1-3-2《函数的奇偶性》第二课时

《函数的奇偶性》说课稿《函数的奇偶性》说课稿1一、教材分析函数是中学数学的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。

函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。

因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。

二。

教学目标1.知识目标：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性。

2.能力目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。

3.情感目标：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。

三。

教学重点和难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。

四、教学方法为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取：1、通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与已知的距离，激发学生求知欲，()调动学生主体参与的积极性。

2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。

3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

五、学习方法1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。

2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。

六。

教学程序（一）创设情景，揭示课题"对称"是大自然的一种美，这种"对称美"在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性。

f（_）= _2 f（_）=__通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数f （_）=_是定义域为全体实数的直线；各函数之间的共性为图象关于轴对称。

函数的奇偶性课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；2. 学生能运用奇偶性对函数图像进行对称变换，并解决相关问题；3. 学生了解奇偶性在现实生活中的应用，如对称美、物理规律等。

技能目标：1. 学生能运用数学语言和符号准确表达函数的奇偶性；2. 学生能通过绘制图像，观察和分析函数的奇偶性；3. 学生能运用奇偶性简化计算和证明过程，提高解题效率。

情感态度价值观目标：1. 学生通过探究函数奇偶性，培养对数学美的欣赏和热爱；2. 学生在解决实际问题的过程中，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学习的积极性；3. 学生在合作交流中，培养团队精神和互帮互助的品质，提高沟通能力。

分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程将目标分解为以下具体学习成果：1. 学生能够独立判断给定函数的奇偶性，并给出合理解释；2. 学生能够运用奇偶性解决一些简单的数学问题，如计算、证明等；3. 学生能够举例说明奇偶性在现实生活中的应用，并分享自己的发现和感悟。

二、教学内容本节课依据课程目标，选择以下教学内容：1. 函数奇偶性的定义及判定方法：- 函数的奇偶性概念引入；- 奇函数、偶函数的定义；- 判断函数奇偶性的方法及举例。

