． (D) λ＝20λ，Z ＝210Z ． 20. 一定量的理想气体，在体积不变的条件下，当温度降低时，分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是： ［ ］ (A) Z 减小，但λ不变． (B) Z 不变，但λ减小．(C) Z 和λ都减小． (D) Z 和λ都不变．21. 在一个体积不变的容器中，储有一定量的理想气体，温度为T 0时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ．当气体温度升高为4T 0时，气体分子的平均速率v ，平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为： ［ ］(A) v ＝40v ，Z ＝40Z ，λ＝40λ．(B) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ．(C) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝40λ．(D) v ＝40v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ．二、填空题1. (3分) 已知某种理想气体分子的最概然速率为p v ，气体的压强为p ．则此气体的密度为__________．2. (3分) 氢分子的质量为 ×1024 g ，如果每秒有1023 个氢分子沿着与容器器壁的法线成45°角的方向以105 cm / s 的速率撞击在 2.0 cm 2 面积上(碰撞是完全弹性的)，则此氢气的压强为____________．3. (3分) A 、B 、C 三个容器中皆装有理想气体，它们的分子数密度之比为n A ∶n B ∶n C ＝4∶2∶1，而分子的平均平动动能之比为A w ∶B w ∶C w ＝1∶2∶4，则它们的压强之比A p ∶B p ∶C p ＝__________．4. (3分) 若某种理想气体分子的方均根速率()4502/12=vm/ s ，气体压强为p =7×104 Pa ，则该气体的密度为＝_______________．5. (5分) 某容器内分子数密度为10 26 m -3，每个分子的质量为 3×10-27 kg ，设其中 1/6分子数以速率v ＝ 200 m / s 垂直地向容器的一壁运动，而其余 5/6分子或者离开此壁、或者平行此壁方向运动，且分子与容器壁的碰撞为完全弹性的．则(1) 每个分子作用于器壁的冲量ΔP ＝_______________；(2) 每秒碰在器壁单位面积上的分子数0n ＝________________；(3) 作用在器壁上的压强p ＝___________________．6. (3分)下面给出理想气体的几种状态变化的关系，指出它们各表示什么过程．(1) p d V= (M / M mol)R d T表示____________________过程．(2) V d p= (M / M mol)R d T表示____________________过程．(3) p d V+V d p= 0 表示____________________过程．7. (3分) 某理想气体在温度为27℃和压强为×10-2 atm情况下，密度为 g/m3，则这气体的摩尔质量M mol＝____________．(普适气体常量R＝ J·mol1·K1)8. (3分)在一个以匀速度u运动的容器中，盛有分子质量为m的某种单原子理想气体．若＝________________．使容器突然停止运动，则气体状态达到平衡后，其温度的增量T9. (5分) 容器中储有1 mol 的氮气，压强为 Pa，温度为 7 ℃，则(1) 1 m3中氮气的分子数为_____________；(2) 容器中的氮气的密度为_________________；(3) 1 m3中氮分子的总平动动能为___________．(玻尔兹曼常量k＝×1023 J·K1 , N2气的摩尔质量M mol＝28×103 kg·mol1 , 普适气体常量R＝ J·mol1·K1 )10. (5分) 在相同的温度和压强下，氢气(视为刚性双原子分子气体)与氦气的单位体积内能之比为____________，氢气与氦气的单位质量内能之比为___________．11. (3分) 储有某种刚性双原子分子理想气体的容器以速度v＝100 m/s运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升Ｋ，由此可知容器中气体的摩尔质量M mol＝_____. (普适气体常量R＝ J·mol1·K1) 12. (3分) 一铁球由10 m高处落到地面，回升到 m高处．假定铁球与地面碰撞时损失的宏观机械能全部转变为铁球的内能，则铁球的温度将升高______．（已知铁的比热c＝J·kg1·K1）13. (3分) 一能量为1012 eV的宇宙射线粒子，射入一氖管中，氖管内充有 mol的氖气，若宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收，则氖气温度升高了_______________K．