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习题9
9-3．一轻弹簧在60N 的拉力下伸长30cm 。现把质量为4kg 物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后释放并开始计时。求：(1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。
[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系
rad/s 07.74
200m
1.0N/m 20010
3060
2
===
==⨯=
-m k A k ω
设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos
0=t 时 1.0=x φcos 1.01.0= 0=φ
故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x = (2)设此时弹簧对物体作用力为F ，则
()()x x k x k F +=∆=0
其中 m 2.0200
40
0===
k mg x 因而有 ()N 3005.02.0200=-⨯=F (3)设第一次越过平衡位置时刻为1t ，则
()107.7cos 1.00t = 07.5.01π=t 第一次运动到上方5cm 处时刻为2t ，则
()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322⨯=πt 故所需最短时间为：
s 074.012=-=∆t t t
9-4．一质量为M 的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度为24 cm ?s -1，求：(1) 周期T ；(2) 速度为12 cm ?s -1时的位移。
[解] (1) 设振动方程为()cm cos ϕω+=t A x
以cm 12=A 、cm 6=x 、1s cm 24-⋅=v 代入，得：
()ϕω+=t cos 126 ()ϕωω+-=t sin 1224 利用()()1cos sin 22=+++ϕωϕωt t 则
112241262
2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛ω 解得 334=
ω s 72.22
32===πωπT (2) 以1s cm 24-⋅=v 代入，得：
()()ϕωϕωω+-=+-=t t sin 316sin 1212
解得： ()43
sin -
=+ϕωt 所以 ()4
13
cos ±=+ϕωt
故 ()cm 8.1041312cos 12±=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±⨯=+=ϕωt x
9-5．一谐振动的振动曲线如图9-5所示，求振动方程。
[解] 设振动方程为：
()ϕω+=t A x cos
根据振动曲线可画出旋转矢量图
由图可得：
2πφ=
12
5223πππφω=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆∆=
t
故振动方程为 cm 3212
5cos 10⎪⎭
⎫
⎝⎛+=π
πt x
9-6．一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率?=10 rad ?s -1，试分别写出以下两种初始状态的振动方程：(1) 其初始位移x 0＝7.5 cm ，初始速度v 0=75.0 cm ?s -1；(2) 其初始位移x 0＝7.5 cm ，初速度v 0=?75.0cm ?s -1。
[解] 设振动方程为 ()φ+=t A x 10cos (1) 由题意得： φcos 5.7A =
φsin 1075A -= 解得：4πφ-= A =10.6cm 故振动方程为：
()cm 410cos 6.10π-=t x
(2) 同法可得： ()cm 410cos 6.10π+=t x
9-7．一轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30cm ，现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg 。待其静止后再把物体向下拉10cm ，然后释放。问：(1) 此小物体是停止在振动物体上面还是离开它；(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件?二者在何位置开始分离?
[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。
(2) 设在平衡位置弹簧伸长0l ，则Mg kl =0
又 m N 2003.060===
l N k 故 m 196.0200
8
.940=⨯==k Mg l
当小物体与振动物体分离时 ()Mg kl kA =>0，即 0l A >， 故在平衡位置上方0.196m 处开始分离。
9-8．一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度是24 cm ?s -1。如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数?是多大?
[解] 设振动方程为 ()φω+=t x cos 12 则： ()φωω+-=t v sin 12 以x =6cm v =24cm/s 代入得：
()φω+=t cos 126 ()φωω+-=t sin 1224
解得 s rad 3
3
4=ω 最大位移处： 2ωA a =
2ωmA ma F ==
由题意，知 2ωμmA mg =
0653.02==g A ωμ
9-9．两根倔强系数分别为k 1和k 2的轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为m 的物体相连结，组成振动系统。当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动? 若作谐振动，其周期是多少? 若将两弹簧并联，其周期是多少?
[解] (1) 串接：物体处平衡位置时，两弹簧分别伸长10x 、20x