2. 函数图像的对称变换：- 利用奇偶性对函数图像进行对称变换；- 分析变换后的图像特点。

3. 函数奇偶性在实际问题中的应用：- 生活中的对称现象与函数奇偶性的联系；- 数学问题中运用奇偶性简化计算和证明。

教学大纲安排如下：第一课时：函数奇偶性的定义及判定方法。

1. 复习函数的基本概念；2. 介绍奇函数、偶函数的定义；3. 通过实例讲解判断函数奇偶性的方法。

第二课时：函数图像的对称变换。

1. 学习利用奇偶性对函数图像进行对称变换；2. 分析变换后的图像特点。

第三课时：函数奇偶性在实际问题中的应用。

1. 探讨生活中的对称现象与函数奇偶性的联系；2. 解决数学问题中运用奇偶性的实例。

第3讲 函数的简单性质——奇偶性知识 整合【基础知识】1．如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )叫做偶函数．如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么f (x )叫做奇函数．2．如果奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.如果函数f (x )的定义域不关于原点对称，那么f (x )一定是非奇非偶函数．如果f (x )是既奇又偶函数，那么f (x )的表达式是f (x )＝0.3．奇偶函数的性质(1)奇偶函数定义域关于原点对称．(2)奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(3)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．4．周期性周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x )＝f (x ＋T )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，T 为这个函数的周期．【基础自测】1．已知函数f (x )是偶函数，若f (1)＝2，则f (－1)＝________.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________．3．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是__________函数．(填“奇”或“偶”)4．已知函数f (x )的周期为2，f (－1)＝3，则f (3)＝________.重难点 突破考点1 判断函数的奇偶性 重点阐述判别函数奇偶性的方法第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数表达式进行适当的化简，以便于判断；第三，利用定义域进行等价变形判断；第四，分段函数应分段讨论，要注意根据x 的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．例1：判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x (12x －1＋12)； (2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(3)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x ＜0)－x 2＋x (x ＞0)；(5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.【解】【点评】判断奇偶性，首先要看定义域，再由f(－x)与f(x)的关系作出判断，也可利用图象判断出f(x)的奇偶性．举一反三：判断下列函数的奇偶性：f(x)＝1＋22x－1.考点2函数性质的综合应用难点释疑单调性和奇偶性是函数两条重要的基本性质，二者之间有下面的密切关系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．巧妙运用这一关系，可以解决很多函数的综合问题，特别是抽象函数(即没有给出函数解析式的函数)问题．例2：若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且f(6)＝9，那么它在区间[－6，－3]上的最大值为________．【解】【点评】函数的性质本身就是一个整体，因此函数的单调性、奇偶性甚至函数的周期性本身就紧密地结合在一起，在求解试题时一定要注意这一点，要综合分析函数的性质．举一反三：设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＜f(1)，求实数m的取值范围．考点3函数的周期性重点阐述判断函数周期性的几个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：①f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．难点释疑应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．例3：(12江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________． 【解】【点评】 本小题主要考查周期函数的概念、分段函数的理解以及分析问题的能力，考查运算求解能力，题中隐含关系f (－1)＝f (1)，对学生思维的深刻性有较高要求．本题属中等难度题．举一反三：设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f (32)＝________.课堂 训练1．(13江苏模拟)若函数f (x )＝22x ＋1＋m 为奇函数，则实数m ＝________. 2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)＝________. 3．(13江苏模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)·f (x )＝1.对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，则f (119)的值为________．4．(13江苏模拟)设f (x )是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若f (1)≤1，f (2)＝(2a －3)(a ＋1)，则实数a 的取值范围是________．5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12) ＝0，则满足f (log 14x )＜0的x 的取值范围为________．作业：一、填空题1．函数①y ＝x sin x ；②y ＝22x －1＋1；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)，log 2x (0<x ≤1)；④y ＝－x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]中，函数图象具有对称性的是__________．2．若函数f (x )＝3ax ＋1－a x 2－4为偶函数，则实数a 的值__________． 3．(13江苏模拟)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数．且有f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________.5.定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同．．的是________．①y ＝x 2＋1②y ＝|x |＋1③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x ，x <06．(13江苏模拟)设α∈{－1,112，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．7．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝________.8．定义在R 上的偶函数f (x )满足： 对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＞0恒成立．则当n ∈N *时，下列说法正确的有________．①f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)②f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)③f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)④f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )二、解答题9．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立．求k 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )的周期函数．(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)．12．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋lg|a ＋2|(a ∈R ，且a ≠－2)．(1)写出一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )，使f (x )＝g (x )＋h (x )；(2)对(1)中的g (x )．命题P: 函数f (x )在区间[(a ＋1)2，＋∞)上是增函数；命题Q: 函数g (x )是减函数；如果命题P 、 Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，求f (2)的取值范围．。

公开课教案授课内容：1.3.2 函数的奇偶性教学设计授课班级：14学前教育2班授课类型：新授课授课时间：课时：1教材分析：函数的奇偶性选自高等教育出版社基础模块第二章第三节《函数的性质》的内容，本节安排为二课时，《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。

从在教材中的地位与作用来看，函数是高中数学学习中的重点和难点，函数的思想贯穿整个高中数学。

而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与现实生活中的对称性密切联系，为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。

因此，本节课的内容是十分重要的。

学情分析：授课对象为高一学前教育（2）班的学生，从学生现有的学习能力来看，具有一定的分析问题和解决问题的能力学生只有少数，但是他们也能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想，使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。

教学目标：1.知识与技能目标：通过本节课，学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义，掌握判别函数奇偶性的方法。

2. 过程与方法目标：通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。

3.情感态度与价值观目标：在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、概括的能力，使学生养成善于观察、用于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

教学重难点：重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。

难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

教法分析：为了实现本节课的教学目标，在教法上，我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境，启发学生自主思考，归纳共同点，从而调动学生主体参与的积极性。

在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念，在给出偶函数的定义之后，让学生类比得出奇函数的定义。

教学过程： 一、 复习旧知（1）点Ｐ（ a, b)关于 x 轴的对称点的坐标为P'（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数；（2）点Ｐ（ a, b)关于 y 轴的对称点的坐标为P'（ - a, b) ,其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数；（3）点Ｐ（ a, b) 关于原点 对称点的坐标为P'（-a,-b) ,其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数．二、 新课导入通过课件展示两组具有对称性的图片，让学生感受生活中的对称美。