(1 eV＝×1019J，普适气体常量R＝ J/(mol·K)）14. (3分) 1 mol的单原子分子理想气体，在1 atm的恒定压强下，从0℃加热到100℃，则气体的内能改变了_______________J．(普适气体常量R＝ J·mol1·K1 )15. (3分) 一氧气瓶的容积为V，充入氧气的压强为p1，用了一段时间后压强降为p2，则瓶中剩下的氧气的内能与未用前氧气的内能之比为__________．16.(3分)若某容器内温度为 300 K的二氧化碳气体(视为刚性分子理想气体)的内能为×103 J，则该容器内气体分子总数为___________________．(玻尔兹曼常量k＝×10-23 J·K1,阿伏伽德罗常量N A=×1023 mol1)17. (3分)体积和压强都相同的氦气和氢气(均视为刚性分子理想气体)，在某一温度T下混合，所有氢分子所具有的热运动动能在系统总热运动动能中所占的百分比为_________．18. (3分)一气体分子的质量可以根据该气体的定体比热来计算．氩气的定体比热c V = k J·kg1·K1，则氩原子的质量m=__________．(波尔兹曼常量k=×1023 J / K)19. (3分)若某容器内温度为 300 K的二氧化碳气体(视为刚性分子理想气体)的内能为×103 J，则该容器内气体分子总数为___________________．(玻尔兹曼常量k ＝×10-23 J ·K 1,阿伏伽德罗常量N A =×1023 mol 1)20. (3分)一定量H 2气(视为刚性分子的理想气体)，若温度每升高1 K ，其内能增加 J ，则该H 2气的质量为________________．(普适气体常量R ＝ J ·mol 1·K 1)21. (3分) 体积为103 m 3、压强为 ×105 Pa 的气体分子的平动动能的总和为 _____________J ．22．(3分)某气体在温度为T = 273 K 时，压强为p =×102 atm ，密度 = ×102 kg/m 3，则该气体分子的方均根速率为___________． (1 atm = ×105 Pa)23. (4分) 图示氢气分子和氧气分子在相同温度下的麦克斯韦速率分布曲线．则氢气分子的最概然速率为______________，氧分子的最概然速率为____________．24. 当理想气体处于平衡态时，若气体分子速率分布函数为f (v )，则分子速率处于最概然速率v p 至∞范围内的概率△N / N ＝________________．25. (4分) 一定量的理想气体，经等压过程从体积V 0膨胀到2V 0，则描述分子运动的下列各量与原来的量值之比是(1) 平均自由程0λλ＝__________． (2) 平均速率0v v ＝__________． (3) 平均动能0K K εε＝__________． 26.(4分)氮气在标准状态下的分子平均碰撞频率为×108 s -1，分子平均自由程为 6×10-6 cm ，若温度不变，气压降为 atm ，则分子的平均碰撞频率变为_______________；平均自由程变为_______________．27.一定量的某种理想气体，先经过等体过程使其热力学温度升高为原来的2倍;再经过等压过程使其体积膨胀为原来的2倍，则分子的平均自由程变为原来的__________倍．*28. (3分) 处于重力场中的某种气体，在高度z 处单位体积内的分子数即分子数密度为n ．若f (v )是分子的速率分布函数，则坐标介于x ~x +d x 、y ~y +d y 、z ~z +d z 区间内，速率介于v ~ v + d v 区间内的分子数d N =____________________．*29. (3分) 一个很长的密闭容器内盛有分子质量为m 的理想气体，该容器以匀加速度a ϖ垂直于水平面上升（如图所示）．当气体状态达到稳定时温度为T ，容器底部的分子数密度为n 0，则容器内离底部高为h 处的分子数密度n =____________． *30. (3分) 已知大气压强随高度h 变化的规律为 f ()v 1000 h n n 0 a ϖ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=RT gh M p p mol 0exp 拉萨海拔约为 3600 m ，设大气温度t ＝27℃，而且处处相同，则拉萨的气压p ＝________________． (空气的摩尔质量M mol ＝ 29×103 kg/mol ， 普适气体常量R ＝J ·mol 1·K 1 , 海平面处的压强p ＝1 atm ，符号exp(a ) ，即e a)*31. 已知大气压强随高度h 的变化规律为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=RT gh M p p mol 0exp 设气温t ＝5 ℃，同时测得海平面的气压和山顶的气压分别为 750 mmHg 和 590 mmHg ，则山顶的海拔h ＝__________m. (普适气体常量R ＝ J ·mol -1·K -1,空气的摩尔质量M mol ＝29×10-3kg / mol ，p 0为h =0处的压强．符号exp(a )，即e a ）三、计算题1. (5分) 一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时压强为p 1，温度为T 1；使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为p 2，试求此时瓶内氧气的温度T 2．及使用前后分子热运动平均速率之比21/v v ．2. (5分) 黄绿光的波长是5000οA (1οA =1010 m)．理想气体在标准状态下，以黄绿光的波长为边长的立方体内有多少个分子(玻尔兹曼常量k ＝×1023J ·K 1) 3. (10分) 一密封房间的体积为 5×3×3 m 3，室温为20 ℃，室内空气分子热运动的平均平动动能的总和是多少如果气体的温度升高 Ｋ，而体积不变，则气体的内能变化多少气体分子的方均根速率增加多少已知空气的密度＝ kg/m 3，摩尔质量M mol ＝29×103 kg /mol ，且空气分子可认为是刚性双原子分子．（普适气体常量R ＝ J ·mol 1·K 1)4. (5分) 已知某理想气体分子的方均根速率为 400 m ·s 1．当其压强为1 atm 时，求气体的密度．5. (5分) 质量m ＝ ×1017 g 的微粒悬浮在27℃的液体中，观察到悬浮粒子的方均根速率为1.4 cm ·s 1．假设粒子速率服从麦克斯韦速率分布，求阿伏伽德罗常数．(普适气体常量R ＝ J ·mol 1·K 1 )6. (10分) 容积为20.0 L(升)的瓶子以速率v ＝200 m ·s 1匀速运动，瓶子中充有质量为100g 的氦气．设瓶子突然停止，且气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，瓶子与外界没有热量交换，求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少(摩尔气体常量R ＝ J ·mol -1·K 1，玻尔兹曼常量k ＝×10-23 J ·K 1)7. (10分)有 2×103 m 3刚性双原子分子理想气体，其内能为×102 J ．(1) 试求气体的压强；(2) 设分子总数为 ×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度．8. (5分) 一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时压强为p 1，温度为T 1；使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为p 2，试求此时瓶内氧气的温度T 2．及使用前后分子热运动平均速率之比21/v v ．9. (10分) 当氢气和氦气的压强、体积和温度都相等时，求它们的质量比()()e H H 2M M 和内能比()()e H H 2E E ．（将氢气视为刚性双原子分子气体） 10. (5分) 计算下列一组粒子的平均速率和方均根速率．粒子数N i 2 4 6 8 2速率v i (m/s) 11. (10分) 导体中自由电子的运动可看成类似于气体中分子的运动．设导体中共有N 个自由电子，其中电子的最大速率为v m ，电子速率在v ～v + d v 之间的概率为⎩⎨⎧=0d d 2v v A N N 式中A 为常数．(1) 用N ，v m 定出常数A ；(2) 试求导体中N 个自由电子的平均速率．12. (10分) 由N 个分子组成的气体，其分子速率分布如图所示． (1) 试用N 与0v 表示a 的值．(2) 试求速率在0v ～0v 之间的分子数目．(3) 试求分子的平均速率．13. (10分) N 个粒子，其速率分布如图所示（v > 50v 时粒子数为零）． (1) 试用N 与0v 表示a 的值．(2) 试求速率在 20v ─ 30v 间的粒子数．(3) 试求粒子的方均根速率． 14. (5分) 某种气体由大量分子组成，试证明：分子热运动的方均根速率恒大于或等于平均速率，即()2/12v ≥ v ．15. (5分) 今测得温度为t 1＝15℃，压强为p 1＝ m 汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：Ar λ＝ ×108 m 和Ne λ=×108 m ，求：(1) 氖分子和氩分子有效直径之比d Ne / d Ar ＝(2) 温度为t 2＝20℃，压强为p 2＝ m 汞柱高时，氩分子的平均自由程/Ar λ＝16. (5分) 在什么条件下，气体分子热运动的平均自由程λ与温度T 成正比在什么条件下，λ与T 无关(设气体分子的有效直径一定)aNf (v ) v v 0 0O a/3 a 2a/3Nf (v ) v v 0 2v 0 3v 0 4v 0 5v 0 O0≤v ≤v mv >v m答：从()p d kT 2π2/=λ可见，对于分子有效直径一定的气体，当压强p 恒定时，λ与T 成正比．从()n d 2π2/1=λ和n = N / V 可见，对于分子有效直径一定的气体，当分子 总数N 和气体体积V 恒定时，λ与T 无关．17. (5分) 在A 、B 、C 三个容器中，装有不同温度的同种理想气体，设其分子数密度之比n A ∶n B ∶n C ＝1∶2∶4，方均根速率之比()()()2/122/122/12::C B A v v v ＝1∶2∶4．