第三章函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质3.2.2 奇偶性【素养目标】1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题． 【重点】利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值． 【难点】运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题．第二课时函数奇偶性的应用要点整合夯基础 基础知识知识点一函数奇偶性的性质1．奇、偶函数代数特征的灵活变通 由f (－x )＝－f (x )，可得f (－x )＋f (x )＝_0_或()()f x f x -=__-1_(f (x )≠0)；由f (－x )＝f (x )，可得f (－x )－f (x )＝__0__或()()f x f x -=__1__(f (x )≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．2．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有_____(0)0f =____，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)如果函数f (x )是偶函数，那么__()(||)f x f x =___. 思考1：什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设f (x )既是奇函数又是偶函数，则f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，故－f (x )＝f (x )，所以f (x )＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f (x )＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．思考2：利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数奇偶性与单调性的联系由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性___相同____，而偶函数的图象关于y 轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_____相反____，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用思考3：设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是_____()(3)(2)f f f π->>-_____. 解析：∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f (π)>f (3)>f (2)，即f (－π)>f (3)>f (－2).典例讲练破题型 题型探究类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式【例1】(1)已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋3(其中a 、b 为常数)，若f (3)＝2015，则f (－3)＝___2009-_____.(2)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．【解析】(1)法1：设g (x )＝f (x )－3，则g (x )＝ax 3－bx ，显然g (x )为R 上的奇函数． 又g (3)＝f (3)－3＝2015－3＝2012， 所以g (－3)＝－g (3)，即f (－3)－3＝－2012，解得f (－3)＝－2009.法2：f (x )＋f (－x )＝6，f (－3)＝6－f (3)＝6－2015＝－2009. (2)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－x ＋1＝－x 3－x ＋1. 又∵f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1. ∴x <0时，f (x )＝x 3＋x －1.又f (x )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.∴331,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪+-<⎩【通法提炼】(1)利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x 在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f (x )与f (－x )的关系求f (x ).(2)本题中是求x ∈R 时的函数解析式，不要忘记x ＝0的特殊情况.【变式训练1】(1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( B ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1(2)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则x <0时，f (x )＝_2x x -_____. 【解析】(1)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2.① f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4.② 由①＋②得g (1)＝3，故选B. (2)设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x .又∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝x 2－x ，∴当x <0时，f (x )＝x 2－x .类型二函数的奇偶性与单调性的综合应用命题视角1：比较大小【例2】若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则3()2f -与25(2)2f a a ++的大小关系是( C )A ．235()(2)22f f a a ->++B ．235()(2)22f f a a -<++C ．235()(2)22f f a a -≥++D ．235()(2)22f f a a -≤++【解析】因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以2335()()(2)222f f f a a -=≥++.【通法提炼】奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断. 【变式训练2】已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( D )A ．f (6)>f (7)B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10) 【解析】由题易知y ＝f (x ＋8)为偶函数，则f (－x ＋8)＝f (x ＋8)，则f (x )的图象的对称轴为x ＝8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f (6)<f (7)，f (6)＝f (10)<f (9)，f (7)＝f (9)>f (10)．故选D.命题视角2：解不等式【例3】设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．【分析】由于f (x )是奇函数，可得f (x )在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f (1－m )<f (m )转化为具体的不等式组求解．【解析】因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，所以f (x )在[－2,2]上是减函数．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于122212m mm m ->⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩解得112m -≤<.所以实数m 的取值范围是1[1,)2-.【通法提炼】解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.【变式训练3】已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<1()3f 的x 的取值范围是( A )A.12(,)33B.12[,)33C.12(,)23D.12[,)23【解析】因为f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象(如图)由f (2x －1)<1()3f得－13<2x －1<13.