则其算术平均速率之比为C B A v v v ::＝1∶4∶16，压强之比为p A ∶p B ∶p C ＝1∶4∶16． 以上关于算术平均速率之比值与压强之比值是否正确如有错误请改正．18．(10分) 根据22123v m n p =和kT m 23212=v 两式，从气体分子动理论角度推导气体实验三定律：即玻意耳马略特定律、盖吕萨克定律和查理定律．19．(5分)试以分子动理论的观点解释玻意耳定律(T 不变，pV =C )．*20. (5分)试由麦克斯韦速度分布函数 )2/exp()2()(2/3kT m kTm f v v v ϖϖϖ⋅-π=导出麦克斯韦速率分布函数F (v )．*21. (10分) 假定大气层各处温度相同均为T ，空气的摩尔质量为M mol ．试根据玻尔兹曼分布律 ()/kT E P n n -=e 0证明大气压强p 与高度h （从海平面算起,海平面处的大气压强为p 0）的关系是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p p g M RT h 0mol ln .大学物理竞赛训练题 热学(1)参考答案：一、选择题(每题3分) 1. C 2331002.6104.221⨯⨯⨯- 2. B P =nkT , nV=pV/kT 3. B P =nkT ,nkT+nk T=0 -n/n =T/T 4. C P =nkT , E K /V=n kT nw 23=,RT M M pV mol =, RT pM mol =ρ 5. D kT nw 23= 6. B7. C RT M M pV mol =, p RT M mol =ρ, kT w 23=, 8. C 231υnm p = 9. C 2H 2O. RT v E O H 26202=,RT v RT v RT v E O H 25325252000,22=+= 25.01212152222,=-=-OH OH O H E E E 2i E v RT = pV vRT = 2i E pV = 11．B N a a a a a =++++000003223υυυυυ 12. B 22p molkT RT m M υ== 14. C mol mol M RT M RT m kT 60.188≈==ππυ; 2132162222=⋅==o o o o o o T M M T υυ 15. B16. C kT p d Z υπ22=, p d kT 22πλ= 17. B n d Z υπ22=, mol M RT m kT ππυ88==18. C kTpM RT d n d Z mol ππυπ82222==19. B 20. A 21. B二、填空题 1. RTpM V M mol==ρ ,molp M RT2=υ. 22p p υρ=2. 4233274230100.210707.010103.32100.21045cos 2---⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=υm p = ×10 3Pa 3. P=nkT , kT w 23=, w n w k nk p 3232==. 1∶1∶1 4. RT M M pV mol =, p RTMmol =ρ; molM RTmkT332==υ p RT M mol =ρp 22)(3υ=24)450(1073⨯⨯==1.037kg.m -3. kg ·m 35. ix ix ix m m m P υυυ2])[(=---=∆=×10-24kg m / sn 0=122826010312001061--⨯=⨯⨯==∆∆⨯⨯=s m n S S n n x x υυP n p ∆=0=4×103Pa 6. 等压; 等体; 等温. 7. g/mol 8. m u 2/ 3k9. ×1020; ×105kg/m 3; 2 J . 10. RT i v E 2=,V vRT i V E 2=, vRT pV =, p i V E 2=, 5 / 3molM RT i M E 2=, 10 / 3 11. 28×103kg / mol 12. K 13. ×10714. ×10315. p 1V =RT 1 p 2V =RT 2； E 1=21i RT 1=21i p 1V ， E 2=21i RT 2=21i p 2V∴ E 2 / E 1=p 2 / p 116. kT i N E 2=, 3001038.161074.322233⨯⨯⨯⨯⨯==-ikT E N =×1023个 17. ％ 18. ×1026kg19. ×1023个 20. ×103kg 21. ×102 22． 495 m/s 23. mol p M RTmkT22==υ, O 2: 1000m/s , 4==molHmolOPopH M M υυ， H 2: 4000m/s,24.⎰∞pf v v v d )(25. n d 221πλ=,20==n n λλ ， mol M RT πυ8=,vRT pV =,2T 0=T , 200==T T υυkT iK 2=ε 2 26. n d Z υπ22=kTpd υπ22=; pd kTn d Z 22221ππυλ=== ×107s -1; 6×10-5cm27. 