解得1233x <<.命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用【例4】函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且满足对于定义域内任意的x 1，x 2都有等式f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立． (1)求f (1)的值．(2)判断f (x )的奇偶性并证明．(3)若f (4)＝1，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，解关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (－6)≤3. 【解析】(1)令x 1＝x 2＝1得，f (1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下： 令x 1＝x 2＝－1，则f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f (－x )＝f (x )，又定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，∴f (x )为偶函数． (3)∵f (4)＝1，又f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴f (4)＋f (4)＝f (4×4)＝f (16)， ∴f (16)＋f (4)＝f (16×4)＝f (64)，∴f (64)＝f (4)＋f (4)＋f (4)，∴f (64)＝3.∴f (3x ＋1)＋f (－6)≤3等价于f (－6(3x ＋1))≤3，∴f (|－6(3x ＋1)|)≤f (64)，∴310|6(31)|64x x +≠⎧⎨-+≤⎩解得x ∈351129[,)(,]9339---.【通法提炼】对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f (1)，f (0)，f (－1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f (x )与f (－x )或f (x 2)与f (x 1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断. 【变式训练4】已知定义在(－1,1)上的奇函数2()1ax b f x x +=+是增函数，且12()25f =. (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0.【解析】(1)因为2()1ax bf x x +=+是定义在(－1，1)上的奇函数，则f (0)＝0，得b ＝0. 又因为12()25f =，则2122115()12aa =⇒=+.所以2()1xf x x =+.(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是增函数， 由f (t －1)＋f (2t )<0，得f (t －1)<－f (2t )＝f (－2t )．所以有02 11111 12122 1213ttt tt tt⎧⎪<<-<-<⎧⎪⎪⎪-<-<⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<-⎩⎪<⎪⎩解得0<t<1 3 .故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为{t|0<t<13 }．课堂达标练经典1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f()，b＝f(2π)，c＝f(32)的大小关系是( C )A．b<a<c B．b<c<a C．a<c<b D．c<a<b【解析】f(x)为偶函数，则a＝f()＝f)．322π<<，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴3()()22f f fπ<<，即a<c<b.2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝( C )A．3x－1 B．3x＋1C．－3x－1 D．－3x＋1【解析】设x>0，则－x<0.∴f(－x)＝－3x－1.又∵f(x)是偶函数，∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1.3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是( D )A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3)C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4)【解析】∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)．又f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)．4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是___(,0)-∞__________．【解析】∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴f(a－1)>f(－1)．又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．【解析】∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，∴f(3a－10)<－f(4－2a)，∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，∴f(3a－10)<f(2a－4)．又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.故a的取值范围为(6，＋∞)．课时作业 A 组素养自测一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】因为x >0时，f (x )＝x 2＋1x，所以f (1)＝1＋1＝2.又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A ．2．已知f (x )＝ax 7－bx 5＋cx 3＋2，且f (－5)＝m ，则f (5)＋f (－5)的值为( A ) A ．4 B ．0 C ．2m D ．－m ＋4【解析】由f (－5)＝a (－5)7－b (－5)5＋c (－5)3＋2＝－a ·57＋b ·55－c ·53＋2＝m ，得a ·57－b ·55＋c ·53＝2－m ，则f (5)＝a ·57－b ·55＋c ·53＋2＝2－m ＋2＝4－m . 所以f (5)＋f (－5)＝4－m ＋m ＝4.故选A ．3．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )等于( A ) A ．x ＋x 4 B ．－x －x 4 C ．－x ＋x 4 D ．x －x 4 【解析】当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)． 则f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4. 又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，x ∈(0，＋∞)．从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f (x )＝x ＋x 4.故选A ． 4．偶函数y ＝f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则有( A )A ．f (－π)>f ⎝⎛⎭⎫π3>f (－1)B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (－1)>f (－π)C ．f (－π)>f (－1)>f ⎝⎛⎭⎫π3D ．f (－1)>f (－π)>f ⎝⎛⎭⎫π3【解析】由题意，得f (－π)＝f (π)，f (－1)＝f (1)．又函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且1<π3<π，所以f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3<f (π)，即f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫π3<f (－π)．故选A ． 5．