2*28. dN=N f (v ) d v=n f (v )d x d y d z d v *29. kTmgh n -e0, 相对加速度g +a , kTh a g m n )(0e+-*30. 329109.836001exp 8.31300p -⎛⎫⨯⨯⨯=⨯- ⎪⨯⎝⎭=*31. 1950 三、计算题1. 解： p 1V =RT 1 p 2V =21RT 2∴ T 2=2 T 1p 2 / p 12121212P P T T ==v v2.解：理想气体在标准状态下，分子数密度为n = p / (kT )＝×1025 个/ m 3以5000οA 为边长的立方体内应有分子数为N = nV ＝×106个．3.解：根据 kT m 23212=v ， 可得 NkT m N 23212=v ， 即=()RT M M mol /23=()V M RT ρmol /23＝×106 ． 又 ()T iR M M E ∆=∆21/mol ＝()T iR M V ∆21/mol ρ＝×104J ．及 ()()()2/1212/1222/12v v v-=∆＝ ()()122/1mol /3T TM R -＝ m/s ．4.解： 223131v v ρ==nm p ∴ 90.1/32==v p ρ kg/m 35.解：据 ()m N RT M RT A /3/3mol 2/12==v，得 N A =3RT / (m 2v )＝×1023mol -1．6.解：定向运动动能221v Nm ，气体内能增量T ik N ∆21，i ＝3 ．按能量守恒应有： 221v Nm =T ik N ∆21∴ AN T iR m /2∆=v(1) ()()===∆iR M iR m N T A //2mol 2v v K(2) ()V T R M M p //mol ∆=∆＝×104Pa ． (3) ()T iR M M E ∆=∆21/mol ＝×103J ．(4) T ik ∆=∆21ε＝×1022 J ． 7. 解：(1) 设分子数为N .据 E = N (i / 2)kT 及 p = (N / V )kT 得 p = 2E / (iV ) = ×105Pa(2) 由 kT N kT Ew2523=ϖϖ得 ()21105.75/3-⨯==N E w J又 kT NE 25= 得 T = 2 E / (5Nk )＝362k 8.解： p 1V =RT 1 p 2V =21RT 2∴ T 2=2 T 1p 2 / p 12121212P P T T ==v v 9.解： 由 pV =()()mol22H H M M RT 和pV =()()mol e H e H M M RT得 ()()e H H 2M M =()()m ol m ol 2e H H M M =42=21．由 E (H 2)=()()mol 22H H M M 25RT 和RT M M E 23)He ()He ()He (mol =得 ()()e 2H E H E =()()()()molmol22e H /He 3H /H 5M M M M∵()()mol 22H M H M = ()()mole H M e H M (p 、V 、T 均相同)， ∴ ()()e H E H E 2=35．10. 解：平均速率∑∑=ii i N N /v v= m/s 方均根速率 ()∑∑=iii NN 22/12v v= m/s ．11. 解：(1) 根据已知条件可知电子速率分布函数为⎩⎨⎧==0d d )(2v v v A N Nf 根据速率分布函数的归一化条件1d )(0=⎰∞v v f有13d 0d 22==+⎰⎰∞m A A mmv v v v v v 0解得 33mA v =(2) 根据平均速率定义 NN ⎰=d v v可得 ⎰∞=0d )(v v v v f ⎰=mf v v v v 0d )(0≤v ≤v m v > v mm m A A mv v v v v v 4341d 402===⎰ 12. 解：(1) 由分布图可知：0→v 0： N f (v ) = ( a / v 0) v ， f (v ) = av /(N v 0)．v 0→2 v 0： N f (v ) = a ， f (v ) = a /N ．2v 0 f (v ) = 0由归一化条件1d )(0=⎰∞v v f ， 有 1d /d )/(020=+⎰⎰v v v v v vv N a N a ，得： ( 3 /2 ) ( av 0 /N ) = 1 ， ∴ a = ( 2 /3 ) ( N /v 0)．(2) ⎰⎰==∆0000223223d d )(v v v v v v v N a NNf N 021v a =， 将a 代入得 N N N 31)3/(22100=⨯=∆v v ． (3) 0→v 0： f (v ) = a v /(N v 0) = (v / N v 0)×2 N / (3 v 0) )3/(220v v =． v 0→2 v 0： f (v ) = a /N = ( 1 / N )×( 2 N / 3 v 0) = 2 / (3 v 0)．⎰∞=0d )(v v v v f v vv v v v v v v v d )3/(2d )3/(20202⎰⎰⨯+⨯=0092v v +==11 v 0 /913. 解：(1) 曲线下的面积代表总分子数N ，N a a a a a =++++0000032313231v v v v v ， ∴ )3(0v N a =．(2) 速率在2v 0 ─3 v 0间的粒子数3/)3/(000N N a N ===∆v v v ．(3) ⎰∞=022d )(v v v v f ⎰∞=02d )()/1(v v v Nf N⎢⎢⎣⎡=⎰002d )()/1(v v v v Nf N ++⎰0022d )(v v v v v Nf⎰+00322d )(v v v v v Nf ⎰+00432d )(v v v v v Nf ⎥⎥⎦⎤+⎰00542d )(v v Nf v v v{+-+=])2[(313231311303030v v v a a N +-+-+])3()4[(3132])2()3[(3130303030v v v v a a}])4()5[(31313030v v -+a 2v 20323v =()02/1202/1277.2])3/23[(v v v ==．14.证法1：设速率分布函数为 F (v )则 1d )(0=⎰∞v v F , ⎰∞=022d )(v v v v F ，⎰∞=0d )(v v v v F由于定积分性质： 2]d )()([⎰b ax x g x f ≤⎰⋅⎰bab ax x g xx f d )]([d )]([22所以有： ()22]d )()([v v v v v ⋅⋅=⎰∞F F ≤⎰⎰∞∞⋅020d )(d )(v v v v v F F 2v =即 ()2v ≤2v 或 ()2/12v≥v证法2：因为 2)(v v -≥0而 2)(v v -22222)()(22v v v v v v v +-=+-=()22v v -= ∴ ()22v v -≥02/12)(v ≥v15. 解：(1) 据 ()p d kT 22/π=λ得 d Ne / d Ar =()2/1NeAr /λλ= ．(2) /Ar λ＝Ar λ(p 1 / p 2)T 2 / T 1=()()2732731221Ar ++t p t p λ＝×107m ．16. 答：从()p d kT 2π2/=λ可见，对于分子有效直径一定的气体，当压强p 恒定时，λ与T 成正比．从()n d 2π2/1=λ和n = N / V 可见，对于分子有效直径一定的气体，当分子总数N 和气体体积V 恒定时，λ与T 无关．17.答：以上两个比值的结果是错误的，改正如下： 对于不同温度的同种理想气体，有CB A v v v ::=()()()2/122/122/12::CB A v v v =1 : 2 : 4根据理想气体压强公式231v nm p =可得 Ap B p C p =()()()222::CC B B A A n n n v v v =1:8:6418．推导：由22123v m n p =及kT m 23212=v 得 nkT p =．即 ()kT V N nkT p /==， NkT pV =． 一定量的气体N 不变，在温度T 不变时，NkT = 恒量．故 pV = 恒量 玻意耳马略特定律 又 p = nkT ， p / T = nK = (N /V )k ． 一定量的气体N 不变，在体积V 不变时，(N /V )k = 恒量．故 (p / T ) = 恒量 查理定律． 再由 p = nkT = (N / V )kT 得 (V / T ) = (Nk ) / p ． 一定量的气体N 不变，在压强p 不变时，Nk / p = 恒量． 故 V / T = 恒量 盖吕萨克定律19．答：当一定质量的理想气体的温度保持一定时，其压强与体积的乘积等于常量，即pV =C ．也就是说：压强p 与体积V 成反比．根据分子运动论的观点，压强p 应正比于分子每次碰壁所施于器壁的平均冲量和分子在单位时间内碰撞单位面积器壁的次数这二者的乘积． 2分前者取决于分子的平均平动动能w ，也就是说取决于气体的温度T (kT w 23=)，后者则正比于分子的数密度n ，而在总分子数一定时，n 又是反比于V 的．所以在T 一定的情况下，p 反比于V ，这就是玻意耳定律． 3分*20.解：设F (v )为速率分布函数，则有vv d d )(N NF =， ∴ v v d )(d NF N = ①①式的物理意义为速率分布在v ～v + d v 区间内的分子数．v ～v + d v 区间在速度空间里为一半径为v 厚度为d v 的球壳（如图所示）．)(v ϖf 的物理意义为速度空间中的概率密度．在本题中)(v ϖf 为速度空间中的球对称函数．图中球壳的体积为v v d π42．速度分布在球壳中的分子数为v v v d 4)(d 2π=ϖNf N ②比较①式和②式得 24)()(v v v π=ϖf F 22v 2/32)2(4v kT m e kTm -ππ= *21.证：设空气分子的质量为m ，则在离海平面高度为h 处，空气分子的势能为E p =mgh ，于是有 h RTgM h kTN mgN h kTmg n n n n AAmol eee000---=== 2分那么，由 p = nkT =h RTgM h RTgM p kT n mol mol ee00--= 1分取对数 ln(p / p 0) =－M mol g h / RTh = RT ln (p 0/p ) / M mol g 2分。