定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f (7)＝6，则f (x )( B ) A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6 B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6 C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6 D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6【解析】由f (x )是偶函数，得f (x )的图象关于y 轴对称，其图象可以用如图简单地表示，则f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.故选B ．6．若偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式()()0f x f x x+->的解集为( B )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】∵f (x )为偶函数，∴()()2()0f x f x f x x x +-=>，∴xf (x )>0，∴0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．故选B ．二、填空题7．设函数y ＝f (x )是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为f (x )＝x ＋2.【解析】由题意知f (x )在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f (x )＝kx ＋b ，代入解得k ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x ＋2.8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1，若f (2)＝3f (－1)，则m ＝－115. 【解析】∵x >0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1， ∴f (2)＝5＋2m ，f (1)＝2＋m ， 又f (－1)＝－f (1)＝－2－m ，由f (2)＝3f (－1)知，5＋2m ＝－6－3m ，∴m ＝－115.9．已知函数f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x >0时，f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的值域是[－3，－2)∪(2,3]．【解析】∵函数f (x )为奇函数，在(0,2]上的值域为(2,3]，∴f (x )在[－2,0)上的值域为[－3，－2)．故f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]． 三、解答题10．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x－1.(1)求f (－1)的值；(2)求当x <0时函数的解析式；(3)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 【解析】(1)因为f (x )是偶函数， 所以f (－1)＝f (1)＝2－1＝1.(2)当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝2－x－1.又因为f (x )为偶函数，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－1＝－2x －1.(3)证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1－⎝⎛⎭⎫2x 1－1＝2x 2－2x 1＝2x 1－x 2x 1x 2. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0. 所以f (x 2)－f (x 1)<0. 所以f (x 1)>f (x 2)．因此f (x )＝2x－1在(0，＋∞)上是减函数．11．已知函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f ⎝⎛⎭⎫－52与f ⎝⎛⎭⎫74的大小． 【解析】(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵令x 1＝x 2＝1，得f (1×1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝f ((－1)×(－1))＝f (－1)＋f (－1)， ∴2f (－1)＝0，∴f (－1)＝0. ∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1－f (x 1) ＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0， 即f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(1)知f (x )是偶函数，则有f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫52， 由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f ⎝⎛⎭⎫52>f ⎝⎛⎭⎫74.∴f ⎝⎛⎭⎫－52>f ⎝⎛⎭⎫74.B 组素养提升12．若函数y ＝f (x )是偶函数，定义域为R ，且该函数图象与x 轴的交点有3个，则下列说法正确的是( A )①3个交点的横坐标之和为0；②3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关；③f (0)＝0；④f (0)的值与函数解析式有关．A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③【解析】由于偶函数图象关于y 轴对称，若(x 0,0)是函数与x 轴的交点，则(－x 0,0)一定也是函数与x 轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而①③正确． 13．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)等于( B ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．1.5 D ．－1.5【解析】由已知，可得f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (2＋3.5)＝－[－f (3.5)]＝f (3.5)＝f (2＋1.5)＝－f (1.5)＝－f (2－0.5)＝－[－f (－0.5)]＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 14．奇函数f (x )满足：①f (x )在(0，＋∞)内单调递增；②f (1)＝0.则不等式x ·f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【解析】∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数，f (1)＝0. ∴f (x )在(－∞，0)上是增函数，f (－1)＝0. 当x >0时，f (x )>0 即f (x )>f (1)，∴x >1， 当x <0时，f (x )<0， 即f (x )<f (－1)，∴x <－1. ∴x ·f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)写出函数f (x )，x ∈R 的增区间； (2)求函数f (x )，x ∈R 的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2，x ∈[1,2]，求函数g (x )的最小值． 【解析】(1)f (x )的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (2)设x >0，则－x <0，∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x . ∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x x ≤0，x 2－2x x >0.(3)由(2)知g (x )＝x 2－(2＋2a )x ＋2，x ∈[1,2]，其图象的对称轴为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ；当1<a ＋1<2，即0<a <1时，g (x )min ＝g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1； 当a ＋1≥2，即a ≥1时，g (x )min ＝g (2)＝2－4A ．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ≤0，－a 2－2a ＋10<a <1，2－4a a ≥1.课堂小结本课堂需掌握的三个问题：1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．。